精品解析：重庆市凤鸣山中学教共体2024-2025学年八年级下学期3月阶段练习数学试题

重庆市凤鸣山中学教共体学校2024—2025学年度下期 初2023级数学学科消化作业（一） 考试说明：1．考试时间：120分钟；2．试题总分150分；3．试卷页数6页 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 在代数式，，中，属于分式的有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列函数中，自变量的取值范围为的是（ ） A. B. C. D. 3. 人体中红细胞的直径约为，将数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 某蓄水池横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出，下面的图象能大致表示水的深度h和放水时间t之间的关系的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C D. 6. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天：若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列列出的分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正比例函数与反比例函数图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则的面积等于（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 9. 若直线的解析式为，则点关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，．下列说法： ①的图象关于点对称． ②若，则点一定不在的函数图象上． ③若，，则的无解． ④当，时，函数的图象上有且只有8个整点．（注：横纵坐标都是整数的点为整点）其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共8小题，满分32分） 11. _______． 12. 已知反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是__________． 13. 将直线向右平移3个单位长度，平移后直线的解析式为________． 14. 若，则代数式的值为________． 15. 若一次函数的图象不过第一象限，则的取值范围是________． 16. 若直线（）与函数（）的图象交于点，，则当时，对应的的取值范围是________． 17. 若关于y的不等式组有解且最多4个整数解，且关于x的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 18. 对于一个四位自然数M，如果它百位上的数字与十位上的数字的和等于千位上的数字与个位上的数字的和，则称M为“和对称数”．对于一个“和对称数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N，规定：．在、中选出“和对称数”，并计算相应的_______；已知，均为“和对称数”，其中，（其，，，且均为整数），令，若k能被13整除，则当取最小值时，_______． 三、解答题（共8小题，19题8分，20-26题，每题10分，满分78分） 19. （1）计算：； （2）解分式方程：． 20. 如图，在中，，为上一点，为外一点，，连接，连接交于，且分． （1）用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，垂足为；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹） （2）求证：．请根据下列证明思路完成填空： 证明：，． 平分，，， ，． 在和中， （ ）． ，， ． 21. 先化简，再求值：，其中x是满足－2＜x＜3的整数． 22. 如图，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接，点在直线上． （1）求直线的解析式及线段的长； （2）求的面积． 23. 如图，在矩形中，，，点E和F分别为与边的中点，动点P从B点出发，沿折线运动，当到达D点时停止运动．设P点的运动路程为x，连接、，设的面积为y． （1）直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，当函数y满足，写出x的取值范围． 24. 商店计划购进某种恤和短裤进行销售．经了解，一件恤的进价比一条短裤贵30元，且用450元购进的恤数量与用150元购进的短裤数量相同． （1）一件恤和一条短裤的进价分别是多少元？ （2）该家商店销售此款恤、短裤的零售价及成套售价的信息如表： 商品 零售价（元/件） 成套售价（元/套） 恤 65 78 短裤 20 已知该家商店计划购进此款恤和短裤总数量不超过70个，且恤的数量比短裤数量的2倍多10个．若将一半的短裤配上恤成套（一个短裤配一个恤）销售，其余均以零售方式销售，记销售利润为元，请问购进短裤的条数为何值时，才获得利润最大？最大利润是多少元？ 25. 如图，直线与轴交于点A，与y轴交于点B，直线与轴交于点C，与直线交于点D，． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）点为直线上一动点，若有，请求出点的坐标； （3）若分段函数的图象与一次函数的图象有交点，直接写出的取值范围． 26. 综合与实践 问题情境： 如图，在中，，，点在所在的平面内运动．探究图形间存在的关系． 特例探究： （1）如图1，当点D在边上运动，连接，以为边在其右侧作等腰直角三角形，连接，发现，请说明理由； 求异探究： （2）如图2，点E为的中点，点F为的中点，为等腰直角三角形，点D在外部时，连接，以为边在其右侧作等腰直角三角形，连接和，判断与的关系，并证明； 拓展应用： （3）如图3，当点D在直线上时，连接，在线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市凤鸣山中学教共体学校2024—2025学年度下期 初2023级数学学科消化作业（一） 考试说明：1．考试时间：120分钟；2．试题总分150分；3．试卷页数6页 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 在代数式，，中，属于分式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】仔细观察，确定分母中有字母，与系数，指数无关，本题考查了分式的定义，分母中含有字母是判断的关键． 【详解】根据题意，得是分式的是，共有2个， 故选B． 2. 下列函数中，自变量的取值范围为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的自变量取值范围， 先分别确定每个函数的自变量的取值范围，再判断即可. 【详解】解：因为函数的自变量的取值范围是x取任意实数，所以A不符合题意； 因为函数的自变量的取值范围是取的任意实数，所以B不符合题意； 因为函数的自变量的取值范围是，所以C不符合题意； 因为函数的自变量的取值范围是，所以D符合题意. 故选：D. 3. 人体中红细胞的直径约为，将数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：将数用科学记数法表示为． 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出，下面的图象能大致表示水的深度h和放水时间t之间的关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图知蓄水池上宽下窄，深度h和放水时间t的比不一样，前者慢后者快，即前者的斜率小，后者斜率大， 分析各选项知只有A正确．B斜率一样，C前者斜率大，后者小，D也是前者斜率大，后者小， 因此B、C、D排除． 故选A． 5. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式基本性质（判断分式变形是否正确），熟练掌握分式的基本性质是解题的关键：1、分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于的整式，分式的值不变；2、注意事项：①判断分式变形是否正确的依据是分式的基本性质，即分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于的整式，分式的值不变；②运用分式的基本性质时，要充分理解“同一个”、“不等于”的意义；③运用分式的基本性质进行变形时，虽然分式的值不变，但分式字母的取值范围可能有所改变；④若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，则要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一个不为的整式；⑤在利用分式的基本性质进行变形时，可以将分子、分母都约去分母中含有的因式，不要盲目把分子、分母都乘一个分母中不含有的因式，因为此因式可能为． 利用分式的基本性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 根据分式的基本性质，分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于的整式，分式的值不变，但分式的分子和分母同时加上同一个数或整式，分式的值不一定不变，故原式错误，选项不符合题意； B. ，故原式错误，选项不符合题意； C. 不能化简为，故原式错误，选项不符合题意； D. ，故该式正确，选项符合题意； 故选：． 6. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致； 【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误； B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确； C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误； D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系． 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天：若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列列出的分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先求得快马的速度和慢马的速度，根据快马的速度是慢马的2倍列分式方程即可． 【详解】解：设规定时间为x天， 根据题意得慢马的速度为，快马的速度为， ∵快马的速度是慢马的2倍， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键． 8. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则的面积等于（ ） A 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由于点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，则，再根据反比例函数系数k的几何意义作答即可． 【详解】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值， 即． 所以的面积等于． 故选C． 【点睛】考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即． 9. 若直线的解析式为，则点关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合问题，涉及轴对称的性质，两点之间距离公式， 坐标公式等知识点，把握轴对称的性质是解题的关键．记点关于直线的对称点为，设，与直线交于点D，连接，由对称得为中点，，则，将代入得，可求，由得，整理得，再利用平方根的性质解方程即可，即可求解对称点坐标． 【详解】解：记点关于直线的对称点为，设，与直线交于点D，连接，直线与轴交点记为点C， 由对称得为中点， ∴， 将代入得：， 整理得：， ∴ 对于，当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴， 整理得： 整理得：， 解得：或（舍）， ∴， 故选：D． 10. 已知，．下列说法： ①的图象关于点对称． ②若，则点一定不在的函数图象上． ③若，，则的无解． ④当，时，函数的图象上有且只有8个整点．（注：横纵坐标都是整数的点为整点）其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质与应用，反比例函数的应用与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先类比反比例函数关于坐标原点对称，则的图象关于点对称；再把代入，得出；先代入数值得，结合分母不为0进行分析，此时，则无意义；先代入数值得，结合横纵坐标都是整数的点为整点，即是整数，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，反比例函数关于坐标原点对称， ∴的图象关于点对称， 故①是正确； 把代入， 得， ∴， 即若，则点一定不在的函数图象上， 故②是正确的； ∵，，，， ∴ 即， ∵， ∴， 此时，则无意义， ∴若，，则的无解， 故③是正确的； ∵，，，， ∴ ∵横纵坐标都是整数的点为整点， ∴是整数，即为整数 即 ∴ ∴当，时，函数的图象上有且只有8个整点． 故④是正确的； 故选：D． 二、填空题（共8小题，满分32分） 11. _______． 【答案】5 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了零指数幂、负整数指数幂的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 12. 已知反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，即可求出k的值. 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴； 故答案为：. 【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质进行解题. 13. 将直线向右平移3个单位长度，平移后直线的解析式为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数图象的平移规律．根据一次函数象平移的规律可得解，一次函数平移的规律为：左加右减，上加下减． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 14. 若，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的减法，已知式子的值求代数式的值，先整理得，再化简，然后把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ， 故答案为：． 15. 若一次函数的图象不过第一象限，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记的图象不经过第一象限是解题的关键．由函数的图像不经过第一象限，利用一次函数图象与系数的关系，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可求出的取值范围． 【详解】解：函数的图象不经过第一象限， ， 解得：， 的取值范围是． 故答案为：． 16. 若直线（）与函数（）的图象交于点，，则当时，对应的的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合：一次函数与反比例函数的交点问题，根据直线（）与函数（）的图象交于点，，且结合数形结合思想进行作答即可． 【详解】解：直线（）与函数（）的图象，如图所示： ∵直线（）与函数（）的图象交于点，， ∴结合图象得，当时，对应的的取值范围是或， 故答案为：或 17. 若关于y的不等式组有解且最多4个整数解，且关于x的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解不等式组，注意分式方程取增根的情况；分别解不等式组与分式方程，由题意可得a的取值范围，进而得整数a的值，即可求得整数的和． 【详解】解：解第一个不等式得：； 解第二个不等式得：； 因不等式组有解，则； 由于不等式组有解且最多4个整数解，则； 解关于x的分式方程，得， 由题意得：且， 解得：且； 综上，则a的范围为：且， 所以整数a的值为：0，1，2，其和为； 故答案为：3． 18. 对于一个四位自然数M，如果它百位上的数字与十位上的数字的和等于千位上的数字与个位上的数字的和，则称M为“和对称数”．对于一个“和对称数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N，规定：．在、中选出“和对称数”，并计算相应的_______；已知，均为“和对称数”，其中，（其，，，且均为整数），令，若k能被13整除，则当取最小值时，_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，整式的加减运算的应用，新定义运算，理解新定义是解题的关键．根据新定义运算直接判断，再根据新定义的含义列式计算即可；根据新定义先分别计算，，再根据与，k能被13整除，进一步解答即可． 【详解】解：∵， ∴是和对称数， ∵， ∴不是和对称数， ∵是和对称数， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∴ ， ∵， ， ∴， ∴ ， ∴， ∵最小， ∴，，取最大， ∴ ， ∴能够被整除，而，取最大， ∴，，经检验符合题意； 故答案为：；； 三、解答题（共8小题，19题8分，20-26题，每题10分，满分78分） 19 （1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解分式方程，熟练掌握相关运算法则及解分式方程的方法是解题的关键． （1）先运算乘方、零次幂，再运算乘法以及化简绝对值，最后运算加减，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解出，最后要验根，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） 解得， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解， 20. 如图，在中，，为上一点，为外一点，，连接，连接交于，且分． （1）用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，垂足为；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹） （2）求证：．请根据下列证明思路完成填空： 证明：，． 平分，，， ，． 在和中， （ ）． ，， ． 【答案】（1）见解析 （2），， ， 【解析】 【分析】（1）以为圆心，长为半径画弧，交于两点，然后以为圆心，大于长为半径画弧，连接交点与，与的交点即为； （2）按照步骤作答即可． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 证明：， ． 平分，，， ， ，． 在和中， （）． ， ，， ， ． 故答案为：，， ，． 【点睛】本题考查了作垂线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．熟练掌握作垂线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键． 21. 先化简，再求值：，其中x是满足－2＜x＜3的整数． 【答案】；． 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则先算括号内，再算乘除，后算加减进行化简，然后按x的取值范围确定x的值分别代入计算． 【详解】化简 ∵x是满足－2＜x＜3的整数， ∴x可取值-1、0、1、2， 当x=-1、0和2时，原式分母或除数为0，舍去， 当x=1时，原式． 【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式运算优先级是解题关键，注意解题过程中符号的变化和将除法变为乘法时分式的正确变化，以及代入原式验算分母不能为0． 22. 如图，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接，点在直线上． （1）求直线的解析式及线段的长； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）6 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出点和点坐标，待定系数法求出直线的解析式，进而求出点坐标，进而求出的长即可； （2）分割法求出的面积即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，，当时，，解得， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为，把，代入，得：， 解得：， ∴， ∴当时，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵，， ∴的面积． 23. 如图，在矩形中，，，点E和F分别为与边的中点，动点P从B点出发，沿折线运动，当到达D点时停止运动．设P点的运动路程为x，连接、，设的面积为y． （1）直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，当函数y满足，写出x的取值范围． 【答案】（1） （2）函数图象见解析，该函数的一条性质为：函数的最大值为3 （3） 【解析】 【分析】（1）分两种情况：当点在上运动时，当点在上运动时，结合梯形、三角形面积公式即可求解； （2）结合（1）中解析式即可画出函数图象，然后根据图象得出函数的性质； （3）求出时对应的x的值，然后观察图象找出时所对应的自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，，，点和分别为与边的中点， ∴，，， 设点的运动路程为， 当点在上运动时，即时，， ∴的面积 ， 当点在上运动时，即时，如图，， ∴的面积 ， 综上，； 【小问2详解】 函数图象如图所示， 由图象可知：函数的最大值为3； 【小问3详解】 当时，即或， 解得：或， 由图象可知：当函数满足，的取值范围为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的应用，一次函数的图象和性质，正确理解题意，利用梯形、三角形的面积公式列出函数关系式是解本题的关键． 24. 商店计划购进某种恤和短裤进行销售．经了解，一件恤的进价比一条短裤贵30元，且用450元购进的恤数量与用150元购进的短裤数量相同． （1）一件恤和一条短裤的进价分别是多少元？ （2）该家商店销售此款恤、短裤的零售价及成套售价的信息如表： 商品 零售价（元/件） 成套售价（元/套） 恤 65 78 短裤 20 已知该家商店计划购进此款恤和短裤的总数量不超过70个，且恤的数量比短裤数量的2倍多10个．若将一半的短裤配上恤成套（一个短裤配一个恤）销售，其余均以零售方式销售，记销售利润为元，请问购进短裤的条数为何值时，才获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）恤元，短裤元 （2），元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一次函数的实际应用（最大利润问题），一元一次不等式的应用（用一元一次不等式解决实际问题）等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程、不等式及函数解析式，并利用一次函数的性质求解其最值是解题的关键． （1）设一件恤的进价是元，则一条短裤的进价是元，根据题意得，解方程即可求出的值，进而可得恤和短裤的进价；切记，勿忘检验； （2）设购进短裤条，则购进恤件，根据题意得，解不等式即可求出的取值范围；根据题意得，然后根据一次函数的增减性即可求出最大利润． 【小问1详解】 解：设一件恤的进价是元，则一条短裤的进价是元， 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则， 答：一件恤的进价是元，一条短裤的进价是元； 【小问2详解】 解：设购进短裤条，则购进恤件， 根据题意，得：， 解得：， 根据题意，得： ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，， 此时， 答：购进短裤的条数为时，才获得利润最大，最大利润是元． 25. 如图，直线与轴交于点A，与y轴交于点B，直线与轴交于点C，与直线交于点D，． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）点为直线上一动点，若有，请求出点的坐标； （3）若分段函数的图象与一次函数的图象有交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1），D点坐标 （2）或 （3）且t≠0或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的几何综合，求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，结合，求得，然后代入，得，结合两条直线交点的坐标即为它们的解析式组成的方程组的解，进行列式计算，即可作答． （2）因为点为直线上一动点，则，因为，故，根据两点的距离公式求出，同理得，整理得，再求出的值，即可作答． （3）先理解题意，得出分段函数的图象，结合两直线平行不能有交点，求出临界状态的值，以及求出一次函数必经过点，运用待定系数法求出直线的解析式，再结合图象性质作答即可． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点A， ∴令则， 解得， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 把代入， ∴， 解得， ∴ 依题意，， 解得， ∴D点坐标 【小问2详解】 解：过点C作，如图所示： ∵点为直线上一动点，， 则设点P的坐标为，， ∵， ∴， 故， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴ 整理得， 解得， 则， 即点的坐标为或． 【小问3详解】 解：依题意，分段函数的图象如图所示： ∵分段函数的图象与一次函数的图象有交点，且， ∴当一次函数与平行时，则 ∴当分段函数的图象与一次函数的图象有交点时，则； ∴把代入，得 解得， ∵， 当时，则， 即必经过，且记该点为， 设直线的解析式为， ∵，， ∴ 解得 则， ∴当分段函数的图象与一次函数的图象有交点时，则且t≠0； 综上：满足题意的的 取值范围为或且t≠0． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，一次函数的几何综合，求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 26. 综合与实践 问题情境： 如图，在中，，，点在所在的平面内运动．探究图形间存在的关系． 特例探究： （1）如图1，当点D在边上运动，连接，以为边在其右侧作等腰直角三角形，连接，发现，请说明理由； 求异探究： （2）如图2，点E为的中点，点F为的中点，为等腰直角三角形，点D在外部时，连接，以为边在其右侧作等腰直角三角形，连接和，判断与的关系，并证明； 拓展应用： （3）如图3，当点D在直线上时，连接，在线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），，见解析；（3）的面积为4或176． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得，，进而证明，得出，可得，即可得证； （2）连接，，先证明可得，，进而证明，根据全等三角形的性质即可得解； （3）分两种情况讨论，当点在的延长线上时，过点作，交的延长线于点，得出是等腰直角三角形，证明，得出，，，利用三角形面积公式可求解；当点在的延长线上时，同理可求解． 【详解】解：（1），， ， 将线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ； （2），； 如图所示，连接，， 以为边在其右侧作等腰直角三角形， ，， ，， ， 点和分别为和的中点， ∴，，则， ， ， ，， ，，， ， 又， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ∵，，点F为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点在的延长线上时，如图所示，过点作，交的延长线于点， 是等腰直角三角形， ， ， 等腰直角三角形， ， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ，， ，， ∴的面积为； 当点在的延长线上时，如图所示，过点作，交的延长线于点， 同理是等腰直角三角形， ， ， ，， ，， ∴的面积为； 综上，的面积为4或176． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $