第六章向量共线、基本定理讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

一、向量线性运算、三点共线、基本定理 考点一 平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则　　　 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 例1、化简下列式子： (1)－－－； (2)(－)－(－)． 练习1、化简：(1)(－)－(－)； (2)(＋＋)－(－－)． 例2、在三角形中，若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝____. 例3、在平面四边形中，满足，则四边形是（ ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．梯形 练习1、如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点． (1)＋＝________； (2)＋＋＝________； (3)＋＋＝________； (4)＋＋＝________. 2、在平行四边形中，若，则四边形的形状为__________. 考点二 共线向量定理（三点共线） (1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ使得b＝λa，则向量b与a共线． (2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 例4、已知，是不共线的非零向量，若，则实数（ ） A． B． C． D． 例5、已知向量，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 例6、设，是两个不共线的向量，已知，，. (1)求证：，，三点共线； (2)若，且，求实数的值. 练习1、已知不共线的非零向量，若与平行，则实数的值为__________． 2、已知，不共线，若，试确定的值． 3、（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线 C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线 4、（2022·全国·高一课时练习）设，是两个不共线的向量，如果，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定的值，使和共线； (3)若与不共线，试求的取值范围. 5、已知非零向量与不共线，，，． (1)若，求λ、μ的值； (2)若A、B、C三点共线，求λ、μ应满足的关系式． 考点三 平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 例7、以下四组向量能作为基底的是（ ） A． B． C． D． 例8、已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 练习1、若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　) A．e1－e2，e2－e1 B．2e1＋e2，e1＋e2 C．2e2－3e1,6e1－4e2             D．e1＋e2，e1－e2 2、设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，则p＝________. 例9、（图形找基底、加减法的灵活应用）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 例10、（2022·四川·绵阳市开元中学高一期末（文））在中，点D在BC边上，且.设，，则可用基底，表示为（    ） A． B． C． D． 练习1、在△ABC中，点D满足=3，则 A．+ B． C．+ D． 2、如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则 A． B． C． D． 三点共线：＝λ＋μ (λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1 例11、如图，在中，，E是BD上的一点，若，则实数m的值为______. 例12、（利用三点共线求最值）如图，中，为上靠近的三等分点，点在线段上，设，，，则的最小值为（ ） A．6 B．7 C． D． 练习1、如图，在中，，P为上一点，且满足，则m的值为（ ） A． B． C． D． 2、（2022·全国·高一课前预习）如图，在中，，P为上一点，且满足，则m的值为（    ） A． B． C． D． 3、已知三点A，B，C共线，不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若，则的最小值为（ ） A. 不存在最小值 B. C. 4 D. 4、已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 例13、（利用两次三点共线找基底）在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b，以a，b为基底表示. 例14、（模型二）如图，在中，C是的中点，P在线段上，且.过点P的直线交线段分别于点N，M，且，其中，则的最小值为（ ） A. B． C．1 D． 例15、在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，. (1)若，试用，和实数表示； (2)试用，表示； (3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线. 练习1、（2021春•海丰县期中）如图，在△ABC中，，，BE和CD相交于点F，则向量等于（　　） A． B． C． D． 2、（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）． (1)用，表示； (2)若，，求的值． 3、已知m>0，n>0，如图，在中，点M，N满足，，D是线段BC上一点，，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线． (1)若点O满足，证明：． (2)求的最小值． 4、如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点若，，则的最小值为__________． 课后作业 1、给出下列六个命题： ①若，则或； ②若，则为平行四边形； ③若与同向,且，则； ④为实数，若，则与共线； ⑤（为实数），则必为零； ⑥，为非零向量，的充要条件是且。其中假命题的序号为 2、（2022·全国·高一课前预习）给出下列各命题： （1）零向量没有方向； （2）若||＝||，则＝； （3）单位向量都相等； （4）向量就是有向线段； （5）两相等向量若其起点相同，则终点也相同； （6）若＝，＝，则＝；（7）若，，则； （8）若四边形ABCD是平行四边形，则＝，＝.其中正确命题的序号是________________. 3、（多选）（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）下列命题是真命题的是（    ）． A．若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量 B．若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量 C．若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 D．若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上 4、设是不共线的两个非零向量．若与共线，求实数的值． 5、已知， 是两个不共线的向量，向量－，－共线，求实数的值． 6、设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，则p＝________. 7、（2023下·山西·高一统考阶段练习）已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（    ） A． B．2 C．4 D． 8、已知不共线的两个非零向量与，若，，，则下列一定共线的三点是（ ） A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 9、在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. 10、在△ABC中，＝，DE∥BC，且DE与AC相交于点E，M是BC的中点，AM与DE相交于点N，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y等于(　　) A．1 B. C. D. 11、在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n　　　　　B．－2m＋3n　　　　　C．3m＋2n　　　　　D．2m＋3n 12、（2021·陕西·礼泉县第一中学高三期中（理））.如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 13、（2023下·山东泰安·高一泰安一中校考期中）如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为（    ）    A．2 B．3 C． D．5 14、．已知不共线． (1)若，求证：三点共线； (2)若向量与共线，求实数的值． 15、．设两个非零向量与不共线． (1)若，，求证三点共线． (2)试确定实数，使和共线． 16、（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高一阶段练习）如图，已知中，为的中点，，交于点，设，． （1）用分别表示向量，； （2）若，求实数t的值． 17、如图所示，在中，，，与相交于点，设，. (1)试用向量表示； (2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$