专题12 几何最值模型之逆等线模型解读与提分精练（沪科版）-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题12 几何最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 1 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 5 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 7 模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 10 13 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 证明思路：① AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出EF=CD； ④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线； ⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。 注意：题中的角度，在八年级能解决的只有一些特殊角度，如：30，45，60等。 例1．（24-25九年级上·广东·阶段练习）在边长为4的等边中，分别为边上的动点，且总满足则的最小值 ． 【答案】 【详解】解：是等边三角形，， ，，， 当时，即时，最短，则有最小值， 此时，，， 的最小值为，故答案为：． 例2．（23-24七年级下·四川·期末）如图，在中，，，点为上一动点，在上取点，使，连接，，当的值最小时，的度数为 ．    【答案】 【详解】解：过点作，使，连接，交于点，    ∵，∴，∴，∴， 当且仅当三点共线时，的值最小，此时点与点重合， ∵，，∴， ∴，∴， ∴；故答案为：． 例3．（23-24八年级上·陕西·期中）在中，，，，点，分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图，过点B作，使得，连接，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在中，，当点A、Q、M三点共线时，，∴， ∵，，，∴， ∵，，∴， ∴，即的最小值为．故答案为：。 例4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）锐角△ABC中，，，∠B＝60°，点D、E分别是边AB、AC上的动点，并且满足，则CD＋BE的最小值为 ． 【答案】． 【详解】解：如图作，使得．作交的延长线于． ，，，，，， ，的最小值为的长， ∵∴ ∴在中，，， ，，∴ 在中，．故答案为：． 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。 证明思路：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）；③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG；④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线；⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。 例1．（2024·安徽合肥·一模）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝（ ） A．112.5° B．105° C．90° D．82.5° 【答案】B 【详解】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH， ∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°， ∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH， ∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小， 此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故选B． 例2．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在三角形中，，，于点，，分别是线段，上的动点，，当最小时， 度．    【答案】 【详解】解：在下方作，使，连接．则，．    ∴，即最小值为，此时A、N、三点在同一直线上． ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴，故答案为：． 例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ． 【答案】4 【详解】解：∵等腰中，，∴， ∵平分，∴，如图，作，使，连接， ∴，∵，，， ∴，∴，，∴， ∴当三点共线时，最小，即， ∵，，∴是等边三角形，∴，∴，故答案为：4． 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 条件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE， 求CD+CE的最小值。 证明思路：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD； ④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线； ⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。 例1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，，D、E为边上的两个动点（不与A、B点重合），且，连接、，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意知，∴， 如图，分别过、作、的垂线交于，则四边形是矩形，连接， ∴，，，∴， ∵，，，∴，∴，∴， ∴当三点共线时，最小，最小为，∴， ∴的最小值为，故答案为：． 例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是 ．    【答案】17 【详解】解：如图，连接，， 四边形是矩形，，，，， ，，，，， 又，为矩形的对角线，， 是直角三角形，，，， 移项得， 配方得，，解得，或 ，，，故答案为：17．    模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。 条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF， 求AF+AE的最小值。 证明思路：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG； ④AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。先利用勾股或相似求出DH和HG（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两条线段的长度），再利用勾股定理求出AG即可。 例1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在菱形中，，E，F分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，的下方作，截取，使得，连接，． 四边形是菱形，，，， ，，，，，， ，，， ，，的最小值为，故答案为． 例2．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：过点作，使，过点作，交的延长线于点，连接、、，交于点，∴，∵矩形中，，， ∴，，， ∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∴， 在和中，∴，∴， ∵点、分别是对角线和边上的动点，∴， 当、、三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长， 在中，，，， ∴，∴， ∴，在中，， ∴的最小值是，故答案为：． 例3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，、分别从、同时出发，以相同的速度向点运动，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接，∵矩形中，，，    ∴，，依题意，，∴∴， 作点关于的对称点，连接，，则， ∵，则三点共线时，取得最小值， ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 1．（23-24八年级下·广东韶关·期末）如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别是边上的动点，且，连接，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接AE，∵四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，又BE=CF， ∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴AE= BF，所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值． 作点A关于BC的对称点H点，连接EH、BH，则A、B、H三点共线，且AE=EH，BH=AB=4， 连接DH交BC于E′，则AE+DE=EH+DE≥DH，当点E在E′处时取等号， ∴BF+DE最小值为DH的长度．在Rt△ADH中，AH=8，AD=4，∴DH=， ∴BF+DE最小值为．故选：D． 2．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在等边三角形中，，，点、分别是、上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图（1），过点作，且，连接交于点，连接， ∴在等边三角形中， ， ∴，， ∴∴∵∴， 在与中，∴，∴，， 故当为与的交点时，如图（2）此时的值最小， 又∵为等腰直角三角形，∴的最小值为：．故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长到，使，连接，， 四边形是矩形，，，，．． ，，．，， 当点、、共线时，最小，最小值为的长．最小值为． ，，在中，，， ，最小值为．故答案为：． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，为等腰底边上的高，，，分别是线段上的动点，且，则取最小值时，其最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作且使得，连接、、， ∵，点为的中点，∴，， ，，，，， 又，在和中，， ，，∵当点、、三点共线时，最小，此时最小值为 ,．故答案为：． 5．（2024·贵州遵义·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为 ． 【答案】 【详解】如图，过点作，且，连接，如图1所示，， 又，，，， 当三点共线时，取得最小值，此时如图2所示， 在等腰直角三角形中，，， ，，，， ，，，设， ，，， ，， ，，即取得最小值时，CM的长为， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·贵州遵义·期末）在正方形中，，点E、F分别为上一点，且，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，    正方形中，，，， 在和中，，，， ，的最小值就是的最小值， 如图，作关于的对称点，连接交于，则即可满足最小， ，，，． 的最小值是．故答案为：． 7．（23-24八年级下·江苏·期末）如图，菱形的边长为1, ．分别是上的动点，且,则的最小值为 ．      【答案】 【详解】过点C作于点G，使得，连接AG，    ∵四边形ABCD是菱形，∴ ， ∴ 是等边三角形，∴ ．， ． 在和中 ， ， ． ， ，， ∴AE+AF的最小值为 ，故答案为：． 8．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，四边形ABCD为矩形，，，点E是AD所在直线的一个动点，点F是对角线BD上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】如图，延长至使得，连接， 四边形是矩形，，， 在与中，， ，在中，，，， 在中，，，的最小值是． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接，，若，则的最小值为 ． 【答案】10 【详解】解：如图，延长到P使，连接，交于F， 在和中，，，， ，，， ∵点A、F、P在一条直线上，的长为的最小值， ，，， ，即的最小值为10．故答案为：10． 10．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】（1）如图（1），E为的边上的一点，，过点A作，且，连接，求证：； 【变式迁移】（2）如图（2），在中，，平分，点E在上，且，若点C分别到，的距离之比为m，求证：； 【拓展创新】（3）如图（3），在中，，，，D，E分别是，上的点，且，当最小时，_________．    【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中，， ∴； （2）证明：如图2，过点C作交的延长线于G，过点C作于点T，于点H，连接．∴，，    ∵平分，∴，∴，∴， ∵，， ∴，∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，   ∴， ∴； （3）如图3中，作，使得，连接，过点C作于点H，过点G作交的延长线于点T，连接．    ∵，，，， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 当三点共线时，，此时取得最小值； 以为原点，，为坐标轴建立坐标系，∴，，，， 设直线为，∴，解得：，∴直线为， 同理可得：为， ∴，解得：， ∴，而，∴， ∴，∴． 11．（23-24九年级上·陕西汉中·阶段练习）问题提出 （1）如图1，在矩形中，，点P是矩形内一动点，且，则的最小值为______； 问题探究（2）如图2，在菱形中，，E，F分别是边上的两个动点，且，连接，求证：； 问题解决（3）如图3，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园，其中米，，．根据要求，现计划给该花园修建两条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口定为点D，出口E、F分别设在边和边上，且，为了节省成本，要求绿色长廊之和最短，试求的最小值．（长廊宽度忽略不计） 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【详解】（1）解：连接， ∵四边形是矩形，∴，，∴， ∵，∴点P到的距离相等，∴点P在线段的垂直平分线上， ∴∴，当点共线时取得最小值， 此时，即的最小值为；故答案为： （2）∵四边形是菱形，∴，， ∵，∴是等边三角形，，∴，，∴， 又∵，∴，∴； （3）∵，∴四边形是矩形， ∵，∴四边形是正方形，∴，连接，    ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，延长到点G，使得，连接，， ∵，∴点D和点G关于成轴对称，∴，∴， ∵，当点C、E、G三点共线时，取得最小值，即是的长， 在中，，∴， 即的最小值为，∴的最小值为． 12．（23-24八年级下·重庆江北·期中）如图1，菱形中，对角线相交于O，于E，与相交于F，连接． (1)若菱形的对角线．，求的长；(2)如图1，若，求证：； (3)如图2，M、N分别是线段上的两个动点，且，连接，若，直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)见解析(3)的最小值为 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，对角线， ，， ，，； （2）证明：在上取一点，使，连接， ，， ，，， ，∵为直角三角形，为中点， ，，， ，，； （3）解：将绕点逆时针旋转至，连接， 在上，，， 在和中，，∴，， ，，，∴的最小值为． 13．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）（1）如图1，已知等腰直角三角形中，，在三角形内取一点，使得，，求的度数 小明通过挖掘已知条件，获得，线段，这样本题就具备了一边一角的图形特征，所以小明果断的在AB上截取．造出全等三角形，从而便问题得以解决．请按照小明的思路完整解答．求出的度数 （2）如图2，在四边形中，，，求证： （3）如图3，在中，，，射线于点．若点E，F分别是射线AD，边AC上的动点，，连接BE，BF，直接写出最小值______． 【答案】（1）（2）见详解（3） 【详解】解：（1），，， ，，，，， ，，在上取一点，使，连接， 在和中，，， ，，，设，则，， ，，，，， ； （2）如图：延长到点G，使得， ∵∴ ∵，∴∴ ∵∴∴； （3）如图：过点C作直线，在直线上截取，连接,∴ ∵，，∴是等腰直角三角形，∴ ∵∴ 在和中∴∴， ∴∵∴最小值为 在中，∵∴∴最小值为． 14．（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点． (1)如图①，过点作交边于点．当点在边上时，猜想与的数量关系__________，证明你的猜想；(2)如图②，在（1）的条件下，过点作，垂足为点，在点的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值：若变化，试说明理由．(3)如图③，若点是射线上的一个动点，且始终满足，设，请直接写出的最小值． 【答案】(1)；见解析(2)点在运动过程中，的长度不变，值为(3) 【详解】（1）解：连接，如图1所示： 四边形是正方形，， 在和中， ，，，， ， ，，，； （2）解：的长度不变.理由如下：连接，与相交于点，如图2. 四边形是正方形，，，即， ，即，， 在和中，，， 四边形是正方形，，， ，，，点在运动过程中，的长度不变，值为； （3）解：过点作，使，连接，，过点作，交延长线于，如图3所示： 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形，， 在和中，， 、、三点共线时，最短，即最短，此时，， 在中，由勾股定理得：的最小值为． 15．（23-24九年级上·重庆开州·阶段练习）如图1，已知等边，以为直角顶点向右作等腰直角，连接． (1)若，求点到边的距离； (2)如图2，过点作的垂线，分别交，于点，，求证：； (3)如图3，点，分别为线段，上一点，，连接，，若，当取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】(1)2；(2)证明见解析；(3)． 【详解】（1）解：过点作延长线于点， 是等边三角形，，， 是等腰直角三角形，，， ，，即点到边的距离为2； （2）证明：在上取，连接，， 是等边三角形，，， 是等腰直角三角形，，，， ，，，，， ，，垂直平分，， ，，，， ，，垂直平分，，，， ，，， 在和中，，，，； （3）解：过点作，且，连接，过点作于点， ，，，，， ，当、、三点共线时，最小， 由（2）知，，，，，， ，是等腰直角三角形，， 过点作于点，则是等腰直角三角形，， ，，， ，，，，， 即，解得，． 16．（2024·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见详解，（2）四边形为平行四边形，（3） 【详解】（1）证明∵为等边三角形，∴， ∵绕点M逆时针旋转得到，∴，∴， ∵，，∴，∴； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下，∵，，∴， ∵绕点M逆时针旋转得到，∴，， ∴，则，在和中， ，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，则四边形为平行四边形； （3）解：如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，∵，，∴，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴，∴， ∴当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值， ∵，∴ ，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴， 在中，，∴的最小值为． 31 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 几何最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 1 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 5 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 8 模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 10 14 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 证明思路：① AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出EF=CD； ④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线； ⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。 注意：题中的角度，在八年级能解决的只有一些特殊角度，如：30，45，60等。 例1．（24-25九年级上·广东·阶段练习）在边长为4的等边中，分别为边上的动点，且总满足则的最小值 ． 例2．（23-24七年级下·四川·期末）如图，在中，，，点为上一动点，在上取点，使，连接，，当的值最小时，的度数为 ．    例3．（23-24八年级上·陕西·期中）在中，，，，点，分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ． 例4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）锐角△ABC中，，，∠B＝60°，点D、E分别是边AB、AC上的动点，并且满足，则CD＋BE的最小值为 ． 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。 证明思路：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）；③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG；④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线；⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。 例1．（2024·安徽合肥·一模）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝（ ） A．112.5° B．105° C．90° D．82.5° 例2．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在三角形中，，，于点，，分别是线段，上的动点，，当最小时， 度．    例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ． 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 条件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE， 求CD+CE的最小值。 证明思路：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD； ④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线； ⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。 例1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，，D、E为边上的两个动点（不与A、B点重合），且，连接、，若，则的最小值为 ． 例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是 ．    模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。 条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF， 求AF+AE的最小值。 证明思路：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG； ④AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。先利用勾股或相似求出DH和HG（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两条线段的长度），再利用勾股定理求出AG即可。 例1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在菱形中，，E，F分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ． 例2．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ． 例3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，、分别从、同时出发，以相同的速度向点运动，则的最小值为 ．    1．（23-24八年级下·广东韶关·期末）如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别是边上的动点，且，连接，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在等边三角形中，，，点、分别是、上的动点，且，则的最小值为 ． 3．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为 ． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，为等腰底边上的高，，，分别是线段上的动点，且，则取最小值时，其最小值为 ． 5．（2024·贵州遵义·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为 ． 6．（23-24七年级下·贵州遵义·期末）在正方形中，，点E、F分别为上一点，且，连接，则的最小值是 ．    7．（23-24八年级下·江苏·期末）如图，菱形的边长为1, ．分别是上的动点，且,则的最小值为 ．      8．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，四边形ABCD为矩形，，，点E是AD所在直线的一个动点，点F是对角线BD上的动点，且，则的最小值是 ． 9．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接，，若，则的最小值为 ． 10．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】（1）如图（1），E为的边上的一点，，过点A作，且，连接，求证：； 【变式迁移】（2）如图（2），在中，，平分，点E在上，且，若点C分别到，的距离之比为m，求证：； 【拓展创新】（3）如图（3），在中，，，，D，E分别是，上的点，且，当最小时，_________．    11．（23-24九年级上·陕西汉中·阶段练习）问题提出 （1）如图1，在矩形中，，点P是矩形内一动点，且，则的最小值为______； 问题探究（2）如图2，在菱形中，，E，F分别是边上的两个动点，且，连接，求证：； 问题解决（3）如图3，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园，其中米，，．根据要求，现计划给该花园修建两条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口定为点D，出口E、F分别设在边和边上，且，为了节省成本，要求绿色长廊之和最短，试求的最小值．（长廊宽度忽略不计） 12．（23-24八年级下·重庆江北·期中）如图1，菱形中，对角线相交于O，于E，与相交于F，连接． (1)若菱形的对角线．，求的长；(2)如图1，若，求证：； (3)如图2，M、N分别是线段上的两个动点，且，连接，若，直接写出的最小值． 13．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）（1）如图1，已知等腰直角三角形中，，在三角形内取一点，使得，，求的度数 小明通过挖掘已知条件，获得，线段，这样本题就具备了一边一角的图形特征，所以小明果断的在AB上截取．造出全等三角形，从而便问题得以解决．请按照小明的思路完整解答．求出的度数 （2）如图2，在四边形中，，，求证： （3）如图3，在中，，，射线于点．若点E，F分别是射线AD，边AC上的动点，，连接BE，BF，直接写出最小值______． 14．（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点． (1)如图①，过点作交边于点．当点在边上时，猜想与的数量关系__________，证明你的猜想；(2)如图②，在（1）的条件下，过点作，垂足为点，在点的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值：若变化，试说明理由．(3)如图③，若点是射线上的一个动点，且始终满足，设，请直接写出的最小值． 15．（23-24九年级上·重庆开州·阶段练习）如图1，已知等边，以为直角顶点向右作等腰直角，连接． (1)若，求点到边的距离； (2)如图2，过点作的垂线，分别交，于点，，求证：； (3)如图3，点，分别为线段，上一点，，连接，，若，当取得最小值时，直接写出的面积． 16．（2024·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$