专题11 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型解读与提分精练（沪科版）-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题11. 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.费马点模型 2 19 模型1.费马点模型 皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等。 费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。 结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图1，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 图1 图2 图3 法2：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN． ∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN． 在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）． 连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形． ∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1和法2） 【最值原理】两点之间，线段最短。 例1．（2024·山东东营·模拟预测）如图，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，则的最小值是 ． 例2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 例3．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．20 例4．（2023·广东深圳·二模）如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为______． 例5．（2023·江苏·九年级阶段练习）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为　　 公里． 例6．（2023·重庆·九年级专题练习）【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 例7．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，点为中点，四边形和四边形都是正方形． (1)求的长；(2)如图②，连接，，过点作于点，延长交于点，求证：； (3)如图③，，点在边上，且，为的中点，点为正方形内部一点，连接，，，请直接写出的最小值． 1．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，矩形ABCD中，，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　） A． B． C． D． 3．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（    ） A． B．36 C． D． 4．（2023·陕西榆林·二模）如图，M是正方形内一点，N为边上一点，连接、、，若，则的最小值为 ．    5.（2024·四川自贡·一模）如图所示，在矩形中，，，为矩形内部的任意一点，则的最小值为 ． 6．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，线段为一个通信公司，该公司与两个通信点恰好围成一个正方形的公司长度为米，公司准备在正方形内要建设一个通信中转站点，在通信公司的边上架设一个通讯中心点，在通信中转站点到两个通信点和通讯中心点之间铺设通信光缆，则铺设光缆的最短长度为 米． 7．（2023·福建九年级月考）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、.设点的坐标为. （1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段上，点，.且（），则点的坐标为 ，点的坐标为 ；请直接写出点纵坐标的取值范围是 ；（2）若正方形的边长为2，求的长，以及的最小值. (提示：连接:，) 8．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，已知，，，，． (1)求证：；(2)若M是上一点，P为内一点，则的最小值为______． 9．（2023上·福建龙岩·九年级校联考期中）如图，在等边三角形内有一点．       (1)若，，，求的度数；(2)若等边三角形边长为，求的最小值； (3)如图，在正方形内有一点，且，，，求正方形的边长． 11．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）（1）已知点E是正方形边上的一点，连接．如图1，把射线绕点B顺时针旋转交的延长线于点F，求证：；（2）边长把边沿翻折．①如图2，若点P落在对角线上，则 ；②如图3，点G在边上，，连接、，当点P落在内部时（不含边上），线段长度的取值范围为 ； （3）如图4，点M是正方形内一点，连接、，若，求最小值； （4）如图5，点M是矩形内一点，连接，若，，则最小值为 ． 12．（2024·福建厦门·二模）根据以下思考，探索完成任务 费马点的思考 问题背景 17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费马点”．    素材1 解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段行转化： 如图：把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了．当，四点共线时，线段的长为所求的最小值，容易证明，此时点P为的“费马点”．      素材2 图中所示的是一个正方形的厂区，其中顶点A，B，C，D分别为办公区、生产区、物流区和生活区，正方形边长为，准备在厂区内修建一研发区E，且从研发区E修建三条直线型道路直通办公区A，生产区B和物流区C修路的成本为200元/米．    任务一 感悟证明定理 请你根据素材1所给解决思路，证明所求线段转化的正确性．证明： 任务二 初步探索位置 在素材2中，请问研发区E建在哪片区域比较合适？（   ） A．内的区域 B．内的区域 任务三 拟定恰当方案 为了节约建设成本，问该研发区E应该修建在厂区的什么地方，才能使得花费最少，最少费用为多少？ 13．（2024·陕西咸阳·模拟预测）【问题探究】（1）如图①，点P是等边内一点，，，，则的度数为______； 【类比迁移】（2）如图②，若点P是正方形内一点，，，，求的长； 【拓展应用】（3）如图③，某公园有一块矩形水池，米，米，为方便观赏游玩，工作人员计划在水池内P，Q两点处增加亭台，连接，且，怎样选择点P和点Q的位置，可以使最小？并求出的最小值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11. 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.费马点模型 2 19 模型1.费马点模型 皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等。 费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。 结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图1，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 图1 图2 图3 法2：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN． ∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN． 在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）． 连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形． ∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1和法2） 【最值原理】两点之间，线段最短。 例1．（2024·山东东营·模拟预测）如图，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，则的最小值是 ． 【答案】cm 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到， ，，， 是等边三角形，是等边三角形，， 作于，交于．，，，， 当点，，，四点共线且垂直时，有最小值为， ，，的最小值(cm)．故答案为：cm． 例2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 【答案】 【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案为． 例3．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．20 【答案】C 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，则， ∴和均为等边三角形，，∴， ∴，∴、、共线时最短， 由于点E也为动点，∴当时最短，而，∴，， ∵和均为等边三角形，∴，， ∴，，∴， ∴的最小值为 ．故选C． 例4．（2023·广东深圳·二模）如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为______． 【答案】 【详解】∵为正三角形，∴，∴ ∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∴． 在和中，∴（SAS）∴ 在中，又∵，∴为等边三角形，∴． ∵AM+BM+CM最小值为．∴EN+MN+CM的最小值为即CE=． 过点E作交CB的延长线于F，可得． 设正方形的边长为x，则BF=，． 在，∵，∴ 解得（负值舍去）．∴正方形的边长为．故答案为：． 例5．（2023·江苏·九年级阶段练习）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为　　 公里． 【答案】15+10 【详解】解：如图1，将△AEB绕A顺时针旋转60°得△AGH，连接BH、EG，将△DFC绕点D逆时针旋转60°得到△DF'M，连接CM、FF'，由旋转得：AB=AH，AE=AG，∠EAG=∠BAH=60°，BE=GH， ∴△AEG和△ABH是等边三角形，∴AE=EG，同理得：△DFF'和△DCM是等边三角形，DF=FF'，FC=F'M， ∴当H、G、E、F、F'、M在同一条直线上时，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如图2， ∵AH=BH，DM=CM，∴HM是AB和CD的垂直平分线，∴HM⊥AB，HM⊥CD， ∵AB=10，∴△ABH的高为5，∴EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+5+5=15+10， 则EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+10）公里．故答案为：（15+10）． 例6．（2023·重庆·九年级专题练习）【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为（平方米）． 【详解】（1）证明：的形状是等边三角形，理由如下; 由旋转知，BN=BM，∠MBN=60°∴△BMN为等边三角形 故答案为：等边三角形； （2）解：设AB=a，∵AB+AC=10，∴AC=10-AB=，在Rt△ABC中，根据勾股定理得， ， ∵，∴，即，∴，即BC的最小值为； （3）解：如图3，将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'，∴△ABE≌△A'BE'， ∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°， ∴△EBE'为等边三角形，∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE， 要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C， 过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F，在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°， 设BF=x，则A'B=2x， 根据勾股定理得，A'F=， ∵AB=A'B，∴AB=2x，∵AB+BC=6，∴BC=6-AB=6-2x，∴CF=BF+BC=6-x， 在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，， ∴当x=，即AB=2x=3时，最小，此时，BC=6-3=3，A'F=， ∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）． 例7．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，点为中点，四边形和四边形都是正方形． (1)求的长；(2)如图②，连接，，过点作于点，延长交于点，求证：； (3)如图③，，点在边上，且，为的中点，点为正方形内部一点，连接，，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)见详解(3) 【详解】（1）解：对于直线，当时，，即，当时，，即， ∴，，∴， ∵点是的中点，，∴； （2）证明：过点作交延长线于点，过点作，垂足为， ∵四边形为正方形，∴，，， ∵，，∴，∴， ∴，∴，同理，∴，∴， ∵，，∴， 又∵，，∴，∴； （3）解：将绕点逆时针旋转得到，连接， 则，∴，，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， 在正方形中，，，为的中点， ∴，，∴， 在中，，∴的最小值为． 1．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，矩形ABCD中，，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求． 由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC=PF， ∵PB=EF，∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴， ∴AC=2AB，∴∠ACB=30°，， ∵∠BCE=60°，∴∠ACE=90°，∴，故选：D． 2．（2023·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG， ∴△BFG是等边三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”， ∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长， 过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°-120°=60°， ∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中， ∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°， ∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故选：D． 3．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（    ） A． B．36 C． D． 【答案】A 【详解】分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，如图所示， ∵取、中点，∴，∵等边三角形，∴， ∵等边三角形，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∴当三点共线时最小， ∵∴， ∵，∴，∴， ∴，∴的最小值为，故选：A． 4．（2023·陕西榆林·二模）如图，M是正方形内一点，N为边上一点，连接、、，若，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，，，作于H，交于G，     ∵，，∴是等边三角形，同理，是等边三角形， ∴ ∵，，，∴， 又∵，，， 故的最小值为．故答案为：． 5.（2024·四川自贡·一模）如图所示，在矩形中，，，为矩形内部的任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如解图，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可知，∴是等边三角形， ∴，∴， ∴当A､P､F､E四点共线时，的值最小，最小值为AE的长， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∴，，∵，∴， ∴在中，．故答案是：． 6．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，线段为一个通信公司，该公司与两个通信点恰好围成一个正方形的公司长度为米，公司准备在正方形内要建设一个通信中转站点，在通信公司的边上架设一个通讯中心点，在通信中转站点到两个通信点和通讯中心点之间铺设通信光缆，则铺设光缆的最短长度为 米． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到 则，和都是等边三角形， ，当三点共线时，最小为 是上的点，当时值最小，过作交于点， 为等边三角形，四边形是正方形， ，(米)， 则铺设光缆的最短长度为米，故答案为：． 7．（2023·福建九年级月考）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、.设点的坐标为. （1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段上，点，.且（），则点的坐标为 ，点的坐标为 ；请直接写出点纵坐标的取值范围是 ；（2）若正方形的边长为2，求的长，以及的最小值. (提示：连接:，) 【答案】（1），，；（2），. 【详解】解：（1）如图1，以直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系， ∵四边形是正方形∴∵点，∴， 过作于∴∵将绕点逆时针旋转得到， ∴∴ ∵∴点纵坐标的取值范围是 故答案为：，， （2）如图所示，连接，过作，交的延长线于， 由旋转可得，，，∴是等边三角形，∴ ∵是等边三角形∴∴∴≌（） ∴∴ ∴当，，，在同一直线上时，的最小值是的长， 又∵，∴∴中， ∴∴ ∴中， ∴的最小值为 8．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，已知，，，，． (1)求证：；(2)若M是上一点，P为内一点，则的最小值为______． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：证明：过点交于点E， ，四边形是平行四边形， ，，，，， 在中，，， 是直角三角形，即，； （2）解：如图，以为边构造等边和等边，连接，过点F作于点，设交于点Q， 和都是等边三角形，，， 即，， ，， 又M为上一动点，当时，取得最小值，等于的长， ，，， 如（1）图 ，，， ，的最小值为． 9．（2023上·福建龙岩·九年级校联考期中）如图，在等边三角形内有一点．       (1)若，，，求的度数；(2)若等边三角形边长为，求的最小值； (3)如图，在正方形内有一点，且，，，求正方形的边长． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解： 如图所示，    将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，， ，，，， 是等边三角形，，， ，是直角三角形，， ，， （2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，         则，，，则是等边三角形，， 再将绕点顺时针旋转得到，则 ，，， 当四点共线时，取得最小值，即的长，设，交于点， ，， ，， 在中，，即的最小值为； （3）如图，将绕点逆时针旋转，得到， ，，，，， 是等腰直角三角形，，， ，是直角三角形，， 如图，延长，过点作于，则， ，，，，， ，即正方形的边长为． 11．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）（1）已知点E是正方形边上的一点，连接．如图1，把射线绕点B顺时针旋转交的延长线于点F，求证：；（2）边长把边沿翻折．①如图2，若点P落在对角线上，则 ；②如图3，点G在边上，，连接、，当点P落在内部时（不含边上），线段长度的取值范围为 ； （3）如图4，点M是正方形内一点，连接、，若，求最小值； （4）如图5，点M是矩形内一点，连接，若，，则最小值为 ． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）（4） 【详解】解：（1）由旋转的性质可得，， ∵四边形是正方形，∴，， ∵，，∴，∴，∴； （2）①由折叠的性质可得，，，， ∵四边形是正方形，∴，，， ∴，，∴，故答案为：； ②如图，当点P落到上，由折叠的性质可得，垂直平分，∴， ∵，，∴， 又∵，，∴，∴， 当点P落到上，连接，由折叠的性质可得，，，， ∴，∵，∴， 在中，，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∵点P在的内部，不含边，∴，故答案为：； （3）①当A、M、C不共线时，， ②当点A、M、C三点共线时，的值最小为， ∵，，∴是等腰直角三角形， ∴即最小值为； （4）如图，将绕点B逆时针旋转得到，∴，， 又∵，∴是等边三角形，∴，∴， ∴当点、、M、C共线时，的值最小，最小值是， 过点作的延长线于点N，由旋转的性质得，，， ∴，∴，∴， ∴，∴, 即的最小值是，故答案为：． 12．（2024·福建厦门·二模）根据以下思考，探索完成任务 费马点的思考 问题背景 17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费马点”．    素材1 解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段行转化： 如图：把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了．当，四点共线时，线段的长为所求的最小值，容易证明，此时点P为的“费马点”．      素材2 图中所示的是一个正方形的厂区，其中顶点A，B，C，D分别为办公区、生产区、物流区和生活区，正方形边长为，准备在厂区内修建一研发区E，且从研发区E修建三条直线型道路直通办公区A，生产区B和物流区C修路的成本为200元/米．    任务一 感悟证明定理 请你根据素材1所给解决思路，证明所求线段转化的正确性．证明： 任务二 初步探索位置 在素材2中，请问研发区E建在哪片区域比较合适？（   ） A．内的区域 B．内的区域 任务三 拟定恰当方案 为了节约建设成本，问该研发区E应该修建在厂区的什么地方，才能使得花费最少，最少费用为多少？ 【答案】任务一：见解析；任务二：A；任务三：研发区E应建在内部，且满足时花费最少，最少费用为元 【详解】解：任务一：如图，由旋转得：，∴是等边三角形，∴， ∵，∴；       任务二：在素材2中，由题意得：要找一点E到A、B、C三点距离和最小， 研发区E建在内的区域比较合适，故选：A； （3）如图， 把绕点B逆时针旋转60度得到，则 ， 连接，为等边三角形，， 绕点B逆时针旋转60度得到，， ，， 当且仅当在上时，的值为最小，为， 此时，点E在内部，且满足， 过点作，交延长线于点H， 在中，，，， 在中，， 最小值为，此时费用为元． 13．（2024·陕西咸阳·模拟预测）【问题探究】（1）如图①，点P是等边内一点，，，，则的度数为______； 【类比迁移】（2）如图②，若点P是正方形内一点，，，，求的长； 【拓展应用】（3）如图③，某公园有一块矩形水池，米，米，为方便观赏游玩，工作人员计划在水池内P，Q两点处增加亭台，连接，且，怎样选择点P和点Q的位置，可以使最小？并求出的最小值． 【答案】（1）（2）（3）点在距离边和各400米，点距离边400米，距离边米的位置时，的值最小，为 【详解】解：∵为等边三角形，∴，将绕点B逆时针旋转得， 连接，如图，∴，，， ∴为等边三角形，∴，， 在中，，，，∴， ∴为直角三角形，且，∴．故答案为：． （2）∵四边形为正方形，∴， 将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形，，∴， ∴，∴． （3）如图，过点作，将绕点旋转，得到，连接，设交于点，则：，，， ∴为等边三角形，为等边三角形， ∴∴， ∴当四点共线时，， ∵点在上，∴当时，最小，此时最小，此时， ∵为等边三角形，，，∴，， ∵四点共线∴，∴，关于对称，， ∴，∵矩形，∴，，， ∴四边形，都是矩形，∵，∴， ∴，∴，∵，∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴的最小值为， 综上，点在距离边和各400米，点距离边400米，距离边米的位置时，的值最小，为． 14 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$