2025年中考数学二轮复习《二次函数新定义》专题讲义

2025年中考数学二轮复习《二次函数新定义》专题讲义 二次函数新定义问题是中考和数学竞赛中的常见考点，以下概述其考点： 1.新定义函数的概念理解与求值： 给定一个新定义的二次函数形式，如“奇异二次函数”（假设其定义有特殊形式），需要准确理解定义中各项的含义，根据新定义去求函数的表达式、函数值等。 2. 新定义函数的图象与性质：研究新定义二次函数的图象特征，像开口方向、对称轴、顶点坐标等。可能要依据新定义推导出相应的性质公式，例如根据新规则确定顶点坐标公式，再分析图象的增减性、最值等性质。 3.新定义函数与方程、不等式的综合：将新定义的二次函数与方程、不等式结合起来。比如求新定义函数求值或者取值范围问题 4.新定义函数的实际应用：用新定义的二次函数解决实际问题，如利润问题、几何图形中的最值问题等。例如在销售场景中，根据新定义的利润函数模型，求最大利润时的销售价格或销售量。 5.新定义函数的类比与拓展：基于已知的新定义二次函数，进行类比和拓展，探索新的性质或解决新的问题。比如先给出一个简单的新定义二次函数，然后对其进行变形或推广，研究新函数的相关特性。 1．定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与y轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 （3） 在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．，求点的坐标． 1.（1）和；（2）；（3）或； 【分析】本题主要考查了抛物线的图象性质，抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点问题．熟练掌握抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）由抛物线与y轴的交点可知其极限分割线，求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性可得极限分割线与这条抛物线的另一个交点坐标； （2）由抛物线经过点，代入抛物线的解析式，可用m表示出n，将函数解析式中的n用m表示，再对解析式配方，则可得抛物线的对称轴，然后由抛物线的对称性可得点D的坐标； （3）①设与对称轴交于点G，若，则，由此可得关于m的绝对值方程，解得m的值，再求得相应的y值即可得出答案． 【详解】解：（1）∵抛物线的极限分割线为， ∴， ∴，， ∴极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为， 故答案为：和； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， 又∵抛物线的极限分割线与该抛物线另一个交点为， ∴点D的纵坐标为， ∵ ， ∴， ∴，， ∴点D的坐标为； （3）①由（2）知：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点P坐标为，点， 设与对称轴交于点G，如图， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线的极限分割线与该抛物线另一个交点为， ∴ ∴ ∵直线垂直平分， ∴， ∴， 解得：或． ∴当时， ，点P的坐标为； 当时， ，点P的坐标为， ∴点P的坐标为或． 2．在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用已有经验，对抛物线的“阶梯n点”进行研究． 定义：若抛物线上存在一点P，且点P的横、纵坐标之和为n，则称点P为此抛物线的“阶梯n点”． 例如：点在抛物线上，且点P的横、纵坐标之和为1，则点P就叫做此抛物线的“阶梯1点”． 根据以上定义，解决以下问题： (1)若点P是抛物线的“阶梯6点”，求点P的坐标． 设点P的坐标为，由定义可知：，且， 所以，解得，． 所以点P的坐标为________或（请直接写出点P的另一个坐标）． (2)若点P是抛物线的“阶梯1点”，求点P的坐标； (3)若抛物线上存在“阶梯3点”P，请直接写出c的取值范围． 2．(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系： （1）根据新定义可得到关于x的方程，解出方程，即可； （2）设点P的坐标为，根据新定义可得到关于m的方程，解出方程，即可； （3）设点P的坐标为，根据新定义可得到关于s的方程，利用根的判别式解答即可． 【详解】（1）解：设点P的坐标为，由定义知：，且， 所以，解得，． 所以点P的坐标为或； 故答案为： （2）解：设点P的坐标为， 由定义知：，且， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 由定义知：，且， ∴， 整理得：， ∴， 解得：． 1．为全面贯彻落实“双减”政策，减轻学生负担，提高学生思维能力，数学学科命名一种“双减点”，定义如下：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点，则称点P为函数图象上的“双减点”． (1)判断直线上是否有“双减点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由． (2)若反比例函数的图象上存在两个“双减点”C、D，且，请求出k的值． (3)已知抛物线上存在唯一的“双减点”，且当时，n的最小值为t，求t值． 2．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，若点满足，那么称点是点，的伴融合点，例如：，当点满足，时，则点是点，的伴融合点． (1)已知点，请说明其中一个点是另外两个点的伴哪个点的融合点； (2)如图，点是直线上且在第三象限的一动点，点是抛物线上一动点，点是点、的伴融合点． ①所有的点中是否存在最高点？若存在．求出最高点坐标，如不存在，请说明理由． ②若当点运动到某个位置时，在点的运动过程中恰好有两个点落在抛物线上，则记为点的水平宽度、若，求点运动的范围（可用点的横坐标的范围表示）． 3．定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为“友好同轴二次函数”．例如：的友好同轴二次函数为，已知：与互为“友好同轴二次函数”． (1)求：的“友好同轴二次函数”的表达式； (2)若点，在的图象上，且，求m的取值范围； (3)抛物线，交于A，B两点，点B在点A的右侧，若直线以每秒2个单位长度的速度沿y轴向下运动，当直线与抛物线，共有4个交点时，求直线平移时间t的范围． 4．定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“友好函数”，函数和的图象交点叫做“友好点”． 例如：函数关于直线的“友好函数”为，“友好点”为． (1)求函数关于直线的“友好函数”的表达式及“友好点”的坐标； (2)函数关于直线的“友好点”的纵坐标为，当时，求的取值范围； (3)函数关于直线的“友好函数”为，“友好点”为．函数的图象的顶点为，与轴交点为，函数的图象的顶点为，与轴交点为，函数与的图象组成的图形记为． ①若，判断的形状，并说明理由； ②若，求的值； ③点，点，若与线段有且只有两个交点，直接写出的值或取值范围． 5．定义把函数：的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数，函数的图象的顶点纵坐标为． (1)当时，求新函数的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求函数的解析式； (3)当时，函数的图象与直线相交于，两点（点在点的右侧），与轴相交于点．把线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线段与函数的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围______． 6．定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为_____． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点． ①当时，求点的坐标． ②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值：若不存在，请说明理由． 7．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如，点是函数的图象的“等值点”． (1)求函数的等值点坐标； (2)若函数的图象上只有一个等值点，求k的值； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围． 8．定义：对于点与拋物线上一点，若，则称点为抛物线的一个纵邻点．例如：对于点和抛物线上的点满足，则点是拋物线的一个纵邻点． (1)试判断是不是拋物线的纵邻点，并说明理由； (2)若，都是抛物线的纵邻点，求的最大值； (3)若点A坐标为，点B坐标为，线段上的所有点都是拋物线的纵邻点，求h的最大值和最小值，以及相应的n的值． 9．定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． (1)若点是“完美点”，求a的值． (2)已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与y轴的交点到原点的距离为4，求该“完美函数”的解析式． 10．定义：若函数在上的最大值记为，最小值记为且满足，则称函数是在上的“极差函数”，已知函数：． (1)求证：函数与轴有两个不同的交点； (2)当时，函数是在（为整数）上的“极差函数”，求的值； (3)若函数是在上的“极差函数”，且存在整数，，使得，求的值． 11．定义：如果二次函数（、、、是常数）与（、、、是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”． (1)写出函数的旋转函数． (2)若函数与互为旋转函数，求的值． (3)已知函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”． 12．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标的倍的点，则称该点为这个函数图象的“逆倍点”． (1)若点是二次函数的图象上的“逆倍点”，则 ． (2)若点是二次函数的图象上唯一的“逆倍点”，求这个二次函数的表达式； (3)若二次函数（a，b是常数，）的图象过点，且图象上存在两个不同的“逆倍点”，且满足，，如果，请求出z的取值范围． 13．定义：关于轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：的“同轴对称抛物线”为． (1)抛物线的顶点坐标为 ，其“同轴对称抛物线”的顶点坐标为 ； (2)求抛物线的“同轴对称抛物线”的解析式； (3)如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点，分别作点，关于抛物线对称轴对称的点，．依次连接点，，，．当四边形为正方形时，求的值． 14．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为 ； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求的值； (3)若二次函数的顶点在直线上，当时，求该二次函数的纵横值的范围． 15．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“反称变点”．例如：点的“反称变点”为点，点的“反称变点”为点． (1)点的“反称变点”坐标为______； (2)若点在函数的图象上，其“反称变点”的纵坐标是，求“反称变点”的横坐标； (3)若点在函数的图象上，其“反称变点”的纵坐标的取值范围是，直接写出的取值范围． 1．(1)有，“双减点” (2) (3)或 【分析】本题为函数综合题，考查了二次函数的性质，反比例函数与一次函数，利用二次函数的性质分类讨论是解题的关键． （1）利用“双减点”的概念，代入，解方程即可； （2）由题意得“双减点”P在直线上，设点C、D坐标分别为，，列方程，用根与系数的关系即可解答； （3）列方程，根据根的判别式，可得之间的关系，即可解答． 【详解】（1）解：令， 解得， ， 存在“双减点”； （2）解：“双减点”P在直线上， 设点C、D坐标分别为，， 令化简得， ，且直线与轴的夹角为， ， 由根与系数的关系可得，， ， ， 解得：，此时的， ； （3）解：令，由于“双减点”唯一， 此方程，， 即，n为m的二次函数 当时，n的最小值为t， 若，则，此时t无解； 若，则，解得：， 若，则，解得：，（不合题意舍去）， 综上，或. 2．(1)点是点，的伴融合点 (2)①存在，最高点；② 【分析】（1）根据融合点的定义计算即可； （2）①设，，由点是点、的伴融合点，可用含和的式子表示出和，整理后得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可； ②方程有两个不相等的实数根，，根据一元二次方程根与系数关系化简计算，利用不等式性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点是点，的伴融合点； （2）①存在，理由： 设，， ∵点是点、的伴融合点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴存在最高点； ②∵方程有两个不相等的实数根，， 化简得：， ∴恒成立， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了新定义、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，理解题中的定义并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 3．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质； （1）设的表达式为，根据“友好同轴二次函数”得定义求解即可； （2）求出当时，得到，再结合图象可知，当时，； （3）先求出，，再画出函数图象，结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：设的表达式为， 根据题意可得，， 解得， ∴：的“友好同轴二次函数”的表达式为：； （2）解：由（1）知图象的对称轴为直线，抛物线图象如图所示， 当时，则， 解得， 结合图象可知，当时，； （3）解：联立， 解得或， ∵抛物线，交于A，B两点，点B在点A的右侧， ∴，， 抛物线，函数图象如图， 由图象可得，若直线以每秒2个单位长度的速度沿y轴向下运动，则平移距离为，当直线与抛物线，共有4个交点时，，解得， ∴直线平移时间t的范围为． 4．(1)， (2) (3)①是等腰直角三角形．理由见解析；②或；③或或 【分析】（1）根据“友好函数”的定义即可求解； （2）由题易得，再根据的取值范围即可得到的范围； （3）①当时可得和的表达式，从而得到、、的坐标，再根据图形性质易得其是等腰直角三角形，或者由勾股定理逆定理亦可证明； ②用含的式子表示出和的表达式，进而得到、、的坐标，然后可得到和的长度，最后根据，建立方程求解即可； ③分类讨论，开口向上或者开口向下，画出图形，找出临界值代入求解即可． 【详解】（1）解：， 顶点，它关于直线 的对称点为， “友好函数”为， 两个函数图象关于直线 对称， 其交点必在直线 上，将代入中，， “友好点”坐标为； （2）解：由题意得， ， 关于的函数图象是一条抛物线，开口向上，顶点为， 当 时，有最小值， 当 时，，当 时，， ； （3）解：① 是等腰直角三角形， 当 时，， ， ， ， 当 时，， ， 如图，直线 是线段的垂直平分线，点在直线， ， 设直线交线段于点，则， ， ，． ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； ②， ， 在中，当 时，， ， 在中，当 时，， ， ， 将 代入中，， ， 点，的纵坐标相同， ， ， ， 当时，， ； 当时，， ； 综上所述，的值为或； ③第一种情况，， 如图，当“友好点”恰好在线段上时，此时“友好点”坐标为， 将代入得， ， 解得， 此时，与轴恰好交于点， 当时，与线段会有3个交点， 当时，与线段有且只有两个交点； ，如图，当的两个顶点恰好在线段上时， ， ， ， 即当时，与线段有且只有两个交点； 第二种情况：， 此时，则与轴交正半轴， 如图，当经过点，此时经过点，与线段有两个交点， 当向下平移时，则与依然会有两个交点， ， ， ， 即当时，与线段有且只有两个交点； 综上，或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式、二次函数点的坐标特征、二次函数交点问题等内容，利用数形结合是解题的关键． 5．(1)新函数的顶点坐标为 (2)的解析式为 (3)或或 【分析】（1）先将函数写成顶点式，从而得出其顶点坐标，再得出时，点P的坐标，然后根据对称性得出新函数的顶点坐标； （2）先由得出函数的解析式，再分段讨论：①当时，②当时，从而可解得m的值，则可求得的解析式； （3）先得出时点A，B，D的坐标，再分①当时，②当时，两大类情况，分别画图分析解得相应的a的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴函数的顶点坐标为， ∵当时，点P的坐标为， ∴新函数的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴函数， ∴函数的顶点坐标为， 把代入函数，得：， 根据抛物线的对称性可知，当时． ①当时，，（不符合题意，舍去）． ②当时，， ∴， 解得：（不合题意，舍去）． ∴， ∴的解析式为； （3）解：∵，函数， ∴函数， ∵当时，或；当时，， ∴点A，B，D的坐标分别为， ∵线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段， ∴点的坐标为，点的坐标为． ①当时， 当点在点B的左侧（含点B）时，线段与函数的图象有公共点，如图1： ∴， ∴； 当点在点B的右侧，且点D在点的下方（含点）时，线段与函数的图象有公共点，如图2： ∴， 解得， ∴． ②当时，点D在点的下方（含点）时，线段与函数的图象有公共点，如图3： ∴ ， ∴． 综上所述，或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的顶点坐标、二次函数的图象变换、直线或线段与函数图象的交点坐标等知识点，数形结合、分类讨论及熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 6．（1）和；（2）；（3）①或；②存在，或或 【分析】（1）根据定义，确定c值，再建立方程组求解即可． （2）把点代入解析式，确定，根据定义建立方程求解即可． （3）①根据等腰直角三角形的性质，得到等线段，再利用字母表示等线段建立绝对值等式计算即可．②设与对称轴交于点G，用含m的式子表示出点P的坐标，分别写出极限分割线、直线及直线的解析式，用含m的式子分别表示出点B到直线的距离和点P到直线的距离，根据点P到直线的距离与点B到直线的距离相等，得出关于的绝对值方程，解方程即可． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∴抛物线的极限分割线为， 当时，， 解得：， ∴抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为和； 故答案为：和； （2）把点代入，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线与轴的交点为， 当时，， 解得：或， ∴点的坐标为； （3）①设与对称轴交于点G，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点，， ∴， ∵垂直平分 ∴， ∴， 解得：， ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时，， 当时， ∴点； ②存在， 如图，设交对称轴于点H， 由（2）得：，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的极限分割线为， ∵直线垂直平分， ∴直线， ∴点B直线的距离为， ∵直线与直线关于极限分割线对称， ∴直线， ∵， ∴点P到直线的距离为， ∴点P到直线的距离与点B到直线的距离相等， ∴， ∴或， 解得：或或． 【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点坐标等知识点，明确题中的定义、熟练掌握二次函数的图像与性质及绝对值方程是解题的关键． 7．(1)函数的等值点坐标为， (2)或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数与新定义“等值点”的综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，解题的关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题． （1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可； （2）根据“等值点”的定义建立方程，再根据图象上只有一个等值点求解即可； （3）由函数的等值点坐标为，，再利用翻折的性质分类讨论即可． 【详解】（1）解：在中，令， 解得，， 函数的图象上有2个“等值点”，为，； （2）解：令， 整理得， 函数的图象上只有一个等值点， ， 解得或； （3）解：①当时，由（1）知，，两部分组成的图象上总有有2个“等值点”：，在上，若，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，则上无“等值点“， 由：沿直线翻折后的图象记为，可得的解析式为， 在中，令得：， 整理得：， ， ， 解得， 此时； ②当时，，两部分组成的图象上有3个等值点：，，； ③当时，，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”； ④当时，，两部分组成的图象上只有1个“等值点”：； ⑤当时，，两部分组成的图象上没有“等值点”， 综上所述，当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，或． 故答案为：或． 8．(1)不是拋物线的纵邻点，理由见解析 (2)最大值为4 (3)h的最小值为，相应n为；h的最大值为，相应n为或 【分析】（1）根据题意，结合纵邻点的定义，求出抛物线在时的函数值，然后计算与点纵坐标差的绝对值，判断即可求解； （2）根据纵邻点的定义，将抛物线向下平移一个单位，得到函数，继而求出时对应的x得值，即为对应的e和f的值，代入即可求得的最大值； （3）根据纵邻点的定义，将抛物线向下平移一个单位，得到函数，当点A与点B关于直线对称时，h取得最小值，即可求得对应n的值；将抛物线向上平移一个单位，当点A与点B位于抛物线的两侧，且对应函数值相等时，h取得最大值，继而求得对应n的值. 【详解】（1）由题意，把代入得， ， 不是拋物线的纵邻点； （2）如图，将代入得，，       当，时，最大，最大值为4；        （3）如图，把代入得， 的最小值为，         此时；         如图，把代入，把代入， 当两个y值相等时，h最大， 即解得，    此时为h的最大值，        当时，由对称性可知，n的另外一个值为，         综上所述，h的最小值为，相应n为；h的最大值为，相应n为或． 【点睛】本题主要考查新定义纵邻点概念的理解，结合二次函数抛物线的性质，是解题的关键． 9．(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，正确理解“完美函数”的定义是解题关键． （1）根据“完美点”的定义解答即可； （2）先根据顶点的位置设点的坐标，再根据“完美点”的定义求出顶点，可设顶点式，再令得出关于a的方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵点是“完美点”， ∴，即， 解得 ； （2）∵某“完美函数”的顶点在直线上， ∴设函数的顶点为． ∵该函数为“完美函数”， ∴， 解得， ∴， ∴该函数的顶点为． 设二次函数的解析式为， 令，则． ∵该函数图象与y轴的交点到原点的距离为4， ∴， 解得或， ∴或， ∴该“完美函数”的解析式为或． 10．(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）求出，即可得证； （2）当时，函数为，求出抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，再分三种情况：当时；当时；当时，分别根据二次函数的性质求解即可； （3）由题意可得抛物线的对称轴为直线，结合，可得，从而可得当时，随着的增大而增大，推出当时，取得最大值，当时，取得最小值，根据，求出，再由，得出，计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵函数：， ∴， ∵， ∴， 故函数与轴有两个不同的交点； （2）解：当时，函数为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵函数是在（为整数）上的“极差函数”， ∴当时，抛物线在上单调递增，，， ∴， ∴， ∵为整数， ∴，； 当时，抛物线在上单调递减，，， ∴， ∴； ∵为整数， ∴，， 当时，，，最大值出现在端点或，此时符合条件的整数为或； 综上所述，或； （3）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，当时，取得最小值， ∴， ∵，为整数，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程、二次函数的性质、二次函数的最值，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 11．(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了新定义，待定系数法等； （1）由旋转函数的定义即可求解； （2）由旋转函数的定义求出、的值，代入计算，即可求解； （3）分别求出点A，B，C，由关于原点的对称规律求出、、，由待定系数法求出，由，即可得证； 理解新定义，掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：设所求旋转函数为，则有 ， 解得：， ∴所求旋转函数的解析式为：； （2）解：由题意得， ， 解得， ． （3）证明：当时， ， 解得：，， ，， 当时， ， 点A，B，C关于原点的对称点分别是、、， ，，， 设经过点，，的二次函数为：，则有 ， 解得：， ， 又 ， ， 两个函数互为“旋转函数”． 12．(1)0或 (2) (3) 【分析】（1）代入即可求得a值；（2）唯一的“逆倍点”，意即抛物线与直线的唯一交点为，方程即为，即，得，即得； （3）求出，得，根据两个不同的“逆倍点”，得，得是方程的两个实数根，得，根据，得，推出 ，根据， ，得或，得，得，得． 【详解】（1）解：将点M的坐标代入二次函数表达式， 得， 解得：或， 故答案为：0或； （2）解：点是二次函数的图象上唯一的“逆倍点”， 即抛物线与直线的唯一交点为， ∴方程的根为：， 即方程可写为， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为； （3）解：∵二次函数（a，b是常数，）的图象过点， ∴， ∴， ∵图象上存在两个不同的“逆倍点”， ∴，， ∴， ∴是方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或， ∵， ∴或， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了新定义——“逆倍点”．熟练掌握新定义，坐标与图形，二次函数与一次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解方程，解不等式，是解题的关键． 13．(1)， (2) (3) 【分析】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”． （1）根据顶点式直接写出顶点坐标； （2）根据顶点式的顶点坐标为；先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式； （3）写出点B的坐标，再由对称轴求出点，然后结合正方形的性质列出方程求a． 【详解】（1）解：由知顶点坐标为，由知顶点坐标为， 故答案为：， （2）解：， ∴顶点为， ∵关于x轴的对称点为， ∴抛物线的“同轴对称抛物线”的解析式为：； （3）解：当时，， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线L的对称轴为直线， ∴点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，即， 解得：（舍）或． ∴． 14．(1)8 (2) (3)函数纵横值 【分析】本题考查了二次函数的性质，涉及了顶点坐标以及最值，正确理解题意，掌握二次函数的相关性质是解题关键. （1）点的“纵横值”为：，即可求解； （2）由题意得，解得：，，进而得，即可求解； （3）由题意得，解得：，，进而得 ，即可求解； 【详解】（1）解：点的“纵横值”为：， 故答案为： （2）解：∵二次函数的顶点在直线上， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵最优纵横值为5， ∴， 解得： （3）解：∵二次函数的顶点在直线上， ∴，解得：， ∴， ∴， 当时可知： 当时，； 当时，； ∴函数纵横值 15．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据“反称变点”的定义，由，即可推出，于是得解； （2）根据题意，分两种情况讨论：当时，；当时，；分别解一元二次方程，求出的值即可； （3）根据题意，分两种情况讨论：当时，可推出；当时，可推出；分别解不等式组，即可得出的取值范围，然后画出函数图象，通过观察图象即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：， ， 点的“反称变点”坐标为， 故答案为：； （2）解：根据题意，分两种情况讨论： 当时，， 即：， 解得：， ， ； 当时，， ， 即：， 解得：， ， ； “反称变点”的横坐标是或； （3）解：根据题意，分两种情况讨论： 当时，， ， 即：， 解得：； 当时，， ， 即：， 解得：， 当时，， 当时，， 综上所述，的取值范围是，如图所示： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学二轮复习《二次函数新定义》专题讲义 二次函数新定义问题是中考和数学竞赛中的常见考点，以下概述其考点： 1.新定义函数的概念理解与求值： 给定一个新定义的二次函数形式，如“奇异二次函数”（假设其定义有特殊形式），需要准确理解定义中各项的含义，根据新定义去求函数的表达式、函数值等。 2. 新定义函数的图象与性质：研究新定义二次函数的图象特征，像开口方向、对称轴、顶点坐标等。可能要依据新定义推导出相应的性质公式，例如根据新规则确定顶点坐标公式，再分析图象的增减性、最值等性质。 3.新定义函数与方程、不等式的综合：将新定义的二次函数与方程、不等式结合起来。比如求新定义函数求值或者取值范围问题 4.新定义函数的实际应用：用新定义的二次函数解决实际问题，如利润问题、几何图形中的最值问题等。例如在销售场景中，根据新定义的利润函数模型，求最大利润时的销售价格或销售量。 5.新定义函数的类比与拓展：基于已知的新定义二次函数，进行类比和拓展，探索新的性质或解决新的问题。比如先给出一个简单的新定义二次函数，然后对其进行变形或推广，研究新函数的相关特性。 1．定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与y轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．，求点的坐标． 2．在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用已有经验，对抛物线的“阶梯n点”进行研究． 定义：若抛物线上存在一点P，且点P的横、纵坐标之和为n，则称点P为此抛物线的“阶梯n点”． 例如：点在抛物线上，且点P的横、纵坐标之和为1，则点P就叫做此抛物线的“阶梯1点”． 根据以上定义，解决以下问题： (1)若点P是抛物线的“阶梯6点”，求点P的坐标． 设点P的坐标为，由定义可知：，且， 所以，解得，． 所以点P的坐标为________或（请直接写出点P的另一个坐标）． (2)若点P是抛物线的“阶梯1点”，求点P的坐标； (3)若抛物线上存在“阶梯3点”P，请直接写出c的取值范围． 1．为全面贯彻落实“双减”政策，减轻学生负担，提高学生思维能力，数学学科命名一种“双减点”，定义如下：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点，则称点P为函数图象上的“双减点”． (1)判断直线上是否有“双减点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由． (2)若反比例函数的图象上存在两个“双减点”C、D，且，请求出k的值． (3)已知抛物线上存在唯一的“双减点”，且当时，n的最小值为t，求t值． 2．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，若点满足，那么称点是点，的伴融合点，例如：，当点满足，时，则点是点，的伴融合点． (1)已知点，请说明其中一个点是另外两个点的伴哪个点的融合点； (2)如图，点是直线上且在第三象限的一动点，点是抛物线上一动点，点是点、的伴融合点． ①所有的点中是否存在最高点？若存在．求出最高点坐标，如不存在，请说明理由． ②若当点运动到某个位置时，在点的运动过程中恰好有两个点落在抛物线上，则记为点的水平宽度、若，求点运动的范围（可用点的横坐标的范围表示）． 3．定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为“友好同轴二次函数”．例如：的友好同轴二次函数为，已知：与互为“友好同轴二次函数”． (1)求：的“友好同轴二次函数”的表达式； (2)若点，在的图象上，且，求m的取值范围； (3)抛物线，交于A，B两点，点B在点A的右侧，若直线以每秒2个单位长度的速度沿y轴向下运动，当直线与抛物线，共有4个交点时，求直线平移时间t的范围． 4．定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“友好函数”，函数和的图象交点叫做“友好点”． 例如：函数关于直线的“友好函数”为，“友好点”为． (1)求函数关于直线的“友好函数”的表达式及“友好点”的坐标； (2)函数关于直线的“友好点”的纵坐标为，当时，求的取值范围； (3)函数关于直线的“友好函数”为，“友好点”为．函数的图象的顶点为，与轴交点为，函数的图象的顶点为，与轴交点为，函数与的图象组成的图形记为． ①若，判断的形状，并说明理由； ②若，求的值； ③点，点，若与线段有且只有两个交点，直接写出的值或取值范围． 5．定义把函数：的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数，函数的图象的顶点纵坐标为． (1)当时，求新函数的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求函数的解析式； (3)当时，函数的图象与直线相交于，两点（点在点的右侧），与轴相交于点．把线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线段与函数的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围______． 6．定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为_____． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点． ①当时，求点的坐标． ②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值：若不存在，请说明理由． 7．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如，点是函数的图象的“等值点”． (1)求函数的等值点坐标； (2)若函数的图象上只有一个等值点，求k的值； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围． 8．定义：对于点与拋物线上一点，若，则称点为抛物线的一个纵邻点．例如：对于点和抛物线上的点满足，则点是拋物线的一个纵邻点． (1)试判断是不是拋物线的纵邻点，并说明理由； (2)若，都是抛物线的纵邻点，求的最大值； (3)若点A坐标为，点B坐标为，线段上的所有点都是拋物线的纵邻点，求h的最大值和最小值，以及相应的n的值． 9．定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． (1)若点是“完美点”，求a的值． (2)已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与y轴的交点到原点的距离为4，求该“完美函数”的解析式． 10．定义：若函数在上的最大值记为，最小值记为且满足，则称函数是在上的“极差函数”，已知函数：． (1)求证：函数与轴有两个不同的交点； (2)当时，函数是在（为整数）上的“极差函数”，求的值； (3)若函数是在上的“极差函数”，且存在整数，，使得，求的值． 11．定义：如果二次函数（、、、是常数）与（、、、是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”． (1)写出函数的旋转函数． (2)若函数与互为旋转函数，求的值． (3)已知函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”． 12．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标的倍的点，则称该点为这个函数图象的“逆倍点”． (1)若点是二次函数的图象上的“逆倍点”，则 ． (2)若点是二次函数的图象上唯一的“逆倍点”，求这个二次函数的表达式； (3)若二次函数（a，b是常数，）的图象过点，且图象上存在两个不同的“逆倍点”，且满足，，如果，请求出z的取值范围． 13．定义：关于轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：的“同轴对称抛物线”为． (1)抛物线的顶点坐标为 ，其“同轴对称抛物线”的顶点坐标为 ； (2)求抛物线的“同轴对称抛物线”的解析式； (3)如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点，分别作点，关于抛物线对称轴对称的点，．依次连接点，，，．当四边形为正方形时，求的值． 14．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为 ； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求的值； (3)若二次函数的顶点在直线上，当时，求该二次函数的纵横值的范围． 15．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“反称变点”．例如：点的“反称变点”为点，点的“反称变点”为点． (1)点的“反称变点”坐标为______； (2)若点在函数的图象上，其“反称变点”的纵坐标是，求“反称变点”的横坐标； (3)若点在函数的图象上，其“反称变点”的纵坐标的取值范围是，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$