6.3.1 二项式定理-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册创新导学案word（人教A版2019）

6.3.1　二项式定理 (教师独具内容) 课程标准：1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 教学重点：二项式定理的内容及其归纳过程． 教学难点：二项展开式的规律． 核心素养：通过学习二项式定理的有关内容，提升逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点　　二项式定理及其相关概念 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*，k是满足0≤k≤n的整数)叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数．式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Can－kbk． [提醒]　一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念．二项展开式的第k＋1项的二项式系数是C，所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，与a，b的取值无关，且是正数；而第k＋1项的系数则是二项式系数C与数字系数的积，可能为负数． 1．(求二项展开式的特定项)的展开式中的第4项是________． 答案：－560x10 2．(二项式定理的正用)的展开式为________． 答案：1＋＋＋＋ 3．(求二项展开式特定项的系数)(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________． 答案：10 题型一　二项式定理的正用与逆用　 　(1)写出的展开式． [解]　解法一：＝C()4－C()3＋C()2－C＋C＝x2－2x＋－＋. 解法二：＝ ＝(2x－1)4 ＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1) ＝x2－2x＋－＋. (2)若f(x)＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋4，求f(2024)－f(－2024)的值． [解]　根据f(x)的解析式，逆用二项式定理，得f(x)＝[(x－1)＋1]4＋3＝x4＋3.显然f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，所以f(2024)－f(－2024)＝0. 感悟提升 二项式定理的双向功能 (1)正用：将(a＋b)n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开． (2)逆用：将展开式合并成(a＋b)n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律． [跟踪训练1]　(1)用二项式定理展开. 解：解法一：＝(3)4＋C(3)3＋C(3)2＋C(3)·＋C＝81x2＋108x＋54＋＋. 解法二：＝＝(1＋3x)4 ＝[1＋C(3x)＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4] ＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4) ＝＋＋54＋108x＋81x2. (2)化简：1＋2C＋4C＋…＋2nC. 解：1＋2C＋4C＋…＋2nC＝C＋21C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n. 题型二　求二项展开式的特定项或项的系数 　已知的展开式中第6项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数及二项式系数； (3)求展开式中所有的有理项． [解]　(1)展开式的通项为 Tk＋1＝C()n－k ＝(－1)kCx(k＝0，1，2，…，n)． ∴T6＝(－1)5Cx. 又第6项为常数项，∴＝0，∴n＝10. (2)由(1)知Tk＋1＝(－1)kCx， 令＝2，得k＝2. ∴x2的系数为(－1)2××C＝， 含x2的项的二项式系数为C＝45. (3)若第k＋1项为有理项，则为整数，其中0≤k≤10，k∈Z. ∴10－2k＝6或10－2k＝0或10－2k＝－6， 解得k＝2或k＝5或k＝8. ∴有理项为T3＝Cx2＝x2，T6＝C＝－，T9＝Cx－2＝x－2. 感悟提升 求二项展开式的特定项问题，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0，1，2，…，n)． (1)第m项：此时k＋1＝m，求出k，代入通项． (2)常数项：这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程． (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程． 特定项的系数问题及相关参数值的求解问题等都可依据上述方法求解． [跟踪训练2]　(1)的展开式中，常数项为(　　) A．1365 B．3003 C．5005 D．6435 答案：C 解析：二项式的展开式的通项为Tk＋1＝C()15－k＝(－1)kC·x5－k，k∈N，k≤15，由5－k＝0，得k＝6，此时T7＝(－1)6C＝5005，所以所求常数项为5005.故选C. (2)设常数a>0，的展开式中x3的系数为，则a＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C(ax2)4－k(－x－)k＝Ca4－k(－1)kx8－k，由8－k＝3，得k＝2，所以x3的系数为C·a2·(－1)2＝，解得a＝.故选B. (3)已知(2－3x)8＝a0＋a1(1＋3x)＋a2(1＋3x)2＋…＋a8(1＋3x)8，则a6＝________．(用数字作答) 答案：252 解析：设1＋3x＝t，则3x＝t－1，即(3－t)8＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a8t8，a6是t6的系数，则a6＝C×32＝252. 题型三　求几个多项式和或积的特定项或项的系数　 　(1)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 [解析]　因为(x＋y)5＝x(x＋y)5＋(x＋y)5，(x＋y)5的展开式的通项为Tk＋1＝Cx5－kyk(k∈N且k≤5)，所以x(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C＝10，(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C＝5.故(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为10＋5＝15. [答案]　C (2)已知(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中x3的系数为－2，则a＝(　　) A．2 B．2 C．－2 D．－1 [解析]　(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中含x3的项为C(ax)3＋C(－x)3＝a3x3－10x3＝(a3－10)x3.由题意，得a3－10＝－2，解得a＝2.故选B. [答案]　B (3)(1＋x2)的展开式中，常数项为________． [解析]　求的展开式中的常数项以及含x－2的项：Tk＋1＝C＝C(－1)k·x－k，由－k＝0，得k＝0，由－k＝－2，得k＝2，即的展开式中常数项为C，含x－2的项为C(－1)2x－2，所以(1＋x2)的展开式中常数项为C＋C(－1)2＝11. [答案]　11 (4)求(1＋2x－3x2)5的展开式中x5的系数． [解]　解法一：∵(1＋2x－3x2)5＝[1＋(2x－3x2)]5＝1＋5(2x－3x2)＋10(2x－3x2)2＋10(2x－3x2)3＋5(2x－3x2)4＋(2x－3x2)5＝1＋5x(2－3x)＋10x2(2－3x)2＋10x3(2－3x)3＋5x4(2－3x)4＋x5(2－3x)5，∴x5的系数为上式各项中含x5的项的系数和，即10C×21×(－3)2＋5C×23×(－3)1＋25＝92. 解法二：∵(1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5＝(1－5x＋10x2－10x3＋5x4－x5)(1＋15x＋90x2＋270x3＋405x4＋243x5)，∴展开式中x5的系数为243－5×405＋10×270－10×90＋5×15－1＝92. 解法三：(1＋2x－3x2)5相当于5个(1＋2x－3x2)相乘，因此要求展开式中x5的系数，只需借助二项式定理的原理求解即可．含x5的项为C(2x)5＋C(2x)3×C(－3x2)×1＋C(2x)×C(－3x2)2×12＝92x5，故展开式中x5的系数为92. 感悟提升 1．求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并，通常要用到方程的知识求解． 2．求几个多项式积的特定项：先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可． 3．三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形． [跟踪训练3]　(1)(x＋3y)6的展开式中x4y3的系数为(　　) A．18 B．135 C．540 D．1215 答案：C 解析：(x＋3y)6＝(x＋3y)6＋x(x＋3y)6，(x＋3y)6的展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－k(3y)k＝C3kx6－kyk.因为(x＋3y)6的展开式中没有含x4y3的项，x(x＋3y)6的展开式中含x4y3的项为x×C×33x3y3＝540x4y3，所以(x＋3y)6的展开式中x4y3的系数为540.故选C. (2)在(1－)7＋的展开式中，若x2的系数为19，则a＝________． 答案：2 解析：(1－)7＋的展开式中含x2的项为C(－)6＋C()5＝Cx2＋aCx2，由题意，得C＋aC＝19，解得a＝2. (3)的展开式中，常数项为________． 答案：8953 解析：＝的展开式的通项为Tk＋1＝C·，的展开式的通项为Tm＋1＝C·x10－k－m·＝C·x10－k－2m.令10－k－2m＝0，得k＝10－2m，当m＝0，k＝10时，常数项为1；当m＝1，k＝8时，常数项为C×C＝90；当m＝2，k＝6时，常数项为C×C＝210×6＝1260；当m＝3，k＝4时，常数项为C×C＝210×20＝4200；当m＝4，k＝2时，常数项为C×C＝45×70＝3150；当m＝5，k＝0时，常数项为C×C＝1×252＝252.所以展开式中的常数项为1＋90＋1260＋4200＋3150＋252＝8953. 1．若(2x－3)n＋3的展开式共有15项，则自然数n的值为(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 答案：A 解析：因为(2x－3)n＋3的展开式共n＋4项，所以n＋4＝15，即n＝11.故选A. 2.的展开式中的常数项为(　　) A．80 B．－80 C．40 D．－40 答案：B 解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C(x3)5－k·＝(－1)k2kCx15－5k，令15－5k＝0，得k＝3，所以常数项为T4＝(－1)3×23×C＝－80.故选B. 3．(多选)二项式(x＋)n(n∈N*)的展开式中至少有2项的系数为有理数，则n的可能取值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案：ACD 解析：(x＋)n的展开式的通项为Tk＋1＝C(x)n－k×()k＝2×3Cxn－k.结合选项，若n＝6或8，则当k＝0和6时，项的系数均为有理数；若n＝7，则只有当k＝3时，项的系数为有理数，不满足题意；若n＝9，则当k＝3和9时，项的系数均为有理数．故选ACD. 4．已知二项式的展开式中的系数为－40，则a＝________． 答案：2 解析：由二项式定理的原理，知含的项为C(－x)3·C··1＝－20a·，所以－20a＝－40，解得a＝2. 5．求(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数． 解：(x＋2)10(x2－1)＝x2(x＋2)10－(x＋2)10，求x10的系数，只要求(x＋2)10的展开式中x8及x10的系数． 由Tk＋1＝Cx10－k·2k，取k＝2，得x8的系数为C×22＝180，又x10的系数为C＝1，所以所求系数为180－1＝179. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 求二项展开式的特定项的系数 根据二项展开式中的特定项求参数的值 求两个二项式积的特定项的系数 求二项展开式的特定项的系数 二项式定理的综合应用 二项式定理的逆用 根据二项展开式中特定项的系数求参数的值 题号 8 9 10 11 12 13 难度 ★★ ★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ 对点 求三项展开式的项数与特定项的系数 二项式定理的逆用 求二项展开式的特定项的系数；根据二项展开式中特定项的二项式系数求参数的值 由两个二项式积的特定项的系数求参数的值　　 求二项展开式的特定项 根据二项展开式中特定项的系数比求参数的值；求二项展开式的特定项 一、选择题 1．(2024·北京高考)在(x－)4的展开式中，x3的系数为(　　) A．15 B．6 C．－4 D．－13 答案：B 解析：(x－)4的展开式的通项为Tk＋1＝Cx4－k(－)k＝C(－1)kx4－(k＝0，1，2，3，4)，令4－＝3，解得k＝2，故x3的系数为C(－1)2＝6. 2.的展开式共有7项，且常数项为20，则a＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案：B 解析：因为的展开式共有7项，故n＝6，且展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－k(－ax－1)k＝Cx6－2k(－a)k，令6－2k＝0，解得k＝3，故T4＝C(－a)3＝20，解得a＝－1.故选B. 3．(x＋2y)(x－y)5的展开式中x2y4的系数为(　　) A．－15 B．5 C．－20 D．25 答案：A 解析：因为(x＋2y)(x－y)5＝x(x－y)5＋2y(x－y)5，所以x2y4的系数为C(－1)4＋2C(－1)3＝－15. 4．若(2＋x)10＝a0＋a1(x＋3)＋a2(x＋3)2＋…＋a10(x＋3)10，则a7＝(　　) A．45 B．120 C．－10 D．－120 答案：D 解析：(2＋x)10＝[－1＋(x＋3)]10＝C·(－1)10·(x＋3)0＋C·(－1)9·(x＋3)1＋…＋C·(x＋3)10，展开式中(x＋3)7的系数为a7＝C·(－1)3＝－C＝－＝－120.故选D. 5．(多选)已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列说法正确的是(　　) A．n＝10 B．展开式中的常数项为45 C．x5的系数为210 D．展开式中的有理项有5项 答案：ABC 解析：对于A，∵Tk＋1＝(－1)kCx2n－k，又第3项与第5项的系数之比为＝，解得n＝10，故A正确；对于B，令20－k＝0，得k＝8，∴常数项为第9项，T9＝(－1)8C＝45，故B正确；对于C，令20－k＝5，则k＝6，故x5的系数为(－1)6C＝210，故C正确；对于D，若20－k为整数，则k可取0，2，4，6，8，10，共6项，故D错误．故选ABC. 二、填空题 6．计算1－3C＋9C－27C＋…－39C＋310＝________． 答案：1024 解析：1－3C＋9C－27C＋…－39C＋310＝[1＋(－3)]10＝210＝1024. 7．设a≠0，n是大于1的自然数，＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0，1，2)的位置如图所示，则a＝________． 答案：3 解析：由题意，知A0(0，1)，A1(1，3)，A2(2，4)，故a0＝1，a1＝3，a2＝4.的展开式的通项为Tk＋1＝C(k＝0，1，2，…，n)，故＝3，＝4，解得a＝3. 8．在(x＋y＋z)5的展开式中，xy2z2的系数为________，展开式共有__________项． 答案：30　21 解析：(x＋y＋z)5表示5个(x＋y＋z)相乘，含xy2z2的项是在5个(x＋y＋z)中选1个x，2个y，2个z，所以展开式中xy2z2的系数为C×C×C＝30.(x＋y＋z)5的展开式的项可以理解为有5个盒子，每个盒子中均有x，y，z三个元素，现在从每个盒子中各取出1个元素，再将它们相乘，若只选一个字母，则有C＝3种；若选2个字母，则有C×4＝12种；若选3个字母，则有C＋C＝6种，故展开式共有3＋12＋6＝21项． 三、解答题 9．化简下列各式： (1)C＋C6＋C62＋…＋C6n－1； (2)(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)． 解：(1)原式＝(C＋C6＋C62＋C63＋…＋C6n－1)＝[(1＋6)n－1]＝(7n－1)． (2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. 10．已知. (1)求展开式中x4的系数； (2)如果第3r项和第r＋2项的二项式系数相等，求r的值． 解：(1)的展开式的通项为Tk＋1＝C(－2)k·x10－k，令10－k＝4，解得k＝4， 故展开式中x4的系数为C(－2)4＝3360. (2)∵第3r项的二项式系数为C，第r＋2项的二项式系数为C， ∴C＝C， ∴3r－1＝r＋1或3r－1＋r＋1＝10， 解得r＝1或r＝2.5(不符合题意，舍去)， ∴r＝1. 11．已知(3－ax)的展开式中x2的系数为42，则实数a的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：D 解析：因为的展开式的通项为Tk＋1＝C·()8－k＝Cx4－k，0≤k≤8，k∈N，所以T3＝Cx2＝28x2，T4＝Cx＝56x，所以含x2的项为3×28x2－56ax2.由题意，得3×28－56a＝42，解得a＝.故选D. 12．在的展开式中： (1)求常数项； (2)有几个有理项？ (3)有几个整式项？ 解：的展开式的通项为Tk＋1＝(－1)kC·()15－k＝(－1)k2k·Cx(k＝0，1，2，…，15)， (1)设第k＋1项为常数项，则＝0，得k＝6， 即常数项为T7＝(－1)626C＝320320. (2)设第k＋1项为有理项，则＝5－k为整数， ∴k为6的倍数， 又0≤k≤15，k∈N， ∴k可取0，6，12三个数． 即共有3个有理项． (3)由5－k为非负整数，得k＝0或6， ∴有2个整式项． 13．已知(n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数之比是10∶1. (1)求n的值； (2)求展开式中含x的项． 解：(1)∵的展开式的通项为 Tk＋1＝C()n－k＝(－2)kCx， ∴T5＝24Cx－10，T3＝22Cx－5. 由题意，得＝， ∴n2－5n－24＝0， ∴n＝8或n＝－3(舍去)． (2)由(1)得展开式的通项为Tk＋1＝(－2)k·Cx， 令＝，得k＝1. ∴含x的项为T2＝(－2)1Cx＝－16x. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$