8.4.1平面课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1平面 1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法. 2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实. 3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系． 4.借助实物了解平面的概念，理解平面的特点和基本性质 学习目标 各面面积之和 展开图 棱柱、棱锥、棱台 柱体、锥体、台体的体积 棱锥 棱台 棱柱 棱柱、棱锥、 棱台的体积 棱柱、棱锥、棱台的表面积 复习回顾 多面体表面积、体积公式汇总 复习回顾 旋转体表面积、体积公式汇总 圆柱 圆锥 圆台 • O R 球 l O O' 2πr r • • O' O r' 2πr' r l 2πr • • 2πr O S l r • 导入 前面我们初步认识了简单几何体的组成元素，知道了顶点、棱（直线段）、平面多边形是构成棱柱、棱锥等多面体的基本元素，我们以直观感知的方式认识了这些基本元素之间的相互关系，从而得到了多面体的一些结构特征． 为了进一步认识立体图形的结构特征，需要对点、直线、平面之间的位置关系进行研究． 本节我们先研究平面及其基本性质，在此基础上，研究空间点、直线、平面之间的位置关系． 新知讲解——平面 在初中平面几何中，我们对点和直线有了一定的认识，知道它们都是由现实事物抽象得到的. 那么平面呢,是从什么现实事物中抽象出来的,平面有怎样的特征？ 平面：几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸,平面是向四周无限延展的. 无限延展 不计厚薄 绝对的平 平面的特征 不计大小 (没有边界) (没有面积) (没有质量) 新知讲解——平面 该怎样画一个平面呢？ 与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面．我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面． ①水平放置的平面 ②垂直放置的平面 在画平行四边形表示平面时，所表示的平面如果是水平平面，通常把锐角画成45°，横边画成邻边的两倍. 图形语言： β 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向。 新知讲解——平面 平面的表示 ①希腊字母等，将它们写在代表平面的平行四边形的一个角内。 如：平面α、平面β ②表示平面的平行四边形的四个顶点字母 如：平面ABCD ③表示平面的平行四边形的相对的两个顶点字母表示 如：平面AC、平面BD 下面，我们来研究平面的基本性质. 新知讲解——点、直线、平面之间的位置关系 直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看出是点的集合．接下来我们通过元素与集合、集合与集合之间的关系，分别用文字语言、符号语音、图形语言来描述，点A，直线l，m、平面α的位置关系． 文字语言 符号语言 图形语言 1 2 3 新知讲解——点、直线、平面之间的位置关系 文字语言 符号语言 图形语言 4 5 6 7 思考 我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？ 新知讲解——平面的基本性质 生活中经常看到用三角架支撑照相机、自行车等． 由于三个支点在同一个平面上且不共线保证了三角支架的稳定性. 上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实： 新知讲解——平面的基本性质 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A C B 简记为：不共线的三点确定一个平面. 符号语言：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 作用：确定一个平面的依据！ 存在性 唯一性 不在一条直线上的三个点A,B,C所确定的平面，可记成平面ABC. 新知讲解——平面的基本性质 在实际生活中，我们有这样的经验：如果一根直尺边缘上的任意两点在桌面上，那么直尺的整个边缘就落在了桌面上。而一个点是不可以确定一个平面的。 上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实： 思考 如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？如果直线 l 与平面α有两个公共点呢？ 新知讲解——平面的基本性质 符号语言： 作用：①判断直线是否在一个平面内 ②判断点是否在平面内 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. α A • B • l 新知讲解——平面的基本性质 我们知道，平面具有“平”和“无限延展”的特征.而基本事实2反映了直线与平面的位置关系.我们能不能利用这种位置关系，用直线的“直”刻画平面的“平”用直线的“无限延伸”刻画平面的“无限延展”？ A C B 所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面.组成这个“直线网”的直线的“直”和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”. 如图，由基本事实1，给定不共线三点A,B,C它们可以确定一个平面ABC； 连接AB,BC,CA,由基本事实2，这三条直线都在平面ABC内， 进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面ABC内， 新知讲解——平面的基本性质 思考 如下图，把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？ B α B 想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去穿越课桌面。可以想象，两个平面相交于一条直线，由此我们得到又一个基本事实。 新知讲解——平面的基本性质 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. l P 若平面α与β相交于直线l，则把l叫做α与β的交线，记作α∩β=l . 符号语言 作用：①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上． 新知讲解——相交平面的画法 ⑴先画两平面基本线 ⑵画两平面的交线 ⑶分别作三条线的平行线 ⑷把被遮部分的线段画成虚线或不画，其他为实线。 α β 相交平面的画法： α β β α 如何画出两个相交平面？ 还可以这样画： 新知讲解——平面的基本性质 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. α a A α α b a b a P 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 上述三个关于平面的基本事实是人们经过长期观察与实践总结出来的，是几何推理的基本依据，也是我们进一步研究立体图形的基础. 利用基本事实1和基础事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论： 作用：确定一个平面． 追问 如你能用基本事实证明这三个推论吗？ 新知讲解——平面的基本性质 推论一 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． a 证明：如图，设点A是直线a外一点，在直线a上任取两点B、C， 由基本事实1，经过A、B、C三点确定一个平面α． 由基本事实2，直线a也在平面α内， ∴平面α经过直线a和点A． 即一条直线和这条直线外一点确定一个平面． 新知讲解——平面的基本性质 推论二 经过两条相交直线，有且只有一个平面． 证明：如图，设点A、B分别是直线a、b上异于P的点， 由基本事实1，经过A、B、P三点确定一个平面α． 由基本事实2，直线a和直线b也在平面α内， ∴平面α经过直线a和直线b．即两条相交直线确定一个平面． 新知讲解——平面的基本性质 推论三 经过两条平行直线，有且只有一个平面． 证明：∵当两条直线在同一个平面内，且不相交时叫做平行线， ∴两条平行直线a和b必在某个平面α内， 就是说过两条平行直线有一个平面α. 如果过a和b还有一个平面β，那么在a上的任意一点A一定在β内， 这样过点A和直线b有两个平面α和β，这和推论1矛盾， ∴过平行直线a和b的平面只有一个．即两平行线确定一个平面． 课堂总结 1.平面的含义： 2.平面的性质： (1)平面的特征： (2)平面的表示： ①用希腊字母表示：平面a、平面β、平面γ. ②用大写英文字母表示：平面ABCD、平面AC. ①平 ②无厚薄 ③无限延展的 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. (2)基本事实2 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 也可以简单说成“不共线的三点确定一个平面”. (1)基本事实1 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. (3)基本事实3 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 典例讲解 1. 求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． 证明： 可将原问题转化为已知AB∩AC=A,AB ∩BC=B,AC∩BC=C. 求证：直线AB、BC、AC 共面. α 证法一： ∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内． 题型一、点线共面问题 典例讲解 1. 求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． 题型一、点线共面问题 α 证法二： ∵l1∩l2＝A， ∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B， ∴B∈l2. 又∵l2⊂α， ∴B∈α. 同理可证C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3 ∴l3⊂α. ∴直线l1、l2、l3在同一平面内． 证法三： ∵A，B，C三点不在同一条直线上， ∴A，B，C 三点可以确定一个平面 . ∵A∈α，B∈α，A∈l2 ，B∈l2 ∴l2⊂α ， 同理l1⊂α，l3⊂α ∴直线l1、l2、l3在同一平面内. 方法总结 证明点、线共面的常用方法 （1）纳入法：先由部分点、直线确定一个平面，再证明其他点、直线也在这个平面内. （2）重合法：先说明一些点、直线在一个平面内，另一些点、直线在另一个平面内，再证明两个平面重合. 典例讲解 题型二、点共线、线共点问题 2. 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点． （1）求证：C，E，D1，F四点共面； （2）求证：CE，D1F，DA三线交于一点； ∴EF∥D1C，∴E，F，D1，C四点共面． （1）连接EF，D1C，A1B， ∵E为AB的中点，F为AA1的中点， ∴EF∥A1B. ∵在正方体 中A1B∥D1C， 证明： 典例讲解 题型二、点共线、线共点问题 2. 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点． （1）求证：C，E，D1，F四点共面； （2）求证：CE，D1F，DA三线交于一点； 证明： P （2）设D1F∩CE＝P，D1F⊂平面A1D1DA， CE⊂平面ABCD， ∴点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点． 又∵平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA， ∴P∈DA， 即CE，D1F，DA三线交于一点． 方法总结 证明三线共点、三点共线的方法 1.证明三线共点的方法 （1）首先说明两条直线共面且交于一点； （2）然后说明这个点在另外两个平面上，并且这两个平面相交； （3）最后证明得到的交线也过此点，从而得到三线共点. 2.证明三点共线的方法 （1）首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上； （2）选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上. 巩固练习 1、如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（ ） A. B. C. D. 巩固练习 巩固练习 2、下列叙述中，正确的是（ ） 巩固练习 P128练习 1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”． （1）书桌面是平面． （ ） （2）平面α与平面β相交，它们有有限个公共点． （ ） （3）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. （ ） × × √ （1）× 平面是无限延展的； （3）√ 由基本事实1可知正确． （2）× 由基本事实2可知一定有无限个公共点； 巩固练习 P128练习 2．下列命题正确的是（ ） （A）三点确定一个平面 （B）一条直线和一个点确定一个平面 （C）圆心和圆上两点可确定一个平面 （D）梯形可确定一个平面 A 错误，因为三点可能共线，也可能不共线； C 错误，因为圆上两点可能是直径的端点，此时三点共线． B 错误，因为可能点在直线上，或不在直线上； D 巩固练习 P128练习 3．不共面的四点可以确定几个平面？请画出图形说明你的结论． 不共面的四点可以确定4个平面． P A B C 巩固练习 P128练习 A B (1) M a a M (2) a (3) EVCapture4.1.2软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn 【详解】对于A：显然 、 、 在正方体的上底面，且三点不共线， 不在正方体的上底面，所以 、 、 、 四点不共面，故A错误； 对于B：如图， ，即 、 、 、 四点共面，即 、 、 三点共面，且三点不共线，又 平面 ，所以 、 、 、 四点不共面，故B错误； 对于C：显然 、 、 在正方体的下底面，且三点不共线， 不在正方体的下底面， 所以 、 、 、 四点不共面，故C错误； 对于D：如图，连接 ，则 ，又 ，所以 ， 所以 、 、 、 四点共面，故D正确. 故选：D A．因为 ， ，所以 B．因为 ， ，所以 C．因为 ， ， ，所以 D．因为 ， ，所以 A：因为 ，所以 ，故A错误； B：因为 ，所以 或 ，故B错误； C：因为 ，所以 ，故C错误； D：因为 ，所以 ，故D正确. 故选：D $$