2025年九年级中考数学一轮复习 第三章 函数 第二讲 一次函数

中考数学一轮复习 第三章 函数 第二讲 一次函数 一．选择题（共10小题） 1．（2025春•杨浦区校级月考）一次函数y＝kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（　　） A．y随x的增大而增大 B．图象与y轴交点在x轴的下方 C．图象与x轴交点在y轴的左侧 D．图象不经过第三象限 2．（2024秋•太湖县期末）把直线y＝3x向下平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（　　） A．y＝3（x+1） B．y＝3x+1 C．y＝3（x﹣1） D．y＝3x﹣1 3．（2024秋•泗县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+m与y＝nx+1的图象分别与y轴交于点（0，4），（0，1），则关于x，y的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•金沙县期末）在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离C站的路程y1，y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．有下列说法：①A，B两地相距为420km；②两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2＝30x﹣60；③客车离C站的路程y1与行驶时间x之间的函数关系式为：y1＝﹣60x+360；④客、货两车在小时相遇．其中正确的个数有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2025•镇坪县一模）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，当t＝1（min）时，h＝1.1（cm），当t＝5（min）时，h＝2.7（cm），则当时间t为10（min）时，对应的高度h为（　　） A．3.3cm B．3.9cm C．4.7cm D．5.4cm 6．（2025•南安市模拟）已知一次函数y＝（m﹣3）x+n+3的图象如图所示，则点P（m﹣n，2n）所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2025•湖北二模）如图，一次函数y＝kx+3（k为常数且k≠0）与y＝3x﹣1的图象相交于点M，且点M的纵坐标为8，则关于x、y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 8．甲、乙在一段长2000米的直线公路上进行跑步练习，起跑时甲在起点，乙在甲的前面，若甲、乙同时起跑至甲到达终点的过程中，甲乙之间的距离y（米）与时间x（秒）之间的函数关系如图所示．有下列说法： ①甲的速度为5米/秒；②100秒时甲追上乙；③经过50秒时甲乙相距50米；④甲到终点时，乙距离终点300米． 其中正确的说法有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．（2025•西安校级三模）直线y＝﹣x﹣2与两坐标轴围成的图形的面积是（　　） A．2 B．4 C．1 D． 10．（2024秋•泗县期末）函数y＝20x+4的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二．填空题（共5小题） 11．一次函数向上平移a个单位后，经过点（﹣3，2a），则平移后的解析式为 　 　 ． 12．（2024秋•金沙县期末）如图，在平面直角坐标系中，点N（1，1）在直线l：y＝x上，过点N1作N1M1⊥l，交x轴于点M1；过点M1作M1N2⊥x轴，交直线于N2；过点N2作N2M2⊥l，交x轴于点M2；过点M2作M2N3⊥x轴，交直线l于点N3；…，按此作法进行下去，则点M2022的坐标为 　 　 ． 13．（2024秋•海州区期末）已知A（m，11）点在一次函数y＝2x﹣3的图象上，则m＝ 　 　 ． 14．已知：关于x的函数y＝（2m﹣3）x+（1﹣m），y随x的增大而减少，并且与y轴的交点在y轴的负半轴，则m的取值范围是 　 　 ． 15．（2025春•长宁区校级月考）若直线l1：y＝kx+b平行于直线l2：y＝﹣5x+3，且l1经过点（2，﹣1），则b＝　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．（2024秋•丹巴县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与正比例函数yx的图象交于点C（m，6）． （1）求m的值与一次函数解析式； （2）在x轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2025•长安区一模）如图，直线l：y＝﹣3x+5分别与y轴及直线y＝2交于点A，B，点C与点B关于y轴对称，直线y＝2与y轴交于点E，D（﹣2，0），连接CD． （1）直接写出点B，C的坐标，并求直线DC的表达式； （2）设S＝S△ABE+S四边形DCEO，求S的值； （3）设直线l关于y轴对称的直线为l′，请通过计算说明点D是否在l′上． 18．（2024秋•蒙山县期末）某商店计划购进A、B两种型号的保温水杯进行销售，若购进A型号保温水杯和B型号保温水杯各6个共花费150元，购进A型号保温水杯4个和B型号保温水杯3个共花费85元． （1）求购进A型号保温水杯和B型号保温水杯的单价； （2）若该商店购进了A、B两种型号保温水杯共100个，其中A型号保温水杯售价为18元，B型号保温水杯售价为25元，设购进A型号保温水杯x个，获得总利润为w元． ①求w关于x的函数关系式． ②要使销售保温水杯的利润最大，且所获利润不低于进货价格的70%，请你帮该商店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值． 19．（2024秋•东营期末）2024年4月25日20点58分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同． （1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？ （2）已知毕业班的同学一共有300人，要求购买的A款文化衫的数量不少于B款文化衫数量的两倍，学校应如何设计采购方案才能使得购买费用最低，最低费用为多少？ 20．（2025•东营一模）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品1件共需50元；购进甲商品1件和乙商品2件共需70元． （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲商品以每件20元出售，乙商品以每件50元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共60件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润． 21．（2025•新城区校级三模）我们知道，液体的饱和蒸气压与外界压强相等时的温度，即液体沸腾时候的温度，就叫做液体的沸点．勤学善思的瑶瑶同学想通过数学知识测得生活中某种液体的沸点，通过询问老师得知，在均匀加热的情况下，该液体的温度与加热时间之间满足一次函数关系．瑶瑶同学回到家后在保证安全的情况下，采用均匀加热的方式，记录了加热时间x与该液体的温度y之间的几组对应值，如表． 加热时间x/分钟 … 2 3 4 5 6 … 液体温度y/℃ … 36 44 52 60 68 … 请你根据表中信息，解答下列问题： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）瑶瑶同学观察发现，当加热到9分钟时，该液体沸腾了，请你计算该液体的沸点． 22．（2025春•苏州月考）如图，将边长为5的菱形ABCD放在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，BC边与x轴重合，且AO：BO＝4：3． （1）求C点的坐标； （2）则CD所在直线的函数表达式． 23．（2025•沈阳模拟）某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为400元，B型电脑每台利润为500元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ （3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，并且无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变，求a的值． 中考数学一轮复习 第三章 函数 第二讲 一次函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A A C D A A A D 一．选择题（共10小题） 1．（2025春•杨浦区校级月考）一次函数y＝kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（　　） A．y随x的增大而增大 B．图象与y轴交点在x轴的下方 C．图象与x轴交点在y轴的左侧 D．图象不经过第三象限 【分析】先求出k值，再根据函数的解析式，逐一判断即可． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+2经过点（1，1）， ∴1＝k+2， ∴k＝﹣1， ∴一次函数的表达式为y＝﹣x+2， ∵﹣1＜0， ∴y随x的增大而增减小，故A选项不符合题意； 当x＝0时，y＝2， 则图象与y轴交点在x轴的上方，故B选项不符合题意； 当y＝0时，x＝2， 则图象与x轴交点在y轴的右侧，故C选项不符合题意； 该图象不过第三象限，故D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，求出k是解题的关键． 2．（2024秋•太湖县期末）把直线y＝3x向下平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（　　） A．y＝3（x+1） B．y＝3x+1 C．y＝3（x﹣1） D．y＝3x﹣1 【分析】根据一次函数的平移性质“上加下减”，可直接判断向下平移1个单位长度后新的解析式． 【解答】解：根据“上加下减”，可知把直线y＝3x向下平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为：y＝3x﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，平移法则“左加右减，上加下减”是解答本题的关键． 3．（2024秋•泗县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+m与y＝nx+1的图象分别与y轴交于点（0，4），（0，1），则关于x，y的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，由一次函数y＝x+m的图象与y轴交于点（0，4），进而可得m的值，再由一次函数y＝x+m的图象向下平移3个单位得到一次函数y＝x+1，由于一次函数y＝x+m﹣3与一次函数y＝nx+1都经过点（0，1），进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵一次函数y＝x+m的图象与y轴交于点（0，4）， ∴0+m＝4． ∴m＝4． ∴一次函数y＝x+m为y＝x+4． ∴一次函数y＝x+m﹣3就是一次函数y＝x+4的图象向下平移3个单位，即得到一次函数y＝x+1． ∴一次函数y＝x+1与y轴的交点为（0，1）． 又∵一次函数y＝nx+1与y轴的交点也是（0，1）， ∴一次函数y＝x+m﹣3与一次函数y＝nx+1的交点为（0，1）． ∴二元一次方程组的解为． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 4．（2024秋•金沙县期末）在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离C站的路程y1，y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．有下列说法：①A，B两地相距为420km；②两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2＝30x﹣60；③客车离C站的路程y1与行驶时间x之间的函数关系式为：y1＝﹣60x+360；④客、货两车在小时相遇．其中正确的个数有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据函数图象提供的信息即可判断①；分别利用待定系数法求出函数解析式即可判断②③；再由y1＝y2求出x的值即可判断④；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【解答】解：由图象可得：A，B两地相距为360+60＝420（km），故①正确； 货车的速度为：60÷2＝30（km/h）， 故货车到达A地一共需要2+360÷30＝14（h）， 设两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2＝kx+b， 由题意可得：， 解得：， ∴y2＝30x﹣60，故②正确； 设客车离C站的路程y1与行驶时间x之间的函数关系式为y＝mx+n， 由题意可得：， 解得， ∴y1＝﹣60x+360，故③正确； 由y1＝y2得﹣60x+360＝30x﹣60， 解得：， ∵， ∴符合题意，即客、货两车在小时相遇，故④正确； 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的应用，从函数图象中获取信息，正确地理解题意是解题的关键． 5．（2025•镇坪县一模）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，当t＝1（min）时，h＝1.1（cm），当t＝5（min）时，h＝2.7（cm），则当时间t为10（min）时，对应的高度h为（　　） A．3.3cm B．3.9cm C．4.7cm D．5.4cm 【分析】用待定系数法求出函数关系式，再把t＝10代入可得h的值． 【解答】解：设h＝kt+b， ∵当t＝1（min）时，h＝1.1（cm），当t＝5（min）时，h＝2.7（cm）， ∴， 解得， ∴h＝0.4t+0.7， 当t＝10时，h＝0.4×10+0.7＝4.7， ∴对应的高度h为4.7cm； 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． 6．（2025•南安市模拟）已知一次函数y＝（m﹣3）x+n+3的图象如图所示，则点P（m﹣n，2n）所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】由图象经过第一、三、四象限可知k＞0，b＜0求出m＞3，n＜﹣3，再根据不等式的性质得到m﹣n＞0，2n＜0，即可判断所处象限． 【解答】解：由题意得：m﹣3＞0，n+3＜0， ∴m＞3，n＜﹣3， ∴﹣n＞3， ∴m﹣n＞6，2n＜﹣6， ∴m﹣n＞0，2n＜0， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数图像与系数的关系，解一元一次不等式，点的坐标特征，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 7．（2025•湖北二模）如图，一次函数y＝kx+3（k为常数且k≠0）与y＝3x﹣1的图象相交于点M，且点M的纵坐标为8，则关于x、y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】把y＝8代入y＝3x﹣1求出x，根据数形结合，即可求出答案． 【解答】解：把y＝8代入y＝3x﹣1得：8＝3x﹣1， 解得x＝3， ∴M（3，8）， ∴关于x、y的方程组的解是， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，数形结合是解题的关键． 8．甲、乙在一段长2000米的直线公路上进行跑步练习，起跑时甲在起点，乙在甲的前面，若甲、乙同时起跑至甲到达终点的过程中，甲乙之间的距离y（米）与时间x（秒）之间的函数关系如图所示．有下列说法： ①甲的速度为5米/秒；②100秒时甲追上乙；③经过50秒时甲乙相距50米；④甲到终点时，乙距离终点300米． 其中正确的说法有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】由图象可知起跑时甲在起点，乙在甲的前面，甲乙之间的距离为100米，100秒后，甲乙之间的距离为0米，这个说明，甲的速度快，100秒甲追上乙．每秒甲比乙多跑1米，则可以判断②③④，由图象可得甲400秒到达终点，可求甲的速度． 【解答】解：由图象可知起跑时甲在起点，乙在甲的前面，甲乙之间的距离为100米，100秒后，甲乙之间的距离为0米，这个说明，甲的速度快，100秒甲追上乙．故②正确． 经过400秒，甲先到达终点，所以甲的速度为2000÷400＝5米/秒，故①正确． 100秒甲追上相距100米的乙，说明每秒甲比乙多跑1米，所以经过50秒，甲比乙多跑50米，则甲乙相距的距离为50米，故③正确， 相遇后，到甲到达终点，经过了300秒，则甲比乙多跑了300米，即甲到终点时，乙距离终点300米，故④正确 故选：A． 【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论 9．（2025•西安校级三模）直线y＝﹣x﹣2与两坐标轴围成的图形的面积是（　　） A．2 B．4 C．1 D． 【分析】求出直线y＝﹣x﹣2与两坐标轴交点为（﹣2，0），（0，﹣2），再用三角形面积公式列式计算即可． 【解答】解：在y＝﹣x﹣2中，令x＝0得y＝﹣2，令y＝0得x＝﹣2， ∴直线y＝﹣x﹣2与两坐标轴交点为（﹣2，0），（0，﹣2）， 如图： ∵2×2＝2， ∴直线y＝﹣x﹣2与两坐标轴围成的图形的面积是2； 故选：A． 【点评】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是求出直线与坐标轴的交点坐标． 10．（2024秋•泗县期末）函数y＝20x+4的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】对于一次函数y＝kx+b（k≠0），当k＞0时，一次函数图象必过一、三象限；当k＜0时，一次函数图象必过二、四象限；当b＞0时，一次函数图象与y轴交于正半轴；当b＜0时，一次函数图象与y轴交于负半轴；或者说：当k＞0，b＞0时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当k＜0，b＜0时，一次函数图象经过第二、三、四象限． 根据k、b的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系进行判断即可得出答案． 【解答】解：∵k＝20＞0，b＝4＞0， ∴函数图象经过第一、二、三象限， 即：函数图象不经过第四象限， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的图象（根据一次函数解析式判断其经过的象限），熟练掌握k、b的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．一次函数向上平移a个单位后，经过点（﹣3，2a），则平移后的解析式为 　yx+5　 ． 【分析】利用平移的规律求得平移后的直线解析式，点点（﹣3，2a）代入得到关于a的方程，解方程即可． 【解答】解：一次函数向上平移a个单位后得到yx+2+a， ∵经过点（﹣3，2a）， ∴2a＝1+2+a， ∴a＝3， ∴平移后的解析式为yx+5． 故答案为：yx+5． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 12．（2024秋•金沙县期末）如图，在平面直角坐标系中，点N（1，1）在直线l：y＝x上，过点N1作N1M1⊥l，交x轴于点M1；过点M1作M1N2⊥x轴，交直线于N2；过点N2作N2M2⊥l，交x轴于点M2；过点M2作M2N3⊥x轴，交直线l于点N3；…，按此作法进行下去，则点M2022的坐标为 　（22022，0）　 ． 【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的M1M坐标，然后根据规律求出Mn的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可． 【解答】解：如图，过点N1 作 N1M⊥x轴于M， 将x＝1代入直线解析式y＝x中得y＝1， ∴OM＝MN1＝1，∠MON＝45°， ∵∠ON1M1＝90°， ∴ON1＝N1M1， ∵ON1⊥N1M1， ∴OM＝MM1＝1， ∴M1的坐标为（2，0）， 同理可以求出M2的坐标为（4，0）， 同理可以求出M3的坐标为（8，0）， 同理可以求出Mn的坐标为（2n，0）， ∴M2022的坐标为（22022，0）， 故答案为：（22022，0）． 【点评】此题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律． 13．（2024秋•海州区期末）已知A（m，11）点在一次函数y＝2x﹣3的图象上，则m＝ 　7　 ． 【分析】直接把点A（m，11）代入一次函数y＝2x﹣3，求出m的值即可． 【解答】解：∵A（m，11）点在一次函数y＝2x﹣3的图象上， ∴2m﹣3＝11， 解得m＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 14．已知：关于x的函数y＝（2m﹣3）x+（1﹣m），y随x的增大而减少，并且与y轴的交点在y轴的负半轴，则m的取值范围是 　1＜m　 ． 【分析】根据一次函数y＝kx+b的图象在坐标平面内的位置以及性质，来确定k，b的取值范围． 【解答】解：∵y＝（2m﹣3）x+（1﹣m），y随x的增大而减少，并且与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴解得，1＜m， 故答案为：1＜m． 【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 15．（2025春•长宁区校级月考）若直线l1：y＝kx+b平行于直线l2：y＝﹣5x+3，且l1经过点（2，﹣1），则b＝　9　 ． 【分析】根据两直线平行可得k＝﹣5，再把点（2，﹣1）代入y＝﹣5x+b，即可求解． 【解答】解：∵直线l1：y＝kx+b平行于直线l2：y＝﹣5x+3， ∴k＝﹣5， ∴直线l1的解析式为y＝﹣5x+b， 把点（2，﹣1）代入y＝﹣5x+b得：﹣1＝﹣5×2+b，解得：b＝9． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 16．（2024秋•丹巴县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与正比例函数yx的图象交于点C（m，6）． （1）求m的值与一次函数解析式； （2）在x轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点C（m，6）代入yx，可得m＝4，再用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）分两种情况：当B为等腰三角形的顶点时，M点与A点关于y轴对称；当A为等腰三角形的顶点时，AM＝AB＝5． 【解答】解：（1）∵将点C（m，6）代入yx， ∴6m， ∴m＝4， ∴C（4，6）， 设一次函数的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴yx+3； （2）存在，理由如下： 令x＝0，则y＝3， ∴B（0，3）， ∵A（﹣4，0）， ∴AB＝5，OA＝4， 当B为等腰三角形的顶点时，M点与A点关于y轴对称， ∴M（4，0）； 当A为等腰三角形的顶点时，AM＝AB＝5， ∴M（﹣9，0）或M（1，0）； 综上所述：M点坐标为（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 17．（2025•长安区一模）如图，直线l：y＝﹣3x+5分别与y轴及直线y＝2交于点A，B，点C与点B关于y轴对称，直线y＝2与y轴交于点E，D（﹣2，0），连接CD． （1）直接写出点B，C的坐标，并求直线DC的表达式； （2）设S＝S△ABE+S四边形DCEO，求S的值； （3）设直线l关于y轴对称的直线为l′，请通过计算说明点D是否在l′上． 【分析】（1）分别求出点B和点C坐标，再根据轴对称的性质求出点C′的坐标，再待定系数法求一次函数解析式即可； （2）分别求出△ABC的面积和四边形AODC′的面积，即可得到S的值； （3）求出直线l′的解析式，把D点代入解析式，即可判断． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣3x+5＝5， ∴点A坐标为（0，5）， 当y＝2时，﹣3x+5＝2， 解得x＝1， ∴点B坐标为（1，2）， ∵点C与B关于y轴对称， ∴C（﹣1，2）， 设直线DC的函数解析式：y＝kx+b（k≠0）， 将点C（﹣1，2），D（﹣2，0）代入解析式， 得， 解得， ∴直线DC的函数解析式：y＝2x+4； （2）∵BE＝1，AE＝5﹣2＝3， ∴S△ABE， ∵OD＝2，EC＝1，OE＝2， ∴S四边形DCEO， ∴S3； （3）设直线l′的解析式为：y＝ax+b， 将点A（0，5），C（﹣1，2）代入解析式， 得， 解得， ∴直线l′的解析式为：y＝3x+5， 把D（﹣2，0）代入解析式y＝3x+5， 3×（﹣2）+5＝﹣1≠0， ∴点D不在直线l′上． 【点评】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，三角形的面积等，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称的性质是解题的关键． 18．（2024秋•蒙山县期末）某商店计划购进A、B两种型号的保温水杯进行销售，若购进A型号保温水杯和B型号保温水杯各6个共花费150元，购进A型号保温水杯4个和B型号保温水杯3个共花费85元． （1）求购进A型号保温水杯和B型号保温水杯的单价； （2）若该商店购进了A、B两种型号保温水杯共100个，其中A型号保温水杯售价为18元，B型号保温水杯售价为25元，设购进A型号保温水杯x个，获得总利润为w元． ①求w关于x的函数关系式． ②要使销售保温水杯的利润最大，且所获利润不低于进货价格的70%，请你帮该商店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值． 【分析】（1）根据题意中的等量关系列出二元一次方程组进行求解即可； （2）①根据题意，写出函数关系式即可； ②根据所获利润不低于进货价格的70%，列出不等式进行求解． 【解答】解：（1）设购进A型号保温水杯单价为a，B型号保温水杯的单价为b， ， 解得：， 答：购进A型号保温水杯单价为10元，B型号保温水杯的单价为15元； （2）①设购进A型号保温水杯x个，故购进B型号保温杯（100﹣x）个， ∴W＝（18﹣10）x+（25﹣15）（100﹣x）＝﹣2x+1000； ②∵所获利润不低于进货价格的70%， ∴﹣2x+1000≥[10x+15（100﹣x）]×70%， 解得， ∵x为整数， ∴x＝34时，Wmax＝﹣2×34+1000＝932， 100﹣x＝66， 答：购进A种保温杯34个，B型号保温杯66个，可以获得最大利润，最大利润为932元． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． 19．（2024秋•东营期末）2024年4月25日20点58分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同． （1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？ （2）已知毕业班的同学一共有300人，要求购买的A款文化衫的数量不少于B款文化衫数量的两倍，学校应如何设计采购方案才能使得购买费用最低，最低费用为多少？ 【分析】（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设购买A款文化衫a件，则B款文化衫（300﹣a）件，费用为w元，依题意得，a≥2（300﹣a），可求a≥200，由题意知，w＝50a+40（300﹣a）＝10a+12000，然后根据一次函数的图象与性质求解作答即可． 【解答】解：（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元， 依题意得，， 解得，x＝40， 经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合要求， ∴x+10＝50， ∴B款文化衫每件40元，A款文化衫每件50元； （2）设购买A款文化衫a件，则B款文化衫（300﹣a）件，费用为w元， 依题意得，a≥2（300﹣a）， 解得，a≥200， 由题意知，w＝50a+40（300﹣a）＝10a+12000， ∵10＞0， ∴当a＝200时，费用最低为10×200+12000＝14000（元）， ∴购买A款文化衫200件，B款文化衫100件，费用最低，为14000元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量与不等量关系，正确列出分式方程和不等式． 20．（2025•东营一模）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品1件共需50元；购进甲商品1件和乙商品2件共需70元． （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲商品以每件20元出售，乙商品以每件50元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共60件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润． 【分析】（1）根据购进甲商品2件和乙商品1件共需50元，购进甲商品1件和乙商品2件共需70元可以列出相应的方程组，从而可以求得甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元； （2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元， ，得， 答：甲、乙两种商品每件的进价分别是10元、30元； （2）设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品（60﹣m）件，设卖完甲、乙两种商品商场的利润为w元， 则w＝（20﹣10）m+（50﹣30）（60﹣m）＝﹣10m+1200， ∵m≥4（60﹣m）， 解得，m≥48， ∴当m＝48时，w取得最大值，最大利润为：﹣10×48+1200＝720元，60﹣m＝12， 答：当购进甲商品48件，乙商品12件时可获得最大利润720元． 【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 21．（2025•新城区校级三模）我们知道，液体的饱和蒸气压与外界压强相等时的温度，即液体沸腾时候的温度，就叫做液体的沸点．勤学善思的瑶瑶同学想通过数学知识测得生活中某种液体的沸点，通过询问老师得知，在均匀加热的情况下，该液体的温度与加热时间之间满足一次函数关系．瑶瑶同学回到家后在保证安全的情况下，采用均匀加热的方式，记录了加热时间x与该液体的温度y之间的几组对应值，如表． 加热时间x/分钟 … 2 3 4 5 6 … 液体温度y/℃ … 36 44 52 60 68 … 请你根据表中信息，解答下列问题： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）瑶瑶同学观察发现，当加热到9分钟时，该液体沸腾了，请你计算该液体的沸点． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将x＝9代入函数表达式，求出对应的y值即可． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）． 根据题意，得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为y＝8x+20； （2）当x＝9时，y＝8×9+20＝92， ∴该液体的沸点为92℃． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式是本题的关键． 22．（2025春•苏州月考）如图，将边长为5的菱形ABCD放在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，BC边与x轴重合，且AO：BO＝4：3． （1）求C点的坐标； （2）则CD所在直线的函数表达式． 【分析】（1）根据题意设AO＝4k，则BO＝3k，利用勾股定理求得线段OA，OB求出k的值； （2）过点D作DE⊥x轴于点E，分别求得点C，D坐标，利用待定系数法即可求得结论． 【解答】解：（1）∵AO：BO＝4：3， ∴设AO＝4k，则BO＝3k， ∵OA⊥OB， ∴OA2+OB2＝AB2． ∴（4k）2+（3k）2＝52． ∴k＝1． ∴OA＝4，OB＝3． ∴OC＝BC﹣OB＝2． ∴C（2，0）； （2）过点D作DE⊥x轴于点E，如图， 则四边形AOED为矩形． ∴OE＝AD＝5，DE＝OA＝4． ∴D（5，4）． 设直线CD的解析式为y＝ax+b， ∴， 解得：， ∴直线CD的解析式为yx． 【点评】本题主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式，勾股定理，菱形的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，利用勾股定理求得线段的长度，进而得到点A，B的坐标是解题的关键． 23．（2025•沈阳模拟）某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为400元，B型电脑每台利润为500元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ （3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，并且无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变，求a的值． 【分析】（1）根据“总利润＝A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式； （2）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得； （3）据题意得y＝（400+a）x+500（100﹣x），即y＝（a﹣100）x+50000，当a＝100时，无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变． 【解答】解：（1）根据题意，y＝400x+500（100﹣x）＝﹣100x+50000； （2）∵100﹣x≤2x， ∴x， ∵y＝﹣100x+50000中k＝﹣100＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵x为整数， ∴x＝34时，y取得最大值，最大值为46600， 答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元； （3）据题意得，y＝（400+a）x+500（100﹣x），即y＝（a﹣100）x+50000， 当a＝100时，无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/29 14:15:53；用户：郭海松；邮箱：13597576921；学号：39987097 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$