湖北省武汉市黄陂区第一中学2025届高三下学期数学周测训练（5）

2025届高三下学期数学周测（5）（20250309） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知z＝（1+i）（2+i），则z的虚部为（　　） A．1 B．i C．2 D．3 2．已知数列{an}为等比数列，且a1+a2+a3＝2，a2+a3+a4＝4，则a3+a4+a5＝（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 3．记数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s，数据y1，y2，…yn的平均数为，方差为，若yi＝kxi+b（i＝1，2，⋯，n），k，b为非零常数，则下列说法一定正确的是（　　） A． B． C． D． 4．《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作，成书于公元一世纪左右，是《算经十书》中最重要的一部．书中商功章第二题至第七题涉及到城、垣、堤、沟、堑、渠这些建筑，其形状都是底面为等腰梯形的直四棱柱．以“城”为例，有如下问题：“今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．问积几何？答曰（　　）立方丈．”（注：一丈等于十尺） A．1265.5 B．1897.5 C．2846.5 D．3795.5 5．已知能被9整除，则整数的值可以是（    ） A． B． C．9 D．13 6．已知向量满足：，若，则的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 7．已知x＝ln， y＝ln， z＝ln2﹣2，则（　　） A． z＞y＞x B．x＞z＞y C． x＞y＞z D．z＞x＞y 8．已知抛物线的焦点为F，双曲线经过F且与抛物线C1交于A，B两点，若△AOB为等腰直角三角形，其中O为坐标原点，则双曲线C2的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9．设甲袋中有2个白球和3个红球，乙袋中有1个白球和2个红球．现从甲袋中任取1个球放入乙袋，用事件A1，A2分别表示从甲袋中取出的是白球和红球．再从乙袋中随机取出1球，用事件B表示从乙袋中取出的是白球，则（　　） A．A1，A2互斥 B．A1与B相互独立 C． D． 10．已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，P为椭圆上异于A、B的动点．记∠PAB＝α，∠PBA＝β，△APB的面积为S，则下列各式的值与点P的位置无关的有（　　） A．tanα+tanβ B．tanα•tanβ C．S•（tanα+tanβ） D．S•tan（α+β） 11．已知关于x的方程：|xex﹣1﹣1|＝mx（x＞0）有两个正根x1、x2（x1＜x2），则下列说法正确的有（　　） A．0＜x1＜1＜x2 B．x1+x2＜2 C． D．lnm+1＜x2＜em+1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．某校高三（5）班班主任准备从2名男生和4名女生中选取3人担任数学、物理、化学学科课代表，每学科安排1人，且至少有1名男生，则不同的选取方法有 　 　．（请用数字作答） 13．已知等比数列{an}中，存在s，t∈N*，满足，则的最小值为 　 　． 14．已知在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是底面ABCD内的动点，点N为棱BC上的动点，且tan∠AMA1＝2tan∠BMB1，则MN+ND的最小值为 　 　． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数f（x）＝ex﹣asinx，a∈R． （1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）当x∈[0，π]时，f（x）≥0，求a的取值范围． 16．（15分）如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点. (1)过点作三棱柱截面交于点，求线段长度； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 17．（15分）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，， (1)求A的大小： (2)点D在BC上，（Ⅰ）当，且时，求AC的长； （Ⅱ）当，且时，求的面积． 18．（17分）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干行相互平行但相互错开的圆柱型小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．当高尔顿板共有n+1（n∈N*）行小木钉时，第i行的空隙从左到右分别编号为0，1，2，…，i﹣1（2≤i≤n+1，i∈N），底部格子从左到右分别编号为0，1，2，…，n，用X表示小球最后落入格子的号码． （1）若n＝10，求小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率； （2）记X的数学期望为En（X），记． ①设数列{bn}的前n项和为Sn，求证：； ②设与bn最接近的整数为cn，求数列{cn}的前n项和Tn． 19．（17分）已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的上顶点为S（0，），且过点P（1，3）． （1）求椭圆Γ的方程； （2）若斜率为的直线l与椭圆交于A、B两点（直线PA斜率为正），直线PA、PB（若P、B重合，直线PB即为椭圆Γ在P点处的切线）分别与x轴交于M、N两点，H为PN中点． （i）求sin∠PMH的最大值； （ii）当sin∠PMH最大时，将坐标平面沿x轴折成二面角P﹣MN﹣A，在二面角P﹣MN﹣A大小变化过程中，求三棱锥P﹣MNA外接球表面积取得最小值时三棱锥P﹣MNA的内切球的半径． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C B A B A C 9．AC 10．BCD 11．ACD 12．96． 13．． 14．． 15．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝ex﹣2sinx，则f'（x）＝ex﹣2cosx， 则f'（0）＝e0﹣2cos0＝﹣1，又f（0）＝e0﹣2sin0＝1， 所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣x+1， 即x+y﹣1＝0． --------------------------------------------------5分 （2）当a≤0时，由0≤x≤π可知f（x）＝ex﹣asinx≥0恒成立，符合题意； 当a＞0时，由f（x）＝ex﹣asinx≥0得恒成立， 令，x∈[0，π]，则，令g'（x）＝0得， 则g（x），g′（x）随x的变化情况如下表所示： x 0 π g'（x） + 0 ﹣ g（x） 单调递增 极大值 单调递减 所以，则，即， 综上，，即a的取值范围是（﹣∞，]．---------------------------------13分 16．【解答】解：（1）由正三棱柱中，，又因为点分别为棱的中点，可得，如图所示，延长交的延长线于点，连接交于点，则四边形为所求截面，过点作的平行线交于，所以 因此，所以.----------------------------------------7分 （2）以点为原点，以所在的直线分别为轴，    以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，可得，则， 设平面的法向量为，则 取，则，所以， 取的中点，连接.因为△为等边三角形，可得，又因为平面，且平面，所以，因为，且平面，所以平面，又由，可得，所以平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为.---------------------------------------15分 17.（1）因为，所以由正弦定理可得， 又，所以， 因为为三角形内角，，所以，可得， 因为，所以；--------------------------4分 （2）（Ⅰ）此时，，所以，所以， 在中，由正弦定理可得； --------------------------------8分 （Ⅱ）设，由，可得，化简可得有， 由于，所以，所以， 则．---------------------------15分 18．【解答】解：（1）设“小球在第3行落入编号为2的空隙”为事件A，“小球最后落入编号为5的格子”为事件B，设向右下落次数为Y．因为小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子，所以在接下来的8次下落过程中一定有5次向左、3次向右， 所以．故小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率为．----------------------------------------------4分 （2）①证明：X～B（n，，则，所以，， 所以，因为，所以，所以数列{bn}的前n项和．-------------------------------------9分 ②因为，所以． 当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以 当n＝2k时，c2k﹣1+c2k＝2k，所以T2k＝k（k+1）； 当n＝2k+1时，c2k+c2k+1＝2k+1， 所以， 所以-----------------------------------------------17分 19．【解答】解：（1）易知， 将点代入，得，b2＝2， ∴．-----------------------------------------------------------3分 （2）（i）设直线，联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，， ＝， ＝， 故∠PMN＝∠PNM，则PM＝PN，在△PMN中，令MN＝2t，则， ，当t＝1时取“＝”，所以sin∠PMH的最大值为．------------------------------------------9分 （ii）当sin∠PMH的最大值为时，t＝1，△PMN是边长为2的等边三角形，PA过原点O， PM＝MA＝2，∠AMN＝120°，将△PAN沿x轴折成三棱锥P﹣AMN，将底面AMN补成等腰梯形AMND，则三棱锥P﹣AMN的外接球即为四棱锥P﹣AMND的外接球． 过等腰梯形AMND外心即AD中点O，作直线l1⊥平面AMND，过△PMN中心O2作直线l2⊥平面PMN，l1∩l2＝O3则O3，即为三棱锥P﹣AMN外接球球心，O3A即为三棱锥P﹣AMN外接球半径． 显然O3与O1重合时三棱锥P﹣AMN外接球半径最小，此时，O1O2⊥平面PMN，三棱锥P﹣MNO1为正四面体，AN与DM交点G即为△MNO1中心，PG⊥平面AMND，PM在平面AMND中的射影即为MG，易知AM⊥MD，由三垂线定理可得PM⊥AM． 所以， ，，所以三棱锥P﹣MNA表面积为，设三棱锥P﹣MNA内切球半径为r， 则．-----17分 学科网（北京）股份有限公司 $$