6.2.1 排列-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册创新导学案word（人教A版2019）

6.2.1　排列 (教师独具内容) 课程标准：通过实例，理解排列的概念． 教学重点：排列的概念． 教学难点：用两个计数原理分析和解决一些简单的与排列有关的实际问题． 核心素养：通过学习排列的概念，进一步提升数学抽象素养和逻辑推理素养． 知识点一　排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 知识点二　两个排列相同的充要条件 (1)两个排列的元素完全相同； (2)元素的排列顺序也相同． [注意]　所研究的n个元素是互不相同的，取出的m个元素也是不同的．判断一个具体问题是不是排列问题，就看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时，是有序的还是无序的，有序的是排列，无序的就不是排列． 1．(排列的概念)(多选)下列说法正确的是(　　) A．1，2，3与3，2，1为同一排列 B．在一个排列中，同一个元素不能重复出现 C．从1，2，3，4中任选两个元素，就组成一个排列 D．从5名同学中任选2名同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题 答案：BD 2．(排列的概念)从5个人中任选2个人去完成某项工作，这________(填“是”或“不是”)排列问题． 答案：不是 3．(排列的列举问题)从1，2，3中任取两个数字可组成的不同的两位数有________个． 答案：6 题型一　排列的概念　 　判断下列问题是否是排列问题： (1)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？ (2)从1到10十个自然数中任取两个数组成平面直角坐标系内的点的坐标，可得到多少个不同的点的坐标？ (3)从10名同学中任选2名同学去学校开座谈会，有多少种不同的选取方法？ (4)某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另一个大门出来，不同的出入方式有多少种？ (5)有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙两个盒子里，有多少种不同的放法？ [解]　(1)不是．因为加法运算满足交换律，所以选出的两个数做加法时，与两个数的位置无关，所以不是排列问题． (2)是．因为取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数作为横坐标，哪一个数作为纵坐标的顺序有关，所以这是排列问题． (3)不是．因为从10名同学中任选2名同学去学校开座谈会不需要考虑两个人的顺序，所以这不是排列问题． (4)是．因为从一个门进，从另一个门出是有顺序的，所以这是排列问题． (5)是．因为任取两个球分别放入甲、乙两个盒子里，这是有顺序的，所以这是排列问题． 感悟提升 判断一个具体问题是否是排列问题，就看取出元素后安排时是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题． [跟踪训练1]　判断下列问题是否是排列问题： (1)会场有50个座位，要求选出3个座位，有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ (2)从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个不同的元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1? (3)从1，3，5，7，9中任取3个数字，有多少种方法？若用这3个数字组成一个三位数，又有多少种方法？ 解：(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题． (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线－＝1中，不管a>b还是a<b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题． (3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．从5个数中取3个数，与顺序无关；若用这3个数组成一个三位数，则与顺序有关． 题型二　排列的列举问题　 　将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，A不排在第一，D不排在第四，试用树状图列出所有可能的排法． [解]　树状图如图： 由树状图知，所有排法为BADC，BCDA，BDAC，BDCA，CADB，CBDA，CDAB，CDBA，DABC，DACB，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA，共14种． 感悟提升“树状图”在解决元素个数不多的排列问题时，是一种比较有效的表示方式，在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列． [跟踪训练2]　北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？ 解：列出每一个起点和终点的情况，如图所示． 故符合题意的机票种类有北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京，广州→天津，广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种． 题型三　排列的简单应用　 　用具体数字表示下列问题． (1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数； (2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数； (3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的种数． [解]　(1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有100×99＝9900个． (2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有3×2×1＝6个． (3)可以理解为从5家单位中选出4家单位进行排列，共有5×4×3×2＝120种分配方案． 感悟提升 要想正确地表示排列问题的排列个数，应弄清这件事中谁是分步的主体，分清m个元素和n(m≤n)个不同的位置各是什么． [跟踪训练3]　(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解：从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7本书中选出3本进行排列，共有7×6×5＝210种不同的送法． (2)有7种不同的书(每种不少于3本)，要选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解：从7种不同的书中选3本书，这3本书并不要求都不相同，则共有7×7×7＝343种不同的送法． 1．下列问题是排列问题的是(　　) A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相发微信一次，共发了多少条微信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？ 答案：B 解析：排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序有关的，其他问题都与顺序无关．故选B. 2．高二(1)班准备从甲、乙、丙三名学生中选出两名分别担任班长和副班长，则所有可能的结果有(　　) A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 答案：C 解析：因为甲、乙、丙三名学生任何一名都有可能当班长，也有可能当副班长，列出每一种班长和副班长的情况，如图所示： 即共有6种结果(前者为班长，后者为副班长)：甲、乙，甲、丙，乙、甲，乙、丙，丙、甲，丙、乙． 3．某班上午要上语文、数学、体育和外语4门课，而体育老师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是(　　) A．24 B．22 C．20 D．12 答案：D 解析：分两步排课：体育可以排第二节或第三节，共2种排法；其他科目有语文、数学、外语，语文、外语、数学，数学、语文、外语，数学、外语、语文，外语、语文、数学，外语、数学、语文，共6种排法，所以根据分步乘法计数原理可知，共有2×6＝12种不同的排课方案．故选D. 4．若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种． 答案：23 解析：直接画出树状图如图： 由树状图知，可能出现的错误共有23种． 5．从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同数字排成一个三位数． (1)能组成多少个不同的三位数？并写出这些三位数； (2)若组成的这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个？并写出这些三位数． 解：(1)组成三位数分三个步骤： 第1步，选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法； 第2步，选十位上的数字，有3种不同的排法； 第3步，选个位上的数字，有2种不同的排法． 由分步乘法计数原理得，共有3×3×2＝18个不同的三位数． 画出下列树状图： 由树状图知，所有的三位数为102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321. (2)画出树状图如图： 由树状图知，符合条件的三位数有8个，分别为201，210，230，231，301，302，310，312. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 排列的概念 排列的实际应用 数字排列问题 排列的实际应用 排列的实际应用 排列的概念 题号 7 8 9 10 11 12 13 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 排列的列举问题 排列的实际应用 排列的实际应用 排列的实际应用 排列的实际应用 数字排列问题 排列的实际应用 一、选择题 1．(多选)下列问题中，属于排列的是(　　) A．10本不同的书分给10名同学，每人一本 B．10位同学去做该校春季运动会的志愿者 C．10位同学参加不同项目的运动会比赛 D．10个没有任何三点共线的点构成的线段 答案：AC 解析：由排列与顺序有关，可知A，C是排列，B，D不是排列．故选AC. 2．某运动会上，8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排甲、乙、丙这3名运动员比赛的方式有(　　) A．24种 B．36种 C．42种 D．48种 答案：A 解析：由题意可知，甲、乙、丙三人共有1，3，5，7四条跑道可安排，首先安排甲，从4条跑道中选择1条，有4种选法，然后安排乙，从剩下的3条跑道中选择1条，有3种选法，最后安排丙，从剩下的2条跑道中选择1条，有2种选法．由分步乘法计数原理可知，安排甲、乙、丙这3名运动员比赛的方式有4×3×2＝24种．故选A. 3．由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数有(　　) A．6个 B．12个 C．18个 D．20个 答案：B 解析：本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树状图表示为 由树状图可知，这样的四位数共有12个． 4．三人互相传球，由甲开始发球，并将发球作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有(　　) A．6种 B．10种 C．8种 D．16种 答案：B 解析：记另外两人为乙、丙，若甲第一次把球传给乙，则不同的传球方式有 其中经过5次传球后，球仍回到甲手中的有5种，同理，若甲第一次把球传给丙也有5种不同的传球方式使球仍回到甲手中，故共有10种不同的传球方式使球仍回到甲手中． 5.如图，三根绳子上共挂有6只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，每枪只能打破一只气球，而且规定只有打破下面的气球才能打上面的气球，则将这些气球都打破的不同打法数是(　　) A．10 B．60 C．90 D．120 答案：B 解析：将6只气球进行编号为1，2，3，4，5，6号，则下方气球号码小于上方气球号码的排列方法数就是打破气球的方法数，将编号为1～6号的6只气球挂上3根绳子，按下方气球号码小于上方气球号码的排列，分三步进行：第1步，挂有1只气球的绳子，有6种挂法；第2步，挂有2只气球的绳子，有10种挂法；第3步，挂有3只气球的绳子，有1种挂法．所以由分步乘法计数原理得，共有6×10×1＝60种挂法，因为一种挂法就是一种排列方法，也就是打破气球的方法，所以将这些气球都打破的不同打法数是60.故选B. 二、填空题 6．从4个数字3，5，7，9中每次取出两个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为对数的底数，一个为对数的真数；⑥一个为被开方数，一个为根指数． 在上述问题中，属于排列问题的是________． 答案：②④⑤⑥ 解析：从4个不同的数字中，每次取出两个相加、相乘的时候，两个数字交换顺序不影响运算结果，即与元素的顺序无关，所以①③不是排列问题；相减，相除，一个为对数的底数、一个为对数的真数，一个为被开方数、一个为根指数，进行上述四种运算时，两个数字一旦交换位置，产生的结果就会不同，即与顺序有关，所以②④⑤⑥属于排列问题． 7．在1，2，3，4的排列a1a2a3a4中，满足a1>a2，a3>a2，a3>a4的排列个数是________． 答案：5 解析：首先注意a1位置的数比a2位置的数大，可以借助树状图进行筛选．满足a1>a2的树状图如下： 从而得出满足题意的排列有2143，3142，3241，4132，4231，共5个． 8．有5名大学毕业生，到3个招聘雇员的公司应聘，若每个公司至多招聘一名新雇员，且3个公司全部招到新雇员，若不允许兼职，共有________种不同的招聘方案． 答案：60 解析：分三步：第一个公司从5名毕业生中招聘一名，有5种选法；第二个公司从4名毕业生中招聘一名，有4种选法；第三个公司从3名毕业生中招聘一名，有3种选法．由分步乘法计数原理可知，共有5×4×3＝60种不同的招聘方案． 三、解答题 9．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？ 解：分三类：第1类，挂1面旗表示信号，有红，黄，蓝3种不同的方法；第2类，挂2面旗表示信号，有红黄，黄红，红蓝，蓝红，黄蓝，蓝黄6种不同的方法；第3类，挂3面旗表示信号，有红黄蓝，红蓝黄，黄红蓝，黄蓝红，蓝红黄，蓝黄红6种不同的方法．根据分类加法计数原理，一共可以表示3＋6＋6＝15种不同的信号． 10．将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，每辆公共汽车分别配有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？ 解：解决这个问题可以分两步： 第1步，把4位司机分配到4辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有4×3×2×1＝24种方法； 第2步，把4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，有24种方法． 根据分步乘法计数原理，共有24×24＝576种不同的分配方案． 11．设有编号分别为1，2，3，4，5的5个球和编号分别为1，2，3，4，5的5个盒子，现将这5个球放入5个盒子内，没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ 解：由题意可得，没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有5×4×3×2×1＝120种投放方法，而球的编号与盒子编号全相同只有1种投放方法，所以没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同的投放方法有120－1＝119种． 12．由4个不同数字组成、且个位数字与千位数字之差的绝对值是2的四位正整数有多少个？ 解：将千位数字a与个位数字b的取值记为(a，b)，则满足个位数字与千位数字之差的绝对值是2的所有可能的取值有(1，3)，(2，0)，(2，4)，(3，1)，(3，5)，(4，2)，(4，6)，(5，3)，(5，7)，(6，4)，(6，8)，(7，5)，(7，9)，(8，6)，(9，7)，共15种情况，百位数字和十位数字有8×7＝56种情况，所以满足题意的四位正整数共有15×56＝840个． 13．京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1318公里，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站，计算铁路部门需要为这21个车站准备多少种不同的火车票？ 解：对于两个火车站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张票对应一个起点站和一个终点站，因此，先从21个车站中选一个作为起点站，再从剩余20个车站中选一个作为终点站，共有21×20＝420种选法．所以铁路部门需要为这21个车站准备420种不同的火车票． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$