2025年重庆九年级中考数学模拟试卷（七）

2025年重庆中考数学模拟试卷（七） 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）下列四个数中，最小的数是（　　） A．0 B．﹣6 C．﹣π D．3 2．（4分）新能源汽车逐步成为支撑全球汽车销量增长、推动全球汽车产业升级的重要力量．其中，我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．2024年5月份，龙头企业比亚迪遥遥领先，小米SU7汽车销量创历史新高．以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）估算的值（　　） A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在6和7之间 D．在7和8之间 4．（4分）关于反比例函数图象，下列说法正确的是（　　） A．点（2，1）在它的图象上 B．它的图象经过原点 C．它的图象在第一、三象限 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 5．（4分）下列说法错误的是（　　） A．对角线互相平分的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．三个角是直角的四边形是矩形 6．（4分）如图．已知△AOB和△COD是以点O为位似中心的位似图形，且OA＝2OC，点A坐标为（1，5），则点C坐标为（　　） A．（﹣2，﹣10） B．（﹣1，﹣5） C． D． 7．（4分）石墨烯是碳的同素异形体，碳原子以sp2杂化键合形成单层六边形蜂窝晶格石墨烯，其结构的一部分如图所示．正六边形的一条边表示两个碳原子构成的碳碳键，当正六边形只有一个时，碳碳键有6条；当正六边形有2个时，碳碳键有11条；当正六边形有3个时，碳碳键有16条…以此类推．当碳碳键共有96条时，正六边形的个数为（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 8．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，以B为圆心，AB为半径画弧AC，点E为BC中点，以E为圆心，BE为半径画弧BC，过点E作BC的垂线交弧AC于点F，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．3π﹣6 C． D．6 9．（4分）如图，正方形ABCD的对角线BD上有一点E，满足DE＝2BE，连接CE，过D作DF⊥CE 于F，连接BF．则的值为（　　） A． B． C． D． 10．（4分）对于P、Q，定义一种新运算“⊕”，当P≥0时，P⊕Q＝P+Q，当P＜0时，P⊕Q＝P﹣Q，下列说法： ①已知A＝ax2﹣2x+1，B＝2x2﹣bx+3，3⊕A+（﹣2⊕B）的值与x的取值无关，则a＝2，b＝2； ②对于任意的实数m、n，若，则； ③满足[2⊕（x2+y2﹣2x﹣2y）]≤2的整数解（x，y）共有9种． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 11．（5分）计算：（）﹣2﹣（3﹣π）0＝　 　 ． 12．（5分）如果一个多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形的边数为　 　 ． 13．（5分）现有外观完全相同的4张刮刮卡，其中“表扬卡”2张，“加分卡”1张，“零食卡”1张，小南从中随机抽取两张刮开，则小南抽到两张都是“表扬卡”的概率是　 　 ． 14．（5分）若关于x的不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程2的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 　 　 ． 15．（5分）如图，∠MPN＝30°，点O在PM上，⊙O与PN相切于点A，与PM的交点分别为B，C．作CD∥PN，与⊙O交于点D，作CE⊥PN，垂足为E，连接EO并延长，交CD于点F，CD＝8，则OA的长为 　 　 ，EF的长为 　 　 ． 16．（5分）一个四位正整数M，将其前两位数字与后两位数字整体交换位置，组成新的四位数N，并且规定：，G（M）等于M的后两位数字之和．若F（M）是7的倍数，则M为“超越数”．例如：四位数M＝1658，则N＝5816，因为是7的倍数，所以M是“超越数”．则F（2156）＝ 　 　 ；如果四位数，且a、c为整数）是一个“超越数”，且G（S）为偶数，则满足条件的S的最大值为 　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分80分，每小题10分） 17．（10分）（1）计算：； （2）解二元一次方程组：； （3）化简：（x﹣2y）2+（x+y）（5y﹣x）； （4）化简：． 18．（10分）2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：A．x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100），下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86． 根据以上信息，解答下列问题： 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 112.2 10% 男生 88 100 b 200.2 50% （1）上述图表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）我校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ 19．（10分）如图，小李在中考数学复习中，做了如下探究：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BD上一点，连接AE，CE． （1）用直尺和圆规完成以下基本操作：过点C作AE的平行线，交BD于点F，连接AF；（不写作法，只保留作图痕迹） （2）求证：四边形AECF为平行四边形． 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴①　 　 ， ∵AE∥CF， ∴②　 　 ， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝③　 　 ， ∴四边形AECF为平行四边形． 从以上探究过程中，小李进一步发现：若四边形ABCD为菱形，E为BD延长线上一点，连接AE，CE，再过点C作直线AE的平行线，交DB延长线于点F，连接AF，则四边形AECF的形状为④　 　 ． 20．（10分）2024年巴黎奥运会顺利举行，奥运纪念品深受喜爱，某商场两次购进A，B两款纪念品．第一次购进A款纪念品100件，B款纪念品80件，共6200元，第二次购进A款纪念品150件，B款纪念品40件，共6100元． （1）求A，B两款纪念品的进价各是多少元？ （2）商场为了尽快将A款纪念品销售完，决定对A款纪念品进行降价销售，当销售单价为每个60元时，每周可以卖出50个，每降10元，每周就可以多卖100个，请问商场将每个A款纪念品降价多少元时，每周销售A款纪念品的利润为2340元？ 21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝3，AD＝4，CD＝8，连接BD，动点P从点A出发沿折线A﹣B﹣D方向运动，动点Q从点C出发沿C﹣D方向运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点时同时停止运动，连接DP，BQ．设运动的时间为x秒（0＜x＜8），记△ADP的面积为y1，△BCD的面积与△BCQ的面积之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 22．（10分）如图，为了测量斜坡BC上的建筑物AB的高度，一个数学兴趣小组，站在山脚C点处测得建筑物底部B点的仰角为45°，然后沿水平方向走了6米到达点D，再沿坡度为1：2.4的斜坡DE走了26米到达点E，继续向前走了25米到达了一个比较好的测量点F，在F点测得建筑物底部B的仰角为25°，建筑物顶部A的仰角为30°（测量员身高与测角仪高度均忽略不计，且A、B、C、D、E、F在同一平面内）． （1）求点F到山脚C的水平距离； （2）求建筑物的AB的高度；（精确到0.1，参考数据sin25°≈0.38，cos25°≈0.93，tan25°≈0.40，，） 23．（10分）如图：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（3，0），交y轴于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，点P在直线BC上方抛物线上运动，过点P作PE⊥BC，PF⊥x轴于点F，求的最大值，以及此时点P的坐标． （3）将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线与y轴交于点C′，点B的对应点为B′，点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点A到y轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点M，使得∠MNB′＝∠C′B′N，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 24．（10分）如图三角形ABC中，点D在线段BC上，点E在线段AB上，连接AD、CE交于点F． （1）如图1，AD⊥BC，∠DAC＝30°，CE平分∠ACB．若AC＝EC＝6．求BE的长． （2）如图2，△ACD是等边三角形．延长CE至点H，连接AH，连接DH交AB于点G．若∠AGH＝∠HCD，AE＝AF．猜想FC、HE、HD之间的数量关系并证明． （3）如图3，AD⊥BC，CE⊥AB，且∠ABC＝45°，CD＝3，．点P、Q是平面内直线BC上方的动点且总有∠BPC∠BEC，BQ＝DF．若∠PBQ＝∠PCB，直接写出当线段PQ取得最小值时△APQ的面积． 2025年重庆中考数学模拟试卷（七） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B． B D D A C D A A D 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）下列四个数中，最小的数是（　　） A．0 B．﹣6 C．﹣π D．3 【解答】解：∵﹣6＜﹣π＜0＜3， ∴最小的数是：﹣6． 故选：B． 2．（4分）新能源汽车逐步成为支撑全球汽车销量增长、推动全球汽车产业升级的重要力量．其中，我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．2024年5月份，龙头企业比亚迪遥遥领先，小米SU7汽车销量创历史新高．以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、既不是是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； C、既不是是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 3．（4分）估算的值（　　） A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在6和7之间 D．在7和8之间 【解答】解：原式＝5， 又∵4＜6＜9， ∴23， ∴其值在7和8之间． 故选：D． 4．（4分）关于反比例函数图象，下列说法正确的是（　　） A．点（2，1）在它的图象上 B．它的图象经过原点 C．它的图象在第一、三象限 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 【解答】解：当x＝2时，y＝﹣1，即点（2，1）不在它的图象上，故A错误，不符合题意； 反比例函数不经过原点，故B错误，不符合题意； 反比例函数，k＝﹣2＜0，图象在于二、四象限，故C错误，不符合题意； 当x＞0时，y随x的增大而增大，故D正确，符合题意； 故选：D． 5．（4分）下列说法错误的是（　　） A．对角线互相平分的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．三个角是直角的四边形是矩形 【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项A符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故选项C不符合题意； D、三个角是直角的四边形是矩形，故选项D不符合题意； 故选：A． 6．（4分）如图．已知△AOB和△COD是以点O为位似中心的位似图形，且OA＝2OC，点A坐标为（1，5），则点C坐标为（　　） A．（﹣2，﹣10） B．（﹣1，﹣5） C． D． 【解答】解：∵OA＝2OC， ∴OA：OC＝2：1． 又∵△AOB与△EOD是以点O为位似中心的位似图形， ∴位似比为2：1． ∵点A的坐标为（1，5），点C位于第三象限， ∴点C的坐标为（﹣1，﹣5），即（，）， 故选：C． 7．（4分）石墨烯是碳的同素异形体，碳原子以sp2杂化键合形成单层六边形蜂窝晶格石墨烯，其结构的一部分如图所示．正六边形的一条边表示两个碳原子构成的碳碳键，当正六边形只有一个时，碳碳键有6条；当正六边形有2个时，碳碳键有11条；当正六边形有3个时，碳碳键有16条…以此类推．当碳碳键共有96条时，正六边形的个数为（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【解答】解：正六边形有1个时，碳碳键数量为6； 正六边形有2个时，碳碳键数量为11； 正六边形有3个时，碳碳键数量为16； ……， 以此类推，正六边形有n个时，碳碳键数量为5n+1， 令5n+1＝96， 解得n＝19， 故正六边形的个数为19， 故选：D． 8．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，以B为圆心，AB为半径画弧AC，点E为BC中点，以E为圆心，BE为半径画弧BC，过点E作BC的垂线交弧AC于点F，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．3π﹣6 C． D．6 【解答】解：连接BF，FC， ∵EF垂直平分BC， ∴BF＝CF， 又∵BC＝BF， ∴△FBC是等边三角形， ∴∠FBC＝60°， ∴． 在Rt△BEF中， tan∠EBF， ∴， ∴EF， ∴． 又∵小半圆面积四分之一为， ∴． 故选：A． 9．（4分）如图，正方形ABCD的对角线BD上有一点E，满足DE＝2BE，连接CE，过D作DF⊥CE 于F，连接BF．则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：延长CE交AB于点H，过点E作EM⊥AB于点M，ME的延长线交CD于点N，过点F作FP⊥BC于点P，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∵AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴△BEH∽△DEC， ∴， ∵DE＝2BE， ∴， ∴BHCDAB，HECE， 设BH＝a，则AB＝2a， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2a， 在Rt△BCH中，由勾股定理得：CH， ∵HECE， ∴HECH，CECH， ∵MN⊥AB， ∴∠BMN＝∠MNC＝∠ABC＝90°， ∴四边形MNCB是矩形， ∴MN＝BC＝2a，EN⊥CD， ∵AB∥CD， ∴△BEM∽△DEN， ∴， ∴EMEN， ∴EMMN，ENMN， ∵DF⊥CE， ∴由三角形的面积公式得：S△BECCE•DFCD•EN， ∴CE•DF＝CD•EN， ∴， ∴DF， 在Rt△DCF中，由勾股定理得：CF， ∵FP⊥CD，DF⊥CE， ∴∠CPF＝∠DFC＝90°， ∴∠PCF+∠CFP＝90°， ∵∠PCF+∠DCF＝∠BCD＝90°， ∴∠CFP＝∠DCF， ∴△CFP∽△DCF， ∴， ∴， ∴FP，PC， ∴BP＝BC﹣PC， 在Rt△BFP中，由勾股定理得：BF， ∴ ． 故选：A． 10．（4分）对于P、Q，定义一种新运算“⊕”，当P≥0时，P⊕Q＝P+Q，当P＜0时，P⊕Q＝P﹣Q，下列说法： ①已知A＝ax2﹣2x+1，B＝2x2﹣bx+3，3⊕A+（﹣2⊕B）的值与x的取值无关，则a＝2，b＝2； ②对于任意的实数m、n，若，则； ③满足[2⊕（x2+y2﹣2x﹣2y）]≤2的整数解（x，y）共有9种． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：对于①： 因为当P≥0时，P⊕Q＝P+Q，当P＜0时，P⊕Q＝P﹣Q， A＝ax2﹣2x+1，B＝2x2﹣bx+3， 对于①： 3⊕A+（﹣2⊕B） ＝3+ax2﹣2x+1+（﹣2）﹣（2x2﹣bx+3） ＝3+ax2﹣2x+1﹣2﹣2x2+bx﹣3 ＝（a﹣2）x2+（b﹣2）x﹣1； 因为3⊕A+（﹣2⊕B）与x的取值无关， 所以a﹣2＝0，b﹣2＝0， 即a﹣＝2，b＝2． 故①正确． 对于②： 因为， 所以m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝10﹣2×（﹣6）＝22， [5⊕（m2﹣4m）]﹣[﹣5⊕（n2﹣4n）] ＝5+m2﹣4m﹣[﹣5﹣（n2﹣4n）] ＝m2﹣4m+5+5+n2﹣4n ＝（m2+n2）﹣4（m+n）+10 ＝22﹣410 ； 故②正确． 对于③： [2⊕（x2+y2﹣2x﹣2y）]≤2 2+x2+y2﹣2x﹣2y≤2 （x2﹣2x+1）+（y2﹣2y+1）≤2 （x﹣1）2+（y﹣1）2≤2， 因为x、y为整数， 所以有x＝0，y＝0；x＝1，y＝1；x＝0，y＝1；x＝1，y＝0；x＝2，y＝2；x＝2，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝0；x＝0，y＝2． 即整数解（x，y）共有9种． 故③正确． 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 11．（5分）计算：（）﹣2﹣（3﹣π）0＝　25　 ． 【解答】解：原式＝24﹣1 ＝25． 故答案为：25． 12．（5分）如果一个多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形的边数为　10　 ． 【解答】解：360°÷36°＝10． 故这个多边形的边数为10． 故答案为：10． 13．（5分）现有外观完全相同的4张刮刮卡，其中“表扬卡”2张，“加分卡”1张，“零食卡”1张，小南从中随机抽取两张刮开，则小南抽到两张都是“表扬卡”的概率是　　 ． 【解答】解：将2张“表扬卡”分别记为A，B，1张“加分卡”记为C，1张“零食卡”记为D， 列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中小南抽到两张都是“表扬卡”的结果有：（A，B），（B，A），共2种， 小南抽到两张都是“表扬卡”的概率为． 故答案为：． 14．（5分）若关于x的不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程2的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 　16　 ． 【解答】解：， 解不等式①，得x＜4， 解不等式②，得x， ∴该不等式组的解集为x＜4， ∵该不等式组至少有2个整数解， ∴2， 解得a≤8； 解分式方程2得， y， ∵解为非负整数， ∴0，即a≥2且a为偶数， 由题意得，当a＝8时，y3； 当a＝6时，y2； 当a＝4时，y1（不合题意，舍去）； 当a＝2时，y0， ∴所有满足条件的整数a的值为8、6和2， ∵8+6+2＝16， ∴所有满足条件的整数a的值之和为16， 故答案为：16． 15．（5分）如图，∠MPN＝30°，点O在PM上，⊙O与PN相切于点A，与PM的交点分别为B，C．作CD∥PN，与⊙O交于点D，作CE⊥PN，垂足为E，连接EO并延长，交CD于点F，CD＝8，则OA的长为 　　 ，EF的长为 　2　 ． 【解答】解：延长AO交CD于点H， ∵⊙O与PN相切于点A， ∴PN⊥OA， ∵CD∥PN，∠MPN＝30°， ∴∠OHC＝∠OAP＝90°，∠OCD＝∠MPN＝30°， ∵CD＝8，OH⊥CD于点H， ∴CH＝DHCD＝4， ∵OHOC， ∴CHOC＝4， ∴OA＝OC； ∵CE⊥PN于点E， ∴∠AEC＝∠EAH＝∠AHC＝90°， ∴四边形AECH是矩形， ∴AE＝CH＝4， ∴OE， ∵HF∥AE，OHOCOA， ∴△HOF∽△AOE， ∴， ∴OFOE， ∴EF＝OE+OF2， 故答案为：，2． 16．（5分）一个四位正整数M，将其前两位数字与后两位数字整体交换位置，组成新的四位数N，并且规定：，G（M）等于M的后两位数字之和．若F（M）是7的倍数，则M为“超越数”．例如：四位数M＝1658，则N＝5816，因为是7的倍数，所以M是“超越数”．则F（2156）＝ 　﹣35　 ；如果四位数，且a、c为整数）是一个“超越数”，且G（S）为偶数，则满足条件的S的最大值为 　4157　 ． 【解答】解：F（2156）35； 由题意得 F（S）＝ 1000a+100（6﹣c）+10c+（3+a）﹣100（3+a）﹣100c﹣10（6﹣c）﹣α 99 ＝9a﹣2c+3是7的倍数， G（S）＝c+3+a是偶数， ∴a+c 是奇数， ∴a＝6时，c＝5，F（S）＝9×6﹣2×5+3＝47不是7的倍数，舍去； a＝6 时，c＝3，F（S）＝9×6﹣2×3+3＝51 不是7的倍数，舍去； a＝6时，c＝1，F（S）＝9×6﹣2×1+3＝55不是7的倍数，舍去； a＝5时，c＝4，F（S）＝9×5﹣2×4+3＝40不是7的倍数，舍去； a＝5时，c＝2，F（S）＝9×5﹣2×2+3＝44不是7 的倍数，舍去； a＝5时，c＝1，F（S）＝9×5﹣2×1+3＝46 不是7的倍数，舍去； a＝4 时，c＝5，F（S）＝9×4﹣2×5+3＝35是7的倍数， ∴S的最大值为4157． 故答案为：﹣35；4157． 三．解答题（共8小题，满分80分，每小题10分） 17．（10分）（1）计算：； （2）解二元一次方程组：； （3）化简：（x﹣2y）2+（x+y）（5y﹣x）； （4）化简：． 【解答】解：（1）原式＝﹣4+（﹣2）+（） ＝﹣6． （2） ①×4﹣②得：7x＝21， x＝3， 把x＝3代入①中， 6+y＝5， y＝﹣1， ∴原方程组的解： （3）原式＝x2﹣4xy+4y2+5xy﹣x2+5y2﹣xy ＝9y2． （4）原式 ． 18．（10分）2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：A．x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100），下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86． 根据以上信息，解答下列问题： 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 112.2 10% 男生 88 100 b 200.2 50% （1）上述图表中的a＝　98　 ，b＝　93　 ，m＝　10　 ； （2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）我校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ 【解答】解：（1）由题意可得：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100． 98出现最多，则a＝98， 根据统计表可得满分的有10×50%＝5人，则中位数为第5和第6个数据，10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86． 则按从小到大排列，第5个数据为86，第6个数据为100， 则， ∵评分分数为A和B的人数和为10﹣10×50%﹣3＝2，且A，B的人数都不为0， ∴评分分数为A和B的人数都是1人， ∴，则m＝10， 故答案为：98，93，10． （2）男生更喜欢《哪吒2》，理由如下： 根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》， （3）估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有：（人）． 19．（10分）如图，小李在中考数学复习中，做了如下探究：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BD上一点，连接AE，CE． （1）用直尺和圆规完成以下基本操作：过点C作AE的平行线，交BD于点F，连接AF；（不写作法，只保留作图痕迹） （2）求证：四边形AECF为平行四边形． 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴①　AO＝CO　 ， ∵AE∥CF， ∴②　∠EAO＝∠FCO　 ， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝③　CF　 ， ∴四边形AECF为平行四边形． 从以上探究过程中，小李进一步发现：若四边形ABCD为菱形，E为BD延长线上一点，连接AE，CE，再过点C作直线AE的平行线，交DB延长线于点F，连接AF，则四边形AECF的形状为④　菱形　 ． 【解答】（1）解：如图所示为所求： （2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO＝CO， ∵AE∥CF， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF为平行四边形． 如图，四边形AECF是菱形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AO＝CO，AC⊥BD， ∵AE∥CF， ∴∠EAO＝∠FCO， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是菱形， ∴四边形AECF的形状为菱形， 故答案为：AO＝CO，∠EAO＝∠FCO，CF，菱形． 20．（10分）2024年巴黎奥运会顺利举行，奥运纪念品深受喜爱，某商场两次购进A，B两款纪念品．第一次购进A款纪念品100件，B款纪念品80件，共6200元，第二次购进A款纪念品150件，B款纪念品40件，共6100元． （1）求A，B两款纪念品的进价各是多少元？ （2）商场为了尽快将A款纪念品销售完，决定对A款纪念品进行降价销售，当销售单价为每个60元时，每周可以卖出50个，每降10元，每周就可以多卖100个，请问商场将每个A款纪念品降价多少元时，每周销售A款纪念品的利润为2340元？ 【解答】解：（1）设A款纪念品的进价是x元，B款纪念品的进价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A款纪念品的进价是30元，B款纪念品的进价是40元； （2）设商场将每个A款纪念品降价m元，则每个A款纪念品的销售利润为（60﹣m﹣30）元，每天可以售出（50100）个，即（50+10m）个， 根据题意得：（60﹣m﹣30）（50+10m）＝2340， 整理得：m2﹣25m+84＝0， 解得：m1＝21，m2＝4（不符合题意，舍去）． 答：商场将每个A款纪念品降价21元时，每周销售A款纪念品的利润为2340元． 21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝3，AD＝4，CD＝8，连接BD，动点P从点A出发沿折线A﹣B﹣D方向运动，动点Q从点C出发沿C﹣D方向运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点时同时停止运动，连接DP，BQ．设运动的时间为x秒（0＜x＜8），记△ADP的面积为y1，△BCD的面积与△BCQ的面积之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【解答】解：（1）；（0＜x＜8）；理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠ADC+∠DAB＝180°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠DAB＝90°， 在Rt△ABD中，AB＝3，AD＝4， 由勾股定理得：， 如图1，当0＜x≤3时，AP＝x，如图1， ∴，即y1＝2x（0＜x≤3）； 当3＜x＜8时，如图2，过点A作AE⊥BD， ∵， ∴； 而DP＝3+5﹣x＝8﹣x， ∴，即 综上所述，； ∵CD＝8，AD＝4 ∴，， ∴）（0＜x＜8）； （2）①作的图象： 列表： x 1 2 3 8 y 2 4 6 0 描点，连线，如图： 作的图象， 列表得， x 1 2 4 5 y 8 4 2 1.6 描点，连线，如图： 性质：当0＜x≤3时，y随x的增大而增大； （3）解：联立方程组， 解得，或（舍去）， 联立方程组， 整理得，， 解得，或， 由函数图象可知，当0＜x＜2或7.1＜x＜8时，y1＜y2． 22．（10分）如图，为了测量斜坡BC上的建筑物AB的高度，一个数学兴趣小组，站在山脚C点处测得建筑物底部B点的仰角为45°，然后沿水平方向走了6米到达点D，再沿坡度为1：2.4的斜坡DE走了26米到达点E，继续向前走了25米到达了一个比较好的测量点F，在F点测得建筑物底部B的仰角为25°，建筑物顶部A的仰角为30°（测量员身高与测角仪高度均忽略不计，且A、B、C、D、E、F在同一平面内）． （1）求点F到山脚C的水平距离； （2）求建筑物的AB的高度；（精确到0.1，参考数据sin25°≈0.38，cos25°≈0.93，tan25°≈0.40，，） 【解答】解：（1）如图，过点D作DG⊥EF，垂足为G，过点C作CH⊥EF，垂足为F， 则CD＝HG＝6米，CH＝DG， ∵斜坡DE的坡度为1：2.4， ∴， ∴设DG＝5x米，GE＝12x米， ∴（米）， ∵DE＝26米， ∴13x＝26， ∴x＝2， ∴DG＝10（米），GE＝24（米）， ∵EF＝25米， ∴HF＝GH+GE+EF＝55米）， ∴点F到山脚C的水平距离为55米； （2）延长FE交AB的延长线于点M，延长DC交AB的延长线于点N， 则MN＝CH＝DG＝10米，NC＝MH， 设NC＝MH＝x米， ∴FM＝MH+FH＝（55+x）米， 在Rt△BNC中，∠BCN＝45°， ∴BN＝CN•tan45°＝x（米）， ∴BM＝BN+MN＝（x+10）米， 在Rt△BMF中，∠BFM＝25°， ∴， ∴x＝20， 经检验：x＝20是原方程的根， ∴BM＝30米，MF＝75米， 在Rt△AMF中，∠AFM＝30°， ∴（米）， ∴（米）， ∴建筑物的AB的高度为12.5米． 23．（10分）如图：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（3，0），交y轴于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，点P在直线BC上方抛物线上运动，过点P作PE⊥BC，PF⊥x轴于点F，求的最大值，以及此时点P的坐标． （3）将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线与y轴交于点C′，点B的对应点为B′，点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点A到y轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点M，使得∠MNB′＝∠C′B′N，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线过点A（﹣2，0），点B（3，0）， ∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣3）， 把点C（0，3）代入可得，﹣6a＝3， 解得， ∴抛物线解析式为：y（x+2）（x﹣3）x2x+3； （2）∵B（3，0），C（0，3），∠BOC＝90°， ∴OB＝OC＝3，即△BOC是等腰直角三角形， ∴∠OBC＝OCB＝45°， 设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0）， ∵点B（3，0），点C（0，3）． ∴， 解得，， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3， 如图1，设BC与PF交于点G， ∵PE⊥BC，PF⊥x轴， ∴∠PEG＝∠BFG＝90°，且∠OBC＝45°， ∴∠PGE＝∠BGF＝90°﹣45°＝45°， ∴△PEG是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则G（p，﹣p+3），F（p，0），且A（﹣2，0）， ∴，AF＝p+2， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴； （3）存在点M，点M的横坐标为xM＝3或xM＝6；理由如下： ∵抛物线， ∴将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线的解析式为：， 令x＝0，则y＝2，令y＝0，则， 解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴C′（0，2），B′（4，0）， ∵点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点A（﹣2，0）到y轴的距离的一半， ∴，且0＜xN＜4， 把xN＝1代入得： y＝3， ∴N（1，3）， ∵B′（4，0），C′（0，2）， ∴设直线B′C′的解析式为y＝mx+n（m≠0），把点B，点C′的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线B′C′的解析式为， 第一种情况，过点N作NM1∥B′C′，交抛物线于点M1，则∠M1NB′＝∠C′B′N，如图2， ∴设直线M1N的解析式为，把点N（1，3）代入得： ， 解得， ∴直线M1N的解析式为：， 联立新抛物线与直线M1N为方程组得： ， 解得（不合题意，舍去）或， ∴M1（3，2）； 第二种情况，作∠B′NM2＝∠C′B′N，交抛物线于点M2，交直线B′C′于点H，如图3， ∴HN＝HB′， 设，且N（1，3），B′（4，0）， ∴，， ∴， 解得，h＝2， ∴H（2，1）， 设直线NH的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0），将点N，H的坐标代入得： ， 解得， ∴直线NH的解析式为y＝﹣2x+5， 联立抛物线与直线NH为方程组得， 解得（不合题意，舍去）或， ∴M2（6，﹣7）； 综上所述，存在点M，使得∠MNB′＝∠C′B′N，点M的坐标为（3，2）或（6，﹣7）． 24．（10分）如图三角形ABC中，点D在线段BC上，点E在线段AB上，连接AD、CE交于点F． （1）如图1，AD⊥BC，∠DAC＝30°，CE平分∠ACB．若AC＝EC＝6．求BE的长． （2）如图2，△ACD是等边三角形．延长CE至点H，连接AH，连接DH交AB于点G．若∠AGH＝∠HCD，AE＝AF．猜想FC、HE、HD之间的数量关系并证明． （3）如图3，AD⊥BC，CE⊥AB，且∠ABC＝45°，CD＝3，．点P、Q是平面内直线BC上方的动点且总有∠BPC∠BEC，BQ＝DF．若∠PBQ＝∠PCB，直接写出当线段PQ取得最小值时△APQ的面积． 【解答】解：（1）如图，过点E作 EI⊥BC于点I， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠DAC＝30°， ∴∠ACD＝60°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ECB＝∠ACE＝30°， ∵AC＝EC＝6， ∴，， ∴∠B＝∠AEC﹣∠ECB＝75°﹣30°＝45°， ∴∠BEI＝90°﹣∠B＝45°， ∴BI＝BE＝3， ∴； （2）猜想：FC＝HD+HE，证明如下： 在FC上取点K，使得HK＝HA，连接AK，在HR上截取HR＝HD， ∵△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝∠DAC＝∠ADC＝60°，AD＝AC＝DC， 设∠ACF＝α，则∠AGH＝∠HCD＝60°﹣α， ∵AE＝AF， ∴∠AFE＝∠AEF＝∠DAC+∠ACD＝60°+α， ∴∠AEH＝180°﹣∠AEF＝120°﹣α， ∴∠GHE＝∠AEH﹣∠AGH＝120°﹣α﹣（60°﹣α）＝60°， ∴△HDR是等边三角形， ∴HD＝DR，∠HDR＝∠HRD＝60°， ∴∠HDR＝∠ADC＝60°， ∴∠HDA＝∠RDC， ∴△DHA≌△DRC（SAS）， ∴∠DHA＝∠DRC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠AHK＝∠DHA﹣∠DHC＝60°， 又∵HK＝HA， ∴△AHK为等边三角形， ∴AH＝AK，∠HAK＝∠AHE＝∠AKF＝60°， ∵∠AFE＝∠AEF， ∴∠AFK＝∠AEH， ∴△AHE≌△AKF（AAS）， ∴HE＝FK， ∵∠HAK＝∠DAC＝60°， ∴∠HAD＝∠KAC， ∴△AHD≌△AKC（SAS）， ∴KC＝HD， ∴FC＝FK+KC＝HE+HD； （3）由，设AE＝2x，BE＝5x，则AB＝7x， ∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCE＝45°， ∴∠AFE＝∠CFD＝∠BAD＝∠ABC＝∠BCE＝45°，BD＝ADx，BE＝CE＝5x， ∴DF＝CD＝3，AE＝EF＝2x，AFAE＝2x， ∴DF＝AD﹣AFx＝3， 解得：x， ∴AB＝7x＝7，BE＝5x＝5， 如图，将△PBQ沿直线PB翻折，得到△PBM， 构造△PBC的外接圆⊙O， 由， 则所对圆心角为∠BOC＝2∠BPC＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵BE＝CE，∠BEC＝90°， ∴∠OBC＝∠EBC＝∠OCB＝∠ECB＝45°， 又∵BC＝BC， ∴△EBC≌△OBC（AAS）， ∴点E和点O重合， ∴△PBC的外接圆圆心即为点E， ∴点P的轨迹为以E为圆心，EB为半径的圆在BC上方部分， ∵BQ＝DF＝3， ∴如图，点Q的轨迹为以B为圆心，BQ＝DF＝3为半径长的圆在BC上方部分， 设∠PBQ＝∠PCB＝β， ∴∠PBC＝180°﹣∠BPC﹣∠PCB＝135°﹣β， ∴∠PBA＝∠PBC﹣∠ABC＝90°﹣β， ∴PM＝PQ，BM＝BQ，∠PBM＝∠PBQ＝β，∴ ∠MBA＝∠PBM+∠PBA＝90°， ∵，BM＝BQ＝3， ∴是定值， 由PM+PE≥ME，且当M、P、E依次共线时，PM+PE取最小值ME， 由，则当M、P、E依次共线时，PQ取最小值， 当PQ取最小值时，如图， ∵EP＝EB， ∴∠EPB＝∠EBP＝90°﹣α， ∴∠BMP＝∠EPB﹣∠PBM＝90°﹣2α， ∴∠BQP＝∠BMP＝90°﹣2α， ∵∠EBQ＝∠EBP﹣∠PBQ＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴∠BQP＝∠EBQ， ∴PQ∥AB， 过点P作PU⊥AB于点U，连接QU， ∴PU∥BM， ∴△EPU∽△EMB， ∴，即， 解得：， ∵PQ∥AB， ∴S△APQ＝S△UPQPQ•PU（）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$