2025年广东省深圳市初中学业水平考试数学仿真模拟练习试卷

2025年深圳市初中学业水平考试数学学科仿真模拟练习试卷 考试时间90分钟，满分100分． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C． D．   2. 下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3. 已知有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 4. 如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5. 在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学 担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是（　 　） A. B. C. D. 6 .如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q，作直线交于点D，连接．以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 7 . 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题： “今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文： “今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？” 若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 8. 如图，在矩形中，点为上一点，连结，作的平分线交于点， 连结交BE于点．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________ 10 . 如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为 厘米．    11.如图，的两条中线相交于点，过点作交于点，则的值为 ． 12. 如图，，两点分别位于反比例函数与)的图像上， 且轴，交 轴于点，轴于点，连接交轴于点， 则图中阴影部分的面积为 ． 13 .将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ． 3、 解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分， 第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14. 计算：． 15 .先化简，再求值：，从、1、2三个数中选一个作为x代入求值． 16 . 2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分） 并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组： A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： a：C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79． b：不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： (1)求随机抽取的八年级学生人数； (2)扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； (3)请补全频数直方图； (4)抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是______分； (5)该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 17. 某学校为参加春运会的同学准备了钢笔和笔记本两种奖品，已知钢笔比笔记本每件多12元； 学校计划用1200元购买钢笔，960元购买笔记本，购买笔记本的数量是钢笔数量的2倍． (1)求钢笔和笔记本两种奖品的单价． (2)购买当日，正逢商店周年庆典，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案： 计划购买钢笔、笔记本两种奖品共200件，购买资金不少于1856元且不超过1880元， 问购买钢笔、笔记本两种奖品有哪几种方案？ 18. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，， 且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 19. 喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线． 如图2，将喷灌架置于坡度为的坡地底部点O处（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度）， 喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷水头的水平距离为20米时，达到最大高度（与喷灌架底部所在水平面的距离）9米．    (1)求图2中抛物线表达式； (2)当喷射出的水流达到最大高度时，求水流与坡面之间铅直高度的长； (3)若喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为米，求水流与喷水头的水平距离． 20. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年深圳市初中学业水平考试数学学科仿真模拟练习试卷解答 考试时间90分钟，满分100分． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C． D．   【答案】A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选A． 2. 下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，乘法公式，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 合并同类项：系数相加（或减），字母及指数不变；同底数幂的除法：底数不变，指数相减；幂的乘方：底数不变，指数相乘；完全平方公式：，由此即可求解． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 故选：D ． 3. 已知有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，先观察数轴得到，，，然后根据不等式的基本性质、有理数的加法和乘法法则判断各个选项的正误即可． 【详解】解：观察数轴可知：，，， ， ，，，， ，，选项错误，选项正确， 故选：C． 4. 如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线平行于直线m，易得，根据平行线的性质可得，由可求出的度数，再由平行线的性质可得的度数． 【详解】解：如图，过点C作直线平行于直线m， ∵直线， ∴， ∴，， 由题意可得， ∴， ∴， 故选：D． 5. 在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学 担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是（　 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查运用画树状图法求随机事件的概率，掌握其运用是解题的关键． 运用画树状图法将所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：两名男生表示为男，男，两名女生表示为女，女，抽取过程如图所示， 共有种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有种， ∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是． 故选：D． 6 .如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q，作直线交于点D，连接．以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，推出，设，则，根据相似三角形的性质得到，得到，于是得到结论． 【详解】解：，， ， 直线垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， 故选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 7 . 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题： “今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文： “今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？” 若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．因为每头牛值金两，每头羊值金两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 8. 如图，在矩形中，点为上一点，连结，作的平分线交于点， 连结交BE于点．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长，交的延长线于，延长，交的延长线于，由四边形是矩形，得，，，则，又平分可证，设，则，由勾股定理得，则，，再证明，，最后由相似三角形的性质即可求解． 【详解】如图，如图所示，延长，交的延长线于，延长，交的延长线于， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， 由勾股定理得：， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即，， ∴， ∴， 故选：． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________ 【答案】 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根满足的条件是：二次项系数不能为0， 根的判别式的值大于0，据此求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为： 10 . 如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为 厘米．    【答案】36 【分析】利用弧长公式求解即可． 【详解】解：设圆弧所在圆的半径为， 由题意，得， 解得， ∴圆弧所在圆的半径为36厘米． 故答案为：36． 11.如图，的两条中线相交于点，过点作交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的三角形相似问题，利用三角形中位线性质与平行线的性质得到相似三角形是解题关键．根据题意得，和，可证，有，由得，设，则，，即可求得比值． 【详解】解：∵、是的中线，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴． 故答案为： 12. 如图，，两点分别位于反比例函数与)的图像上， 且轴，交 轴于点，轴于点，连接交轴于点， 则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图像上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，设点，则点的纵坐标为，，，证明，由相似三角形的性质得到，根据代入数据计算即可．掌握图像上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵，两点分别位于反比例函数与)的图像上，且轴，轴，设点， ∴点的纵坐标为， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 13 .将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故答案为． 3、 解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分， 第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解： ． 15 .先化简，再求值：，从、1、2三个数中选一个作为x代入求值． 【答案】；x=1时，原式=3 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可． 【详解】解：原式 当x=-1时，x+1=0，分式无意义；当x=2时，x-2=0，分式无意义， ∴将x=1代入，原式． 16 . 2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分） 并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组： A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： a：C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79． b：不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： (1)求随机抽取的八年级学生人数； (2)扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； (3)请补全频数直方图； (4)抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是______分； (5)该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 【答案】(1)60人 (2)90 (3)图见解析 (4)77 (5)390人 【分析】本题考查统计图的综合应用，求中位数，利用样本估计总体： （1）A组人数除以所占的比例求出八年级学生人数即可； （2）360度乘以B组所占的比例，进行求解即可； （3）求出D组人数，补全直方图即可； （4）根据中位数的确定方法进行求解即可； （5）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：（人）； （2）； 故答案为：90； （3）D组人数为：；补全直方图如图： （4）将数据排序后第30个和第31个数据分别为76，78， ∴中位数为：； （5）（人）． 17. 某学校为参加春运会的同学准备了钢笔和笔记本两种奖品，已知钢笔比笔记本每件多12元； 学校计划用1200元购买钢笔，960元购买笔记本，购买笔记本的数量是钢笔数量的2倍． (1)求钢笔和笔记本两种奖品的单价． (2)购买当日，正逢商店周年庆典，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案： 计划购买钢笔、笔记本两种奖品共200件，购买资金不少于1856元且不超过1880元， 问购买钢笔、笔记本两种奖品有哪几种方案？ 【答案】(1)钢笔的单价为20元，笔记本的单价为8元 (2)有3种方案，①购买钢笔60件，则购买购买笔记本140件；②购买钢笔61件，则购买购买笔记本139件；③购买钢笔62件，则购买购买笔记本138件 【分析】本题考查分式方程的实际应用、一元一次不等式组的实际应用，理解题意列出方程是解题的关键． （1）设购买笔记本的单价为x元，则钢笔的单价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买钢笔a件，则购买购买笔记本件，根据题意列一元一次不等式组求得a的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：设购买笔记本的单价为x元，则钢笔的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， ∴， 答：钢笔的单价为20元，笔记本的单价为8元； （2）解：设购买钢笔a件，则购买购买笔记本件， 根据题意，得， 解得， ∴整数a的值为60，61，62， ∴有3种方案，如下： ①购买钢笔60件，则购买购买笔记本140件； ②购买钢笔61件，则购买购买笔记本139件； ③购买钢笔62件，则购买购买笔记本138件． 18. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，， 且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：    是的直径， ， ， 又， ， 又． ，即， 是的切线； （2）解：，， ， 在中，，， ，则， ， ，， ， ， 设，则，， ，即，解得或（舍去）， ． 是的直径， ， ， 又， ， 又． ，即， 是的切线； （2）解：，， ， 在中，，， ，则， ， ，， ， ， 设，则，， ，即，解得或（舍去）， ． 19. 喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线． 如图2，将喷灌架置于坡度为的坡地底部点O处（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度）， 喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷水头的水平距离为20米时，达到最大高度（与喷灌架底部所在水平面的距离）9米．    (1)求图2中抛物线表达式； (2)当喷射出的水流达到最大高度时，求水流与坡面之间铅直高度的长； (3)若喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为米，求水流与喷水头的水平距离． 【答案】(1)或 (2)高度的长为5米 (3)5米或25米 【分析】本题考查了抛物线的生活应用，待定系数法求解析式，坡度比的应用． （1）根据定义，得到抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为，代入已知点，确定a值即可． （2）设铅直高度与水平面的交点为M，根据坡比为，得，，求，继而计算即可． （3）设喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为米,且与水平面的交点为G， 设，则，根据坡比为，得，求，继而得到，根据点P在抛物线上，列式计算即可． 【详解】（1）∵ 抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为或． （2）设铅直高度与水平面的交点为N， 根据坡比为，得，， 解得，    (米)． 答：铅直高度为5米． （3） 设点P为抛物线上的一点， 且喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为米且与水平面的交点为G， 设，则， ∵坡比为， ∴， 解得， ∴， ∵点P在抛物线上， ∴，    整理，得， 解得， 答：水流与喷水头的水平距离为5米或25米． 20. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)4 【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可； （3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）问题发现：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）变式探究：， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解决问题：如图3，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵Q是正方形的中心， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则 ， 在中，，即， 解得，（舍去），， ∴正方形的边长为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$