高二数学期中模拟卷（江苏专用，苏教版2019选择性必修第二册第6～8章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期中模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第二册第6~8章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知空间向量，若与垂直，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 2．若，则（   ） A．5 B．20 C．60 D．120 3．在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 4．设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．某学校为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽样方法抽样调查，拟从美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知该校美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有20,30,50名学生，则不同的抽样结果共有（    ） A． B． C． D． 6．的展开式中的系数等于其二项式系数的最大值，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 7．已知点是棱长为2的正方体的底面上一个动点（含边界），若是的中点，且满足平面，则（ ） A．所在的平面与正方体表面的交线为五边形 B．所在的平面与正方体表面的交线为六边形 C．长度的最大值是2 D．长度的最小值是 8．在某独立重复实验中，事件相互独立，且在一次实验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中．若进行次实验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知随机变量 ，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，若正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，则（   ） A．四面体的体积为 B．三个向量，，可以构成空间向量的一组基 C．异面直线，所成的角是60° D．平面截该正方体的内切球所得截面的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 13．若为一组从小到大排列的数，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则的展开式中的系数为 . 14．有个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过桌面与另外一人握手，若要求所有人握手时手臂互不交叉，例如时，一共有4个人，以、、、表示，握手两人用一条线连结，共有2种方式，如图所示.记一次握手中，共有对相邻的两人握手，当时，的数学期望 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知集合. (1)从中取出个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？ (2)从集合中取出个元素，从集合中取出个元素，可以组成多少个无重复数字且比大的正整数？ 16．（15分）设．已知． (1)当时，求的展开式中项的系数； (2)若，求，，，…，中的最大值． 17．（15分）科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生．目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类．现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案． (1)若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回． （ⅰ）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率； （ⅱ）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率； (2)若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率． 18．（17分）如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角． (1)求证：平面平面； (2)设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围. 19．（17分）设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)定义函数，其中表示不超过的最大整数，如，设，数列的前项和为，求除以16的余数． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第二册第6~8章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知空间向量，若与垂直，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 2．若，则（   ） A．5 B．20 C．60 D．120 3．在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 4．设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．某学校为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽样方法抽样调查，拟从美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知该校美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有20,30,50名学生，则不同的抽样结果共有（    ） A． B． C． D． 6．的展开式中的系数等于其二项式系数的最大值，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 7．已知点是棱长为2的正方体的底面上一个动点（含边界），若是的中点，且满足平面，则（ ） A．所在的平面与正方体表面的交线为五边形 B．所在的平面与正方体表面的交线为六边形 C．长度的最大值是2 D．长度的最小值是 8．在某独立重复实验中，事件相互独立，且在一次实验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中．若进行次实验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知随机变量 ，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，若正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，则（   ） A．四面体的体积为 B．三个向量，，可以构成空间向量的一组基 C．异面直线，所成的角是60° D．平面截该正方体的内切球所得截面的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 13．若为一组从小到大排列的数，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则的展开式中的系数为 . 14．有个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过桌面与另外一人握手，若要求所有人握手时手臂互不交叉，例如时，一共有4个人，以、、、表示，握手两人用一条线连结，共有2种方式，如图所示.记一次握手中，共有对相邻的两人握手，当时，的数学期望 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知集合. (1)从中取出个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？ (2)从集合中取出个元素，从集合中取出个元素，可以组成多少个无重复数字且比大的正整数？ 16．（15分）设．已知． (1)当时，求的展开式中项的系数； (2)若，求，，，…，中的最大值． 17．（15分）科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生．目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类．现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案． (1)若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回． （ⅰ）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率； （ⅱ）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率； (2)若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率． 18．（17分）如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角． (1)求证：平面平面； (2)设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围. 19．（17分）设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)定义函数，其中表示不超过的最大整数，如，设，数列的前项和为，求除以16的余数． 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D B A C A B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BCD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由，得， 所以，所以， 3分 所以， 4分 从中取出个不同的元素组成三位数， 可以组成个三位数. 6分 （2）由（1）得，而， 若从集合中取元素，则不能作千位上的数字， 有个满足题意的正整数； 8分 若不从集合中取元素，则有个满足题意的自然数. 11分 所以，满足题意的自然数的个数共有. 13分 16．（15分） 【解析】（1）当时，中项的系数为， 2分 的系数为， 4分 所以的展开式中项的系数为； 7分 （2）由， ，， 又， 所以，解得：， 10分 假设第项系数最大， 即，即， 可得：， 13分 即第3项系数最大，也即最大； 15分 17．（15分） 【解析】（1）（i）设事件为“取出的人的档案中有女生档案”，则为“取出的人的档案中没有女生档案”. 第一个档案袋内有份男生档案和份女生档案，总共份档案. 第一次取到男生档案的概率为，因为不放回，此时剩下份档案， 其中男生有份，所以第二次取到男生档案的概率为，那么. 3分 所以.   5分 （ii）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率 设事件为“第次取出的档案是女生”，事件为“取出的人的档案中有女生档案”. 根据条件概率公式. 计算，即取出的人档案中有女生且第次取出的是女生的概率. 分两种情况：第一种情况，第一次取男生第二次取女生，概率为； 第二种情况，第一次取女生第二次取女生，概率为. 7分 所以. 已知，则. 10分 （2）设事件为“从第二个档案中取出的档案是女生”. 分两种情况： 若从第一个档案袋中取出的是男生档案，概率为， 此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案， 那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为. 12分 若从第一个档案袋中取出的是女生档案，概率为， 此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案， 那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为. 14分 所以. 15分 18．（17分） 【解析】（1）由四边形为矩形，得，二面角为直二面角，即平面平面， 平面平面，平面，则平面， 3分 又平面，则，由≌，得，即， 平面，于是平面， 6分 又平面， 所以平面平面. 8分 （2）过作平面，由（1）知平面，平面，则， 10分 以为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， ，则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 13分 由图知二面角为锐二面角， ， 15分 由，得， 所以的取值范围是. 17分 19．（17分） 【解析】（1）当时，，又，所以， 2分 当时，①， 故，② ①－②得，，即， 5分 又，故当时，， 故，即， 因为为首项为，公比为的等比数列， 故，故． 9分 （2）由（1）知，， 因为 ， 11分 当为奇数时，，故， 当为偶数时，，故， 所以 ， ， 15分 考虑当时，能被16整除，另外也能被16整除， 故除以16的余数为除以16的余数， ， 故除以16的余数为8． 17分 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第二册第6~8章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知空间向量，若与垂直，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【解析】∵与垂直，∴，解得， ∴，故. 故选：C. 2．若，则（   ） A．5 B．20 C．60 D．120 【答案】D 【解析】因为，所以或， 解得（舍去）或， 所以. 故选：D 3．在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意 ， 所以，解得，故选：B. 4．设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又因为，， 所以， 所以， 故选：A. 5．某学校为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽样方法抽样调查，拟从美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知该校美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有20,30,50名学生，则不同的抽样结果共有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，美术组要抽取的学生数为，音乐组要抽取的学生数为，舞蹈组要抽取的学生数为，由分步乘法计数原理可知，不同的抽样结果. 故选:C. 6．的展开式中的系数等于其二项式系数的最大值，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【解析】因为的展开式的通项公式为， 令，即时，的系数为. 而二项式系数最大值为， 所以，即.故选：A. 7．已知点是棱长为2的正方体的底面上一个动点（含边界），若是的中点，且满足平面，则（ ） A．所在的平面与正方体表面的交线为五边形 B．所在的平面与正方体表面的交线为六边形 C．长度的最大值是2 D．长度的最小值是 【答案】B 【解析】如图， 因为满足平面，则所在的平面与正方体表面的交线，上下平面交线平行于， 前后平面交线平行于，左右平面交线平行于， 所以所在的平面与正方体表面的交线为如图所示正六边形，故A错误，B正确； 以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 其中，分别是的中点， 则直线的方程为 因为满足平面，则在所以设线段上的点， 点，则， 所以当时，；当时，．故C，D错误． 故选：B． 8．在某独立重复实验中，事件相互独立，且在一次实验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中．若进行次实验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，则，，， 又相互独立，则，易知， 则， 对于选项A，因为， 当时，，所以选项A错误， 对于选项B，因为， 当时，，所以选项B错误， 对于选项C，因为，，所以，故选项C正确， 对于选项D，因为，， 所以，故选项D错误， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】A：，正确； B：，错误； C：，正确； D：，正确； 故选：ACD 10．已知随机变量 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，由题意，得 ，而 ，故 A 错误; 对于B，又 ，则 ，而 ， 所以 ，故 B正确; 对于C， 因为两个正态分布对应的正态密度曲线关于直线 对称， 所以 ，故 C 正确； 对于D，由对称性，得 ， 所以 ，故 D正确. 故选： BCD. 11．如图，若正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，则（   ） A．四面体的体积为 B．三个向量，，可以构成空间向量的一组基 C．异面直线，所成的角是60° D．平面截该正方体的内切球所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】对于A，三棱锥的高为，底面积， 所以，故A正确； 对于B，如图以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 故， 假设向量，，可以构成空间向量的一组基，则向量，，共面， 故存在唯一实数对，使得， 即，所以，无解，所以向量，，不共面， 所以三个向量，，可以构成空间向量的一组基，故B正确； 对于C，，， 则，所以，所以，故C错误； 对于D，设正方体内切球的球心为，则，， 则， 设平面的法向量为，则有，令，则， 所以点到平面的距离， 又正方体内切球得半径， 所以平面截该正方体的内切球所得截面圆的半径， 所以平面截该正方体的内切球所得截面的面积为，故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【解析】因为，，所以向量在向量上的投影向量的坐标为 故答案为： 13．若为一组从小到大排列的数，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则的展开式中的系数为 . 【答案】 【解析】由，得， 于是展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为： 14．有个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过桌面与另外一人握手，若要求所有人握手时手臂互不交叉，例如时，一共有4个人，以、、、表示，握手两人用一条线连结，共有2种方式，如图所示.记一次握手中，共有对相邻的两人握手，当时，的数学期望 . 【答案】 【解析】当时，按顺时针方向把人标记为，，，，，，用表示和握手. 若1和2握手，共有两种方法：，和， 若1和6握手，共有两种方法：，和， 若1和4握手，共有1种方法：，，所以一共有5种方法。 当时， 若1和2握手，剩下6个人，情况同，共5种方法， 若1和8握手，剩下6个人，情况同，共5种方法， 若1和4握手，则2和3握手，5，6，7，8之间握手情况同，一共2种，从而种方法； 若1和6握手，由对称性，情况同1和4握手，共2种方法； 所以，一共有种方法. 其中，共2种方法使得（相邻两人按顺时针或逆时针方向依次握手）， 共4种方法使得（类似，，，等）， 共8种方法使得（类似，，，等）， 的分布列如下： 2 3 4 故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知集合. (1)从中取出个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？ (2)从集合中取出个元素，从集合中取出个元素，可以组成多少个无重复数字且比大的正整数？ 【解析】（1）由，得， 所以，所以， 3分 所以， 4分 从中取出个不同的元素组成三位数， 可以组成个三位数. 6分 （2）由（1）得，而， 若从集合中取元素，则不能作千位上的数字， 有个满足题意的正整数； 8分 若不从集合中取元素，则有个满足题意的自然数. 11分 所以，满足题意的自然数的个数共有. 13分 16．（15分）设．已知． (1)当时，求的展开式中项的系数； (2)若，求，，，…，中的最大值． 【解析】（1）当时，中项的系数为， 2分 的系数为， 4分 所以的展开式中项的系数为； 7分 （2）由， ，， 又， 所以，解得：， 10分 假设第项系数最大， 即，即， 可得：， 13分 即第3项系数最大，也即最大； 15分 17．（15分）科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生．目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类．现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案． (1)若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回． （ⅰ）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率； （ⅱ）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率； (2)若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率． 【解析】（1）（i）设事件为“取出的人的档案中有女生档案”，则为“取出的人的档案中没有女生档案”. 第一个档案袋内有份男生档案和份女生档案，总共份档案. 第一次取到男生档案的概率为，因为不放回，此时剩下份档案， 其中男生有份，所以第二次取到男生档案的概率为，那么. 3分 所以.   5分 （ii）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率 设事件为“第次取出的档案是女生”，事件为“取出的人的档案中有女生档案”. 根据条件概率公式. 计算，即取出的人档案中有女生且第次取出的是女生的概率. 分两种情况：第一种情况，第一次取男生第二次取女生，概率为； 第二种情况，第一次取女生第二次取女生，概率为. 7分 所以. 已知，则. 10分 （2）设事件为“从第二个档案中取出的档案是女生”. 分两种情况： 若从第一个档案袋中取出的是男生档案，概率为， 此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案， 那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为. 12分 若从第一个档案袋中取出的是女生档案，概率为， 此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案， 那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为. 14分 所以. 15分 18．（17分）如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角． (1)求证：平面平面； (2)设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围. 【解析】（1）由四边形为矩形，得，二面角为直二面角，即平面平面， 平面平面，平面，则平面， 3分 又平面，则，由≌，得，即， 平面，于是平面， 6分 又平面， 所以平面平面. 8分 （2）过作平面，由（1）知平面，平面，则， 10分 以为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， ，则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 13分 由图知二面角为锐二面角， ， 15分 由，得， 所以的取值范围是. 17分 19．（17分）设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)定义函数，其中表示不超过的最大整数，如，设，数列的前项和为，求除以16的余数． 【解析】（1）当时，，又，所以， 2分 当时，①， 故，② ①－②得，，即， 5分 又，故当时，， 故，即， 因为为首项为，公比为的等比数列， 故，故． 9分 （2）由（1）知，， 因为 ， 11分 当为奇数时，，故， 当为偶数时，，故， 所以 ， ， 15分 考虑当时，能被16整除，另外也能被16整除， 故除以16的余数为除以16的余数， ， 故除以16的余数为8． 17分 9 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$