清单05 三角恒等变换（考点清单，知识导图+10个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教B版2019必修第三册）

清单05 三角恒等变换 清单01 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）；（2） 记忆口诀：“CCSS，符号改变”； （3）；（4） 记忆口诀：“SCCS，符号不变”； （5） （6） 清单02 辅助角公式 辅助角公式：，其中，， 清单03 二倍角公式 （1） （2） （3） 降幂公式：；； 清单04 积化和差、和差化积 （1）积化和差 ， ， （2）和差化积 ， ， 【考点题型一】利用和差公式给角求值（） 【例1】（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得： ， 所以. 故选：D. 【变式1-1】（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 . 故选：C. 【变式1-2】（多选）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，， 故A错误； 对于B，， 故B正确； 对于C，， 故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：BC. 【变式1-3】已知函数的图像关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，则， 又，所以， 所以. 故选：D. 【变式1-4】三角函数相关计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）原式； （3）设， 则， 则， 则， 所以， ， ， 同理， ， 则原式. 【考点题型二】利用和差公式解决条件求值（） 【例2】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，① 由，得，② 则①+②并整理得，， 则， 所以. 故选：C. 【变式2-1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，即， 由，即，而，则， 所以，可得. 故选：B 【变式2-2】已知，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】由，，得， 整理得，所以. 故选：B 【变式2-3】若且，则 . 【答案】/ 【详解】由两角和的正切公式可得，所以， 由两角和的余弦公式可得 ， 解得. 故答案为：. 【变式2-4】已知是第四象限角且，，则的值为 . 【答案】 【详解】因为是第四象限角且，所以，， 因为，所以， 则. 故答案为：. 【考点题型三】利用和差公式求角（） 【例3】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且， 所以 所以， 所以， 因为，所以， 故选：A． 【变式3-1】已知为锐角，且，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，，即， ∴，即， 由得，， ∴，故. 故选：C. 【变式3-2】设、，、是一元二次方程的两个根，则 . 【答案】 【详解】因为、是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得，， 所以，， 又、，所以、，所以， 所以， 所以. 故答案为： 【变式3-3】已知，，，，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【详解】由，得， 则，而，解得， 因此，由，， 得或，则， 所以. 故选：C 【变式3-4】已知角，则 . 【答案】 【详解】因， 去分母得，， 展开得，， 即， 整理得：. . 则，解得. 故答案为：. 【考点题型四】利用二倍角给角求值（） 【例4】计算 【答案】/0.25 【详解】由. 故答案为：. 【变式4-1】（多选）下列各式中，值是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，由，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， 故C正确； 对于D，， 故D错误； 故选：AC． 【变式4-2】（多选）下列化简结果是的选项为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C， . 对于D，，故D不正确. 故选：AB. 【变式4-3】化简并求值：. 【答案】 【详解】原式 . 故答案为：. 【变式4-4】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， . 故选：C. 【考点题型五】利用二倍角解决条件求值（） 【例5】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 从而 故选：D 【变式5-1】已知，，则 . 【答案】 【详解】，，所以即 原式 ，原式. 故答案为：. 【变式5-2】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 又，则， ， . 故选：D. 【变式5-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 故 . 故选：D. 【变式5-4】若，则 . 【答案】或 【详解】因为，所以，，则或， 当时，； 当时，. 故答案为：或. 【考点题型六】利用角的拆分求值或求角（） 【例6】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以. 故选： 【变式6-1】已知，，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 则，， 又因为，， 所以，， 所以 ， 因为，所以； （2）由（1）知，，， 故， ， 所以． 【变式6-2】已知，均为锐角，，，则（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【详解】因为均为锐角，所以，，， 所以， 因为， 所以（舍去），， . 故选：C. 【变式6-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由知， . 所以. 故选：D. 【变式6-4】若角，满足，，且，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，则，， 由，，则，， 所以，，， ， 而，故. 故选：C 七、【例6】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以. 故选： 【变式6-1】已知，，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 则，， 又因为，， 所以，， 所以 ， 因为，所以； （2）由（1）知，，， 故， ， 所以． 【变式6-2】已知，均为锐角，，，则（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【详解】因为均为锐角，所以，，， 所以， 因为， 所以（舍去），， . 故选：C. 【变式6-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由知， . 所以. 故选：D. 【变式6-4】若角，满足，，且，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，则，， 由，，则，， 所以，，， ， 而，故. 故选：C 【考点题型七】积化和差、和差化积（） 【例7】下列等式恒成立的是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于 C，因为 ，故C正确； 对于D，因为 ，故D错误. 故选：C 【变式7-1】（1）求值：． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1） ． （2）∵，∴．① 又，∴．② ∵，∴由①②，得，即． ∴． 【变式7-2】已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】依题意，，则， 又，则 所以. 故选：B 【变式7-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A：因为，， 所以,故A错误； 对于B：，则又， 所以，所以，故B正确； 对于C：由，可得， ， 又，所以，故C错误； 对于D：根据C选项知， 所以,故D正确. 故选：BD． 【变式7-4】已知，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）， ， 则，即． （2）由（1）知， 则，则． 【考点题型八】辅助角公式（） 【例8】已知锐角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ， 所以，又角为锐角，所以． 故选：C． 【变式8-1】已知，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 因为，所以， 又，则， 所以， 所以， ， 所以 . 故答案为：. 【变式8-2】已知角和的终边关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设角的终边与单位圆的交点为，由题意可知角的终边与单位圆的交点为， 所以， 所以由， 可得：， 所以， ， ，其中， 所以，即， 所以， 所以， 故选：D 【变式8-3】当时，方程的解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由，得， 即，所以， 解得，则或， 因为， 当时，则或， 当时，则， 因此共有三个解. 故选：D. 【变式8-4】 ． 【答案】 【详解】易知， 可得 ． 故答案为： 【考点题型九】判断三角形形状（） 【例9】在中，内角满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 【答案】B 【详解】， 故，即， 因为，所以， 故为等腰三角形. 故选：B 【变式9-1】在中给出下列四个命题： ①若，则是等腰三角形； ②若且，则是直角三角形； ③若，则是等边三角形； ④若，则是等腰三角形． 其中正确的是 ． 【答案】②③④ 【详解】在中，当时，，显然不是等腰三角形，①不正确； 在中，，则A为锐角，由得：B为锐角，且， 因此有，即，则有是直角三角形，②正确； 在中，，则， 因，则有， 于是得，是等边三角形，③正确； 在中，，则， 即，而，则有，是等腰三角形，④正确. 故答案为：②③④ 【变式9-2】在中，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【详解】在中，因为， 所以， 即, 展开，整理化简得：. 因为为三角形内角，所以，所以. 因为为三角形内角，所以， 所以为直角三角形. 故选：B 【变式9-3】关于x的方程有一根为1，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【详解】因为1是的根， 所以， 又， 所以有，， 整理可得，，即. 因为，，，所以. 则由可得，，所以. 所以一定是等腰三角形. 故选：A. 【变式9-4】在中，若，那么三角形的形状为 . 【答案】等腰直角三角形 【详解】因为， 所以， 即， 所以 所以是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形. 【考点题型十】与三角函数的综合（） 【例10】将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的所有取值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为, 所以将向左平移后函数变为, 由的图象关于轴对称，所以, 则，且因为, 所以的可能取值有与，所以的所有取值之和为 故答案为：D 【变式10-1】已知函数. (1)求函数的对称轴方程； (2)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，若函数在区间上恰有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ， 由得， 所以，函数的对称轴方程为. （2）由三角函数图象变换可得 ， 由，可得， 因为，令， 则直线与函数的图象有且只有一个交点，如下图所示： 由图可知，当或时，直线与函数的图象有且只有一个交点， 因此，实数的取值范围是. 【变式10-2】函数，取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据辅助角公式,其中， 可得,， 则， 所以， 当时，取得最大值， 此时,,移项可得， 由,,可得， 即， 根据诱导公式，可得， 故选：A. 【变式10-3】若函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 令得：， 因为，所以， 则在轴右侧方程的相邻三根依次为，解得， 由题意可知，即， 故得，即的取值范围是. 故选：B. 【变式10-4】已知函数 (1)将函数化简成的形式，并指出的最小正周期； (2)求函数在上的单调区间； (3)如果在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)单调减区间，单调增区间； (3) 【详解】（1）. 故最小正周期为. （2）由，得. 由在单调递减，在单调递增 可知：在上是减函数，在上是增函数. 即单调减区间，单调增区间； （3）由（2）可得当时，有最小值； 而，， 所以当，有最大值， 故恒成立， 解得：或 所以的取值范围 22 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 三角恒等变换 清单01 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）；（2） 记忆口诀：“CCSS，符号改变”； （3）；（4） 记忆口诀：“SCCS，符号不变”； （5） （6） 清单02 辅助角公式 辅助角公式：，其中，， 清单03 二倍角公式 （1） （2） （3） 降幂公式：；； 清单04 积化和差、和差化积 （1）积化和差 ， ， （2）和差化积 ， ， 【考点题型一】利用和差公式给角求值（） 【例1】（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知函数的图像关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】三角函数相关计算： (1)； (2)； (3) 【考点题型二】利用和差公式解决条件求值（） 【例2】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知，，则（   ） A． B． C． D．1 【变式2-3】若且，则 . 【变式2-4】已知是第四象限角且，，则的值为 . 【考点题型三】利用和差公式求角（） 【例3】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知为锐角，且，则（ ） A．1 B． C． D． 【变式3-2】设、，、是一元二次方程的两个根，则 . 【变式3-3】已知，，，，则（   ） A． B．或 C． D．或 【变式3-4】已知角，则 . 【考点题型四】利用二倍角给角求值（） 【例4】计算 【变式4-1】（多选）下列各式中，值是的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）下列化简结果是的选项为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】化简并求值：. 【变式4-4】若，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】利用二倍角解决条件求值（） 【例5】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知，，则 . 【变式5-2】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】若，则 . 【考点题型六】利用角的拆分求值或求角（） 【例6】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知，，且． (1)求的值； (2)求的值． 【变式6-2】已知，均为锐角，，，则（   ） A．或 B． C． D．或 【变式6-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】若角，满足，，且，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【例6】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知，，且． (1)求的值； (2)求的值． 【变式6-2】已知，均为锐角，，，则（   ） A．或 B． C． D．或 【变式6-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】若角，满足，，且，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【考点题型七】积化和差、和差化积（） 【例7】下列等式恒成立的是 （     ） A． B． C． D． 【变式7-1】（1）求值：． （2）已知，求的值． 【变式7-2】已知，则（    ） A． B． C． D．1 【变式7-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】已知，求证： (1)； (2)． 【考点题型八】辅助角公式（） 【例8】已知锐角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知，且，则的值为 ． 【变式8-2】已知角和的终边关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】当时，方程的解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式8-4】 ． 【考点题型九】判断三角形形状（） 【例9】在中，内角满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 【变式9-1】在中给出下列四个命题： ①若，则是等腰三角形； ②若且，则是直角三角形； ③若，则是等边三角形； ④若，则是等腰三角形． 其中正确的是 ． 【变式9-2】在中，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【变式9-3】关于x的方程有一根为1，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【变式9-4】在中，若，那么三角形的形状为 . 【考点题型十】与三角函数的综合（） 【例10】将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的所有取值之和为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】已知函数. (1)求函数的对称轴方程； (2)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，若函数在区间上恰有一个零点，求实数的取值范围. 【变式10-2】函数，取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】若函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-4】已知函数 (1)将函数化简成的形式，并指出的最小正周期； (2)求函数在上的单调区间； (3)如果在上恒成立，求的取值范围． 7 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$