26　圆的基本性质 2025年中考数学一轮专题复习（福建）

第八章 圆 复习26 圆的基本性质 知识点1 圆的概念 1．圆的定义 (1)形成性定义：在平面内，线段OA绕它固定的端点O旋转一 周，另一个端点A所描出的封闭曲线叫做圆． (2)描述性定义：圆还可以看成是平面内到定点的距离等于 _____的所有点组成的图形． 定长 2．圆的有关概念 (1)弦：连接_____任意两点的线段叫做弦． (2)直径：经过_____的弦叫做直径． (3)弧：_____任意两点间的部分叫做弧． (4)半圆：圆的任意一条_____的两个端点分圆为两条等弧， 每一条弧都叫做半圆． (5)优弧：大于_____的弧叫做优弧． 圆上 圆心 圆上 直径 半圆 (6)劣弧：小于_____的弧叫做劣弧． (7)同心圆：_____相同，但_____不相等的圆叫做同心圆． (8)等圆：半径_____的两个圆叫做等圆．两个等圆能够重合． (9)等弧：在___________中，能够互相_____的弧叫做等弧． (10)圆心角：顶点在_____的角叫做圆心角． (11)圆周角：顶点在_____并且两边在圆内的部分分别是圆的 ___，这样的角叫做圆周角． 半圆 圆心 半径 相等 同圆或等圆 重合 圆心 圆上 弦 【温馨提示】 (1)直径是圆中最长的弦 √ (2)弦是直径 × (3)弧是半圆 × (4)半圆是弧 √ (5)一弧对一弦 √ (6)一弦对两弧 √ 知识点2 圆的对称性 1．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． 2．圆是中心对称图形，对称中心为圆心． 3．圆具有旋转不变性：绕圆心旋转任意一个角度都能与原来的图形重合． 知识点3 圆心角、弧、弦之间的关系 1．圆心角的度数与它所对的弧的度数_____． 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的___相等，所对的 ___相等． 3．在同圆或等圆中，如果两个_______、两条弧、两条___中 有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 相等 弧 弦 圆心角 弦 知识点4 垂径定理及其推论 1．定理：垂直于弦的直径_____这条弦，并且平分弦所对的 _______，即 ＝___， ，AE＝___. 2．推论：平分弦(_________)的直径_________，并且平分弦 所对的_______，即AB⊥___， ＝___． 平分 两条弧 BE 不是直径 垂直于弦 两条弧 DC 【温馨提示】 垂径定理及其推论实质上都是“知二推三”，即满足下列任意两个条件，能推出其余三个结论：(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦(不是直径)；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧． 知识点5 圆周角定理及其推论 1．定理：圆周角的度数等于它所对弧上的_______________ ___． 2．推论 (1)圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半． (2)同弧或等弧所对的圆周角_____． (3)直径所对的圆周角是_____，90°的圆周角所对的弦是___ ___． 圆心角度数的一 半 相等 直角 直 径 【温馨提示】 在圆中，一条弧所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有无数个．经常考查的有关圆周角、圆心角的几个基本图形： 知识点6 三角形的外接圆 1．概念 (1)外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆． (2)外心：三角形外接圆的圆心叫外心，它是三角形三边___ _________的交点． 2．性质：三角形的外心到三角形的_______________相等． 3．外心的位置：锐角三角形的外心，在三角形_____，直角三 角形的外心是_________，钝角三角形的外心在三角形_____． 垂 直平分线 三个顶点的距离 内部 斜边中点 外部 知识点7 圆内接四边形的性质 1．定义：如果一个四边形的所有顶点都在___________，这个 四边形叫圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆． 2．性质 (1)圆内接四边形的对角_____，如图所示，∠A＋ ∠BCD＝______，∠B＋∠D＝______． (2)圆内接四边形的任何一个外角都等于它的_______，如图所 示，∠DCE＝____. 同一个圆上 互补 180° 180° 内对角 ∠A 【温馨提示】 圆的内接平行四边形是矩形，圆的内接梯形是等腰梯形. 考点1 垂径定理及其推论 突破1 [2024·通辽]如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1 m，CD＝2.5 m，则拱门所在圆的半径为( ) A．1.25 m B．1.3 m C．1.4 m D．1.45 m 突破2 [2024·凉山]数学活动课上，同学们要测一个如图所 示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上 任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交 于点C，测出AB＝40 cm，CD＝10 cm，则圆形工件的半径 为( ) A．50 cm B．35 cm C．25 cm D．20 cm 突破3 [2024·北京]如图，⊙O的直径AB平分弦CD(不是直 径)．若∠D＝35°，则∠C＝___°. 55 突破4 [2024·牡丹江]如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E， CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为____． 突破5 [2024·江西]如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在线 段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将 沿DE翻折交直线AB于 点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为________________. 考点2 圆周角定理及其推论 突破1 [2024·泰安]如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为( ) A．65° B．55° C．50° D．75° 突破2 [2024·陕西]如图，BC是⊙O的弦，连接OB，OC，∠A是 所对的圆周角，则∠A与∠OBC的和的度数是_____． 90° 突破3 [2024·眉山]如图，△ABC内接于⊙O，点O在AB上， AD平分∠BAC交⊙O于D，连接BD.若AB＝10，BD＝2 ，则 BC的长为__． 8 突破4 [2024·长春]如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D 是 的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连接 AD.给出下列结论： 上述结论中，正确结论的序号有_______． ①②③ 考点3 三角形的外接圆 突破1 [2024·镇江一模]如图，A，O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点(即小正方形的顶点)B，C，使O为△ABC的外心，则BC的长度是( ) 突破2 [2023·十堰]如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝3，EG＝2，则AB的长为( ) 突破3 [2024·苏州]如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若 ∠OBC＝28°，则∠A＝_____． 62° 突破4 [2023·广安]如图，△ABC内接于⊙O，圆的半径为7， ∠BAC＝60°，则弦BC的长度为_____． 考点4 圆的内接四边形 突破1 [2024·广元]如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC＝128°，则∠CDE等于( ) A．64° B．60° C．54° D．52° 突破2 [2024·吉林]如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于点E.若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是( ) A．50° B．100° C．130° D．150° 突破3 [2024·牡丹江]如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边 形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为( ) A．100° B．110° C．120° D．130° 突破4 [2024·滨州]如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形 AOCD是菱形，∠B的度数是_____． 60° 突破5 [2024·浙江]如图，在圆内接四边形ABCD中，AD<AC，∠ADC<∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连接EF，使∠AFE＝∠ADC. (1)若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数． (2)求证：①EF∥BC；②EF＝BD. 解：(1)∵∠AFE＝∠ADC，∠AFE＝60°， ∴∠ADC＝60°， ∵CD为直径， ∴∠DAC＝90°， ∴∠ACD＝90°－60°＝30°， ∵ ∴∠ABD＝∠ACD＝30°； (2)证明：①∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°， ∵∠AFE＝∠ADC， ∴∠AFE＋∠ABC＝180°，∴EF∥BC； ②过点D作EF的平行线交AF于点G， ∵DG∥EF， ∴∠F＝∠DGA，△ADG∽△AEF， ∵∠F＝∠ADC， ∴∠DGA＝∠ADC， ∵由(1)知∠ABD＝∠ACD， ∴△CDA∽△BGD， 1.[2024·福建]如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝72°， 直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为 的中点，则∠ACM等 于( ) A.18° B.30° C.36° D.72° 2.[福建中考]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为 中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于( ) A.40° B.50° C.60° D.70° 3.[2024·三明一模]如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ACB＝55°，则∠A＋∠B的度数为( ) A.35° B.55° C.125° D.110° 4.[2024·泉州一模]如图，在⊙O中，点C是弦AB的中点，连接OA，OC，若∠OAB＝37°，则∠AOC＝( ) A.37° B.53° C.54° D.63° 5.[2024·漳州二模]如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，连接OB，OD，若∠BCD＝110°，则∠BOD的大小为( ) A.110° B.120° C.130° D.140° 6.[2024·福州模拟]如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， BC是⊙O的直径，BC＝2CD，则∠BAD的度数是____°. 120 7.[2024·福建]如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以 AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E，BE的延长线交 于点F. (1)求 的值； (2)求证：△AEB∽△BEC； (3)求证：AD与EF互相平分. (2)证明：过点B作BM∥AE，交EO延长线于点M，如图1， ∴∠BAE＝∠ABM，∠AEO＝∠BMO＝90°. ∵AO＝BO， ∴△AOE≌△BOM(AAS)， ∴AE＝BM，OE＝OM， ∴BM＝2OE＝EM， ∴∠MEB＝∠MBE＝45°， ∠AEB＝∠AEO＋∠MEB＝135°， ∠BEC＝180°－∠MEB＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°， ∴∠ABM＝∠CBE， ∴∠BAE＝∠CBE， ∴△AEB∽△BEC； (3)连接DE，DF.如图2， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠AFB＝90°，AB＝2AO. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴BC＝2BD，∠DAB＝45°， 由(2)知，△AEB∽△BEC， ∴△AOE∽△BDE， ∴∠BED＝∠AEO＝90°， ∴∠DEF＝90°，∴∠AFB＝∠DEF，∴AF∥DE， 由(2)知，∠AEB＝135°， ∴∠AEF＝180°－∠AEB＝45°. ∵∠DFB＝∠DAB＝45°， ∴∠DFB＝∠AEF， ∴AE∥FD， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴AD与EF互相平分. eq \o(BD,\s\up16(︵)) eq \o(AC,\s\up16(︵)) eq \o(BC,\s\up16(︵)) eq \o(AD,\s\up18(︵))＝eq \o(BD,\s\up18(︵)) eq \o(AC,\s\up18(︵))＝eq \o(CB,\s\up18(︵))，eq \o(AD,\s\up18(︵)) eq \o(AB,\s\up18(︵)) 3eq \r(10) eq \o(DBE,\s\up18(︵)) 2－eq \r(3)或2＋eq \r(3)或2 eq \o(BC,\s\up18(︵)) eq \r(5) eq \o(AC,\s\up18(︵)) ①∠ABD＝∠DAC ②AF＝FG ③当DG＝2，GB＝3时，FG＝eq \f(\r(14),2) ④当eq \o(BD,\s\up18(︵))＝2eq \o(AD,\s\up18(︵))，AB＝6时，△DFG的面积是eq \r(3). A．3 eq \r(2) B．2 eq \r(5) C．4 D.eq \r(17) A．4 eq \r(3) B．7 C．8 D．4 eq \r(5) 7eq \r(3) eq \o(AD,\s\up18(︵))＝eq \o(AD,\s\up18(︵))， ∴eq \f(AC,BD)＝eq \f(AD,GD)， ∵△ADG∽△AEF， ∴eq \f(AD,AE)＝eq \f(GD,EF)，∴eq \f(AD,GD)＝eq \f(AE,EF)，∴eq \f(AC,BD)＝eq \f(AE,EF)， ∵AE＝AC， ∴EF＝BD. eq \o(AB,\s\up20(︵)) eq \o(BD,\s\up20(︵)) eq \o(AD,\s\up20(︵)) eq \f(OE,AE) 解：(1)∵AB＝AC，且AB是⊙O的直径， ∴AC＝2AO， ∵∠BAC＝90°， 在Rt△AOC中，tan∠AOC＝eq \f(AC,AO)＝2， ∵AE⊥OC， 在Rt△AOE中，tan∠AOC＝eq \f(AE,OE)， ∴eq \f(AE,OE)＝2，∴eq \f(OE,AE)＝eq \f(1,2)； ∵eq \f(OE,AE)＝eq \f(1,2)， ∴eq \f(AE,BE)＝eq \f(AB,BC)＝eq \f(2AO,2BD)＝eq \f(AO,BD)，∠EAO＝∠EBD， $$