专题10 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理）解读与提分精练（沪科版）-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题10 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 1 8 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1．（2023·江苏·统考二模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为___． 【答案】 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形，∴，∵都是等边三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∵，，∴点Q在射线上运动， ∵，∴， ∵，∴． 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为．故答案为：． 例2．（2024·四川成都·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，当AE取得最小值时，BD的长为 ． 【答案】 【详解】如图，取的中点，连接，过点作， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形，且点在射线上运动， 时，最短，此时是等腰直角三角形，则 故答案为： 例3．（2024·福建·八年级期末）如图，在中，，，，D为AB上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（ ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【详解】解：如图，连接，，设交于点， ，为的中点，，点在线段的垂直平分线上， 为等边三角形，，点在线段的垂直平分线上， 为线段的垂直平分线，，， 点在射线上，当时，的值最小，如图所示，设点为垂足， ，，，， 则在和中，，．， ∵，，，∴，， ∴，解得：，∴故选：B． 例4．（2024·广西河池·模拟预测）如图，在中，，，，为的角平分线，点F为上一动点，点G为的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：如图所示： 当点与点重合时，点在点处，此时， 当点与点重合时，点在点处，此时， 为的中位线，，且，点为的中点，为的中位线， ，，点在上运动，当时，的值最小， 在中，，，，，， ，，， 为的角平分线，，， ，即，的最小值为， ，，，， ，故选：B． 例5．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，点以的速度从点到点，同时点以的速度从点到点，当一个点到达终点时，则运动停止，点是边上一点，且，且是线段的中点，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，以为x轴，为y轴，D为坐标原点建立直角坐标系，连接， 四边形为矩形，，，，， ，， ，，，，，， ，，，点Q在直线上运动， 点关于直线对称，，， ，，， 则线段的最小值为，故答案为：． 例6．（2024·广东·校考一模）如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为边作等边，连接AF，则AF的最小值为__________． 【答案】5 【详解】解：如图，以AD为边作等边三角形△ADH，连接EH，∴HD＝AD＝AH＝10，∠HDA＝60°， ∵△DEF是等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝60°＝∠HDA，∴∠EDH＝∠FDA， 在△EDH和△FDA中，，∴△EDH≌△FDA（SAS），∴AF＝EH， ∴当EH⊥AB时，EH有最小值，即AF有最小值，   ∵∠EAH＝90°−∠HAD＝30°，EH⊥AB，∴EH＝AH＝5，∴AF的最小值为5，故答案为：5． 1．（23-24九年级上·陕西汉中·期末）如图，矩形的对角线交于点，，，为等边三角形，点是直线上一点，连接，则线段的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：连接交于，如图所示：当时，线段的值最小， 四边形是矩形，且，，，，，， 是等边三角形，，，， 是的垂直平分线，，， 在中，根据勾股定理得：， ，，故选D． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCO，B（4，3），点D为x轴上的一个动点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接OE，则OE的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：解：如图，以为边在右侧作等边三角形，∴∠OAG=60°， 连接EG并延长交y轴于点M，过点O作OH⊥GM于点H， 在矩形ABCO中，∵B（4，3），∴OA=BC=3，AB=OC=4，∴OA=OG=AG=3， ∵△ADE是等边三角形，∴AD=AE，∠DAE=60°，∴∠OAG=∠DAE=60°， ∵∠OAD=∠OAG-∠DAG，∠GAE=∠DAE-∠DAG，∴∠OAD=∠GAE， 在△ADO和△AEG中，，∴△ADO≌△AEG（SAS）， ∴∠AOD=∠AGE=90°，∴∠AGM=90°， ∴点E在过定点G且与AG垂直的直线上运动，即点E在直线MG上运动， ∵△OAG是等边三角形，∴∠AGO=60°，∴∠OGH=30°，∵OH⊥GM，∴， 当点E与H不重合时，OE＞OH，当点E与H重合时，OE=OH， 综上所述：OE≥OH，∴OE的最小值为，故答案为：． 3．（2024·湖南长沙·一模）如图，矩形中，，F是上一点，E为上一点，且，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，，设交于J． ∵四边形是矩形，，，， ∴，，，，∴， ∵，∴，在和中， ∵，∴∴， ∴点G的在射线上运动，∴当时，的值最小， ∵，∴， ∴四边形是矩形，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴的最小值为，故答案为：． 4.（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点D为x轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为 . 【答案】 【详解】解：如图，以为边在右侧作等边三角形，∴， 连接并延长交y轴于点M，过点O作于点H， 在矩形中，∵，∴，，∴， ∵是等边三角形，∴，，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，∴， ∴点E在过定点G且与垂直的直线上运动，即点E在直线上运动， ∵是等边三角形，∴，∴， ∵，∴，当点E与H不重合时，， 当点E与H重合时，，综上所述：，∴的最小值为，故答案为：． 5．（2024·广东梅州·统考模拟预测）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为__． 【答案】 【详解】解：在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．，，是等边三角形，，， ，，是等边三角形，，， ，，在和中，， ，，，点在射线上运动， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，，，，， ，∴GT//AB∵BG//AT四边形是平行四边形， ，，∴ ； 在中， ∴ ， 的最小值为，故答案为：． 6．（2024·重庆巴南·九年级期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是________________． 【答案】4+2 【详解】解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H， ∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠BAD＝120°，∴∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形， 又∵DE＝DG，∴△DEG也为等边三角形．∴DE＝GE， ∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，即∠DEF＝∠GEF'， 由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，所以EF＝EF'． 在△DEF和△GEF'中，，∴△DEF≌△GEF'（SAS）．∴∠EGF'＝∠EDF＝60°， ∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，则点F'的运动轨迹为射线GF'． 观察图形，可得A，E关于GF'对称，∴AF'＝EF'，∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE， 在Rt△BCH中，∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，∴， 在Rt△BEH中，BE＝＝＝2，∴BF'+EF'≥2， ∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2，故答案为：4+2． 7．（2024·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转60°至线段，连接，则线段长的最小值为 .    【答案】 【详解】解：在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．，，是等边三角形，，， ，，是等边三角形，，， ，，，， ，点在射线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，    ，，，，，，， 四边形是平行四边形，，，， ，，的最小值为，故答案为：． 8．（2024·广东清远·统考一模）如图，矩形中，，，动点、分别从点、同时出发，以相同的速度分别沿、向终点、移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，则长的最小值为________． 【答案】4 【详解】解：∵动点、分别从点、同时出发，以相同的速度分别沿、向终点、移动， ∴AE=CF∴EF不论如何运动，EF的中点始终在矩形的对角线的交点上， ∴当EF⊥BC时，即，E、F分别是AD、BC的中点时，CP取得最小值，此时P与F重合， ∴CP= 故答案为：4 9．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等腰，其中，，连接．当时， ；当从运动至过程中，的最小值为 ． 【答案】 【详解】当时，∵，，∴是等腰直角三角形，则∴ 又∵∴∵∴， ∵，∴∴在中，； 将绕点顺时针旋转，使与重合，∴，           ∴，，点在垂直于所在直线上，过作于点， ∴当与重合时，最小，如图，过作于点， ∴，∴四边形是矩形，∴，， ∴，∴，在中，由勾股定理得：， ∴由题意得：，∴，∴， 则的最小值为，故答案为：，． 10．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形中，，点，为直线上的两个动点，且，将线段关于翻折得线段，连接．当线段的长度最小时，的度数为 度． 【答案】75 【详解】解：将线段绕点B顺时针旋转后点A落在点E，连接，设交于G点，如下图所示：在矩形中，，，根据折叠可知，，， ∴，，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴点在上， ∵垂线段最短，∴当时，有最小值，∴与均为、、直角三角形， 设，，则，，， ∴，∵，∴，∴， ∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴， ∵，，∴是等边三角形，∴， ∴，∴， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点H是上一点，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，，， ∴，∴，∴， ∴点G的轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当时，有最小值， ∵，∴，∴，故答案为：． 12.（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且，F为边上一动点，点E绕点F逆时针旋转至点G，则线段的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，作，过点G作于H，延长，交于点N，过点A作，    ∵点E绕点F逆时针旋转至点G，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴点G在平行于且与的距离为1的直线上运动，∴当点G在上时，有最小值， ∵，∴， ∴，，∴，， ∴的最小值，故答案为：． 13．（2024·辽宁·九年级校考期中）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，． (1)如图，求证：≌；(2)直线与相交于点． 如图，于点，于点，求证：四边形是正方形； 如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 【答案】(1)见解析(2)①见解析② 【详解】（1）证明：四边形是正方形，，． ，．，， 在和中， ≌； （2）证明：如图中，设与相交于点． ，．≌，． ，．， ，，四边形是矩形，． 四边形是正方形，，．． 又，≌．．矩形是正方形； 解：作交于点，作于点， ∵∴≌．． ，，最大时，最小，． ．由可知，是等腰直角三角形，． 14．（2024上·内蒙古赤峰·九年级统考期中）如图，长方形中，为上一点，且为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，问是否有最小值？如果有，求出的最小值． 【答案】 【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于J． ∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴，∴点G的在射线上运动， ∴当时，的值最小，∵，∴， ∴，∴， ∴四边形是矩形，∴∴，∴ ∴，∴，∴的最小值为． 15．（2024·山东·九年级专题练习）如图所示，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，为的中点，连接，求的最小值． 【答案】的最小值为． 【详解】解：如图： 当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1， 当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，∴P1P2∥CE且P1P2=CE． 当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P=CF． ∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值． ∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=2． ∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°．∴∠DP2P1=90°．∴∠DP1P2=45°． ∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角BCP1中，CP1=BC=2， ∴BP1=∴PB的最小值是．故答案是：． 16．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，点为的中点，连接，且，作射线． (1)求证：为线段的垂直平分线；(2)求的度数；(3)求的最小值． 【答案】(1)见详解(2)(3) 【详解】（1）如图，设交于点， ∵为的中点，∴，∴点在线段的垂直平分线上， ∵为等边三角形，∴，∴点在线段的垂直平分线上，∴为线段的垂直平分线； （2）为线段的垂直平分线，为等边三角形，∴，， ， （3）点在射线上，当时，的值最小，如图所示，设点为垂足， ∵， 在和中 故答案为：． 7 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 1 8 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1．（2023·江苏·统考二模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为___． 例2．（2024·四川成都·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，当AE取得最小值时，BD的长为 ． 例3．（2024·福建·八年级期末）如图，在中，，，，D为AB上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（ ） A． B．6 C． D．9 例4．（2024·广西河池·模拟预测）如图，在中，，，，为的角平分线，点F为上一动点，点G为的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 例5．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，点以的速度从点到点，同时点以的速度从点到点，当一个点到达终点时，则运动停止，点是边上一点，且，且是线段的中点，则线段的最小值为 ． 例6．（2024·广东·校考一模）如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为边作等边，连接AF，则AF的最小值为__________． 1．（23-24九年级上·陕西汉中·期末）如图，矩形的对角线交于点，，，为等边三角形，点是直线上一点，连接，则线段的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCO，B（4，3），点D为x轴上的一个动点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接OE，则OE的最小值为 ． 3．（2024·湖南长沙·一模）如图，矩形中，，F是上一点，E为上一点，且，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，则的最小值为 ． 4.（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点D为x轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为 . 5．（2024·广东梅州·统考模拟预测）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为__． 6．（2024·重庆巴南·九年级期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是________________． 7．（2024·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转60°至线段，连接，则线段长的最小值为 .    8．（2024·广东清远·统考一模）如图，矩形中，，，动点、分别从点、同时出发，以相同的速度分别沿、向终点、移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，则长的最小值为________． 9．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等腰，其中，，连接．当时， ；当从运动至过程中，的最小值为 ． 10．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形中，，点，为直线上的两个动点，且，将线段关于翻折得线段，连接．当线段的长度最小时，的度数为 度． 11．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点H是上一点，，连接，则的最小值为 ． 12.（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且，F为边上一动点，点E绕点F逆时针旋转至点G，则线段的最小值为 ．    13．（2024·辽宁·九年级校考期中）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，． (1)如图，求证：≌；(2)直线与相交于点． 如图，于点，于点，求证：四边形是正方形； 如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 14．（2024上·内蒙古赤峰·九年级统考期中）如图，长方形中，为上一点，且为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，问是否有最小值？如果有，求出的最小值． 15．（2024·山东·九年级专题练习）如图所示，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，为的中点，连接，求的最小值． 16．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，点为的中点，连接，且，作射线． (1)求证：为线段的垂直平分线；(2)求的度数；(3)求的最小值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$