6.2.3 组合-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册创新导学案课件PPT（人教A版2019）

第六章　计数原理 6.２　排列与组合 6.2.3　组合 (教师独具内容) 课程标准：通过实例，理解组合的概念． 教学重点：组合的概念． 教学难点：用两个计数原理分析和解决一些简单的与组合有关的实际问题． 核心素养：通过学习组合的概念，提升数学抽象素养和逻辑推理素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素__________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 知识点二　排列与组合之间的联系与区别 1．相同点：两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素． 2．不同点：排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关．只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的． 作为一组 核心概念掌握 5 1．(排列和组合的概念、简单的组合问题)下列说法正确的是(　　) A．3个相同的小球放入5个不同的盒子中，每盒至多放一个球，共有多少种放法？这个问题是排列问题 B．3个不同的小球放入5个不同的盒子中，每盒至多放一个球，共有多少种放法？这个问题是组合问题 C．从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的不同取法种数是3 D．从班级5名男同学中选出2名同学参加学校的男子乒乓球双打比赛，有多少种选法？是排列问题 核心概念掌握 6 2．(简单的组合问题)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． 4．(有限制条件的组合问题)某市为迎接创建全国文明城市测评，预先从3所学校和2所医院中任选2所进行检查，则至少抽查一所学校的方法种数为________． 20 9 核心概念掌握 7 核心素养形成 题型一　组合的概念 给出下列问题： (1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (2)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？ (3)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (4)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？ 核心素养形成 9 解析　(1)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (2)冠亚军是有顺序的，是排列问题． (3)命中的4枪均为2枪连中，为相同的对象，没有顺序，是组合问题． (4)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题． 核心素养形成 10 感悟提升 判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素的先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题． 核心素养形成 11 [跟踪训练1]　判断下列问题是排列问题，还是组合问题： (1)从集合A＝{1，10，8，6，4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？ (2)从集合A＝{－1，1，10，8，6，4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？ (3)从a，b，c，d这四名同学中任选两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？ (4)四个人互发一封电子邮件，共发了多少封电子邮件？ 核心素养形成 12 解：(1)从集合A中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此，此问题只与取出的元素有关，与元素的顺序无关，故是组合问题． (2)从集合A中取出两个数相除，若改变其除数、被除数的位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题． (3)由于从四名同学中选出的两名同学参加的是同一项活动，没有顺序，因此是组合问题． (4)四个人互发一封电子邮件，由于发件人与收件人是有区别的，与顺序有关，是排列问题． 核心素养形成 13 题型二　简单的组合问题　 (1)已知A，B，C，D，E 5个元素，写出每次取出3个元素的所有组合． 解　可按AB→AC→AD→BC→BD→CD的顺序写出，如图． 所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE. 核心素养形成 14 (2)有5名教师，其中3名男教师，2名女教师． ①现要从中选2名去参加会议，共有多少种不同的选法？ ②选出2名男教师或2名女教师参加会议，共有多少种不同的选法？ ③现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，共有多少种不同的选法？ 解　①从5名教师中选2名去参加会议，通过列举法可得共有10种不同的选法． ②可把问题分两类： 第1类，选出的2名是男教师，有3种方法； 第2类，选出的2名是女教师，有1种方法． 根据分类加法计数原理，共有3＋1＝4种不同的选法． ③从3名男教师中选2名有3种选法，从2名女教师中选2名有1种选法． 根据分步乘法计数原理，共有3×1＝3种不同的选法． 核心素养形成 15 感悟提升 解组合问题的两个注意事项 (1)借助“字典排序法”列出一个具体问题的组合，不仅直观、简洁，而且避免了重复或遗漏．但需注意：若用“树状图法”，当前面的元素写完后，后面不能再出现该元素，这是与排列问题的一个不同之处． (2)解简单的组合应用题时，要注意两个基本计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用．在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏． 核心素养形成 16 [跟踪训练2]　一个口袋内装有大小相同的4个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的5个球中取出3个球，取法种数是10. (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是需要从4个白球中取出2个，取法种数是6. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从4个白球中取出3个球，取法种数是4. 核心素养形成 17 随堂水平达标 1．(多选)下列问题是组合问题的是(　　) A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B．平面上有2024个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个？ D．从高二(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 解析：组合问题与顺序无关，排列问题与顺序有关，故A，B，C均为组合问题；D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题．故选ABC. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 19 随堂水平达标 1 2 3 4 5 20 3．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为(　　) A．10 　　　　　B．11 　　　　　 C．12 　　　　　 D．15 解析：与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第1类，与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同，即4个位置中选2个位置，使对应数字相同，其他2个不同，有6个信息符合；第2类，与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同，即4个位置中选1个位置，使对应数字相同，其他3个不同，有4个信息符合；第3类，与信息0110没有一个对应位置上的数字相同，即4个位置上的对应数字都不同，有1个信息符合．根据分类加法计数原理，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6＋4＋1＝11. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 21 4．某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3人参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有1名女生的选法有____种． 解析：设3名男生分别为A，B，C，2名女生分别为E，F，则选3人参加机器人大赛，选出的人员中恰好有1名女生的选法有ABE，ACE，BCE，ABF，ACF，BCF，共6种． 6 随堂水平达标 1 2 3 4 5 22 解：∵y′＝ax＋b，∴y′|x＝1＝a＋b. 若a＋b＝5，有2条抛物线，从中取出2条，有1种取法； 若a＋b＝7，有3条抛物线，从中取出2条，有3种取法； 若a＋b＝9，有4条抛物线，从中取出2条，有6种取法； 随堂水平达标 1 2 3 4 5 23 若a＋b＝11，有3条抛物线，从中取出2条，有3种取法； 若a＋b＝13，有2条抛物线，从中取出2条，有1种取法． 由分类加法计数原理知，从这些抛物线中任取两条，则这两条抛物线在它们与直线x＝1交点处的切线恰好互相平行的情形共有1＋3＋6＋3＋1＝14种． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 24 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 组合的概念 简单的组合问题 简单的组合问题 与几何有关的组合问题 简单的组合问题 简单的组合问题 简单的组合问题 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 组合的列举问题 组合的概念 组合的列举问题 简单的组合问题 简单的组合问题 简单的组合问题 与集合有关的组合问题 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 一、选择题 1．下列说法正确的是(　　) A．组合和排列都与元素的顺序有关 B．a，b，c和c，b，a不是同一组合 C．如果一个问题是排列问题，则它一定是组合问题 D．从10个人中选3个代表去开会，共有多少种选法是组合问题 解析：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，故A，B，C错误；D中，3个代表无顺序之分，是组合问题．故选D. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 2．现有男、女生共8人，从中选出男、女生各1人参加运动会，共有16种不同方案，那么男、女生的人数分别是(　　) A．2，6 B．3，5 C．4，4 D．5，3 解析：设男生有x人，则女生有(8－x)人，则x(8－x)＝16，解得x＝4，所以男生有4人，女生有4人．故选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 28 3．五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有(　　) A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 解析：先从除1号子项目外的4个子项目中选出一个项目给甲，其余的4个安排给其他工程队，共有4×A＝96种不同的承建方案． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 29 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30 5．(多选)现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是(　　) A．从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要选出2个球分给甲、乙两名同学，有210种不同的方法 解析：对于A，从中选出2个球，正好一红一黄，有4×5＝20种不同的选法，A错误；对于B，若每种颜色选出1个球，有4×5×6＝120种不同的选法，B正确；对于C，若要选出不同颜色的2个球，有4×5＋5×6＋4×6＝74种不同的选法，C错误；对于D，若要选出2个球分给甲、乙两名同学，有15×14＝210种不同的方法，D正确．故选BD. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 31 二、填空题 6．在某次数学考试中，学号为i(i＝1，2，3，4)的同学的考试成绩f(i)∈{85，87，88，90，93}，且满足f(1)<f(2)<f(3)<f(4)，则这四位同学的考试成绩的所有情况有________种． 解析：根据条件从五个成绩中挑四个，易知满足条件的所有情况有5种． 5 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 32 7．某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有________种． 解析：从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选一种，有4种方案；从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选两种，有6种方案；从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选三种，有4种方案；佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药全选，有1种方案．所以从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选一种，则不同的添加方案共有4＋6＋4＋1＝15种． 15 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 33 8．从1，2，3，4，5，6，7这7个整数中取3个不同的数，若其和为奇数，则不同的取法共有________种． 解析：1，2，3，4，5，6，7中偶数有3个，奇数有4个，从这7个数中取出3个数，若其和是奇数，则需要分成两种不同的情况．取出的3个数都是奇数，需要在4个奇数中任取3个，有(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)，共4种取法；取出的3个数中有1个奇数，2个偶数，有(1，2，4)，(1，2，6)，(1，4，6)，(3，2，4)，(3，2，6)，(3，4，6)，(5，2，4)，(5，2，6)，(5，4，6)，(7，2，4)，(7，2，6)，(7，4，6)，共12种取法．所以和为奇数的不同取法共有4＋12＝16种． 16 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 34 三、解答题 9．判断下列各问题是排列问题，还是组合问题． (1)从50个人中选3个人去参加同一种劳动，有多少种不同的选法？ (2)从50个人中选3个人到3个学校参加毕业典礼，每个学校1人，有多少种选法？ (3)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成1个三位数，这样的三位数共有多少个？ (4)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成1个集合，这样的集合有多少个？ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 35 解： (1)选出3个人，但参加同一种劳动，没有顺序，是组合问题． (2)选出3个人到3个学校参加毕业典礼，每个学校1人，有顺序，是排列问题． (3)取出3个数字后，改变这3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题与元素的安排顺序有关，是排列问题． (4)取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其组成的集合都不变，是组合问题． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 36 10．在A，B，C，D四位候选人中， (1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果； (2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举结果． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 37 11．一电路图如图所示，从A到B共有________条不同的线路可通电． 解析：从A到B可从上到下分为3组，第一组中左边2个或右边2个开关选1个或选2个，各有3种闭合的方式，故共有3×3＝9条；第二组有1条；第三组中3个开关选1个，选2个或选3个，共有3＋3＋1＝7条．综上可知，从A到B共有9＋1＋7＝17条不同的线路可通电． 17 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 38 12．3成人2小孩乘船游玩，1号船最多乘3人，2号船最多乘2人，3号船只能乘1人，他们任选2只船或3只船，但小孩不能单独乘一只船，这5人共有多少种乘船方法？ 解：由题意分四类： 第1类，1号船乘2个大人和1个小孩，2号船乘1个大人和1个小孩，有3×2＝6种方法； 第2类，1号船乘1个大人和2个小孩，2号船乘2个大人，有3种方法； 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 39 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 40 13．某学校四位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则为：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得－30分；选乙题答对得10分，答错得－10分．若四位同学的总得分为0，则这四位同学的不同得分共有多少种情况？ 解：由题意分五类： 第1类，选两人得30分，余下两人得－30分，有6种情况； 第2类，选一人得30分，余下三人得－10分，有4种情况； 第3类，选一人得－30分，余下三人得10分，有4种情况； 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 41 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 42 14．若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆．则集合A＝{a1，a2，a3}的不同分拆共有多少种？ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 43 　　　　　　　　　　　　　 R 3．(与数字有关的组合问题)从2，3，5，7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则eq \f(m,n)＝________． eq \f(1,2) 2．从集合{2，3，4，5，6}中任选两个数分别作为a，b的值计算eq \r(ab)，则不同的结果种数为(　　) A．5 B．9 C．10 D．20 解析：从2，3，4，5，6中任选两个数有(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共10种组合，因为2×6＝3×4，所以eq \r(ab)共有10－1＝9种不同的结果．故选B. 5．已知一组抛物线y＝eq \f(1,2)ax2＋bx＋1，其中a为2，4，6，8中的任一个数，b为1，3，5，7中的任一个数，从这些抛物线中任取两条，则这两条抛物线在它们与直线x＝1交点处的切线恰好互相平行的情形共有多少种？ 4.如图，已知面积为1的正三角形ABC三边的中点分别为D，E，F，则从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个不同的点构成的面积为 eq \f(1,4)的三角形的个数为(　　) A．4 B．6 C．10 D．11 解析：从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个不同的点构成的面积为eq \f(1,4)的三角形有两类：第1类，两个中点和一个顶点构成的三角形，有3×3＝9个；第2类，三个中点构成的三角形，有1个．由分类加法计数原理知，面积为eq \f(1,4)的三角形的个数为9＋1＝10. 解：(1)从四位候选人中选举正、副班长各一人是排列问题，有Aeq \o\al(2,4)＝12种选法，所有可能的选举结果为AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC. (2)从四位候选人中选举两人负责班级工作是组合问题，有6种选法，所有可能的选举结果为AB，AC，AD，BC，BD，CD. 第3类，1号船乘1个大人和2个小孩，2号船乘1个大人，3号船乘1个大人，有Aeq \o\al(3,3)＝6种方法； 第4类，1号船乘1个大人和1个小孩，2号船乘1个大人和1个小孩，3号船乘1个大人，有Aeq \o\al(3,3)Aeq \o\al(2,2)＝12种方法． 故这5人共有6＋3＋6＋12＝27种乘船方法． 第4类，选两人得10分，余下两人得－10分，有6种情况； 第5类，一人得30分，一人得－30分，一人得10分，一人得－10分，有Aeq \o\al(4,4)＝24种情况． 根据分类加法计数原理，这四位同学的不同得分共有6＋4＋4＋6＋24＝44种情况． 解：当A1有3个元素，即A1＝{a1，a2，a3}时，分拆有23＝8种；当A1有2个元素时，分拆有3×22＝12种；当A1有1个元素时，分拆有3×21＝6种；当A1没有元素时，分拆有1种．故集合A＝{a1，a2，a3}的不同分拆共有8＋12＋6＋1＝27种． $$