专题02 高二下学期期中真题精选(导数及其应用+计数原理)（考题猜想，压轴7大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020选择性必修第二册）

专题02 高二下学期期中真题精选(沪教版2020选择性必修第二册第5章 导数及其应用+第6章 计数原理)（压轴7大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 压轴一 利用切线解决距离问题（难点） · 压轴二 构造函数解决不等式问题（难点） · 压轴三 构造函数比较大小（难点） · 压轴四 利用导数研究函数的恒（能）成立问题（高频）（难点） · 压轴五 利用导数研究函数的零点方程的根（高频）（难点） · 压轴六 导数新定义题（难点） · 压轴七 排列组合综合 压轴一：利用切线解决距离问题（共5小题） 1．（2024·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知，，则的最小值为 ． 3．（24-25高三上·江西赣州·期中）已知点，定义为的“可测距离”.若点在曲线上，且的最小值为4，则实数的值为 . 4．（23-24高二下·天津·期中）已知点在函数的图象上，点在直线上，则两点之间距离的最小值是 ． 5．（23-24高二下·浙江·期中）已知实数，且函数，则函数的最小值为 ． 压轴二：构造函数解决不等式问题（共5小题） 1．（24-25高三上·上海·期中）已知定义在R上的函数存在导数，对任意的实数x，都有，且当时， 恒成立， 若不等式恒成立， 则实数a的取值范围是 . 2．（23-24高二下·上海·期中）设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为 . 3．（23-24高三上·上海浦东新·期中）定义在上的函数满足，其中为的导函数，若，则的解集为 . 4．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是 ． 5．（22-23高三上·上海奉贤·期中）定义在R上的函数的导函数为，若对任意的实数x，都有，且，则不等式的解集是 压轴三：构造函数比较大小（共5小题） 1．（23-24高二下·上海·期中）设，利用函数单调性比大小，可得（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·福建宁德·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·安徽·阶段练习）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）已知函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 压轴四：利用导数研究函数的恒（能）成立问题（共5小题） 1．（24-25高三上·上海·期中）若存在，使得对任意的恒成立，则的最小值为 ． 2．（24-25高三上·上海·期中）若存在实数，，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 . 3．（24-25高三上·山东泰安·期中）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是 . 4．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知函数的表达式为. (1)当时，求的单调增区间； (2)若当时，恒成立，求a的取值范围； (3)证明：. 5．（23-24高二下·上海·期中）已知函数，，其中，． (1)求函数在点处的切线方程； (2)函数，，是否存在极值点，若存在，求出极值点，若不存在，请说明理由； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 压轴五：利用导数研究函数的零点方程的根（共5小题） 1．（24-25高三上·上海·期中）若函数的图象上有两个不同点，处的切线重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”. (1)试判断函数与的图象是否存在“自公切线”（不需要说明理由）； (2)若，求函数的图象的“自公切线”方程； (3)若，求证：函数，有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”. 2．（24-25高三上·上海·期中）已知，. (1)若是区间上的严格减函数，是区间上的严格增函数，求的值； (2)若函数在区间上的最大值不大于1，求的取值范围； (3)记，证明：当时，函数有且仅有三个零点. 3．（23-24高二下·上海·期中）已知函数． (1)若曲线在点处的切线为轴，求的值； (2)讨论在区间内的极值点个数； (3)若在区间内有零点，求证：． 4．（23-24高二下·上海松江·期中）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：函数的图象位于直线的下方； (3)若函数在区间上无零点，求的取值范围. 5．（22-23高三上·上海静安·期中）已知函数过点，函数在点处的切线斜率为4，且为函数的一个驻点. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有三个零点，求的取值范围. 压轴六：导数新定义题（共5小题） 1．（24-25高三上·上海·期中）设. (1)若函数是实数集R上的严格增函数，求实数m的取值范围； (2)已知数列是等差数列（公差），设，若存在数列使得数列也是等差数列，试求满足条件的一个数列； (3)若，是否存在直线满足：①对任意的都有成立，②存在使得？若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由. 2．（24-25高三上·上海·期中）设是定义在上的奇函数.若是严格减函数，则称为“D函数”. (1)分别判断和是否为D函数，并说明理由； (2)若是D函数，求正数a的取值范围； (3)已知奇函数及其导函数定义域均为.证明：“在上严格减”不是“为D函数”的必要条件. 3．（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数的定义域为，导函数为，若对任意的，均有，则称函数为上的“一类函数”. (1)试判断是否为其定义域上的“一类函数”，并说明理由； (2)若函数，为其定义域上的“一类函数”，求实数的取值范围； (3)已知函数，为其定义域上的“一类函数”，求实数的最大整数值. 4．（24-25高三上·上海嘉定·期中）设是定义域均为的三个函数.是的一个子集.若对任意，点与点都关于点对称，则称是关于的“对称函数”. (1)若和是关于的“对称函数”，求； (2)若是关于的“对称函数”.判断并证明：“”是“的值域为”的什么条件？ (3)已知是关于的“对称函数”.且对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 5．（24-25高三上·上海·期中）设函数的定义域为．对于闭区间，若存在，使得对任意，均有成立，则记；若存在，使得对任意，均有成立，则记． (1)设，分别写出及； (2)设，．若对任意闭区间，均有不等式成立，求的最大值； (3)已知对任意闭区间，与均存在，求证：“是上的严格增函数或是上的严格减函数”的充要条件是“对任意两个不同的闭区间，，与至少有一个成立”． 压轴七：排列组合综合（共5小题） 1．（23-24高二下·上海·期中）已知数列的通项公式为． (1)分别求的二项展开式中的二项式系数之和与系数之和； (2)求的二项展开式中的系数最大的项； (3)记，求集合的元素个数（写出具体的表达式）． 2．（20-21高二下·上海宝山·期中）（1）如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？ （2）如图2所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，已知地（十字路口）在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？ （3）如图3所示，某地有南北街道5条，东西街道6条（注意有一段不通），一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？ （4）如图4所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，已知地（十字路口）在修路，无法通行，且有一段路程无法通行，一邮递员该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短，有多少种不同的走法？ 3．（23-24高二下·上海·期中）若实数集对任何，，均有，则称具有伯努利型关系. (1)若集合，表示自然数集，判断是否具有伯努利型关系； (2)设集合，，若具有伯努利型关系，求非负实数的取值范围； (3)设为正整数，利用（2）中结论证明下面不等式：. 4．（22-23高二下·上海闵行·期中）富比尼原理又称算两次原理，是组合数学中非常重要的计算方法，下面的组合恒等式可以用富比尼原理进行证明，具体如下：人中有1人是军人，从人中选人各奖励1颗星，共有种选法，另一方面，这等价于考虑这人中的军人是否被选中，若选中军人，则有种选法，若未选中军人，则有种选法，所以； (1)若，求关于的方程的解； (2)将题干中的问题推广到人中有人是军人的情形，写出结论并加以证明． 5．（21-22高二上·上海奉贤·期中）在中，把称为三项式的系数． (1)当时，写出三项式的系数的值； (2)类比的二项式展开式(杨辉三角)的规律，当时，写出三项式的(杨辉三角)数字表，并求出时的； (3)求（用组合数表示）． $$专题02 高二下学期期中真题精选(沪教版2020选择性必修第二册第5章 导数及其应用+第6章 计数原理)（压轴7大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 压轴一 利用切线解决距离问题（难点） · 压轴二 构造函数解决不等式问题（难点） · 压轴三 构造函数比较大小（难点） · 压轴四 利用导数研究函数的恒（能）成立问题（高频）（难点） · 压轴五 利用导数研究函数的零点方程的根（高频）（难点） · 压轴六 导数新定义题（难点） · 压轴七 排列组合综合 压轴一：利用切线解决距离问题（共5小题） 1．（2024·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】令，，则可转化为曲线上的点与曲线上的点之间的距离与到直线的距离之和，据此利用导数和三角形不等式即可求解. 【详解】令，，则点在函数图象上，在函数的图象上， 容易知道图象是抛物线图象的上半部分， 记抛物线焦点为，过 作抛物线的准线的垂线，垂足为，如图所示：    则， 当且仅当在线段 上时，取最小值. 设这时点坐标为，又， 所以有，解得 ，即该点为， 所以，因此. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于数形结合，将的值转化为点到点的距离与点到直线的距离之和的问题. 2．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知，，则的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】设，把问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值，再利用导数的几何意义求解即可； 【详解】， 设，则在函数的图象上，在函数的图象上，且与关于直线对称， 所以问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值， ，令，则，由对称性可得最小时，， ， 所以的最小值为. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够把所求代数式转化为求与图象上两点距离的平方的最小值. 3．（24-25高三上·江西赣州·期中）已知点，定义为的“可测距离”.若点在曲线上，且的最小值为4，则实数的值为 . 【答案】/ 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求平面两点间的距离、求点到直线的距离、距离新定义 【分析】依题意求出的反函数，将“可测距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果. 【详解】由函数可得，即， 所以的反函数为. 由点在曲线上，可知点在其反函数上， 所以相当于上的点到曲线上点的距离， 即， 利用反函数性质可得与关于对称， 所以当与垂直时，取得最小值为4， 因此两点到的距离都为2. 过点作切线平行于直线，斜率为1，由，得， 可得，即， 点到的距离，解得. 当时，与相交，不合题意； 当时，与不相交，符合题意. 综上，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用反函数性质将“可测距离”问题转化为互为反函数图象上两点距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值. 4．（23-24高二下·天津·期中）已知点在函数的图象上，点在直线上，则两点之间距离的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】导数的加减法、求点到直线的距离、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】首先分析函数的图象，再利用导数的几何意义，转化为点到直线的距离. 【详解】，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，函数取值最小值， 如图画出函数和直线的图象，    如图，平移直线至与的图象相切时，此时切点到直线的距离为的最小值， 此时，得，，即， 所以点到直线的距离. 故答案为： 5．（23-24高二下·浙江·期中）已知实数，且函数，则函数的最小值为 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、用两点间的距离公式求函数最值、抛物线的焦半径公式 【分析】由题意可得的几何意义为，两点间距离与点到轴的距离之和，其中点在曲线上，点在抛物线上，作出图象，结合图象求解即可． 【详解】由题意得， 设，， 则点在曲线上，点在抛物线上， 的几何意义为，两点间距离与点到轴的距离之和． 设抛物线的焦点为， 则由抛物线的定义知， 所以， 所以， 问题转化为求曲线上的点到点 的距离的最小值， 设曲线上的点，到点的距离最小， 则与曲线在点处的切线垂直， 即， 所以， 作出函数与函数的图象，如图所示： 由图象知，两函数图象只有一个交点， 所以方程的解为，则． 所以， 所以函数的最小值为． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：将看作是，两点间距离与点到轴的距离之和，利用抛物线的性质求解. 压轴二：构造函数解决不等式问题（共5小题） 1．（24-25高三上·上海·期中）已知定义在R上的函数存在导数，对任意的实数x，都有，且当时， 恒成立， 若不等式恒成立， 则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数及函数的奇偶性求解不等式即可得答案. 【详解】由，得， 记，则有，即为偶函数， 又当时，恒成立，即在上单调递增， 由，得， 于是，即， 因此，即，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：变形给定等式，构造函数并探讨函数性质是求解不等式的关键. 2．（23-24高二下·上海·期中）设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】设，求导得，根据题意得在上单调递增，再根据函数的奇偶性和函数零点即可得到不等式解集. 【详解】设,则 当时,有恒成立, 当时,在上单调递增, 是定义在上的偶函数, ， 即是定义在上的奇函数, 在上也单调递增. 又. 不等式的解可等价于即的解, 或, 不等式的解集为. 故答案为：. 3．（23-24高三上·上海浦东新·期中）定义在上的函数满足，其中为的导函数，若，则的解集为 . 【答案】 【知识点】导数的运算法则、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据的结构特征结合，可设，求导后即可判断其正负，从而判断的单调性，进而将转化为，利用函数的单调性即可求得不等式的解集. 【详解】由题意知，故， 设，则， 即在R上单调递增， 由，可得， 故即，即，则， 故，即的解集为， 故答案为： 4．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】不等式转化为，令，利用导数说明函数的单调性，结合单调性解函数不等式. 【详解】不等式转化为， 令，则，在上单调递减， ，，的解集为， 即不等式的解集为. 故答案为： 5．（22-23高三上·上海奉贤·期中）定义在R上的函数的导函数为，若对任意的实数x，都有，且，则不等式的解集是 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，求导得到在R上单调递减，由得到，对变形后得到，从而，由单调性得到，求出不等式的解集. 【详解】因为，构造， 则，所以在R上单调递减， 由,令得：，故， 由得：， 因为，所以， 故， 因为在R上单调递减， 所以，解得：. 故不等式的解集是. 故答案为：. 【点睛】利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路： 比如：若，则构造， 若，则构造， 若，则构造， 若，则构造. 压轴三：构造函数比较大小（共5小题） 1．（23-24高二下·上海·期中）设，利用函数单调性比大小，可得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，得，判断函数在上的单调性，结合减函数的性质与不等式性质，判断出的大小关系. 【详解】令，则， 当时，在上单调递减， 又，所以在上恒成立， 所以，即， 因为，所以， 又，所以， 即，又，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以. 故选：B. 2．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的性质计算大小即可. 【详解】因为，所以在上均单调递增， 所以，即， 对于，构造函数， 易知时，，即此时函数单调递增，则， 所以， 因为在上单调递增，所以， 综上. 故选：A 3．（24-25高三上·福建宁德·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、比较函数值的大小关系 【分析】利用计算即可. 【详解】令， 则， 显然时，时， 所以在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 所以（时取得等号）， （时取得等号）， 故，即. 故选：B 4．（24-25高三上·安徽·阶段练习）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】将三个数进行恒等变形，使三个数中都出现，结合三个数据的形式构造定义域在上的函数，通过求导分析函数单调性，确定时的函数值与的大小关系，即可比较三个数的大小. 【详解】由题意得，. 令，则， 令，则， 令，则，当时，， ∴在上是减函数，且，， ∴，使得， ∴当时，，当时，， ∴在上为增函数，在为减函数. ∵，， ∴当时，， ∴在上为增函数. ∵， ∴， ∴. ②令， 则， ∴在上为增函数. ∵, ∴， ∴. 故选：B. 【点睛】方法点睛：构造函数比大小问题，比较两个数大小的方法如下： ①将两个数恒等变形，使两数有共同的数字， ②将看成变量，构造函数， ③分析包含的某个区域的函数单调性， ④根据函数单调性比较大小. 5．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）已知函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】构造，求导得到其单调性，得到，结合的奇偶性和单调性，，得到大小关系. 【详解】是偶函数，在上单调递增， 令，则，函数在上单调递减， 故， 即，而， 所以， ∴． 故选：B 【点睛】方法点睛： 构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小 压轴四：利用导数研究函数的恒（能）成立问题（共5小题） 1．（24-25高三上·上海·期中）若存在，使得对任意的恒成立，则的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将问题转化为直线恒在上方来求解，即可得，进而构造函数，求得的最小值. 【详解】存在，使得对任意的恒成立， 即存在，使得对任意的恒成立， 令，可得， 当，所以，在上单调递增， 当，所以，在上单调递减， 令，所以， 当，，在单调递减， 当，，在单调递增， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛，重点在于通过通过转化将转化为只含的表达式，求得最小值，需要较强的分析问题解决问题的能力，难度较大. 2．（24-25高三上·上海·期中）若存在实数，，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】不等式等价于， 原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立， 等价于存在实数，，不等式成立， 分别讨论，，，的情况，先求出， 再求出即可解决问题. 【详解】不等式等价于即， 原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立， 等价于存在实数，，不等式成立， 记，则， （1）当时，对任意，恒成立，即在上单调递减 ①当，即时，， ②当，即时，， 从而当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以； （2）当时，令，解得， 在区间上单调递增，在上单调递减， ，，， ①当时，此时，     当即时，， 当即时，， 从而当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增, 所以； 令，则，，记， 则， 当时，恒成立， 即在区间上单调递减，即， 即； ②当时，此时， 当即时，， 当即时，， 从而当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以； （3）当时，对任意，恒成立，即在上单调递增， ①当，即时，， ②当，即时，， 从而当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以； 综上所述，， 所以. 故答案为： 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 3．（24-25高三上·山东泰安·期中）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究能成立问题 【分析】对，及进行分类讨论，分别判断条件是否满足，即可得到答案. 【详解】设，则，. 故对有，对有. 这表明在上递增，在上递减. 而，，. 所以结合的单调性知，存在，使得对有，对有，且. 这表明在和上递减，在上递增. 从而对有，对有，对有. 故对任意，都有，而对任意，都有. 下面对进行分类讨论： ①若，则对有，，从而，且. 故，满足条件； ②若，则有，满足条件； ③若，设，则. 从而对有，对有. 所以在上递增，在上递减，这就得到 . 故对任意，都有 ，不满足条件. 综上，的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于分类讨论，以求得的取值范围. 4．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知函数的表达式为. (1)当时，求的单调增区间； (2)若当时，恒成立，求a的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、对数不等式 【分析】（1）将代入函数解析式，对函数二次求导，判断出函数的单调性即可； （2）分、、三种情况，对函数二次求导，借助函数单调性判断不等式是否成立即可求解； （3）借助（2）中结论，化为，取，得到，两边求和化简即可求解. 【详解】（1）时，， 则， 令，则， 则在上严格减，上严格增， 则，即在上严格增， 因此函数的增区间为； （2）， 记，则， 令，解得； 若，则，即时， 在上严格增，，满足要求； 若，则，时， 则在上严格减，故当时，，不满足要求； 若，则，在上严格减， 则，不满足要求； 综上，a的取值范围是. （3）由（2）可知时， 则，取， 则，即； ， 即. 【点睛】关键点点睛： 本体关键在于能够将（2）中结论整理变形并应用到不等式的证明中. 5．（23-24高二下·上海·期中）已知函数，，其中，． (1)求函数在点处的切线方程； (2)函数，，是否存在极值点，若存在，求出极值点，若不存在，请说明理由； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，极小值点，无极大值点 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）分别求出的值即可得解； （2）求导得，分是否大于0并结合极值点的定义讨论即可； （3）分是否等于1进行讨论，当时，可借助（2）中结论进行求解. 【详解】（1），，因为，所以， 所以在点的切线方程为，即； （2）设，定义域， 当时，恒成立，所以在严格增，所以不存在极值点； 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在严格减，在严格增， 所以函数存在一个极小值点，无极大值点； （3）原不等式， 当时，恒成立； 当时，，即， 由（2）知时，，此时， 所以此时， 所以此时，且由以上分析可知，当时，， 综上，实数的取值范围为. 压轴五：利用导数研究函数的零点方程的根（共5小题） 1．（24-25高三上·上海·期中）若函数的图象上有两个不同点，处的切线重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”. (1)试判断函数与的图象是否存在“自公切线”（不需要说明理由）； (2)若，求函数的图象的“自公切线”方程； (3)若，求证：函数，有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”. 【答案】(1)存在，不存在； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据“自公切线”的定义判断即可； （2）设切点，问题化为存在，使得，利用导数几何意义求切线方程，根据切线重合列方程求参数，即可得方程； （3）利用导数研究的单调性及其零点，假设的图象存在“自公切线”，存在且，使的图象在与处的切线重合，即对应导数值相等，结合三角函数线推出矛盾，即可证. 【详解】（1）因为直线是图象的一条“自公切线”，故函数的图象存在“自公切线”， 对于是严格减函数，故在不同点的切线斜率不同，所以函数的图象不存在“自公切线”， 所以的图象存在“自公切线”，函数的图象不存在“自公切线”； （2）函数，求导得， 显然函数在上单调递增，函数在上单调递减， 设切点，存在，使得， 在点处的切线方程为， 在点处的切线方程为， 因此，消去得， 令， 求导得， 则函数在上单调递增，又，函数的零点为， 因此，所以曲线的“自公切线”的方程为. （3）因为，， 所以在上恒成立，当且仅当时， 故是严格增函数，其至多有一个零点. 令，，其图象是连续曲线，且， 所以在上存在零点， 在上，存在零点，所以有唯一零点； 假设的图象存在“自公切线”，则存在且，使的图象在与处的切线重合， 故，且， 由得，不妨设，将代入，得， 在上图的单位圆中，于， 知，与矛盾. 故的图象不存在“自公切线”. 【点睛】关键点点睛：第三问，对于求证函数“自公切线”，注意应用反证思想，假设存在并利用导数值相等及三角函数线的关系推出矛盾为关键. 2．（24-25高三上·上海·期中）已知，. (1)若是区间上的严格减函数，是区间上的严格增函数，求的值； (2)若函数在区间上的最大值不大于1，求的取值范围； (3)记，证明：当时，函数有且仅有三个零点. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究函数的零点、根据函数的单调性求参数值 【分析】（1）根据函数在区间上的单调性可得，验证即可； （2）令得或，分类讨论与区间的位置关系，由函数的单调性求出对应的最大值即可； （3）由题意，根据函数的单调性求出函数的极值，令，作出函数的图象，结合图象即可证明. 【详解】（1）由题知，，因为是上的严格减函数，是上的严格增函数， 所以，即，解得. 当时，，， 显然时，，时，， 则在区间上严格减，在区间上的严格增， 所以满足要求. （2）因为，， 令，得或， 当即时，，是上的严格增函数， 所以，不满足要求； 当即时，，是上的严格减函数， 所以，满足要求； 当即时，若时，，若时，， 所以在区间上严格减，在区间上的严格增， 又， 则当时，，，解得， 当时，，满足要求， 当时，，满足要求， 综上，的取值范围. （3）由，得或，列表如下： 0 0 0 严格增 极大值 严格减 极小值 严格增 所以，. 令，因为，所以， 由函数的示意图（如图所示）， 可得有三个不相等的实数解，，，其中，，， 根据函数的单调性，且， 则，，即和均有且只有一个实数解， 设为和，则； 又， 而，是上的严格增函数， 所以， 所以，所以有且只有一个实数解，记为，显然， 综上，当时，方程有且仅有三个不相等的实数根， 所以函数有且仅有三个零点. 【点睛】方法点睛：解决有关函数有零点(方程有根)问题常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 3．（23-24高二下·上海·期中）已知函数． (1)若曲线在点处的切线为轴，求的值； (2)讨论在区间内的极值点个数； (3)若在区间内有零点，求证：． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【知识点】求已知函数的极值点、求函数零点或方程根的个数、利用导数研究函数的零点、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）先求函数的导函数，若在点处的切线为轴，只需，求解即可. （2）针对导函数，分和两种情况讨论求解即可. （3）当时显然在区间内无零点；当时，构造函数并研究其单调性即可. 【详解】（1）由求导得：，依题意，，解得， 经验证，在点处的切线为， 所以. （2）由（1）知， （i）若，当时，恒成立，函数在上单调递增， 所以无极值点. （ii）若，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 因此为的极小值点，且无极大值点， 所以当时，在内的极值点个数为0； 当时，在内的极值点个数为1. （3）由（2）知当时，函数在上单调递增， 因此，函数在内无零点； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，， 若在区间内有零点，则， 而，设， 则， 设，则，函数在上单调递增， 于是，即，函数在上单调递增， 则，即，又， 所以. 【点睛】关键点点睛：导数问题往往涉及到分类讨论，分类讨论标准的确定是关键，一般依据导数是否有零点、零点存在时零点是否在给定的范围内及零点在给定范围内时两个零点的大小关系来分层讨论. 4．（23-24高二下·上海松江·期中）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：函数的图象位于直线的下方； (3)若函数在区间上无零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）要证明，只需要证明，即证，构造，利用导数求出函数的最大值即可得证； （3）对分情况讨论，在时，，结合即可求解，在时，求导，结合零点存在性定理可得存在使得，进而结合导数即可求解. 【详解】（1），则，又， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）因为，所以， 要证明，只需要证明，即证， 令，则， 当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减， 故在取极大值也是最大值，故， 所以恒成立，即原不等式成立， 所以函数的图象位于直线的下方； （3）， 当时，， 故当时，在区间上恒成立，符合题意； 当时，， 令，则在区间上恒成立， 所以在单调递减，且， ①当时，此时在区问上恒成立， 所以在区间单调递减， 所以在上恒成立，符合题意， ②当时，此时，由于且， 所以， 所以，故存在使得， 故当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 故时，取极大值也是最大值，故， 由，可得， 令，得，所以在上存在零点，不符合题意，舍去， 综上可知，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 5．（22-23高三上·上海静安·期中）已知函数过点，函数在点处的切线斜率为4，且为函数的一个驻点. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为 (3) 【知识点】根据极值点求参数、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）求出导函数，根据切线斜率和极值点列出方程组，求出，得到解析式； （2）令导函数大于0和小于0，求出单调区间； （3）在第一问和第二问的基础上，数形结合得到不等式组，求出的取值范围. 【详解】（1）由题意，函数，可得， 因为函数在点处的切线斜率为4，且在处为驻点， 可得：，即，解得：， 所以， （2）可得，令，解得：或， 当变化时，的变换情况如下： -1 + 0 - 0 + 递增 2 递减 递增 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间是； （3）依题意得：方程有3个不同的实数根， 即，函数与函数的图象有3个不同的交点， 由（1）（2）知需要满足，解得：， 的取值范围是. 压轴六：导数新定义题（共5小题） 1．（24-25高三上·上海·期中）设. (1)若函数是实数集R上的严格增函数，求实数m的取值范围； (2)已知数列是等差数列（公差），设，若存在数列使得数列也是等差数列，试求满足条件的一个数列； (3)若，是否存在直线满足：①对任意的都有成立，②存在使得？若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】判断等差数列、利用导数研究不等式恒成立问题、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）根据题意可得对任意的R都成立，故可得出答案. （2）利用等差数列性质，结合题意，首先得出对一切正整数成立，再经过化简计算得出结果. （3）首先分析题意，按三种不同情况进行分析，最后得出直线方程为. 【详解】（1）因为函数是实数集R上的严格增函数， 所以对任意的R都成立 因为函数的最小值为，所以 （2）， 由于数列是等差数列（公差）， 若存在数列使得数列也是等差数列， 则对一切正整数成立， 即， 将代入化简得， 即， 展开化简得对一切正整数成立，所以， 故； 此时 ，所以为常数， 故是等差数列， 则满足条件的一个数列为； （3）令， 则当时，， 时，存在使得， 即存在使得，与题意不符； 当时，存在使得， 即存在使得，与题意不符； 时，， 当时，显然存在使得，即存在使得， 当时，对任意的都有， 当时，存在，使得，且对任意的都有， 即对任意的都有， 综上，存在直线满足题意，直线方程为. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围. （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解. 2．（24-25高三上·上海·期中）设是定义在上的奇函数.若是严格减函数，则称为“D函数”. (1)分别判断和是否为D函数，并说明理由； (2)若是D函数，求正数a的取值范围； (3)已知奇函数及其导函数定义域均为.证明：“在上严格减”不是“为D函数”的必要条件. 【答案】(1)是函数,不是函数，理由见解析. (2)； (3)证明见解析. 【知识点】函数新定义、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、必要条件的判定及性质 【分析】（1）根据“函数”的定义结合函数的奇偶性以及单调性判断即可. （2）令，利用导数分类讨论其单调性即可求解. （3）令函数结合必要条件的定义，推理判断即得. 【详解】（1）函数的定义域为，， 则函数和均为定义在上的奇函数， 当时，函数严格减，因此函数是函数； 当和时，，即函数在上不单调，因此函数不是函数. （2）函数的定义域为， ， 则函数是定义在上的奇函数， 当时，不是函数，则且， 当时，令， 求导得， 令函数， 求导得. 令，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则，即恒成立， 则当时，， 若，则，，函数在上单调递增，， ，则函数在上严格单调递增，不是D函数； 若，则，函数在上单调递减，， ，则函数在上严格单调递减，是D函数， 所以正数的取值范围是. （3）令函数，其是定义域为，，上的奇函数， 函数在上严格单调递减，因此函数为函数， ，而，则函数在上不单调， 所以“在上严格减”不是“为函数”的必要条件. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于证明的导函数恒成立. 3．（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数的定义域为，导函数为，若对任意的，均有，则称函数为上的“一类函数”. (1)试判断是否为其定义域上的“一类函数”，并说明理由； (2)若函数，为其定义域上的“一类函数”，求实数的取值范围； (3)已知函数，为其定义域上的“一类函数”，求实数的最大整数值. 【答案】(1)不是为其定义域上的“一类函数”； (2) (3)的最大整数值为0. 【知识点】函数新定义、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）根据定义，取反例即可判断； （2）根据定义将问题化为恒成立问题，然后参变分离，转变为函数最值问题可解； （3）根据定义将问题化为恒成立问题，然后参变分离，利用导数求解可得. 【详解】（1）函数不是其定义域上的“M一类函数”. 理由如下： 的定义域为，存在， 使得， 故不是其定义域上的“M一类函数” （2），所以. 若函数在上为“M一类函数”， 则在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以在上恒成立. 令， 因为，，所以当时，的最小值为， 所以，所以实数a的取值范围为. （3）， 依题意有对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 当时，，即； 当时，， 令，则， 令，则， 易知时，时，， 即在上是减函数，在上是增函数， 而， 即时，，于是，则在上是减函数， 故，从而. 综上，满足条件的实数的取值范围是，于是的最大整数值为0. 【点睛】思路点睛：本题实质上属于恒成立问题，常用参变分离法，从而将恒成立问题转化为函数最值问题，然后利用导数求最值即可求解. 4．（24-25高三上·上海嘉定·期中）设是定义域均为的三个函数.是的一个子集.若对任意，点与点都关于点对称，则称是关于的“对称函数”. (1)若和是关于的“对称函数”，求； (2)若是关于的“对称函数”.判断并证明：“”是“的值域为”的什么条件？ (3)已知是关于的“对称函数”.且对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)必要不充分条件，证明见详解. (3) 【知识点】函数新定义、由正弦（型）函数的周期性求值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）根据定义可得的解析式，即可求出； （2）根据定义可得的解析式，进而得的解析式，可以举反例说明不是充分条件，根据正弦函数的图象与性质可以证明是必要条件； （3）求出的解析式，根据即可得出实数的取值范围； 【详解】（1）由题意，和是关于的“对称函数”， 所以，即， 所以. （2）因为是关于的“对称函数”， 所以，即， ， 令，，满足， 此时函数，的值域为， 所以的值域为不成立，所以不充分； 若的值域为，即，的值域为， 因为函数的周期，则，所以必要； 因此“”是“的值域为”的必要不充分条件. （3）是关于的“对称函数”， 所以， 设，则， 所以. 另一方面，由于， 所以函数在上恰有一个驻点， 从而当时，比较和处的函数值得，. 因此，， 故，即. 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的新定义，三角函数的图象与性质，导函数；解题时正确理解新定义，灵活运用新定义，以及将新定义与所学过的知识相结合是解题的关键. 5．（24-25高三上·上海·期中）设函数的定义域为．对于闭区间，若存在，使得对任意，均有成立，则记；若存在，使得对任意，均有成立，则记． (1)设，分别写出及； (2)设，．若对任意闭区间，均有不等式成立，求的最大值； (3)已知对任意闭区间，与均存在，求证：“是上的严格增函数或是上的严格减函数”的充要条件是“对任意两个不同的闭区间，，与至少有一个成立”． 【答案】(1)，. (2) (3)证明见解析 【知识点】函数不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、求二次函数的值域或最值、充要条件的证明 【分析】（1）通过二次函数的性质求函数在区间最值即可； （2）通过导数确定函数的单调性及最值，结合题意即可得出答案； （3）根据充要条件证明步骤，必要性、充分性分开证明即可. 【详解】（1）， 由二次函数的性质知，在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 当时，. （2）因为，所以， 令，可得或，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当趋近负无穷，趋近，当趋近正无穷，趋近正无穷， 又，，的图象如下图， 当时，在时，， 则，不成立， 当时，在时，， 则，成立， 由图象，结合题意要使在有与， 且对任意闭区间，均有不等式成立， 所以的最大值为. （3）下面证明充分性： 当与其中一式成立时， 不可能为常值函数，先任取， 总有或， 假设存在，使得， 记， 则， 因为存在，则或， 不妨设，则， 否则当， 此时，矛盾， 进而可得， 则， 因此①. 最后证明为上的严格减函数， 任取，需考虑如下情况： 情况一：若，则， 否则， 记， 则， ， 同理若， 所以， 根据①可得：. 情况二：若，则， 否则， ，由此矛盾， 因为，同情况一可得矛盾， 因此. 情况三：若，同上述可得， ， 所以. 情况四：若，同上述可得，，，所以. 情况五：若，同上述情况二可证明恒成立. 情况六：若，同上述情况一可证明恒成立. 即为上的严格增函数. 【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题： （1）通过二次函数的性质求函数单调性即可求最值； （2）通过导数确定函数的单调性和最值，结合的图象即可得出答案； （3）根据充要条件证明步骤，必要性、充分性分开证明，注意条件结论不要混淆. 压轴七：排列组合综合（共5小题） 1．（23-24高二下·上海·期中）已知数列的通项公式为． (1)分别求的二项展开式中的二项式系数之和与系数之和； (2)求的二项展开式中的系数最大的项； (3)记，求集合的元素个数（写出具体的表达式）． 【答案】(1)，0； (2)； (3) 【知识点】求系数最大（小）的项、利用集合中元素的性质求集合元素个数、二项式的系数和、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）先根据已知条件求出，根据二项式系数概念以及性质即可求出二项式系数之和；赋值法求出项的系数之和. （2）利用先求出项的系数通项公式，然后利用即可求解. （3）先根据二项式定理将展开得到它的整数部分和小数部分，进而推出为整数，进而得出集合的元素个数为. 【详解】（1）数列的通项公式为，所以， 故即为，所以二项展开式中的二项式系数之和为， 令，则二项展开式中的系数之和为； （2）因为， 所以即为， 故展开式的通项公式为， 设二项展开式中的系数最大的项数为，， 则有，即，解得， 又， 所以二项展开式中的系数最大的项为. （3）由题意，， 所以 ， 所以， 所以为整数， 所以集合的元素个数为. 【点睛】易错点睛：集合的元素个数易被处理为个. 2．（20-21高二下·上海宝山·期中）（1）如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？ （2）如图2所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，已知地（十字路口）在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？ （3）如图3所示，某地有南北街道5条，东西街道6条（注意有一段不通），一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？ （4）如图4所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，已知地（十字路口）在修路，无法通行，且有一段路程无法通行，一邮递员该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短，有多少种不同的走法？ 【答案】（1）126；（2）66；（3）；（4）54． 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）由A到B所走路程最短需要向下走5次，向左走4次，转化为组合问题，9次运动中哪4次向左即可求解； （2）先分析由A经C到B的走法，再由间接法即可求出不经过C的走法； （3）先分析经过ED的走法，再由间接法求解； （4）先计算经过DE且经过C的走法，再结合（1）（2）（3）利用间接法求解. 【详解】（1）由题意，由A到B的最短距离需要9步完成，其中向下走5步，向左走4步， 由组合知识可知，不同的走法共有种. (2)若先经过C再到B，需向下走3步，向左走2步，有种走法，由C到B需向下运动2步，向左运动2步，有种走法，故先经过C再到B共有， 所以不经过C共有种走法. (3) 经过ED,需要3步由A到D，再需要5步由E到B，由A到D共有种走法，由E到B共有种走法，所以经过ED的走法共有种， 故不经过ED的走法共有种. (4)由A经过DE到C的走法共有，再由C到B需要向下、向左各2步共有种走法， 故经过DE到C再到B的走法共有种走法， 所以不经过DE也不经过C的走法共有种. 3．（23-24高二下·上海·期中）若实数集对任何，，均有，则称具有伯努利型关系. (1)若集合，表示自然数集，判断是否具有伯努利型关系； (2)设集合，，若具有伯努利型关系，求非负实数的取值范围； (3)设为正整数，利用（2）中结论证明下面不等式：. 【答案】(1)具有伯努利型关系，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、数列不等式恒成立问题、裂项相消法求和、二项式定理与数列求和 【分析】（1）直接用二项式定理即可证明结论； （2）构造并研究在上单调性，即可比较和的大小，进而得到的条件，从而确定的取值范围； （3）将不等式的左边化为，然后利用（2）中得到的结论，可以推知，再用裂项法证明即可. 【详解】（1）由于对任意，，有，故具有伯努利型关系. （2）条件具有伯努利型关系等价于，对任意的，，都有. 设，则. 当时，由，知对有，对有，所以在上单调递减，在上单调递增. 故此时对任意的都有，即，等号成立当且仅当； 当时，由，知对有，对有，所以在上单调递增，在上单调递减. 故此时对任意的都有，即，等号成立当且仅当； 当或时，容易验证此时对任意的都有. 以上结论表明，对任意的都有的充要条件是，从而条件等价于，即，所以的取值范围是. （3）由（2）的结论，当时，对任意，有，故对任意的正整数，有成立，从而，因此我们只需证明，下面证明此结论. 因为关于显然是递增的，所以我们可以不妨设，此时有 ， 所以，结论得证. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，在（2）的求解过程中，的情况是不满足（2）的条件的情况，此时我们得到了反向的结论，.  在（3）的证明中，我们恰恰要使用该结论，而不是直接使用（2）的直接结论：，. 4．（22-23高二下·上海闵行·期中）富比尼原理又称算两次原理，是组合数学中非常重要的计算方法，下面的组合恒等式可以用富比尼原理进行证明，具体如下：人中有1人是军人，从人中选人各奖励1颗星，共有种选法，另一方面，这等价于考虑这人中的军人是否被选中，若选中军人，则有种选法，若未选中军人，则有种选法，所以； (1)若，求关于的方程的解； (2)将题干中的问题推广到人中有人是军人的情形，写出结论并加以证明． 【答案】(1)或2或4 (2)见解析. 【知识点】组合数方程和不等式、实际问题中的组合计数问题、组合数的性质及应用 【分析】（1）分上标相等以及上标和为24讨论即可； （2）分一个军人都未选中和1,2个军人分别被选中讨论即可. 【详解】（1）由题意得①，解得或， ②，解得或4， 经检验当时舍去， 故或2或4. （2）根据题意，从个不同元素中选出人各奖励1颗星，选法种数是， 若对其中的某个元素分别选或不选， 则个元素一个都没有选，有种选法； 有一个元素被选取，有种选法； 有两个元素被选取，有种选法； 有三个元素被选取，有种选法； 有个元素被选取，有种选法； 所以，， 5．（21-22高二上·上海奉贤·期中）在中，把称为三项式的系数． (1)当时，写出三项式的系数的值； (2)类比的二项式展开式(杨辉三角)的规律，当时，写出三项式的(杨辉三角)数字表，并求出时的； (3)求（用组合数表示）． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】三项展开式的系数问题、杨辉三角、两个二项式乘积展开式的系数问题、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】（1）由代入可得答案； （2）类比，结合可写出三项式的(杨辉三角)数字表，令可得的值； （3）由 得的系数为，转化为求展开式中的系数可得答案. 【详解】（1）因为， 所以； （2）当时，三项式的(杨辉三角)数字表如下， 令，可得； （3） ， 其中的系数为， 又， 而二项式的通项， 由解得，所以的系数为， 由代数式恒成立得 . 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是类比的二项式展开式(杨辉三角)的规律和结合二项式定理解题，考查了学生的运算能力、转化能力。 $$