专题03 三角形中的最值及分类讨论（四大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（北师大版）

专题03 三角形中的最值及分类讨论 题型概览 题型01将军饮马模型 题型02线段的最值问题 题型03等腰三角形中的分类讨论 题型04直角三角形中的分类讨论 ( 题型01 )将军饮马模型 1．（23-24八下·甘肃兰州·期中）如图所示，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D． 2．（23-24八下·河南周口太康县·期中）如图，中，，点 D为上一点，点E为上一点，当有最小值时，为（  ） A． B． C． D．不能确定 3．（23-24八下·河北石家庄·期中）如图，已知，，平分与交于点，分别在线段、上的动点，连接，当最小时，画出的位置．已知的面积为，，求的最小值为 ． 4．（23-24八下·黑龙江哈尔滨 南岗区·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，三个顶点，，都在格点上 (1)请在图中描出点C关于轴对称的点，并写出点的坐标 ，连接，则的面积为 ，的形状为 ． (2)已知点是轴上的一点，则当取最小值时，点的坐标为 ． 5．（23-24八下·湖南衡阳·期中）一次函数的图象与坐标轴交于点A，B，平分交轴于点，，垂足为D． (1)求的面积； (2)求点C、D的坐标； (3)若点E是线段上的一点，点F是线段上的一点，求的最小值． ( 题型0 2 )线段的最值问题 6．（23-24八下·河南周口商水县·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点且，以为边作等边，则当线段的长取到最大值时，点P的横坐标为（    ）    A．1.5 B．2 C．3 D．1 7．（23-24八下·上海奉贤区·期中）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，点B是x轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（23-24八下·河南开封通许县·期中）如图，和为等腰直角三角形，将绕点顺时针旋转，连接，，点为直线，的交点．若，，则 ，在旋转过程中，的最大值为 ． 9．（23-24八下·吉林吉林船营区·期中）如图，，在的同侧，点A在线段上，，，则的最大值是 ．    10．（23-24八下·山西晋城陵川县多校联考·期中）如图，在中，，，．若是边上的两个动点，以为边的等边的顶点在内部或边上，则等边的边长的最大值为 ． 11．（23-24八下·湖北孝感云梦县·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，，O为中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值是为 ． ( 题型0 3 )等腰三角形中的分类讨论 12．（23-24八下·河南周口扶沟县·期中）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ． 13．（23-24八下·河北保定莲池区·期中）在平面直角坐标系中，，，C为第一象限内一点，若以A，B，C三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则C点坐标为 ． 14．（23-24八下·福建三明宁化县·期中）如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．    15．（23-24八下·河南商丘梁园区·期中）平面直角坐标系中有点A（2，0），B（0，4），以A，B为顶点在第一象限内作等腰直角△ABC，则点C的坐标为 ． 16．（23-24八下·福建厦门·期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线运动，当为等腰三角形时，其底边的长为 ． 17．（23-24八下·河南许昌禹州·期中）如图直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点．如果在轴上存在一点，使等腰三角形，则点的坐标是 ； ( 题型0 4 )直角三角形中的分类讨论 18．（23-24八下·江苏宿迁泗阳县·期中）若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 ． 19．（23-24八下·江苏苏州苏州工业园区·期中）在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 20．（23-24八下·广东广州番禺区·期中）当三角形中一个内角是另一个内角的倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．若一个“特征三角形”恰好是直角三角形，则这个“特征三角形”的“特征角”的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 21．（23-24八下·湖北武汉洪山区·期中）如图所示，为的高，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点M为线段上任意一点，当为直角三角形时，直接写出的度数． 22．（23-24八下·安徽合肥蜀山区·期中）如图1，等腰三角形中，是边上的中线，延长至点，使，连结． (1)求证：是等腰直角三角形． (2)如图2，过点作的垂线交于点，试判断的形状，并说明理由． (3)如图3，在（2）的基础上，，连结，若是直角三角形，求的长． 23．（23-24八下·四川内江第六中学·）如图，为的高，为的角平分线，若，．    (1)求的度数； (2)若点F为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数． 1．（23-24八下·河北唐山迁安·期中）在中，，其中一个内角度数是，点D在直线BC边上，连接AD，若为直角三角形，则的度数为 ． 2．（23-24八下·广西南宁横州百合镇·期中）如图，在四边形中，，，，E是的中点，，则的最大值为（    ） A．25 B．19 C．20 D．21 3．（23-24八下·安徽安庆·期中）如图，四边形中，，的角平分线与点D，E为的中点，则与面积之差的最大值为（  ）    A．9 B．4.5 C．3 D．1.5 4．（23-24八下·浙江衢州开化县·期中）如图，在中，，，是的中线，E为边上的一点．若是等腰三角形，则的度数是 5．（23-24八下·湖北武汉·期中）如图，在直角坐标系中，是坐标原点，已知，是坐标轴上的一点，若以、、三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点共有 个．    6．（23-24八下·浙江杭州拱墅区·期中）如图，中，是射线上的动点，连接，令，将沿所在射线翻折至处，射线与射线相交于点．若是等腰三角形，则的度数为 ． 7．（23-24八下·河南濮阳范县·期中）如图，在 中，，，点 是 上一个动点，当取最小值时， ． 8．（23-24八下·广东深圳·期中）如图，在中，，，，点D、E分别是，上的动点，且，连接，，则的最小值是 ． 9．（23-24八下·江苏常州·期中）如图，等边三角形的边长为4，点O为中点，点D在射线上运动，以为边向右作等边三角形，连接，则线段的最小值是 ． 10．（23-24八下·江苏扬州·期中）如图，为的高，为的角平分线，若． (1)_____； (2)求的度数； (3)若点G为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数． 11．（23-24八下·湖南广益·期中）如图，在中，点在边上运动（不与重合），连接，作，交边于点． (1)当等于多少时，，请说明理由： (2)在点的运动过程中，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 12．（23-24八下·河南商丘民权县·期中）如图，平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上．    (1)画关于y轴的对称图形； (2)试判断的形状，说明理由； (3)在y轴上求作一点P，使得最小，并求出这个最小值． 13．（23-24八下·四川成都成华区学·期中）如图，在中，D是边上一点，． (1)求证：； (2)若E是边上的动点，求线段的最小值． 14．（23-24八下·广东梅州五华县·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限内，且，．    (1)试判断的形状，并说明理由； (2)在第二象限内是否存在一点，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)如图2，点为线段上一动点，点为线段上一动点，且始终满足．求的最小值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形中的最值及分类讨论 题型概览 题型01将军饮马模型 题型02线段的最值问题 题型03等腰三角形中的分类讨论 题型04直角三角形中的分类讨论 ( 题型01 )将军饮马模型 1．（23-24八下·甘肃兰州·期中）如图所示，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（23-24八下·河南周口太康县·期中）如图，中，，点 D为上一点，点E为上一点，当有最小值时，为（  ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【详解】解：如图，作出点B关于的对称点，过点作，垂足为点E，交于点D，连接，此时有最小值， 点B关于的对称点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．（23-24八下·河北石家庄·期中）如图，已知，，平分与交于点，分别在线段、上的动点，连接，当最小时，画出的位置．已知的面积为，，求的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图： 作于点， 连接， 作于点，交于点，则点、就是所求作的点. ∵平分与交于点， ， ∴由作图可知： ， ∴与关于直线对称， 即点与点关于直线对称， ∵作于点， 交于点， ∴是点到的最短距离， ∴， 作于点， 则， 在与中， ， ， ∴，即. ∴点、、三点共线， ， ∵的面积为 ， ， 即：的最小值为， 故答案为：． 4．（23-24八下·黑龙江哈尔滨 南岗区·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，三个顶点，，都在格点上 (1)请在图中描出点C关于轴对称的点，并写出点的坐标 ，连接，则的面积为 ，的形状为 ． (2)已知点是轴上的一点，则当取最小值时，点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析；；；等腰直角三角形； (2) 【详解】（1）解：如图，点D为所作； 由图知：， ∵， ∴，，， ，， ， 为等腰直角三角形， ∴； （2）解：如图，取格点E，F，H，根据点C与点D关于y轴对称，的最小值为的长， · 设，网格中小正方形边长为1， ， ，即， 解得：， ， ， ， 故答案为：． 5．（23-24八下·湖南衡阳·期中）一次函数的图象与坐标轴交于点A，B，平分交轴于点，，垂足为D． (1)求的面积； (2)求点C、D的坐标； (3)若点E是线段上的一点，点F是线段上的一点，求的最小值． 【答案】(1)24 (2)， (3) 【详解】（1）解：将代入得， ，即， 将代入得， ，即， ； （2）解：如图，    设长为，则， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 在中，，即， 解得， ， ； ， ，， ， 即， 解得， 将代入得， 解得， ． （3）解：如图，连接，   平分，， 点，关于对称， ， ， 即到轴距离为最小值， 的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，三角形全等的判定与性质，对称的性质，解题关键是熟练掌握一次函数的性质，掌握角平分的性质及求线段和最值的方法． ( 题型0 2 )线段的最值问题 6．（23-24八下·河南周口商水县·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点且，以为边作等边，则当线段的长取到最大值时，点P的横坐标为（    ）    A．1.5 B．2 C．3 D．1 【答案】A 【详解】如图1，以为边作等边，连接，    由题意 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当N，A，B三点共线时，最大，即最大， 如图2，过P作轴，垂足为T，    ∵是等边三角形，， ∴， ∵点A的坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为1.5． 当P在x轴下方时，同上可求点P的横坐标为1.5． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三条边的关系，坐标与图形的性质等知识点，熟练掌握相关判定与性质是解本题的关键． 7．（23-24八下·上海奉贤区·期中）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，点B是x轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：如图，以为边向左侧作等边三角形，连接， ∴，． ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． ∴当轴时，最短，即此时最小． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即在运动过程中，的最小值为3． 故选B． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 8．（23-24八下·河南开封通许县·期中）如图，和为等腰直角三角形，将绕点顺时针旋转，连接，，点为直线，的交点．若，，则 ，在旋转过程中，的最大值为 ． 【答案】 45 / 【详解】解：∵和为等腰直角三角形， ∴，，，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； ∵将绕点顺时针旋转，，且当、A、D三点共线时等号成立， 又∵，， ∴的最大值为：． 故答案为：45；． 9．（23-24八下·吉林吉林船营区·期中）如图，，在的同侧，点A在线段上，，，则的最大值是 ．    【答案】 【详解】解：将沿折叠形成，将沿折叠形成，连接，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 同理：， ∵ ∴， ∴, ∴, ∴, 当且仅当四点共线时，有最大值，即的最大值为：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、最短距离等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 10．（23-24八下·山西晋城陵川县多校联考·期中）如图，在中，，，．若是边上的两个动点，以为边的等边的顶点在内部或边上，则等边的边长的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，当点重合且点在上时，等边的边长最长， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴在中，， ∴等边的边长的最大值为． 11．（23-24八下·湖北孝感云梦县·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，，O为中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值是为 ． 【答案】 【详解】解：取的中点为点，连接， ， ， 即， ，O为中点， ， 在和中， ， ， ， ∵点在直线上运动， ∴当时，最小， ∵是等腰直角三角形， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ∴线段的最小值是为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线构建全等三角形，学会利用垂线段最短解决最值问题． ( 题型0 3 )等腰三角形中的分类讨论 12．（23-24八下·河南周口扶沟县·期中）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【详解】解：①如图：当三角形为锐角三角形时， ∵，，为高，即，， ∴， ②如图：当三角形为钝角三角形时， ∵，，为高，即， ∴， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 13．（23-24八下·河北保定莲池区·期中）在平面直角坐标系中，，，C为第一象限内一点，若以A，B，C三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则C点坐标为 ． 【答案】或或 【详解】解：如图， 观察图象可知，满足条件的点C坐标为或或． 故答案为：或或． 14．（23-24八下·福建三明宁化县·期中）如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．    【答案】或或或 【详解】解：若， 则；    若， 则， ∴；    若，且三角形是锐角三角形， 则；    若，且三角形是钝角三角形， 则．    综上：的度数为或或或， 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是找齐所有情况，分类讨论． 15．（23-24八下·河南商丘梁园区·期中）平面直角坐标系中有点A（2，0），B（0，4），以A，B为顶点在第一象限内作等腰直角△ABC，则点C的坐标为 ． 【答案】(4，6)、(6，2)或(3，3) 【详解】解：①如图所示，点C在第一象限，AB⊥BC，AB=BC时， 作CP⊥y轴于P点，则∠CPB=∠BOA=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠PBC+∠OBA=90°， ∵∠PBC+∠PCB=90°， ∴∠OBA=∠PCB， 在△OBA和△PCB中， ∴OB=PC，OA=PB， 由题意，OB=4，OA=2， ∴PC=4，PB=2， ∴OP=2+4=6， ∴此时，C点坐标为(4，6)； ②如图所示，点C在第一象限，AB⊥AC，AB=AC时， 作CQ⊥x轴于Q点，则∠AQC=∠BOA=90°， 同①理，可证得△BOA≌△AQC， ∴OB=AQ=4，CQ=OA=2， ∴OQ=2+4=6， ∴此时，C点坐标为(6，2)； ③如图所示，点C在第一象限，BC⊥AC，BC=AC时， 作BM⊥CN，交CN延长线于M点，则∠BMC=∠CNA=90°， 同①理，可证得△BMC≌△CNA， ∴AN=MC，CN=BM， 则， 即：， 解得：， ∴ON=2+1=3， ∴此时，C点坐标为(3，3)； 综上，点C的坐标为(4，6)、(6，2)或(3，3)； 故答案为：(4，6)、(6，2)或(3，3) ． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中等腰直角三角形的确定，掌握等腰直角三角形的基本性质，熟练运用全等三角形的判定与性质求解是解题关键． 16．（23-24八下·福建厦门·期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线运动，当为等腰三角形时，其底边的长为 ． 【答案】或或 【详解】解：由勾股定理可知：，分类讨论： ①为等腰三角形的顶点时，有， 即以点为圆心，为半径的圆，点在的延长线上，如图所示， 此时的底边； ②为等腰三角形顶点时，有， 即以点为圆心，为半径的圆，点在的延长线上，如图所示， 此时的底边为，， 在中，； ③为等腰三角形顶点时，有，如图所示， 此时点在线段的垂直平分线上，的底边为， 综上所述，当为等腰三角形时，这个三角形的底边的长为或或． 故答案为：或或． 17．（23-24八下·河南许昌禹州·期中）如图直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点．如果在轴上存在一点，使等腰三角形，则点的坐标是 ； 【答案】或或或 【详解】解：联立，解得：， ∴A点坐标为； 分类讨论：①当时，如图点和点． ∵， ∴， ∴，； ②当时，如图点，过点A作轴于点Q． 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ③当时，如图点， ∴， ∴．    综上可知，P点坐标为或或或． 故答案为：或或或． ( 题型0 4 )直角三角形中的分类讨论 18．（23-24八下·江苏宿迁泗阳县·期中）若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 ． 【答案】3或/或3 【详解】解：当较大的数5为斜边时，第三边， 当第三边为斜边时，第三边， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理及分情况考虑是解题关键． 19．（23-24八下·江苏苏州苏州工业园区·期中）在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，点的坐标不可能是， A.点时，，此项不符合题意； B.点时，，此项不符合题意； C.点时，如图，不是直角三角，符合题意； D.点时，由勾股定理求得,故，即,此项不符合题意； 故选：C．    20．（23-24八下·广东广州番禺区·期中）当三角形中一个内角是另一个内角的倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．若一个“特征三角形”恰好是直角三角形，则这个“特征三角形”的“特征角”的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：当为直角时，； 则； 当为锐角时，依题意得，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴或， 故选：． 21．（23-24八下·湖北武汉洪山区·期中）如图所示，为的高，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点M为线段上任意一点，当为直角三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵平分，且， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：①如图，当时，则； ②如图，当时， 则， ∴； 综上，的度数为或． 22．（23-24八下·安徽合肥蜀山区·期中）如图1，等腰三角形中，是边上的中线，延长至点，使，连结． (1)求证：是等腰直角三角形． (2)如图2，过点作的垂线交于点，试判断的形状，并说明理由． (3)如图3，在（2）的基础上，，连结，若是直角三角形，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 (3)或 【详解】（1）证明：是边上的中线 又 是等腰直角三角形； （2）是等腰三角形，理由： 是边上的中线 是等腰直角三角形 ，即 是等腰三角形； （3）解：①当时， 在和中 设，则 ，解得，即； ②当时， 作，同理可证 设，则 ，解得     综上所述，的长为或． 23．（23-24八下·四川内江第六中学·）如图，为的高，为的角平分线，若，．    (1)求的度数； (2)若点F为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵为的高， ∴， ∴； （2）解：当时，如图    则， 当时，如图    则， ∴． 所以的度数为或 1．（23-24八下·河北唐山迁安·期中）在中，，其中一个内角度数是，点D在直线BC边上，连接AD，若为直角三角形，则的度数为 ． 【答案】、或 【详解】解：如图1，在中，，若，   点在直线边上，为直角三角形，且当时， ； 如图2，在中，，若， 点在直线边上，为直角三角形，且当时，   ； 如图3，在中，，若，   点在直线边上，为直角三角形，且当时， ； 如图4，在中，，若，   点在直线边上，为直角三角形，且当时， ， ； 故答案为：、或 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答． 2．（23-24八下·广西南宁横州百合镇·期中）如图，在四边形中，，，，E是的中点，，则的最大值为（    ） A．25 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【详解】如图，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的最大值为19， 故选：B． 3．（23-24八下·安徽安庆·期中）如图，四边形中，，的角平分线与点D，E为的中点，则与面积之差的最大值为（  ）    A．9 B．4.5 C．3 D．1.5 【答案】B 【详解】解：延长交的延长线于H，过点D作于T，   设的面积为S， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 又∵ ∴当为最大时，S为最大，则为最大， 根据“垂线段”最短得：， ∴时，为最大，最大值为3， ∴S的最大值为：， ∴的最大值是4.5． 故选：B． 4．（23-24八下·浙江衢州开化县·期中）如图，在中，，，是的中线，E为边上的一点．若是等腰三角形，则的度数是 【答案】或 【详解】解：∵，是的中线，且， ∴， ∴， ①当时， ， 则； ②当时， ， 故的度数是或． 故答案为：或． 5．（23-24八下·湖北武汉·期中）如图，在直角坐标系中，是坐标原点，已知，是坐标轴上的一点，若以、、三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点共有 个．    【答案】8 【详解】解：如图所示，    满足条件的点P有8个， 故选：C． 6．（23-24八下·浙江杭州拱墅区·期中）如图，中，是射线上的动点，连接，令，将沿所在射线翻折至处，射线与射线相交于点．若是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，如图所示： 则 由三角形的外角性质得，即， ∴此情况不存在； 当时，如图所示：    ∵， ∴， 由三角形的外角性质得：， 解得； 当时，如图所示：    则 ∴， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，如图所示：      则， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 7．（23-24八下·河南濮阳范县·期中）如图，在 中，，，点 是 上一个动点，当取最小值时， ． 【答案】60 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，取最小值，则此时， ∵， ， 故答案为：． 8．（23-24八下·广东深圳·期中）如图，在中，，，，点D、E分别是，上的动点，且，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：在直线下方，作，且，连接，，设与的交点为G， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值即取得最小值， 故当点E与点G重合时，取得最小值， 过点A作于点M，交的延长线于点M， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，三角形内角和定理，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短是解题的关键． 9．（23-24八下·江苏常州·期中）如图，等边三角形的边长为4，点O为中点，点D在射线上运动，以为边向右作等边三角形，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵的等边三角形，点O是的中点， ∴，， ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴点E在的外角平分线上， ∴当时，的长度最小， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（23-24八下·江苏扬州·期中）如图，为的高，为的角平分线，若． (1)_____； (2)求的度数； (3)若点G为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【详解】（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． （2）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：分两种情况： ①当时，则， ∴； ②当时，则， ∴； 综上所述：的度数为或． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 11．（23-24八下·湖南广益·期中）如图，在中，点在边上运动（不与重合），连接，作，交边于点． (1)当等于多少时，，请说明理由： (2)在点的运动过程中，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)或 【详解】（1）解：当时，，理由如下： ∵， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解： ①如图，当时， ∵， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，当时， ， ， ， ∴， ， ， ； 综上，的度数为或． 12．（23-24八下·河南商丘民权县·期中）如图，平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上．    (1)画关于y轴的对称图形； (2)试判断的形状，说明理由； (3)在y轴上求作一点P，使得最小，并求出这个最小值． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰直角三角形，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：如图，为所作，    （2）解：为等腰直角三角形． 理由如下：，，， ，， ∴为等腰直角三角形，． （3）解：连接交轴于点，连接，则根据轴对称的性质可知的最小值就是线段的长， ∴． 13．（23-24八下·四川成都成华区学·期中）如图，在中，D是边上一点，． (1)求证：； (2)若E是边上的动点，求线段的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)9.6 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． （2）解：当时，线段最短， 在中，， ∵， ∴， ∴线段的最小值为9.6． 14．（23-24八下·广东梅州五华县·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限内，且，．    (1)试判断的形状，并说明理由； (2)在第二象限内是否存在一点，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)如图2，点为线段上一动点，点为线段上一动点，且始终满足．求的最小值． 【答案】(1)是以B为直角顶点的直角三角形，理由见解析 (2)点P的坐标为或 (3) 【详解】（1）解：是以B为直角顶点的直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴是以B为直角顶点的直角三角形； （2）解：存在，如图，当，分别过点B，P作轴于E，轴于F，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵P在第二象限， ∴； 如图，当，分别过点B，P作轴于E，的延长线于F，交y轴于D，    同理可求出， 同理可证明， ∴， ∴， ∵P在第二象限， ∴， 综上，存在点P，使得是以为腰的等腰直角三角形，点P的坐标为或； （3）解：如图，过点O作以为腰，的等腰直角三角形，    ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴要使最小，则最小， ∴当A、C、H三点共线时，最小，即有最小值为的长， 由（2）知，， ∴， 即有最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$