精品解析：湖南省岳阳市湘阴县洞庭区联考2024-2025学年九年级下学期2月月考数学试题

湘阴县洞庭区2024-2025学年下学期九年级2月联考数学试题 时量：90分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共10小题） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：根据加减乘除法则逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，该选项是错误的； B、与不是同类项，故选项是错误的； C、，故选项是错误的； D、，故选项是正确的； 故选：D 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标，熟练掌握求二次函数的顶点坐标方法是解题关键．直接根据抛物线的顶点式求解即可得． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】运用一元二次方程根的判别式判定方程的根的情况即可． 【详解】解：∵，△=（-3）2-4×2×1=9-8=1＞0 ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为B． 【点睛】本题考查了运用一元二次方程根的判别式判定方程的根的情况，当△＞0，方程有两个不等的实数根，当△=0，方程有两个相等的实数根，当△＜0，方程没有实数根． 4. 在中，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练的掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】解：在中，， ． 故选：D． 5. 为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在左右，则鱼塘中估计有鱼（ ）条． A. 4000 B. 5000 C. 10000 D. 2000 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体，熟知总体数目部分数目相应频率是解题的关键．根据总体数目部分数目相应频率求解即可． 【详解】解：鱼塘中估计有鱼条， 故选：． 6. 如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且，则坡面的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数关系求出的长即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， 解得：，即坡面的长度为． 故选：C． 7. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，连接，由轴可得，结合得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 如图，在平行四边形中，点是边上的一点．连接并延长，交的延长线于点．已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．由四边形是平行四边形得，证∽，进而判断即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴，且∽， ∴， ∵， ∴， ∴．   故选：C ． 9. 如图，在梯形中，，对角线交于点，且，有下面四个结论①；②；③；④；其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，梯形的性质等知识，掌握等高模型成为解题的关键． 利用等高模型以及相似三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴的高相等． ∵和、和分别是同底三角形， ∴，即①②正确； ∵， ∴．即，则③正确； ∵， ∴， ∴，即，故④错误． 综上，正确的有①②③，共3个． 故选C． 10. 对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定． 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断②，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③；根据时的函数值，结合，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象即可判断⑥． 【详解】解：①由图象可知：， ∵对称轴为直线：， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③∵对称轴为直线，则与的函数值相等， ∴当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，取到最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随的增大而减小，故⑥正确， 综上，正确的是①②④⑤⑥共5个， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 使有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件． 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须 ． 故答案为：． 12. 在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm，则这次复印出来的图案的面积是________ 【答案】32 【解析】 【分析】复印前后的图案按照比例放大或缩小，因此它们是相似图形，按照相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm， ∴相似比， ∴面积比， ∴这次复印出来的图案的面积． 故答案是：32． 【点睛】考查了相似图形，掌握相似图形面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 13. 若，，则________． 【答案】104 【解析】 【分析】首先将a-b=8左右平方得出a2-2ab+b2=64，进而求出即可． 【详解】解：∵a-b=8， ∴（a-b）2=64， ∴a2-2ab+b2=64， ∴a2+b2=64+2ab=64+2×20=104． 故答案为：104． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用，得出（a-b）2=64进而求出是解题关键． 14. 如果点与点关于原点对称，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：点与点关于原点对称， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图所示，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的应用，运用已知条件证明与面积相等，则将阴影部分面积转化为求的面积即可，解答本题的关键在于证明两个三角形全等． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， （两直线平行内错角相等）， 在与中， ∴（） ∴ ． 故答案为：． 16. 如图，等边中，，P为上一动点，，则线段的最小值为 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，取的中点O，连接过点O作于H．首先证明是顶角为的等腰三角形，当的值最小时，的值最小，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：如图，连接，取的中点O，连接过点O作于H． ∴是等边三角形， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴C，D，P，E四点共圆， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，，此时的值最小，， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴的最小值为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查四点共圆、圆周角定理、垂径定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；正确判断当时最小是解题的关键． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17. 解方程 （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法、因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 解： 或 ，． 18. 已知抛物线经过点． （1）判断点是否在此抛物线上． （2）若点在此抛物线上，求点坐标． 【答案】（1）不在 （2）或 【解析】 【分析】（1）将代入求得解析式，在当，求出函数值，即可得到解答； （2）将代入求得m，即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线可得， 即，则． 当时，， 所以点不在此抛物线上． 【小问2详解】 解：根据题意将代入，得， 解得． 则点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线经过点，即点的坐标满足函数解析式，解决本题的关键是运用待定系数法求解析式． 19. 已知方程的一个根是4，求m的值及方程的另一个根． 【答案】,另一根为 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的定义．一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将代入原方程即可求得m及另一根的值． 【详解】解：∵方程的一个根是4， ∴方程， 即， 解得； ∴方程为， 解得， 所以另一根为 20. 如图，一枚运载火箭从地面A处发射．当火箭到达B点时，从位于地面D处的雷达站测得BD的距离是4km，仰角为30°；当火箭到达C点时，测得仰角为45°，这时，C点距离雷达站D有多远（结果保留根号）？ 【答案】C点距离雷达站D是km． 【解析】 【分析】先通过cos∠BDA求出AD的长,再通过cos∠CDA求出CD的长即可． 【详解】在Rt△ABD中,cos∠BDA＝, ∴AD＝4×＝ (km)； 在Rt△ACD中,cos∠CDA＝, ∴CD＝＝ (km)． ∴C点距离雷达站D是km． 【点睛】本题考查解直角三角形和三角函数应用,关键在于通过图象结合． 21. 如图，ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于点E，BC=48，AD=16． （1）若PN=18，求DE的长； （2）若矩形PQMN的周长为 80，求矩形PQMN的面积． 【答案】（1）10；（2）144 【解析】 【分析】（1）矩形PQMN中,由PN∥BC可得出△APN∽△ABC,从而得到，设DE=，则AE=16-，代入比例式即可求解； （2）由矩形PQMN，又AD是高，则四边形PQDE为矩形，则DE=PQ，设DE=PQ=，则PN=，利用求得=4,即可算出矩形PQMN的面积． 【详解】解：依题意得：PN∥BC，则△APN∽△ABC， 又AD是高，则， （1）设DE=，则AE=16-， 由得，，解之得，=10 （2）由矩形PQMN，又AD是高，则四边形PQDE为矩形，则DE=PQ. 设DE=PQ=，则PN=，同理得，，解之得，=4 则矩形PQMN的面积= 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和矩形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22. 某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题： （1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是 ； （2）请补全条形统计图； （3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是 ； （4）已知“不合格”3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率多少？ 【答案】（1）；（2）补全条形统计图见详解；（3）510；（4） 【解析】 【分析】（1）由乘以“优秀”的人数所占的比例即可； （2）求出这次调查人数为：(人)，得出及格的人数，补全条形统计图即可； （3）由该校总人数乘以“良好”的人数所占的比例即可； （4）画树状图，共有6种等可能的结果，抽到两名男生的结果有2种，则由概率公式计算即可． 【详解】解：（1）在这次调查中，“优秀” 所在扇形的圆心角的度数是：， 故答案为：； （2）这次调查的人数为：(人)， 则及格的人数为：(人)， 补全条形统计图如下： ； （3）估计该校“良好”的人数为： (人)， 故答案为：510人； （4）画树状图如图： ， 共有6种等可能的结果， 抽到两名都是男生的结果有2种， ∴抽到两名都是男生的概率为． 【点睛】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成是事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解题是注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数解析式和一次函数解析式； （2）观察函数图象，直接写出不等式的解集； （3）连接 ，，求的面积． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】（）把代入即可求出反比例函数解析式，再由反比例函数解析式求出点坐标，把坐标代入即可求出一次函数解析式； （）根据函数图象即可求解； （）求出点坐标，由计算即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为； 把代入得，， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：观察函数图象可得，当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：如图，连接、， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 24. 如图，为的直径，C为上一点，的平分线交于点D．于点E． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）过点D作于点F，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）与相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用角平分线的定义和等腰三角形的性质证得，则，再根据平行线的性质证得即可作出判断； （2）利用锐角三角函数求得的半径和对应圆心角的度数，利用扇形面积公式和三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：与相切． 理由：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，又为的半径， ∴与相切； 小问2详解】 解：∵，， ∴，又，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴，， ∴ ， 故图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、圆周角定理、角平分线的性质、锐角三角函数、扇形面积公式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C，连接． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）若点P是x轴上一点，当为等腰三角形时，求点P的坐标； （3）点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2）或或或 （3）或 【解析】 【分析】（1）当时，即，解方程可得图象与轴交于点，，当时，，从而得图象与轴交于点； （2）先利用勾股定理求出，再分当，当时，当时，三种情况讨论求解即可； （3）分点在上方时和点在下方两种情况讨论求解即可． 小问1详解】 解：当时，即， 解得：． ∴图象与轴交于点，， 当时，， ∴图象与轴交于点； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 当，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或； 【小问3详解】 解：当点在上方时， ∵， ∴，即轴， ∴点与点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； ∵， ∴； 当点在下方时，设交轴于点， 则，． ∵， ∴． 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，得， 解得：舍去，， ∴． 综上所述，点的坐标为或； 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湘阴县洞庭区2024-2025学年下学期九年级2月联考数学试题 时量：90分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共10小题） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 在中，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在左右，则鱼塘中估计有鱼（ ）条． A. 4000 B. 5000 C. 10000 D. 2000 6. 如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且，则坡面的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则k的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，点是边上一点．连接并延长，交的延长线于点．已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在梯形中，，对角线交于点，且，有下面四个结论①；②；③；④；其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 使有意义的x的取值范围是______． 12. 在一张由复印机通过放大复印出来纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm，则这次复印出来的图案的面积是________ 13. 若，，则________． 14. 如果点与点关于原点对称，那么_____． 15. 如图所示，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为______． 16. 如图，等边中，，P为上一动点，，则线段的最小值为 _____． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17. 解方程 （1）． （2）． 18. 已知抛物线经过点． （1）判断点是否在此抛物线上． （2）若点在此抛物线上，求点的坐标． 19. 已知方程的一个根是4，求m的值及方程的另一个根． 20. 如图，一枚运载火箭从地面A处发射．当火箭到达B点时，从位于地面D处雷达站测得BD的距离是4km，仰角为30°；当火箭到达C点时，测得仰角为45°，这时，C点距离雷达站D有多远（结果保留根号）？ 21. 如图，ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于点E，BC=48，AD=16． （1）若PN=18，求DE的长； （2）若矩形PQMN的周长为 80，求矩形PQMN的面积． 22. 某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题： （1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是 ； （2）请补全条形统计图； （3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是 ； （4）已知“不合格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率多少？ 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数解析式和一次函数解析式； （2）观察函数图象，直接写出不等式的解集； （3）连接 ，，求的面积． 24. 如图，为的直径，C为上一点，的平分线交于点D．于点E． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）过点D作于点F，若，，求图中阴影部分的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C，连接． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）若点P是x轴上一点，当为等腰三角形时，求点P坐标； （3）点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$