5.1.2导数的概念 教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.2导数的概念 1、 教学内容 导数的概念 2、 教学目标 1.能从具体案例中抽象概括出导数的概念。 2.能根据导数的定义求简单函数的导数，能归纳出根据导数定义求函数导数的步骤。 3.进一步体会导数的内涵与意义，进一步体会极限思想。 3、 教学重点与难点 重点：导数的概念和极限思想 难点：从求瞬时速度、切线的斜率这些具体案例中抽象出导数概念。 4、 教学过程设计 前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，设计平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率。这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法，问题的答案也有一样的表示形式。下面我们用上述思想方法研究更一般的问题。 问题1：在“高台跳水运动员的速度”和“抛物线的切线的斜率”两个问题中，都设计求下列形式的极限 ，① 并且发现：对于定义域中自变量的某个取值，①式都是一个常数。如果函数是一般的函数，①式是否也是一个常数？如果 ①式也是一个常数，这个常数有怎样的意义？ 【师生活动】（1）设，让学生思考并回答上述问题。 （2）设，再让学生思考并回答上述问题。 （3）设，，再让学生思考并回答上述问题。 【设计意图】通过对不同函数的探究发现，尽管对许多函数而言，①式是一个常数；但并不是对所有函数，①式都是一个常数。通过上述数学活动，为建立导数的概念作铺垫，并以此进一步渗透极限思想。 问题2：如果对函数的自变量的某个取值，下式 是一个常数，你能说出这个常数的意义吗？ 【师生活动】（1）让学生结合学习过的“高台跳水运动员的速度”和“抛物线的切线的斜率”两个问题进行思考，在此基础上给出函数平均变化率的定义： 对于函数，设自变量从变化到+ ，相应地，函数值就从变化到。这时， 的变化量为，的变化量为 我们把比值，即= 叫做函数从到的平均变化率。 （2）进一步指出，如果是一个常数，那么这个常数就是微积分中的导数。在此基础上，让学生尝试概括出导数的定义。 让学生将自己概括的导数定义上传到信息技术平台上，教师点评后给出导数的定义： 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或，即 【设计意图】通过从特殊到一般的数学活动，归纳、概括出导数的概念，发展学生的数学抽象素养。 问题3：（教科书第65页例1）设，求。 【师生活动】学生思考并尝试求解。板书计算过程，强调导数计算的步骤，提醒学生体会导数的概念。 追问1：对，你能求出（）吗？ 师生活动：让学生练习并在信息技术平台上传答案，教师点评。 追问2：求函数在处的导数的步骤是什么？ 【师生活动】学生思考并回答，教师在学生回答的基础上总结出以下步骤： 第一步，写出函数的平均变化率=并化简； 第二步，求极限，若存在，则导数。 【设计意图】让学生熟悉导数的定义和求导步骤，体会特殊点处的导数与一般点处的导数的异同点与联系，为后续学习导函数作准备。 问题4：（教科书第65页例2）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。已知在第x h时，原油的温度（单位：℃）为。计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。 【师生活动】（1）教师示范第2h时的原油温度的瞬时变化率。 （2）学生求解第6h时的原油温度的瞬时变化率，并在信息技术平台上传解答，教师点评学生的解答。 （3）学生思考并交流在第2h与第6h时原油温度的瞬时变化率的意义，教师结合学生的交流结果归纳出：在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降；在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升。一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况。 【设计意图】通过求解实际问题中的瞬时变化率，学生理解了导数的内涵和意义，进一步熟悉根据导数的定义求函数在某点处导数的过程与步骤。 课堂小结：教师引导学生回顾本课时学习内容，并回答一下问题： 什么是导数？导数是如何描述事物的运动变化情况的？ 你认为下列命题哪些是正确的？ ①函数在某一点处的导数是一个可以变化的数。 ②因为导数是平均变化率的极限，所以函数在其定义域内都有导数。 ③导数就是瞬时速度。 【师生活动】在与学生交流问题（1）的基础上，教师总结本节课内容，并利用信息技术平台发布问题（2），让学生上传答案至信息技术平台。教师根据学生提交的答案进行点评，指出三个命题都是错误的。 ①函数在某点处不一定有导数，若在某点处有导数，则导数是一个常数； ②导数是一种极限，求导数就是求极限，函数在某点处不一定有导数； ③瞬时速度是导数，但导数不一定是瞬时速度。 设计意图：总结本节课的学习内容，检测学生的学习效果。 课后作业：教科书习题5.1第6,8,10题。 学科网（北京）股份有限公司 $$