第3章 勾股定理每日一练 2024—2025学年苏科版八年级数学上册

勾股定理每日一练1 一．选择题（共2小题） 1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，点D是斜边AB的中点，那么CD的长是（　　） A．6 B．6.5 C．13 D．不能确定 2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°．若a+b＝14cm，c＝12cm，则Rt△ABC的面积是（　　） A．13cm2 B．26cm2 C．48cm2 D．52cm2 二．填空题（共2小题） 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为　 　． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝4，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，连接BD，则CD＝　 　． 三．解答题（共2小题） 5．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝30°，点E为AB的中点，DE⊥AB交AB于点E，DE＝，BC＝2，CD＝4． （1）求∠ABC的度数． （2）求CE的长． 6．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，∠ADC＝150°，CD＝3，求BC的长． 勾股定理每日一练2 一．选择题（共2小题） 1．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形边长为1，大正方形边长为5，则一个直角三角形的周长是（　　） A．6 B．7 C．12 D．15 2．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A．76 B．72 C．68 D．52 二．填空题（共2小题） 3．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若BD＝3，AE＝4，则正方形ODCE的边长等于　 　． 4．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为　 　． 三．解答题（共2小题） 5．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a，b所表示的线段． 6．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下 如图（1）∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2 证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF＝b﹣a S四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC＝﹣b2+ab S四边形ADCB＝S△ADB+S△BCD＝c2+a（b﹣a） ∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）化简得：a2+b2＝c2 请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明 如图（2）中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2 勾股定理每日一练3 一．选择题（共2小题） 1．△ABC与△DBC如图放置，已知，∠ABC＝∠BDC＝90°，∠A＝60°，BD＝CD＝2，将△ABC沿BC方向平移至△A'B'C'位置，使得A'C边恰好经过点D，则平移的距离是（　　） A．1 B．2﹣2 C．2﹣2 D．2﹣4 2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝22.5°，CD⊥AB，垂足为D，CE为△ABC中的中线．若DE＝2，则AD的长为（　　） A．4﹣2 B． C． D．4 二．填空题（共2小题） 3．如图，已知OB＝1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OA2020的长度为　 　． 4．把两个同样大小含45°的三角板按如图所示的方式放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个三角板的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上，若AB＝2，则BD＝　 　． 三．解答题（共2小题） 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，AF是等边△ACD的高，交BD于点E，连接CE． （1）求∠ABD的度数； （2）求CE的长． 6．在△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连结DE． （1）如图①，已知∠BAC＝90°，∠BAD＝60°，求∠CDE的度数． （2）如图①，已知∠BAC＝90°，当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系； （3）如图②，若∠BAC≠90°，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系． 勾股定理每日一练4 一．选择题（共2小题） 1．下列四组数中，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．3，4，5 D． 2．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．AC＝1，BC＝2， C．AC＝6，BC＝8，AB＝10 D．，， 二．填空题（共2小题） 3．如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数＝　 　． 4．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB＝15，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则PQ＝　 　． 三．解答题（共2小题） 5．如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝ （1）求AC、CE的长； （2）求证：∠ACE＝90°． 6．如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上． （1）分别求出AB，BC，AC的长； （2）试判断△ABC是什么三角形，并说明理由． 勾股定理每日一练5 一．选择题（共2小题） 1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为（　　） A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米 2．如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（　　） A．10米 B．6米 C．7米 D．8米 二．填空题（共2小题） 3．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为　 　． 4．如图，一棵大树在离地面3m、5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是　 　． 三．解答题（共2小题） 5．如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长． 6．学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB＝13米，BC＝14米，AC＝15米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 每日一练1参考答案与试题解析 一．选择题（共2小题） 1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，点D是斜边AB的中点，那么CD的长是（　　） A．6 B．6.5 C．13 D．不能确定 【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可． 【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12， ∴AB＝＝＝13， ∵AD＝BD， ∴CD＝AB＝6.5． 故选：B． 【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°．若a+b＝14cm，c＝12cm，则Rt△ABC的面积是（　　） A．13cm2 B．26cm2 C．48cm2 D．52cm2 【分析】利用勾股定理可得：a2+b2＝c2＝144，即（a+b）2﹣2ab＝144，可得ab＝26，由此即可解决问题． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴a2+b2＝c2＝144， ∴（a+b）2﹣2ab＝144， ∴196﹣2ab＝144， ∴ab＝26， ∴S△ABC＝ab＝13cm2． 故选：A． 【点评】本题考查勾股定理，三角形的面积，完全平方公式等知识，解题的关键是熟练运用公式解决问题，属于中考常考题型． 二．填空题（共2小题） 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为　8　． 【分析】如图，作CE⊥AD交AD的延长线于E．利用全等三角形的性质证明EC＝AB＝4，再利用直角三角形30度角的性质解决问题即可． 【解答】解：如图，作CE⊥AD交AD的延长线于E． ∵∠BAD＝∠E＝90°，∠ADB＝∠EDC，BD＝DC， ∴△ADB≌△EDC（AAS）， ∴AB＝EC＝4， ∵∠BAC＝120°， ∠EAC＝30°， ∴AC＝2EC＝8， 故答案为8． 【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝4，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，连接BD，则CD＝　3　． 【分析】由勾股定理求得AC＝8．设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，然后在直角△BCD中利用勾股定理列出方程，通过解方程求得x的值即可． 【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝4，则勾股定理知，AC＝＝＝8． 设CD＝x（x＞0）， ∵AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E， ∴AD＝BD＝8﹣x． 在直角△BCD中，由勾股定理知，x2+42＝（8﹣x）2． 解得x＝3． 即CD＝3． 故答案是：3． 【点评】此题主要考查了勾股定理以及线段垂直平分线的性质，正确得出AC的长是解题关键． 三．解答题（共2小题） 5．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝30°，点E为AB的中点，DE⊥AB交AB于点E，DE＝，BC＝2，CD＝4． （1）求∠ABC的度数． （2）求CE的长． 【分析】（1）连接BD，作CF⊥AB于F，由线段垂直平分线的性质得出BD＝AD，AE＝BE，得出∠DBE＝∠DAB＝30°，由直角三角形的性质得出BD＝AD＝2DE＝2，AE＝BE＝DE＝3，证出△BCD是直角三角形，∠CBD＝90°，易得答案； （2）由（1）可以得出∠BCF＝30°，得出BF＝BC＝1，CF＝BF，求出EF＝BE+BF，在Rt△CEF中，由勾股定理即可得出结果． 【解答】解：（1）连接BD，作CF⊥AB于F，如图所示： 则∠BFC＝90°， ∵点E为AB的中点，DE⊥AB， ∴BD＝AD，AE＝BE， ∵∠DAB＝30°， ∴∠DBE＝∠DAB＝30°，BD＝AD＝2DE＝2，AE＝BE＝DE＝3， ∵BC2+BD2＝22+（2）2＝16＝CD2， ∴△BCD是直角三角形，∠CBD＝90°， ∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝30°+90°＝120°； （2）由（1）可得：∠CBF＝180°﹣30°﹣90°＝60°， ∴∠BCF＝30°，∠BFC＝90°， ∴∠BCF＝30°， ∴BF＝BC＝1，CF＝BF＝， ∴EF＝BE+BF＝4， 在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE＝＝． 【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握勾股定理和逆定理是解题的关键． 6．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，∠ADC＝150°，CD＝3，求BC的长． 【分析】根据AB＝AD＝4，∠A＝60°，可以得到△ABD是等边三角形，从而可以得到BD和∠ADB的度数，然后根据∠ADC＝150°，即可得到∠BDC的度数，再根据勾股定理，即可得到BC的长． 【解答】解：连接DB，如右图所示， ∵AB＝AD＝4，∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝4，∠ADB＝60°， ∵∠ADC＝150°， ∴∠BDC＝90°， 又∵CD＝3， ∴BC＝＝5， 即BC的长是5． 【点评】本题考查勾股定理、等边三角形的性质与判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 每日一练2参考答案与试题解析 一．选择题（共2小题） 1．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形边长为1，大正方形边长为5，则一个直角三角形的周长是（　　） A．6 B．7 C．12 D．15 【分析】设直角三角形两条直角边长分别为a和b，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可得，2ab＝24，再根据完全平方公式求出a+b的值，进而可得一个直角三角形的周长． 【解答】解：设直角三角形两条直角边长分别为a和b， 由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝1， 根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知： 25＝4×ab+1， 所以2ab＝24， 根据勾股定理，得a2+b2＝52， 所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+24＝49， 因为a+b＞0， 所以a+b＝7， 所以7+5＝12． 所以一个直角三角形的周长是12． 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 2．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A．76 B．72 C．68 D．52 【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个． 【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则 x2＝122+52＝169 所以x＝13 所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76． 故选：A． 【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题． 二．填空题（共2小题） 3．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若BD＝3，AE＝4，则正方形ODCE的边长等于　　． 【分析】设正方形ODCE的边长为x，则CD＝CE＝x，根据全等三角形的性质得到AF＝AE，BF＝BD，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：设正方形ODCE的边长为x， 则CD＝CE＝x， ∵△AFO≌△AEO，△BDO≌△BFO， ∴AF＝AE，BF＝BD， ∴AB＝3+4＝7， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴（4+x）2+（3+x）2＝72， ∴x1＝（舍去），x2＝， ∴正方形ODCE的边长等于． 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 4．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为　110　． 【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P， 所以，四边形AOLP是正方形， 边长AO＝AB+AC＝3+4＝7， 所以，KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11， 因此，矩形KLMJ的面积为10×11＝110． 故答案是：110． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键． 三．解答题（共2小题） 5．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a，b所表示的线段． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）运用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，列出方程求解即可； （3）画出边长为a+b和a+2b的矩形即可． 【解答】解：（1）梯形ABCD的面积为， 也可以表示为，∴， 即a2+b2＝c2； （2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2； 在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2； 所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2， 解得； （3）如图， 由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2． 【点评】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． 6．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下 如图（1）∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2 证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF＝b﹣a S四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC＝﹣b2+ab S四边形ADCB＝S△ADB+S△BCD＝c2+a（b﹣a） ∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）化简得：a2+b2＝c2 请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明 如图（2）中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2 【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证． 【解答】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a， ∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab， 又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝ab+c2+a（b﹣a）， ∴ab+b2+ab＝ab+c2+a（b﹣a）， ∴a2+b2＝c2． 【点评】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出五边形ACBED的面积是解本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2020/10/20 15:33:08；用户：候；邮箱：orFmNtzSfM2-Hmcut-G_fa2H7pSU@weixin.jyeoo.com；学号：26728126 每日一练3参考答案与试题解析 一．选择题（共2小题） 1．△ABC与△DBC如图放置，已知，∠ABC＝∠BDC＝90°，∠A＝60°，BD＝CD＝2，将△ABC沿BC方向平移至△A'B'C'位置，使得A'C边恰好经过点D，则平移的距离是（　　） A．1 B．2﹣2 C．2﹣2 D．2﹣4 【分析】过点D作DJ⊥BC于J．解直角三角形求出BC，DJ，利用平行线分线段成比例定理求出JC′即可解决问题． 【解答】解：过点D作DJ⊥BC于J． ∵DB＝DC＝2，∠BDC＝90°， ∴BC＝BD＝4，DJ＝BJ＝JC＝2， ∵∠ABC＝90°，∠A＝60°， ∴∠ACB＝30°， ∴AB＝BC•tan30°＝4×＝， ∵DJ∥A′B′， ∴＝， ∴＝， ∴C′J＝2， ∴JB′＝4﹣2， ∴BB′＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2． 故选：C． 【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，平移变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝22.5°，CD⊥AB，垂足为D，CE为△ABC中的中线．若DE＝2，则AD的长为（　　） A．4﹣2 B． C． D．4 【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质以及三角形外角的性质，即可得到∠AEC＝2∠B＝45°，再根据△CDE是等腰直角三角形，即可得到CE的长，进而得出AE的长，根据AD＝AE﹣DE可得AD的长度． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为△ABC中的中线， ∴CE＝BE＝AE， 又∵∠B＝22.5°， ∴∠AEC＝2∠B＝45°， 又∵CD⊥AE， ∴∠DCE＝∠DEC＝45°， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴CE＝DE＝4， ∴AE＝4， ∴AD＝AE﹣DE＝4﹣， 故选：A． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质以及直角三角形斜边上中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 二．填空题（共2小题） 3．如图，已知OB＝1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OA2020的长度为　21010　． 【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案． 【解答】解：∵△OBA1为等腰直角三角形，OB＝1， ∴BA1＝OB＝1，OA1＝OB＝， ∵△OA1A2为等腰直角三角形， ∴A1A2＝OA1＝，OA2＝OA1＝2， ∵△OA2A3为等腰直角三角形， ∴A2A3＝OA2＝2，OA3＝OA2＝2， ∵△OA3A4为等腰直角三角形， ∴A3A4＝OA3＝2，OA4＝OA3＝4， ∵△OA4A5为等腰直角三角形， ∴A4A5＝OA4＝4，OA5＝OA4＝4， ∵△OA5A6为等腰直角三角形， ∴A5A6＝OA5＝42，OA6＝OA5＝8． ∴OAn的长度为（）n． 当n＝2020时，OA2020＝（）2020＝21010 故答案为：21010． 【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键． 4．把两个同样大小含45°的三角板按如图所示的方式放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个三角板的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上，若AB＝2，则BD＝　　． 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理，可以求得BF和DF的长，从而可以得到BD的长． 【解答】解：作AF⊥BD于点F， ∵△AED和△ACB是一样的等腰直角三角形，AB＝2， ∴BC＝AD＝2， ∴AF＝BC＝，BF＝， ∴DF＝＝， ∴BD＝DF+BF＝， 故答案为：． 【点评】本题考查等腰直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 三．解答题（共2小题） 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，AF是等边△ACD的高，交BD于点E，连接CE． （1）求∠ABD的度数； （2）求CE的长． 【分析】（1）证明AB＝AD，求出∠BAD的度数即可解决问题． （2）证明△ECD是等腰直角三角形即可解决问题． 【解答】解：（1）∵△ACD是等边三角形， ∴AC＝AD＝CD，∠CAD＝∠ACD＝∠ADC＝60°， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°+60°＝150°， ∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣150°）＝15°． （2）∵AF⊥CD，AC＝AD， ∴EC＝ED， ∵∠ADC＝60°，∠ADB＝15°， ∴∠EDC＝∠ECD＝45°， ∴∠CED＝90°， ∴CE＝CD＝． 【点评】本题考查等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6．在△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连结DE． （1）如图①，已知∠BAC＝90°，∠BAD＝60°，求∠CDE的度数． （2）如图①，已知∠BAC＝90°，当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系； （3）如图②，若∠BAC≠90°，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠BAD＝60°，由于AD＝AE，于是得到∠ADE＝60°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE＝75°﹣45°＝30°； （2）设∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90°﹣x，根据等腰三角形的性质得到∠AED＝45°+，于是得到结论； （3）设∠BAD＝x，∠C＝y，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝180°﹣2y，由∠BAD＝x，于是得到∠DAE＝y+x，即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°， ∵∠BAD＝60°， ∴∠DAE＝30°， ∵AD＝AE， ∴∠AED＝75°， ∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°； （2）设∠BAD＝x， ∴∠CAD＝90°﹣x， ∵AE＝AD， ∴∠AED＝45°+， ∴∠CDE＝x， 即； （3）设∠BAD＝x，∠C＝y， ∵AB＝AC，∠C＝y， ∴∠BAC＝180°﹣2y， ∵∠BAD＝x， ∴∠AED＝y+x， ∴． 即． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． 每日一练4参考答案与试题解析 一．选择题（共2小题） 1．下列四组数中，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．3，4，5 D． 【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足a2+b2＝c2，称为勾股数．由此判定即可． 【解答】解：A、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，但不是整数，不是勾股数，故本选项不符合题意； B、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股数，故本选项不符合题意； C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意； D、（）2+（）2≠（）2，不是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用． 2．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．AC＝1，BC＝2， C．AC＝6，BC＝8，AB＝10 D．，， 【分析】利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：A、设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°， x+2x+3x＝180， 解得：x＝30， 则∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故此选项不合题意； B、12+22＝（）2，则△ABC是直角三角形，故此选项不合题意； C、62+82＝102，△ABC是直角三角形，故此选项不合题意； D、（）2+（）2≠（）2，△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 二．填空题（共2小题） 3．如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数＝　45°　． 【分析】求出AC，BC，AB，利用勾股定理的逆定理证明即可． 【解答】解：如图，连接AC． 由题意，AB＝＝，BC＝＝，AB＝＝， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴∠ACB＝90°， ∵CA＝CB， ∴∠ABC＝∠CAB＝45°， 故答案为45°． 【点评】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 4．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB＝15，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则PQ＝　或　． 【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ＝PQ，∠QPB＝90°时，②如图2中，当AQ＝PQ，∠PQB＝90°时． 【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝9，AB＝15， ∴BC＝＝＝12， ①如图1中，当AQ＝PQ，∠QPB＝90°时，设AQ＝PQ＝x， ∵PQ∥AC， ∴△BPQ∽△BCA， ∴＝， ∴＝， ∴x＝， ∴PQ＝． ②当AQ＝PQ，∠PQB＝90°时，设AQ＝PQ＝y． ∵△BQP∽△BCA， ∴＝， ∴＝， ∴y＝． 综上所述，满足条件的PQ的值为或． 故答案为或． 【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 三．解答题（共2小题） 5．如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝ （1）求AC、CE的长； （2）求证：∠ACE＝90°． 【分析】（1）根据勾股定理即可求出AC和CE的长； （2）根据勾股定理的逆定理判定即可． 【解答】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2， ∴AC＝＝＝． ∵在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4， ∴CE＝＝＝＝2， （2）证明：∵AC＝，CE＝，AE＝， ∴AE2＝AC2+CE2， ∴∠ACE＝90°． 【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记定理的内容是解此题的关键． 6．如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上． （1）分别求出AB，BC，AC的长； （2）试判断△ABC是什么三角形，并说明理由． 【分析】（1）根据勾股定理求出边的长度即可； （2）根据勾股定理的逆定理判断即可． 【解答】解：（1），，； （2）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵，AC2＝52＝25， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形． 【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理和勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 声明：每日一练5参考答案与试题解析 一．选择题（共2小题） 1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为（　　） A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长． 【解答】解：在Rt△ABC中， AB＝＝＝2.5（米）， ∴A′B＝2.5米， 在Rt△A′BD中， BD＝＝＝2（米）， ∴BC+BD＝2+0.7＝2.7（米）， 故选：C． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法． 2．如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（　　） A．10米 B．6米 C．7米 D．8米 【分析】首先设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，利用勾股定理可列出方程，再解可得BO长，然后再利用勾股定理计算出AB长． 【解答】解：由题意得：AC＝BD＝2米， ∵AO＝8米， ∴CO＝6米， 设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，由题意得： 62+（x+2）2＝82+x2， 解得：x＝6， AB＝＝10（米）， 故选：A． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 二．填空题（共2小题） 3．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为　36　． 【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD，进而判断出△BCD是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形ABCD的面积． 【解答】解：如图，连接BD， ∵在Rt△ABD中，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4， 根据勾股定理得，BD＝5， 在△BCD中，BC＝12，CD＝13，BD＝5， ∴BC2+BD2＝122+52＝132＝CD2， ∴△BCD为直角三角形， ∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD ＝AB•AD+BC•BD ＝×3×4+×12×5 ＝36． 故答案为：36． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，把四边形ABCD分成两个直角三角形是解题的关键，也是本题的难点． 4．如图，一棵大树在离地面3m、5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是　10m　． 【分析】作BE⊥DC于点E，首先由题意得：AD＝BE＝3m，AB＝DE＝2m，然后根据OC＝6米，得到DC＝4米，最后利用勾股定理得BC的长度即可． 【解答】解：如图，作BE⊥DC于点E， 由题意得：AD＝BE＝3m，AB＝DE＝2m， ∵DC＝6m， ∴EC＝4m， ∴由勾股定理得：BC＝＝5（m）， ∴大树的高度为5+5＝10（m）， 故答案为：10m． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确的构造直角三角形是解答本题的关键． 三．解答题（共2小题） 5．如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长． 【分析】根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可． 【解答】解：设CE＝x，则DE＝20﹣x， 由勾股定理得： 在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2＝82+x2， 在Rt△BDE中，BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2， 由题意可知：AE＝BE， 所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3 所以，E应建在距C点13.3km， 即CE＝13.3km． 【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 6．学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB＝13米，BC＝14米，AC＝15米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝14﹣x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出AD的长，由三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝14﹣x， 在Rt△ABD与Rt△ACD中， ∵AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2， ∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，解得x＝5， ∴AD2＝AB2﹣BD2＝132﹣52＝144， ∴AD＝12（米）， ∴学校修建这个花园的费用＝＝5040（元）． 答：学校修建这个花园需要投资5040元． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2020/10/20 15:34:03；用户：候；邮箱：orFmNtzSfM2-Hmcut-G_fa2H7pSU@weixin.jyeoo.com；学号：26728126 日期：2020/10/20 15:33:47；用户：候；邮箱：orFmNtzSfM2-Hmcut-G_fa2H7pSU@weixin.jyeoo.com；学号：26728126 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$