2025年九年级中考数学一轮复习 第三章 函数 第三讲 反比例函数

中考数学一轮复习 第三章 函数 第三讲 反比例函数 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•随州期末）若点A（x1，﹣3），B（x2，2），C（x3，1），D（1，6）在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x3＜x1＜x2 B．x1＜x2＜x3 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x2＜x1 2．（2025•浙江一模）已知点A（x1，y1），B（x1+m，y1+2）两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（　　） A．若k＞0，则m＜0 B．若k＜0，则m可能小于0也可能大于0 C．若k＞0，点A，B在同一象限，则m＞0 D．若k＜0，点A，B在不同象限，则m＞0 3．（2025•嘉峪关开学）如图，嘉淇用绘图软件绘制曲线m；，且k≠0）与直线l：y＝x交于点A（2，2），现将直线l向上平移n个单位长度得到直线l′，交曲线m于点B，交x轴于点C．若直线AB交x轴于点D，点C与点D恰好关于原点对称，则n＝（　　） A． B．2 C． D．3 4．（2024秋•织金县期末）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥OB交y轴于点A，BC⊥OC，∠AOB＝∠BOC＝30°，AB＝1，反比例函数恰好经过点C，则k的值为（　　） A． B． C． D． 5．（2025•海安市一模）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是18，则点B的坐标为（　　） A．（6，4） B．（4，6） C．（5，4） D．（4，5） 6．（2025•阳西县一模）若点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3），在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 7．（2024秋•淮南期末）已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．其图象经过点（5，1） B．其图象分别位于第一、三象限 C．当x＞0时，y随x的增大而减小 D．当x＞1时，y＜5 8．（2025春•海淀区校级月考）若A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数的图象上，且0＜x1＜x2，则（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．y1＝﹣y2 9．（2025•秦皇岛一模）若矩形的面积为6cm2，则它的长ycm与宽xcm之间的函数关系用图象表示大致是（　　） A． B． C． D． 10．（2024秋•临清市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y＝cx﹣b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 11．（2025•未央区一模）已知反比例函数，当1≤x≤3时，y的最小值为﹣9，则k的值为 　 　 ． 12．（2025•永寿县校级一模）如图，在平面直角坐标系中，▱ABOC的顶点B在x轴负半轴上，顶点C在反比例函数（x＜0）的图象上，若点A的坐标为（﹣3，3），▱ABOC的面积为6，则k的值为 　 　 ． 13．（2025•雁塔区校级二模）如图是反比例函数的图象，写出一个符合要求的整数k的值是 　 　 ． 14．（2024秋•利津县期末）如图，曲线AB是二次函数xy＝﹣x2+6x+3图象的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点），曲线BC是反比例函数图象的一部分，A，C两点的纵坐标相等，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线．若点P（2025，m）和Q（x，n）是波浪线上的点，则m+n的最大值为 　 　 ． 15．（2025春•广州月考）如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，并与直角边AB相交于点C，则△OBC的面积为 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．（2025•电白区模拟）如图，△ABC的各顶点都在反比例函数的图象上，其中A（m﹣3，﹣4），B（4﹣m，6）． （1）求反比例函数的解析式； （2）若反比例函数图象上的点C的横坐标为﹣12，将线段BC平移到线段AD（点B与点A重合），请判断四边形ABCD的形状． 17．（2025•湖北二模）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数为的图象交于A（1，a），B（3，1）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出时x的取值范围； （3）过线段AB上的动点P，作x轴的垂线，垂足为点M，其交函数y2的图象于点Q，若，求点P的坐标． 18．（2025•广州模拟）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝mx（m≠0）的图象和反比例函数的图象都经过点A（2，4）． （1）求该正比例函数和反比例函数的解析式； （2）当函数y＝mx（m≠0）的值大于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围． 19．（2025•景德镇模拟）如图，直线y＝kx+b与x轴交于点D，且与双曲线交于A、C两点，已知点C（3，2），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，B（﹣1，0）． （1）①求双曲线解析式； ②求点D的坐标． （2）观察图象，不等式的解集为　 　 ． 20．（2025•芜湖一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象相交于第一，三象限内的A（3，4），B（a，﹣2）两点，与x轴交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）在第三象限的反比例函数图象的一点P，使得△POC的面积等于18，求点P的坐标． 21．（2025•长清区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数交于点B（1，m）． （1）求反比例函数的表达式； （2）点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数y＝2x+b图象于点N，连接BM，若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，求△BMN的面积； （3）点P为反比例函数 图象上一点，连接PB，若∠PBA＝∠BAO，求点P的坐标． 22．（2025•峄城区一模）一次函数y＝x+m经过点A（﹣3，0），交反比例函数y于点B（n，4）． （1）求m，n，k． （2）点C在反比例函数y第一象限的图象上，若S△AOC＜S△AOB，直接写出C的横坐标a的取值范围． 23．（2025•肇州县模拟）如图，直线AB：y1＝ax+b与反比例函数交于点A（﹣2，4），B（﹣4，m），连接AO，BO． （1）求反比例函数及直线AB的表达式； （2）求△OAB的面积； （3）在直线l：x＝1上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OAB？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点P的坐标． 中考数学一轮复习 第三章 函数 第三讲 反比例函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D B A B D A C A 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•随州期末）若点A（x1，﹣3），B（x2，2），C（x3，1），D（1，6）在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x3＜x1＜x2 B．x1＜x2＜x3 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x2＜x1 【分析】利用点在反比例函数图象上这一条件，得出点的横纵坐标与函数表达式之间的关系，进而求出相关数值并比较大小． 【解答】解：设反比例函数的表达式为为常数，k≠0）． 由条件可得：，k＝6， ∵A（x1，﹣3），B（x2，2），C（x3，1）在反比例函数图象上， 解得x1＝﹣2，x2＝3，x3＝6， 则x1＜x2＜x3， 故选：B． 【点评】本题以考查反比例函数的性质知识点，熟练掌握该知识点是关键． 2．（2025•浙江一模）已知点A（x1，y1），B（x1+m，y1+2）两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（　　） A．若k＞0，则m＜0 B．若k＜0，则m可能小于0也可能大于0 C．若k＞0，点A，B在同一象限，则m＞0 D．若k＜0，点A，B在不同象限，则m＞0 【分析】根据题意，判断k＞0和k＜0，该反比例函数的增减性，确定m的取值范围，即可求解； 【解答】解：A、若k＞0，则y随x的增大而减小，不知道y1的值在哪个象限，无法判断m＜0，故A说法错误，不符合题意； B．若k＜0，点A（x1，y1），B（x1+m，y1+2）两点可以在同一象限，也可以不在同一象限，则m可能小于0也可能大于0，故B说法正确，符合题意； C．若k＞0，点A，B在同一象限，则y随x的增大而减小，所以m＜0，故C说法错误，不符合题意； D．若k＜0，点A，B在不同象限，则m＜0，故D说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握数形结合思想成为解题的关键． 3．（2025•嘉峪关开学）如图，嘉淇用绘图软件绘制曲线m；，且k≠0）与直线l：y＝x交于点A（2，2），现将直线l向上平移n个单位长度得到直线l′，交曲线m于点B，交x轴于点C．若直线AB交x轴于点D，点C与点D恰好关于原点对称，则n＝（　　） A． B．2 C． D．3 【分析】根据曲线m；，且k≠0）与直线l：y＝x交于点A（2，2），得到k＝2×2＝4，继而得到反比例函数的解析式为；根据直线l向上平移n个单位长度得到直线l′，确定直线l′的解析式为y＝x+n，继而确定C（﹣n，0），得到CO＝|﹣n|＝n，根据点C与点D恰好关于原点对称，得到OD＝CO＝|﹣n|＝n，于是得到D（n，0），根据OA∥BC，得到，得到点A为BD的中点，设B（a，b）根据中点坐标公式，得a+n＝4，b+0＝4，得到a＝4﹣n，b＝4，于是B（4﹣n，4），根据点B在上，得到4（4﹣n）＝4，解得n＝3，解答即可． 【解答】解：由条件可知k＝2×2＝4， ∴反比例函数的解析式为； ∴直线l′的解析式为y＝x+n， ∴C（﹣n，0）， ∴CO＝|﹣n|＝n， ∵点C与点D恰好关于原点对称， ∴OD＝CO＝|﹣n|＝n， ∴D（n，0）， ∵OA∥BC， ∴， ∴点A为BD的中点， 设B（a，b），则a+n＝4，b+0＝4， ∴a＝4﹣n，b＝4， ∴B（4﹣n，4）， ∵点B在上， ∴4（4﹣n）＝4， 解得n＝3． 故选：D． 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，交点坐标的意义，对称的特点，平行线分线段成比例定理，中点坐标公式，熟练掌握定理和公式是解题的关键． 4．（2024秋•织金县期末）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥OB交y轴于点A，BC⊥OC，∠AOB＝∠BOC＝30°，AB＝1，反比例函数恰好经过点C，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据勾股定理，算出点C的横坐标和纵坐标，即可求出k的值． 【解答】解：在Rt△AOB中， ∠AOB＝30°，AB＝1， ∴AO＝1×2＝2， BO； 在Rt△COB中， ∠COB＝30°，BO， ∴BC， OC． ∴C点的纵坐标为：； C点的横坐标为：， ∴k， 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据勾股定理和函数的坐标特征来解答． 5．（2025•海安市一模）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是18，则点B的坐标为（　　） A．（6，4） B．（4，6） C．（5，4） D．（4，5） 【分析】先求出反比例函数，设OB的解析式为y＝mx，由OB经过D（3，2），得出OB的解式为，设，且a＞0，由平行四边形的性质得BC∥OA，S▱OABC＝2S△OBC，则，，代入面积公式即可得出结果． 【解答】解：∵反比例函数的图象经过点D（3，2） ∴k＝3×2＝6， ∴反比例函数的解析式为， ∵OB经过原点O， ∴设直线OB的解析式为y＝mx（m≠0）， ∵OB经过点D（3，2）， ∴2＝3m， ∴， ∵直线OB的解析式为， ∵反比例函数经过点C， ∴设，且a＞0， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴BC∥OA，S▱OABC＝2S△OBC， ∴点B的纵坐标为， ∵OB的解析式为， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形OABC的面积是18， ∴S平行四边形OABC＝2S△OBC， 解得：或（舍去）， ∴点B的坐标是（6，4）， 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、平行四边形的性质、三角形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．（2025•阳西县一模）若点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3），在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 【分析】根据所给反比例函数解析式，结合反比例函数的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为反比例函数解析式为y， 所以反比例函数位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小． 又因为点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3），且﹣3＜﹣1＜0＜3， 所以y1＜y2＜y3． 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 7．（2024秋•淮南期末）已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．其图象经过点（5，1） B．其图象分别位于第一、三象限 C．当x＞0时，y随x的增大而减小 D．当x＞1时，y＜5 【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、当x＝5时，， ∴此函数图象过点（5，1），正确，不符合题意； B、∵k＝5＞0， ∴此函数图象分别位于第一、三象限，正确，不符合题意； C、∵k＝5＞0， ∴当x＞0时，y随着x的增大而减小，正确，不符合题意； D、当x＝1时，y＝5， ∴当x＞1时，0＜y＜5，原说法错误，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 8．（2025春•海淀区校级月考）若A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数的图象上，且0＜x1＜x2，则（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．y1＝﹣y2 【分析】由函数解析式得反比例函数图象分布在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可判断求解． 【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数的图象上，且0＜x1＜x2， ∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵0＜x1＜x2， ∴y1＞y2， 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 9．（2025•秦皇岛一模）若矩形的面积为6cm2，则它的长ycm与宽xcm之间的函数关系用图象表示大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】写出y与x的函数关系式，然后根据x的范围即可判断． 【解答】解：长ycm与宽xcm之间的函数关系是：y，其中x＞0． 故选：C． 【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 10．（2024秋•临清市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y＝cx﹣b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，再根据反比例函数的图象与一次函数图象与系数的关系可得答案． 【解答】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数y＝cx﹣b经过第一、三、四象限， 只有选项A符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，掌握图象的性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2025•未央区一模）已知反比例函数，当1≤x≤3时，y的最小值为﹣9，则k的值为 　﹣9　 ． 【分析】根据k＜0可以确定反比例函数图象的位置，再根据函数的性质，确定出当x＝1时，y＝﹣9，然后确定出k的值． 【解答】解：∵k＜0， ∴反比例函数y图象在第二、四象限内， ∴在第四象限内y随x的增大而增大， ∵当1≤x≤3时，y的最小值为﹣9， ∴当x＝1时，y的最小值为﹣9， ∴k＝1×（﹣9）＝﹣9， 故答案为：﹣9． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 12．（2025•永寿县校级一模）如图，在平面直角坐标系中，▱ABOC的顶点B在x轴负半轴上，顶点C在反比例函数（x＜0）的图象上，若点A的坐标为（﹣3，3），▱ABOC的面积为6，则k的值为 　﹣3　 ． 【分析】根据平行四边形ABOC的面积及点A的坐标，可求出BO的长，再结合平行四边形的性质得出点C的坐标即可解决问题． 【解答】解：∵平行四边形ABOC的面积为6，且点A坐标为（﹣3，3）， ∴BO， ∴AC＝BO＝2． 又∵AC∥x轴， ∴点C的坐标为（﹣1，3）． 将点C坐标代入反比例函数解析式得， k＝﹣1×3＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质及反比例函数的图象与性质是解题的关键． 13．（2025•雁塔区校级二模）如图是反比例函数的图象，写出一个符合要求的整数k的值是 　1（答案不唯一）　 ． 【分析】k＞0时，图象是位于一、三象限；k＜0时，图象是位于二、四象限．反比例函数是常数，k≠0）的图象在第一象限，则k＞0，再根据反比例函数的图象经过点A（2，2），找出符合上述条件的k的一个值即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象在一象限， ∴k＞0， 又∵反比例函数的图象经过点A（2，2）时，k＝2×2＝4． ∴0＜k＜4， ∴k的值可以是1． 故答案为：1（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查反比例函数图象的性质，熟练掌握该知识点是关键． 14．（2024秋•利津县期末）如图，曲线AB是二次函数xy＝﹣x2+6x+3图象的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点），曲线BC是反比例函数图象的一部分，A，C两点的纵坐标相等，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线．若点P（2025，m）和Q（x，n）是波浪线上的点，则m+n的最大值为 　16　 ． 【分析】由抛物线求出点A、点B，由点B求出双曲线k，再求出C，得到12个单位一循环，求出m、n的最大值即可求解． 【解答】解：∵点A在抛物线y＝﹣x2+6x+3上， ∴A（0，3）， 又∵点B是抛物线y＝﹣x2+6x+3的顶点，点B在双曲线上， ∴y＝﹣（x﹣3）2+12， ∴B（3，12）， ∴k＝xy＝3×12＝36， ∴双曲线解析式为， ∵A，C两点的纵坐标相等， 当y＝3时，， ∴点C（12，3）， ∵2025＝168×12+9， ∴点P的纵坐标和x＝9时的纵坐标相等， 当x＝9时，， ∴m＝4， ∵波浪线的最高点为二次函数顶点， ∴n的最大值为12， ∴m+n最大值为16． 故答案为16． 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 15．（2025春•广州月考）如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，并与直角边AB相交于点C，则△OBC的面积为 　6　 ． 【分析】过D点作x轴的垂线交x轴于E点，连接AD，根据直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形三线合一，可得，由，，即可解答． 【解答】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，连接AD， 由条件可知， ∴， 由条件可知， ∴， ∵， ∴S△ABO＝2S△ADO＝2×2S△EDO＝8， ∵， ∴S△OBC＝S△ABO﹣S△AOC＝8﹣2＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查反比例函数k的几何意义，直角三角形的性质，等腰三角形三线合一，关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出k的值． 三．解答题（共8小题） 16．（2025•电白区模拟）如图，△ABC的各顶点都在反比例函数的图象上，其中A（m﹣3，﹣4），B（4﹣m，6）． （1）求反比例函数的解析式； （2）若反比例函数图象上的点C的横坐标为﹣12，将线段BC平移到线段AD（点B与点A重合），请判断四边形ABCD的形状． 【分析】（1）由题意得到﹣4（m﹣3）＝6（4﹣m），求得m的值，据此计算即可求解； （2）由平移的性质知四边形ABCD是平行四边形，过点A，C分别作x轴的垂线AG，FH，证明△BCF≌△ABG（SAS），推出四边形ABCD是菱形．证明∠ABC＝90°，即可证明四边形ABCD是正方形． 【解答】解：（1）∵A（m﹣3，﹣4），B（4﹣m，6）恰好落到双曲线上， ∴﹣4（m﹣3）＝6（4﹣m），解得m＝6． ∴A（3，﹣4）， 将A（3，﹣4）代入y，得到k＝﹣12． ∴反比例函数解析式为y； （2）四边形ABCD是正方形． 理由：∵反比例函数图象上的点C的横坐标为﹣12， ∵点C（﹣12，1）， 线段BC沿BA平移到线段AD位置，可得BC∥AD，BC＝AD， 所以四边形ABCD是平行四边形． 过点A，C分别作x轴的垂线AG，FH，（即AG⊥x轴，FH⊥x轴）过点B作x轴的平行线FG． ∴AG∥FH， ∴FG⊥CF，FG⊥AG． ∴G（3，6），F（﹣12，6）， 由坐标可知AG＝BF＝10，BG＝CF＝5， ∴△BCF≌△ABG（SAS）， ∴BC＝AB，∠CBF＝∠BAG， ∴四边形ABCD是菱形． ∵∠BAG+∠ABG＝90°， ∴∠CBF+∠ABG＝90°． ∴∠ABC＝90°． ∴四边形ABCD是正方形． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 17．（2025•湖北二模）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数为的图象交于A（1，a），B（3，1）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出时x的取值范围； （3）过线段AB上的动点P，作x轴的垂线，垂足为点M，其交函数y2的图象于点Q，若，求点P的坐标． 【分析】（1）先把A（1，a）、B（3，1）代入得a＝3，再代入y1＝kx+b，解二元一次方程组得k＝﹣1，b＝4，即可得一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据函数的图象即可求解； （3）设P（c，﹣c+4），得M（c，0），，根据题意列方程，求出a，即可求解． 【解答】解：（1）∵一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数为的图象交于A（1，a），B（3，1）两点，将点A，点B的坐标代入得： ， 解得：， 将点A，点B的坐标代入y1＝kx+b，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为y1＝﹣x+4，反比例函数的解析式为； （2）x的取值范围为0＜x＜1或x＞3；理由如下： ∵， ∴， ∵由（1）得A（1，3）， ∴观察图象，得：时，x的取值范围为0＜x＜1或x＞3， ∴时，x的取值范围为0＜x＜1或x＞3； （3）设P（c，﹣c+4）， ∵PM⊥x轴， ∴M（c，0），， ∴， 解得：c＝2， ∴P（2，2）． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，解二元一次方程组，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． 18．（2025•广州模拟）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝mx（m≠0）的图象和反比例函数的图象都经过点A（2，4）． （1）求该正比例函数和反比例函数的解析式； （2）当函数y＝mx（m≠0）的值大于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围． 【分析】（1）将A点坐标代入两个函数解析式求出m，k值即可； （2）求得交点坐标，找出正比例函数图象位于反比例函数图象上方时x的范围即可． 【解答】解：（1）∵正比例函数y＝mx（m≠0）的图象和反比例函数的图象都经过点A（2，4）． ∴4＝2m，4， ∴m＝2，k＝8， ∴正比例函数解析式为：y＝2x；反比例函数解析式为：y； （2）∵正比例函数y＝mx（m≠0）的图象和反比例函数的图象都经过点A（2，4）， ∴另一个交点为（﹣2，﹣4），如图， 由图象可知，当函数y＝mx（m≠0）的值大于反比例函数的值时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数的中心对称性，数形结合是解题的关键． 19．（2025•景德镇模拟）如图，直线y＝kx+b与x轴交于点D，且与双曲线交于A、C两点，已知点C（3，2），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，B（﹣1，0）． （1）①求双曲线解析式； ②求点D的坐标． （2）观察图象，不等式的解集为　0＜x＜1或x＞3　 ． 【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式； ②根据全等三角形的判定和性质求得A点坐标，再根据函数图象求解即可； （2）利用图象，求得直线位于双曲线的下方部分的点的横坐标的取值范围即可． 【解答】解：（1）①把点C（3，2）代入中，可得， 解得m＝6， ∴双曲线的解析式为； ②过点C作GN⊥x轴，交x轴于点N，过点A作AG⊥GN，垂足为G ∴∠BDC＝∠AGC＝90°， 由条件可知AC＝BC，∠BCN+∠CBN＝∠BCN+∠ACG＝90°， ∴∠CBN＝∠ACG ∴△BCN≌△CAG， ∵C（3，2），B（﹣1，0）， ∴CG＝BN＝4，AG＝CN＝2， ∴GN＝CG+CN＝6， ∴A（1，6）， 由条件可得， 解得， ∴一次函数解析式为y＝﹣2x+8， 当y＝0时，﹣2x+8＝0，解得x＝4， ∴点D的坐标为（4，0）； （2）由图可得不等式的解集为：0＜x＜1或x＞3． 【点评】本题考查求反比例函数的解析式、坐标与图形性质、反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练掌握反比例函数的图象与性质，利用数形结合思想求解不等式的解集是解答的关键． 20．（2025•芜湖一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象相交于第一，三象限内的A（3，4），B（a，﹣2）两点，与x轴交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）在第三象限的反比例函数图象的一点P，使得△POC的面积等于18，求点P的坐标． 【分析】（1）将A（3，4）代入，即可确定m＝12，将点B（a，﹣2）代入可确定点B坐标，将A，B坐标代入y1＝kx+b，即可确定一次函数表达式； （2）先求出一次函数与x轴交点坐标，可以得到OC的长度，通过设P点坐标为，再利用三角形面积建立等量关系即可确定点P坐标． 【解答】解：（1）将A（3，4）代入，得：m＝3×4＝12， ∴反比例函数的表达式为． 将点B（a，﹣2）代入，可得a＝﹣6， ∴B（﹣6，﹣2）． 把A（3，4），B（﹣6，﹣2）代入y1＝kx+b，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为． （2）一次函数的表达式为， 令y＝0，则，x＝﹣3． ∴点C坐标为（﹣3，0）， ∵点P在反比例函数的图象上， 设P点坐标为， ∵S△POC＝18， ∴， 解得：n＝﹣1或n＝1， 又∵点P在第三象限， ∴点P坐标为（﹣1，﹣12）． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数表达式是关键． 21．（2025•长清区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数交于点B（1，m）． （1）求反比例函数的表达式； （2）点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数y＝2x+b图象于点N，连接BM，若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，求△BMN的面积； （3）点P为反比例函数 图象上一点，连接PB，若∠PBA＝∠BAO，求点P的坐标． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，则点B在MN的中垂线上，进而求解； （3）取AB的中点M，过点M作MH⊥AB交x轴于点H，点M是AB的中点且MH⊥AB，则∠PBA＝∠BAO，进而求解． 【解答】解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝﹣4+b， 解得：b＝4， 即一次函数的表达式为：y＝2x+4， 当x＝1时，y＝2x+4＝6，则点B（1，6）， 将点B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×6＝6， 即反比例函数表达式为：y； （2）设点N的坐标为（t，2t+4），则点M（t，）， 若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，则点B在MN的中垂线上， 则（2t+4）＝6， 解得：t＝1（舍去）或t＝3， 则点M、N的坐标分别为：（3，2）、（3，10）， 则S△BMNMN•（xM﹣xB）（10﹣2）×（3﹣1）＝8； （3）取AB的中点M，过点M作MH⊥AB交x轴于点H， ∵点M是AB的中点且MH⊥AB， 则∠PBA＝∠BAO， 由中点坐标公式得，点M（，3）， 在Rt△AMH中，由AB的表达式知，tan∠BAO＝2，则tan∠MHA， 则直线MH表达式中的k值为， 则直线MH的表达式为：y（x）+3， 令y（x）+3＝0，则x，即点H（，0）， 由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：yx， 联立yx和y并解得：x＝1（舍去）或， 则点P的坐标为：（，）． 【点评】本题考查了反比例函数综合题，涉及到一次函数和反比例函数的图象和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质等，综合性强，难度适中． 22．（2025•峄城区一模）一次函数y＝x+m经过点A（﹣3，0），交反比例函数y于点B（n，4）． （1）求m，n，k． （2）点C在反比例函数y第一象限的图象上，若S△AOC＜S△AOB，直接写出C的横坐标a的取值范围． 【分析】（1）根据点与图象的关系列方程求解； （2）根据三角形的面积公式及数形结合求解． 【解答】解：（1）由题意得：﹣3+m＝0，n+m＝4，k＝4n， 解得：m＝3，n＝1，k＝4； （2）∵S△AOC＜S△AOB， ∴点B到x轴的距离大于点C到x轴的距离， ∴点C位于点B的右侧， ∴a＞1． 【点评】本题考出来反比例函数与一次函数的交点，掌握点与图象的关系及数形结合思想是解题的关键． 23．（2025•肇州县模拟）如图，直线AB：y1＝ax+b与反比例函数交于点A（﹣2，4），B（﹣4，m），连接AO，BO． （1）求反比例函数及直线AB的表达式； （2）求△OAB的面积； （3）在直线l：x＝1上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OAB？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）由待定系数法求解析式； （2）先求一次函数与y轴交点坐标，根据面积公式计算； （3）根据S△PAB＝S△OAB可得OP∥AB，再分两种情况进行讨论即可． 【解答】解：（1）把A（﹣2，4），代入y2得k＝（﹣2）×4＝﹣8， ∴反比例函数的表达式为y2， 把B（﹣4，m）代入y2得m＝2， ∴B（﹣4，2）， 把A（﹣2，4），B（﹣4，2）分别代入y1＝ax+b（a≠0）得， 解得， ∴一次函数解析式为y1＝x+6； （2）如图： 设直线y＝x+6交y轴于C， 在一次函数y＝x+6中，令x＝0，得y＝6， ∴C（0，6）， ∴S△OAB＝S△OBC﹣S△OAC6×46×2＝6， ∴△OAB的面积为6； （3）存在． 过点O作OP1∥AB，交直线x＝1于一点，则这个点即为点P． 由平行线之间的距离处处相等，可以得出S△OAB＝S△PAB． ∵直线y＝x+6平行直线OP1 ∴直线OP1的直线解析式为y＝x． ∴当x＝1时，y＝1， 此时点P1（1，1）； 设直线AB交直线x＝1于点D， 把x＝1代入y＝x+6，得y＝7 ∴D（1，7）， ∴P1D＝7﹣1＝6， ∴P2D＝P1D＝6， ∴P2（1，13）， 综上所述，P1（1，1）或P2（1，13）． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、待定系数法，三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，利用平行线之间的距离处处相等解答是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/29 14:16:26；用户：郭海松；邮箱：13597576921；学号：39987097 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$