2024—2025学年人教版数学九年级下册期末模拟检测题

期末检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（－3，4），则k的值为（　　） A.7 B.－7 C.12 D.－12 2.若两个相似三角形对应边的比为1∶8，则这两个相似三角形周长的比是（ 　） A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16 3.下列各组线段中，成比例的是（　　） A.1 cm，2 cm，3 cm，4 cm B.2 cm，3 cm，4 cm，5 cm C.1 cm，2 cm，3 cm，5 cm D.1 cm，2 cm，5 cm，10 cm 4.有一几何体如图所示，则它的俯视图是（ ） 5.若反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则m的值可以是（　 　） A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin C的值是（　　） A.　 B.　 C.　 D.1 7.如图，过y轴上任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝－（x＜0）和y＝（x＞0）的图象交于点 A，B.若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 8.如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD，CE.若AC∶BC＝3∶4，则BD∶CE为（　 　） A.5∶3 B.4∶3 C.∶2 D.2∶ 9.为测量大楼AB的高度，小明测得斜坡CD＝52 m（点A，B，C，D在同一平面内），坡度i＝1∶2.4，坡底C到大楼底部A的水平距离AC＝52 m，在D处测得大楼顶部B的仰角为45°，则大楼AB的高度为（　　） A.100 m　 B.104 m　 C.120 m　 D.125 m 10.如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交BC于点E.再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P.作射线BP交AC于点F，过点F作BC的平行线交AB于点G.若AB＝4，BC＝6，则GF的长为（　 　） A.3　 B.　 C.2　 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.在比例尺为1∶400 000的地图上，量得A，B两地的距离是24 cm，则A，B两地的实际距离为　 　km. 12.如图，已知△ABC∽△ADB，若AD＝2，CD＝2，则AB的长为　　. 13.如图，A是函数y＝（x＞0）图象上的一点，B是x轴负半轴上一点，连接AB交y轴于点C.若AC＝BC，S△BOC＝1，则k的值是　 　. 14.如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝－（x＞0）的图象上，且AB∥y轴，BC⊥AB，垂足为B，交y轴于点C，则△ABC的面积为　　. 15.如图，在△ACB和△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝α，BC＝4，EC＝，tan α＝，AD与BE所在的直线相交于点F，将△DCE绕点C在平面内旋转，当点F与点D重合时，线段AD的长为　 　. 三、解答题（共75分） 16.（10分）计算： cos230°＋sin245°－tan 60°·tan 30°. 17.（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到点D，使BD＝BC，延长BC到点E，连接DE，AE，且∠D＝∠AEC. （1）求证：△DBE∽△ECA； （2）若BC＝3，CE＝2，求AD的长. 18.某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示. （1）求这个反比例函数的解析式； （2）当气体压强为48 kPa时，求V的值. 19.（8分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是一种我国古代的农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械.桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3 m，AB是杠杆，且AB＝6 m，OA∶OB＝2∶1.当点A位于最高点时，∠AOM＝127°. （1）求点A位于最高点时到地面的距离； （2）当点A从最高点下降到最低点A1时，∠AOA1＝54.5°，求此时水桶B上升的高度. （参考数据：sin 37°≈0.6，sin 17.5°≈0.3，tan 37°≈0.8，结果保留一位小数） 20.为测量一古塔的高度，数学建模小组的同学先在该古塔附近一栋楼房的底端点A处测得古塔顶端点C处的仰角是65°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端点B处测得古塔底部点D处的俯角是30°.已知楼房高AB约是16 m，试求该古塔的高度.（结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73，sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14） 21.（8分）如图，☉O是△DBC的外接圆，过点B作☉O的切线交CD的延长线于点A，DF为☉O的直径，连接BF. （1）求证：△ADB∽△ABC； （2）若AB＝4，AD＝2，CD＝BC，求BD的长. 22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象与反比例函数 y＝（k≠0）的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，且OC＝1，BC＝5，sin∠BCO＝. （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）若在y轴上有一点E（不与点O重合），使得S△BDE＝3S△BDO，求点E的坐标； （3）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值. 23.（12分）【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E为BC上的两点，连接AD，AE，∠DAE＝45°.李老师引导学生分析，发现图形中存在哪些结论. ①小东发现，∠ADE＝∠BAE. ②小红发现，∠AED＝∠CAD. 请你选择其中一名同学发现的结论，写出证明过程. 【问题再探】 （2）李老师引导学生们继续分析，当∠BAD为一定度数时，线段BD与DE具有一定的数量关系.小亮根据李老师的分析，提出下面问题，请你解答. 如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E为BC上的两点，连接AD，AE，∠DAE＝45°.若∠BAD＝15°，求证：BD＝DE. 【学以致用】 （3）如图3，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝5，AC＝3，D，E为BC上的两点，连接AD，AE.若∠DAE＝60°，且AD＝AE，求BE的长. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（－3，4），则k的值为（　D　） A.7 B.－7 C.12 D.－12 2.若两个相似三角形对应边的比为1∶8，则这两个相似三角形周长的比是（　C　） A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16 3.下列各组线段中，成比例的是（　D　） A.1 cm，2 cm，3 cm，4 cm B.2 cm，3 cm，4 cm，5 cm C.1 cm，2 cm，3 cm，5 cm D.1 cm，2 cm，5 cm，10 cm 4.有一几何体如图所示，则它的俯视图是（　B　） 5.若反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则m的值可以是（　A　） A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin C的值是（　C　） A.　 B.　 C.　 D.1 7.如图，过y轴上任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝－（x＜0）和y＝（x＞0）的图象交于点 A，B.若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（　A　） A.3 B.4 C.5 D.6 8.如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD，CE.若AC∶BC＝3∶4，则BD∶CE为（　A　） A.5∶3 B.4∶3 C.∶2 D.2∶ 9.为测量大楼AB的高度，小明测得斜坡CD＝52 m（点A，B，C，D在同一平面内），坡度i＝1∶2.4，坡底C到大楼底部A的水平距离AC＝52 m，在D处测得大楼顶部B的仰角为45°，则大楼AB的高度为（　C　） A.100 m　 B.104 m　 C.120 m　 D.125 m 10.如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交BC于点E.再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P.作射线BP交AC于点F，过点F作BC的平行线交AB于点G.若AB＝4，BC＝6，则GF的长为（　B　） A.3　 B.　 C.2　 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.在比例尺为1∶400 000的地图上，量得A，B两地的距离是24 cm，则A，B两地的实际距离为　96　km. 12.如图，已知△ABC∽△ADB，若AD＝2，CD＝2，则AB的长为　2　. 13.如图，A是函数y＝（x＞0）图象上的一点，B是x轴负半轴上一点，连接AB交y轴于点C.若AC＝BC，S△BOC＝1，则k的值是　4　. 14.如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝－（x＞0）的图象上，且AB∥y轴，BC⊥AB，垂足为B，交y轴于点C，则△ABC的面积为　2.5　. 15.如图，在△ACB和△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝α，BC＝4，EC＝，tan α＝，AD与BE所在的直线相交于点F，将△DCE绕点C在平面内旋转，当点F与点D重合时，线段AD的长为　4－2或4＋2　. 三、解答题（共75分） 16.（10分）计算： cos230°＋sin245°－tan 60°·tan 30°. 解：原式＝（）2＋（）2－×＝＋－1＝. 17.（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到点D，使BD＝BC，延长BC到点E，连接DE，AE，且∠D＝∠AEC. （1）求证：△DBE∽△ECA； 解：（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠ABC＋∠EBD＝∠ACB＋∠ACE＝180°，∴∠EBD＝∠ACE. ∵∠D＝∠AEC，∴△DBE∽△ECA. （2）若BC＝3，CE＝2，求AD的长. 解：（2）∵BC＝3，CE＝2，∴BD＝3，BE＝5. ∵△DBE∽△ECA，∴＝， ∴＝，∴AC＝＝AB， ∴AD＝BD＋AB＝3＋＝. 18.某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示. （1）求这个反比例函数的解析式； （2）当气体压强为48 kPa时，求V的值. 解：（1）设这个反比例函数的解析式为p＝. 将A（0.8，120）代入，得k＝0.8×120＝96， ∴这个反比例函数的解析式为p＝. （2）将p＝48 kPa代入p＝，得V＝2 m3. 19.（8分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是一种我国古代的农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械.桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3 m，AB是杠杆，且AB＝6 m，OA∶OB＝2∶1.当点A位于最高点时，∠AOM＝127°. （1）求点A位于最高点时到地面的距离； ◐ 解：（1）如图2，过点O作EF⊥OM于点O，过点A作AG⊥EF于点G. ∵AB＝6 m，OA∶OB＝2∶1， ∴OA＝4 m，OB＝2 m. ∵∠AOM＝127°，∠EOM＝90°， ∴∠AOE＝127°－90°＝37°， 在Rt△AOG中，AG＝AO·sin 37°≈4×0.6＝2.4（m）， ∴点A位于最高点时到地面的距离为2.4＋3＝5.4（m）， 答：点A位于最高点时到地面的距离为5.4 m. （2）当点A从最高点下降到最低点A1时，∠AOA1＝54.5°，求此时水桶B上升的高度. （参考数据：sin 37°≈0.6，sin 17.5°≈0.3，tan 37°≈0.8，结果保留一位小数） ◐ （2）如图2，过点B作BC⊥EF于点C，过点B1作B1D⊥EF于点D.∵∠AOE＝37°，∴∠BOC＝∠AOE＝37°，∠B1OD＝∠A1OE＝54.5°－37°＝17.5°. ∵OB1＝OB＝2 m， 在Rt△OBC中，BC＝sin 37°·OB≈0.6×2＝1.2（m）， 在Rt△OB1D中，B1D＝sin 17.5°·OB1≈0.3×2＝0.6（m）， ∴BC＋B1D＝1.2＋0.6＝1.8（m）， 答：此时水桶B上升的高度为1.8 m. 20.为测量一古塔的高度，数学建模小组的同学先在该古塔附近一栋楼房的底端点A处测得古塔顶端点C处的仰角是65°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端点B处测得古塔底部点D处的俯角是30°.已知楼房高AB约是16 m，试求该古塔的高度.（结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73，sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14） 解：由题意，得∠ADB＝30°，∠CAD＝65°. 在Rt△ABD中，AB＝16 m， tan∠ADB＝tan 30°＝＝， ∴AD＝AB＝16 m. 在Rt△ACD中，tan∠CAD＝tan 65°＝，∴CD＝AD·tan 65°≈16×2.14≈59.2（m）. 答：该古塔的高度约为59.2 m. 21.（8分）如图，☉O是△DBC的外接圆，过点B作☉O的切线交CD的延长线于点A，DF为☉O的直径，连接BF. （1）求证：△ADB∽△ABC； 解：（1）证明：连接OB. ∵AB与☉O相切于点B， ∴∠OBA＝90°. ∵DF为☉O的直径， ∴∠DBF＝90°， ∴∠DBF－∠OBD＝∠OBA－∠OBD， ∴∠OBF＝∠DBA. ∵OB＝OF，∴∠OBF＝∠F，∴∠DBA＝∠F. ∵∠F＝∠C，∴∠DBA＝∠C. ∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC. （2）若AB＝4，AD＝2，CD＝BC，求BD的长. 解：（2）∵△ADB∽△ABC，AB＝4，AD＝2， ∴＝＝＝＝， ∴＝＝，∴CD＝6，BD＝BC. ∵CD＝BC，∴BD＝CD＝3， ∴BD的长为3. 22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象与反比例函数 y＝（k≠0）的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，且OC＝1，BC＝5，sin∠BCO＝. （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）若在y轴上有一点E（不与点O重合），使得S△BDE＝3S△BDO，求点E的坐标； （3）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值. 解：（1）如图，过点B作BM⊥x轴于点M.在Rt△CBM中，sin∠BCO＝，∴＝. ∵BC＝5，∴BM＝3，∴CM＝＝4. ∵OC＝1，∴C（1，0），OM＝3，∴B（－3，－3）. 把B（－3，－3）代入y＝（k≠0），得k＝－3×（－3）＝9，∴反比例函数的表达式为y＝. ∵OC＝1，∴C（1，0），把B（－3，－3），C（1，0）代入y＝ax＋b，得 解得∴一次函数的表达式为y＝x－. （2）∵一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象与y轴交于点D，∴当x＝0时， y＝－，∴D（0，－），即OD＝. ∵S△BDE＝3S△BDO，∴DE＝3OD＝，∴点E的坐标为（0，）或（0，－3）. （3）－3＜x＜0或x＞4. 23.（12分）【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E为BC上的两点，连接AD，AE，∠DAE＝45°.李老师引导学生分析，发现图形中存在哪些结论. ①小东发现，∠ADE＝∠BAE. ②小红发现，∠AED＝∠CAD. 请你选择其中一名同学发现的结论，写出证明过程. 解：（1）答案不唯一，写出一个即可. 选小东发现的结论∠ADE＝∠BAE. 证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝×90°＝45°， ∴∠ADE＝∠B＋∠BAD＝45°＋∠BAD，∠BAE＝∠DAE＋∠BAD＝45°＋∠BAD， ∴∠ADE＝∠BAE. 选小红发现的结论∠AED＝∠CAD. 证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝45°， ∴∠AED＝∠C＋∠CAE＝45°＋∠CAE， ∵∠CAD＝∠DAE＋∠CAE＝45°＋∠CAE， ∴∠AED＝∠CAD. 【问题再探】 （2）李老师引导学生们继续分析，当∠BAD为一定度数时，线段BD与DE具有一定的数量关系.小亮根据李老师的分析，提出下面问题，请你解答. 如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E为BC上的两点，连接AD，AE，∠DAE＝45°.若∠BAD＝15°，求证：BD＝DE. ◐ 解：（2）证明：如图2，将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△AKB，连接DK. ∵∠BAK＋∠BAD＝∠EAC＋∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝90°－45°＝45°，∴∠DAK＝∠DAE. ∵AD＝AD，AK＝AE，∴△DAK≌△DAE（SAS）， ∴∠ADK＝∠ADE＝∠ABD＋∠BAD＝60°，DK＝DE，∴∠KDB＝60°. ∵∠ABK＝∠ABC＝45°，∴∠KBD＝90°， ∴∠BKD＝30°，∴DK＝2BD. ∵DK＝DE，∴BD＝DE. 【学以致用】 （3）如图3，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝5，AC＝3，D，E为BC上的两点，连接AD，AE.若∠DAE＝60°，且AD＝AE，求BE的长. ◐ 解：（3）如图3，作CG⊥BA交BA的延长线于点G，则∠G＝90°. ∵∠BAC＝120°， ∴∠CAG＝180°－∠BAC＝60°， ∴∠ACG＝180°－∠G－∠CAG＝30°， ∴AG＝AC＝，∴BG＝BA＋AG＝5＋＝. 在Rt△ACG中，sin∠CAG＝. ∴CG＝AC·sin∠CAG＝3×＝， 在Rt△BGC中，根据勾股定理，得BC＝＝＝7.∵∠DAE＝60°，AD＝AE， ∴△ADE是等边三角形，∴∠AED＝60°，∴∠ACE＋∠CAE＝60°.∵∠BAC＝120°，∴∠ACE＋∠B＝60°，∴∠CAE＝∠B.∵∠ACE＝∠BCA，∴△CAE∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CE＝， ∴BE＝BC－CE＝7－＝. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$