2024—2025学年人教版数学九年级下册期中模拟检测题

期中检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A.y＝ B.xy＝2 C.y＝x－2 D.y＝ 2.如图，AD∥BE∥CF，若AB＝4，BC＝8，DE＝3，则DF的长是（　　） A.1.5　 B.6　 C.9　　 D.12 3.下列各组线段中，成比例的是（　 　） A.1 cm，2 cm，3 cm，4 cm B.2 cm，3 cm，4 cm，5 cm C.1 cm，2 cm，3 cm，5 cm D.1 cm，2 cm，5 cm，10 cm 4.对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（　　） A.点（－2，－1）在它的图象上 B.它的图象在第一、三象限 C.当x＞0时，y随x的增大而增大 D.当x＜0时，y随x的增大而减小 5.如图，已知一次函数y1＝kx＋b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象都经过点A（－1，2），B（2，－1）.观察图象可知，不等式kx＋b＜ 的解集是（　 　） 第5题图 A.x＜－1 B.－1＜x＜0 C.x＜－1或0＜x＜2 D.－1＜x＜0或x＞2 6.如图，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图象与反比例函数y2＝（k2＜0）的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2.当y1＞y2时，x的取值范围是（　　） A.x＜－2或x＞2 B.－2＜x＜0或x＞2 C.x＜－2或0＜x＜2 D.－2＜x＜0或0＜x＜2 7.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行线组成的，同一条直线上的A，B，C三点都在平行线上.若线段BC＝4 cm，则线段AC的长是　（　 　） 第7题图 A.4 cm　 B.5 cm C.6 cm　 D.7 cm 8.如图，在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝2，BO＝2，以点O为位似中心，将Rt△AOB缩小为原图形的，得到Rt△COD，则OC的长是（　　） A.2　 B.3　 C.2.5　　 D.3.5 9.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋b的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点C.若点A的坐标为（2，0），＝，则k的值是（　 　） A.　 B.2　 C.3　 D.4 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AC上任意一点，F为AB的中点，连接BD，E在BD上，且满足CD2＝DE·BD，连接EF，CE，则EF的最小值为（　 　） A.－1 B.1 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.在比例尺为1∶400 000的地图上，量得A，B两地的距离是24 cm，则A，B两地的实际距离为　 　km. 12.如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC的中点.若四边形ABED的面积为9 cm2，则△ABC的面积为　　cm2. 13.如图，A是函数y＝（x＞0）图象上的一点，B是x轴负半轴上一点，连接AB交y轴于点C.若AC＝BC，S△BOC＝1，则k的值是　 　. 14.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E在AD上，射线BE交AC于点F.若＝，AB＝10，则AF的长是　　. 15.如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，CD平分∠ACB交AB于点D，M是AC上一动点（AM＜AC），将△ADM沿DM折叠得到△EDM，点A的对应点为点E，ED与AC交于点F. （1）CD的长是　 　； （2）若ME∥CD，则AM的长是　 　. 三、解答题（共75分） 16.（6分）如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，建立平面直角坐标系xOy，点A，B，C均在格点上. （1）请在y轴的右侧画出△A1B1C1，使其与△ABC关于点O成位似图形，且相似比为2∶1； （2）点A1的坐标为　　. 17.已知反比例函数y＝的图象经过点A（3，－2）. （1）求k的值； （2）点B（x1，y1），C（x2，y2）均在反比例函数y＝的图象上，若0＜x1＜x2，请直接写出y1，y2的大小关系. 18.（8分）如图，王老师为测得学校操场上小树CD的高，他站在教室里的点A处，从教室的窗口望出去，恰好能看见小树的整个树冠HD.经测量，窗口高EF＝1.4 m，树干高CH＝1.2 m，A，C两点在同一水平线上，点A与墙根点G的距离为1.6 m，点C与墙根点G的距离为4.8 m，且A，G，C三点在同一条直线上.请根据上面的信息，帮王老师计算出小树CD的高. 19.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，AG平分∠BAC，AG分别交DE，BC于点F，G. （1）求证：＝； （2）若＝，求的值. 20.（10分）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系t＝，其图象为一段曲线，如图所示，端点为A（40，1）和B（m，0.5）. （1）求k和m的值； （2）若行驶速度不得超过60 km/h，则汽车通过该路段最少需要多长时间？ 21.已知E是△ABC外一点，D是△ABC所在平面内一点，且满足∠ABD＝∠ACE，∠BAD＝∠CAE. （1）如图1，点D在△ABC外，求证：△ABC∽△ADE； （2）如图2，点D在边BC上，AC与DE交于点F，若∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，BD＝1，AD＝，求的值. 22.（12分）【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题： 如图1，在△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE，CA交于点F，DE＝EF，AB＝5，求AE的长. 小白的想法是过点E作EH∥BC交AC于点H，再通过相似三角形的性质得到AE，BE的比，从而得出AE的长.请你按照小白的思路完成解答. 【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题： 如图2，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，E为边AB上一点，AE＝AD，H，Q为BC上两点，CQ＝DH，DQ＝mDH，G为AC上一点，连接HG交AD于点N，连接EQ分别交HG，AD于点F，P，∠EFG＋∠EAD＝180°，猜想并验证EP与GH的数量关系. 23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象与反比例函数 y＝（k≠0）的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，且OC＝1，BC＝5，sin∠BCO＝. （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）若在y轴上有一点E（不与点O重合），使得S△BDE＝3S△BDO，求点E的坐标； （3）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值. 第 1 页 共 51 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列函数中，y是x的反比例函数的是（　B　） A.y＝ B.xy＝2 C.y＝x－2 D.y＝ 2.如图，AD∥BE∥CF，若AB＝4，BC＝8，DE＝3，则DF的长是（　C　） 第2题图 A.1.5　 B.6　 C.9　　 D.12 3.下列各组线段中，成比例的是（　D　） A.1 cm，2 cm，3 cm，4 cm B.2 cm，3 cm，4 cm，5 cm C.1 cm，2 cm，3 cm，5 cm D.1 cm，2 cm，5 cm，10 cm 4.对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（　C　） A.点（－2，－1）在它的图象上 B.它的图象在第一、三象限 C.当x＞0时，y随x的增大而增大 D.当x＜0时，y随x的增大而减小 5.如图，已知一次函数y1＝kx＋b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象都经过点A（－1，2），B（2，－1）.观察图象可知，不等式kx＋b＜ 的解集是（　D　） 第5题图 A.x＜－1 B.－1＜x＜0 C.x＜－1或0＜x＜2 D.－1＜x＜0或x＞2 6.如图，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图象与反比例函数y2＝（k2＜0）的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2.当y1＞y2时，x的取值范围是（　C　） 第6题图 A.x＜－2或x＞2 B.－2＜x＜0或x＞2 C.x＜－2或0＜x＜2 D.－2＜x＜0或0＜x＜2 7.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行线组成的，同一条直线上的A，B，C三点都在平行线上.若线段BC＝4 cm，则线段AC的长是　（　C　） 第7题图 A.4 cm　 B.5 cm C.6 cm　 D.7 cm 8.如图，在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝2，BO＝2，以点O为位似中心，将Rt△AOB缩小为原图形的，得到Rt△COD，则OC的长是（　A　） 第8题图 A.2　 B.3　 C.2.5　　 D.3.5 9.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋b的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点C.若点A的坐标为（2，0），＝，则k的值是（　C　） 第9题图 A.　 B.2　 C.3　 D.4 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AC上任意一点，F为AB的中点，连接BD，E在BD上，且满足CD2＝DE·BD，连接EF，CE，则EF的最小值为（　A　） A.－1 B.1 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.在比例尺为1∶400 000的地图上，量得A，B两地的距离是24 cm，则A，B两地的实际距离为　96　km. 12.如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC的中点.若四边形ABED的面积为9 cm2，则△ABC的面积为　12　cm2. 第12题图 13.如图，A是函数y＝（x＞0）图象上的一点，B是x轴负半轴上一点，连接AB交y轴于点C.若AC＝BC，S△BOC＝1，则k的值是　4　. 14.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E在AD上，射线BE交AC于点F.若＝，AB＝10，则AF的长是　2　. 15.如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，CD平分∠ACB交AB于点D，M是AC上一动点（AM＜AC），将△ADM沿DM折叠得到△EDM，点A的对应点为点E，ED与AC交于点F. （1）CD的长是　5　； （2）若ME∥CD，则AM的长是　2.5　. 三、解答题（共75分） 16.（6分）如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，建立平面直角坐标系xOy，点A，B，C均在格点上. （1）请在y轴的右侧画出△A1B1C1，使其与△ABC关于点O成位似图形，且相似比为2∶1； ◐ 解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求. （2）点A1的坐标为　（2，4）　. 17.已知反比例函数y＝的图象经过点A（3，－2）. （1）求k的值； （2）点B（x1，y1），C（x2，y2）均在反比例函数y＝的图象上，若0＜x1＜x2，请直接写出y1，y2的大小关系. 解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（3，－2）.∴2－k＝3×（－2），解得k＝8. （2）由（1）知，反比例函数的表达式为y＝－. ∵－6＜0，∴在每一象限内，y随x的增大而增大. ∵0＜x1＜x2，∴y2＞y1. 18.（8分）如图，王老师为测得学校操场上小树CD的高，他站在教室里的点A处，从教室的窗口望出去，恰好能看见小树的整个树冠HD.经测量，窗口高EF＝1.4 m，树干高CH＝1.2 m，A，C两点在同一水平线上，点A与墙根点G的距离为1.6 m，点C与墙根点G的距离为4.8 m，且A，G，C三点在同一条直线上.请根据上面的信息，帮王老师计算出小树CD的高. 解：∵FG⊥AC，DC⊥AC， ∴FG∥DC， ∴△BEF∽△BHD， ∴＝. ∵AG＝1.6 m，CG＝4.8 m，EF＝1.4 m， ∴＝， 解得DH＝5.6（m）， ∴小树CD的高为DH＋CH＝5.6＋1.2＝6.8（m）. 19.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，AG平分∠BAC，AG分别交DE，BC于点F，G. （1）求证：＝； （2）若＝，求的值. 解：（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB， ∴△ADE∽△ACB， ∴∠ADE＝∠ACB. ∵AG平分∠BAC，∴∠DAF＝∠CAG， ∴△ADF∽△ACG，∴＝. （2）∵△ADF∽△ACG，∴＝. ∵＝，∴＝. ∵∠AED＝∠B，∠EAF＝∠BAG， ∴△EAF∽△BAG，∴＝，∴＝. 20.（10分）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系t＝，其图象为一段曲线，如图所示，端点为A（40，1）和B（m，0.5）. （1）求k和m的值； 解：（1）将A（40，1）代入t＝，得1＝， 解得k＝40，所以t＝. 当t＝0.5时，0.5＝，解得m＝80. （2）若行驶速度不得超过60 km/h，则汽车通过该路段最少需要多长时间？ 解：（2）令v＝60，得t＝＝.结合函数图象可知，若行驶速度不得超过60 km/h，则汽车通过该路段最少需要 h. 21.已知E是△ABC外一点，D是△ABC所在平面内一点，且满足∠ABD＝∠ACE，∠BAD＝∠CAE. （1）如图1，点D在△ABC外，求证：△ABC∽△ADE； （2）如图2，点D在边BC上，AC与DE交于点F，若∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，BD＝1，AD＝，求的值. 解：（1）证明：∵∠ABD＝∠ACE，∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE，∴＝，∴＝. ∵∠BAD＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD， ∴∠CAB＝∠EAD，∴△ABC∽△ADE. （2）由（1），得△BAD∽△CAE，△ABC∽△ADE. ∵∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，BD＝1，AD＝， ∴＝，∠ABC＝∠ADE＝∠ACE＝30°， ∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴＝＝＝，＝tan∠ADE＝tan 30°＝， ∴AE＝CE＝AD，∴AD＝3CE. ∵∠ADF＝∠ECF＝30°，∠AFD＝∠EFC， ∴△AFD∽△EFC，∴＝＝3，∴的值为3. 22.（12分）【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题： 如图1，在△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE，CA交于点F，DE＝EF，AB＝5，求AE的长. 小白的想法是过点E作EH∥BC交AC于点H，再通过相似三角形的性质得到AE，BE的比，从而得出AE的长.请你按照小白的思路完成解答. ◐ 解：【阅读理解】如图1，过点E作EH∥BC交AC于点H， ∴△FEH∽△FDC，∴＝. ∵DE＝EF，∴＝.∵BD＝DC，∴＝， 同理得△AEH∽△ABC，∴＝＝. ∵AB＝5，∴AE＝. 【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题： 如图2，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，E为边AB上一点，AE＝AD，H，Q为BC上两点，CQ＝DH，DQ＝mDH，G为AC上一点，连接HG交AD于点N，连接EQ分别交HG，AD于点F，P，∠EFG＋∠EAD＝180°，猜想并验证EP与GH的数量关系. ◐ 【解决问题】猜想：＝.理由如下： 如图2，过点D作DM∥GH交AC于点M， ∴△CDM∽△CHG，∴＝. 设DH＝CQ＝x，则DQ＝mx， ∴＝＝. ∵AD平分∠BAC，∴∠EAP＝∠DAM. ∵∠EFG＋∠EAD＝180°， ∴∠AEP＋∠ANF＝180°. ∵GH∥DM， ∴∠ADM＋∠DNG＝∠ADM＋∠ANF＝180°， ∴∠ADM＝∠AEP. ∵AE＝AD，∴△AEP≌△ADM（ASA）， ∴EP＝DM，∴＝＝. 23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象与反比例函数 y＝（k≠0）的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，且OC＝1，BC＝5，sin∠BCO＝. （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）若在y轴上有一点E（不与点O重合），使得S△BDE＝3S△BDO，求点E的坐标； （3）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值. 解：（1）如图，过点B作BM⊥x轴于点M.在Rt△CBM中，sin∠BCO＝，∴＝. ∵BC＝5，∴BM＝3，∴CM＝＝4. ∵OC＝1，∴C（1，0），OM＝3，∴B（－3，－3）. 把B（－3，－3）代入y＝（k≠0），得k＝－3×（－3）＝9，∴反比例函数的表达式为y＝. ∵OC＝1，∴C（1，0），把B（－3，－3），C（1，0）代入y＝ax＋b，得 解得∴一次函数的表达式为y＝x－. （2）∵一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象与y轴交于点D，∴当x＝0时， y＝－，∴D（0，－），即OD＝. ∵S△BDE＝3S△BDO，∴DE＝3OD＝，∴点E的坐标为（0，）或（0，－3）. （3）－3＜x＜0或x＞4. 第 1 页 共 51 页 学科网（北京）股份有限公司 $$