专题01 高二下学期期中真题精选(导数及其应用+计数原理)（考题猜想，常考20大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020选择性必修第二册）

专题01 高二下学期期中真题精选 (沪教版2020选择性必修第二册第5章 导数及其应用+第6章 计数原理) （常考20大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 导数的定义（易错） · 题型二 借助导数求切线（易错） · 题型三 导数的四则运算 · 题型四 利用导数求函数（不含参）的单调区间 · 题型五 由函数在区间上的单调性求参数（高频） · 题型六 函数与导数图象之间的关系（易错） · 题型七 函数的极值问题（重点） · 题型八 函数的最值问题（重点） · 题型九 两个计数原理综合（难点） · 题型十 排列数与组合数的计算（重点） · 题型十一 组合数的性质应用（易错） · 题型十二 相邻与不相邻问题（高频） · 题型十三 特殊元素（位置）优先 · 题型十四 间接法（难点） · 题型十五 分配问题（重点） · 题型十六 涂色问题 · 题型十七 二项展开式的第项（高频） · 题型十八 二项式系数（和）（重点） · 题型十九 系数和，系数最值（重点） · 题型二十 两个二项展开式，三项展开式系数问题（难点） 题型一、导数的定义（共5小题） 1．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则 ． 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】求导，即可结合导数的定义求解. 【详解】，则，故， 故. 故答案为： 2．（24-25高三上·上海·期中）已知是定义在上的可导函数，若，则 . 【答案】1 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】根据导数的定义写出答案即可. 【详解】由导数定义知：. 故答案为：1 3．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，若，则 . 【答案】/ 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】. 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海·期中）已知函数在处的切线斜率为，且，则 . 【答案】 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】根据导数的定义可得答案. 【详解】因为函数在处的切线斜率为， 且，则. 故答案为：. 5．（24-25高三上·上海·期中）若函数在处的导数等于，则的值为（    ） A．0 B． C．a D． 【答案】D 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算可求解. 【详解】. 故选：D. 题型二、借助导数求切线（共5小题） 1．（24-25高三上·上海松江·期中）曲线在点处的切线方程是 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式 【分析】直接求导得，代入求得斜率即可. 【详解】由，则，所以， 所以在点处的切线方程为，即． 故答案为：. 2．（24-25高三上·上海·期中）曲线在点处的切线是 .（一般式方程） 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用导数求得切线方程. 【详解】由，得， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为. 故答案为： 3．（24-25高三上·上海松江·期中）已知，则曲线在点处切线的倾斜角是 . 【答案】 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】对函数求导，求出在点处的切线斜率，进而得出倾斜角. 【详解】因为，所以，则 所以曲线在点处的切线斜率为，所以斜线的倾斜角为：. 故答案为： 4．（24-25高三上·上海·期中）若直线与曲线相切，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程、已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求出切线方程，列式即可求解. 【详解】设切点坐标为，由得， 所以切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：， 即， 所以，所以，所以. 故答案为：. 5．（23-24高二下·上海·期中）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】直接计算得到，，然后使用切线的定义即可. 【详解】由，知. 所以，，故所求切线是经过点且斜率为的直线，即. 故答案为：. 题型三、导数的四则运算（共5小题） 1．（23-24高二下·上海·期中）若函数，则其导函数 . 【答案】 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则 【分析】根据乘法求导规则，再结合复合函数求导即可. 【详解】根据导函数运算律可得. 故答案为： 2．（23-24高二下·上海·期中）函数的导函数为 . 【答案】 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则 【分析】利用导数运算法则求解即得. 【详解】由导数的运算法则可得. 故答案为： 3．（23-24高二下·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】由导数四则运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海·期中）设函数，则 . 【答案】 【知识点】简单复合函数的导数 【分析】由复合函数的导数公式即可求得答案. 【详解】因为，所以， 故答案为：. 5．（22-23高二下·上海闵行·期中）已知函数，则的导数 . 【答案】 【知识点】导数的乘除法 【分析】直接利用导数运算法则求导即可. 【详解】因为 . 故答案为：. 题型四、利用导数求函数（不含参）的单调区间（共4小题） 1．（23-24高二下·上海·期中）若，则的减区间是 ． 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】令，解一元二次不等式即可得解. 【详解】，令，解得， 从而的减区间是. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海松江·期中）函数的严格增区间是 . 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】由导数，即可解得. 【详解】因为，所以， 由可得，所以函数的严格增区间是. 故答案为：. 3．（23-24高二下·上海·期中）函数的严格递减区间是 . 【答案】. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导并结合函数的定义域，求出函数的单调减区间即可. 【详解】函数的定义域为， ， 令，则且，即的严格递减区间为. 故答案为： . 4．（23-24高二下·上海·期中）已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，，单调递减区间为 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间. 【详解】（1）因为，所以， 则，所以在点处的切线方程为，即； （2）函数定义域为， 且， 令，解得或；令，解得； 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为． 题型五、由函数在区间上的单调性求参数（共5小题） 1．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，且在上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】先解出函数的单调区间，再列不等式组解出实数的取值范围即可. 【详解】由函数图象可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 若在上单调递减，在上单调递增， 则，解得. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海·期中）若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】对求导，根据条件，将问题转化成在恒成立，令，得到在区间上恒成立，分和两种情况，当时，通过分离常量，转化成求的最小值，即可解决问题. 【详解】因为，所以， 令，则， 由题知在区间上恒成立， 当时，恒成立，当时，得到在区间上恒成立， 易知在区间上单调递减，得到， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 3．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知函数在定义域上不单调，则正整数的最小值是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的导函数，根据均有解，结合正弦函数的性质，求出的取值范围，即可得解． 【详解】函数，则， 因为n为正整数，当时，，在上存在递增区间； 若在上存在递减区间，即有解，则， 所以，所以正整数的最小值是． 故答案为：． 4．（24-25高三上·上海·期中）已知是定义域为R的函数，，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数不等式恒成立问题、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】构造，根据其在单调递增，分类讨论即可求解. 【详解】因为对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， （1）若，则对称轴，解得； （2）若，在单调递增，满足题意； （3）若，则对称轴恒成立； 综上. 故选：D. 5．（23-24高二下·上海·期中），均有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】不妨设，则不等式等价于，令，， 则在区间上单调递减，从而得到对于恒成立，参变分离可得对于恒成立，求出即可得解. 【详解】不妨设， 则， 由可得， 所以，即， 所以， 令，， 则， 因为， 所以在区间上单调递减， 所以对于恒成立， 所以对于恒成立，可得对于恒成立， 所以，因为在区间上单调递减， 所以， 所以，即的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为，即在区间上单调递减，从而得到对于恒成立. 题型六、函数与导数图象之间的关系（共5小题） 1．（24-25高三上·上海·期中）函数是定义在上的偶函数，其图像如下图所示，满足，设 是的导函数，则关于的不等式的解集是 . 【答案】 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数奇偶性的应用 【分析】由偶函数得到函数的另一个零点，由图像写出和对应的区间，再写出和对应区间，由不等式转换为不等式组，求出的取值范围. 【详解】函数是偶函数，∴ ∴由图可知： 当时，，∴时，， 当时，，∴时，， 当时，；当时，， ∵，∴或， 即或， ∴或. 故答案为：. 2．（24-25高三上·上海嘉定·期中）函数的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为 . 【答案】 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据图像判断出函数的单调区间，从而求得的解集. 【详解】根据图象可知，当时，；当时，； 同时当或时，；当时，； 所以的解集为. 故答案为： 3．（23-24高二下·上海·期中）已知函数的定义域为，为其导函数，函数的图象如图所示，且，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据函数的单调性和导数之间关系，即可解不等式. 【详解】由导函数图象可知当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增， 因为，，当时，， 即不等式的解集为； 故答案为： 4．（23-24高二下·上海·期中）设函数可导，的导函数的图像如下图所示，则下面判断正确的是 ．（将所有正确的结论序号填在横线上） ①在区间上是增函数 ②在区间上是减函数 ③在区间上是增函数 ④当时，取极大值 ⑤是的一个驻点 【答案】③ 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】根据导函数的图象与原函数的单调性与极值之间的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】观察的图象可知， 当时，先负后正，则函数先递减，后递增，故①错误； 当时，先正后负，则函数先增后减，故②错误； 当时，，则函数递增，故③正确； 由导函数的图象可知函数在上单调递减，上单调递增，在处取得函数的极小值，故④错误 由导函数的图像可知不是的零点，也不是的驻点，故⑤错误. 故答案为：③ 5．（23-24高二下·上海闵行·期中）函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是 ． ①是函数的极值点；               ②是函数的最小值点； ③是函数的极小值点；             ④在区间上单调递增 ⑤在处切线的斜率大于零；       ⑥是函数的驻点也是极值点． 【答案】①④⑤ 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导数与单调性、极值的关系逐个选项判断即可. 【详解】对①④，根据导函数图象可知当时，；当时，， ∴函数在上单调递减；在上单调递增，故①④正确； 对②，因为在上单调递增，故，故不是函数的最小值点，故②错误； 对③⑥，因为左右两侧导函数均大于0，故不是极小值点，故⑥错误； 对⑤，由图可得，故在处切线的斜率大于零，故⑤正确. 综上①④⑤正确. 故答案为：①④⑤ 题型七、函数的极值问题（共5小题） 1．（24-25高三上·上海·期中）设.若是函数的极大值点，则 . 【答案】 【知识点】根据极值点求参数 【分析】先对函数求导，再结合函数极大值点导数值为0建立关于a的关系式，最后结合极大值的定义，讨论最终a的取值. 【详解】由题意得，， 因为是函数的极大值点， 所以有， 解得或. 又当时，， 或， ， 故函数在和递增，在递减， 此时是函数的极小值点，不符题意； 而当时，， 或， ， 故函数在和递增，在递减， 此时是函数的极大值点. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海·期中）正项等比数列中，与是的两个极值点，则 . 【答案】2 【知识点】根据极值点求参数、等比中项的应用、对数的运算 【分析】求导后，由题意和韦达定理得到，再根据等比中项的性质得到，最后根据对数的运算求出结果即可. 【详解】， 所以与是方程的两根， 所以在正项等比数列中，， 所以， 故答案为：2. 3．（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数. (1)求函数在上的单调减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个极大值点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据极值点求参数、求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）根据三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）由的取值范围求出的取值范围，依题意可得，解得即可. 【详解】（1）因为 ， 由，则， 令，解得， 所以函数在上的单调递减区间为； （2）由，则， 因为函数在区间上有且只有两个极大值点， 所以，解得， 即实数的取值范围. 4．（24-25高二上·上海·期中）解答下列问题： (1)求函数的极小值； (2)若，函数为上严格增函数，求实数的取值范围； (3)已知，，且只有一个极大值点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】根据极值点求参数、求已知函数的极值、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）利用导数求解即可； （2）由题意可知在R上恒成立，即在R上恒成立，设，利用导数求出函数的最小值即可； （3）求导得，，分恒成立，及有两实数根，分别求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值为， 所以函数的极小值为； （2）因为函数为上严格增函数， 所以在R上恒成立， 即在R上恒成立， 设， 则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 所以， 所以实数的取值范围为； （3）因为，， 所以，， 因为函数只有一个极大值，故恒成立或方程有两个不同的根. 若恒成立，即在上恒成立， 则当时，单调递增； 当时，单调递减； 此时函数只有一个极大值点，满足题意，所以此时， 由（1）可知，所以； 令，则， 故当时，单调递减；当时，单调递增； 且时，时；时，如图， 若方程即有两个不同的根，则， 显然，当时，单调递增；当时，单调递减， 所以在处取得极大值， 因为只有一个极大值点，所以只能，即是的一个根，此时， 当时，， 令，解得；令，解得或， 所令在和上单调递增，在上单调递减，满足题意； 综上，. 【点睛】关键点睛：本题的第（3）问的求解关键是分恒成立和有两不相等实数根进行讨论. 5．（23-24高二下·上海闵行·期中）已知函数， (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)设函数，求证：当实数时，函数在处取得极小值． 【答案】(1) (2)当时，单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. (3)证明见解析 【知识点】函数极值点的辨析、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）代入，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导后分与讨论即可； （3）求导后可得，再求导分析的单调性，进而可得的正负区间，从而得到的单调性证明即可. 【详解】（1）当时，，，则，， 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）由题意，，则当时，恒成立，单调递增； 当时，令有，故当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 综上，当时，单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由题意，，，则， 令，则，即为增函数. 又，故在上，在上. 故在上单调递减，在上单调递增. 故当实数时，函数在处取得极小值. 题型八、函数的最值问题（共5小题） 1．（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数为奇函数，则函数在上的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】由奇偶性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】令，求出所对应的方程的解，再根据奇函数的对称性得到函数解析式，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值. 【详解】令，即，解得，，， 因为函数为奇函数， 则函数图象关于原点对称，又， 即、中必有一个为，则另一个为， 所以， 则，符合题意； 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以函数在上的最小值为. 故答案为： 2．（23-24高二下·上海闵行·期中）函数的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】首先求函数的导数，并判断函数定义域内的单调性，即可求函数的最小值. 【详解】由题意可知，， 令，有或（舍）， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值. 故答案为： 3．（24-25高三上·上海·期中）记函数在区间上的最大值为，最小值为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先利用导数判断单调性，进而结合单调性求最值，即得. 【详解】由题意，， 令，解得， 在上，则在上是减函数， 在上，则在上是增函数， 于是最小值，最大值，即. 故选：D 4．（23-24高二下·上海·期中）已知函数，其图象在点处的切线方程为. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）先求出，得出，再根据题目条件列出方程组，解出即可解答. （2）先利用导数判断函数的单调性，得出极小值和极大值；再计算端点处的函数值，，与极大值和极小值进行比较即可解答. 【详解】（1）由可得. 所以在点处切线的斜率为， 因为在点处切线方程为， 所以切线的斜率为，且， 所以，即，解得， 所以． （2）由（1）知， 则. 令得或， 所以当时单调递增，当时单调递减，当时单调递增. 所以在处，取得极大值，在处取得极小值. 又因为， ， 所以在上的最大值为，最小值为． 5．（23-24高二下·上海·期中）已知函数 (1)求函数在点处的切线方程； (2)求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数的几何意义，结合，直接写出切线方程即可； （2）根据的正负，判断的单调性，即可求得的最小值. 【详解】（1）因为，故可得，，， 所以在点处的切线方程为：，即. （2），，令，解得， 故当，，单调递减；当，，单调递增； 又，故的最小值为. 题型九、两个计数原理综合（共5小题） 1．（24-25高三上·上海·期中）在1，2，3，4，5的所有排列 中，满足条件 的排列个数为 ． 【答案】16 【知识点】数字排列问题 【分析】结合枚举法可得结果. 【详解】由题意可知，只能出现在中，不能出现在中， 所以若取值为或，则排列个数为， 若取值为或，则只能出现在的一侧，即排列有共4个， 综上，所有排列数的个数为16个. 故答案为：16 2．（24-25高三上·上海杨浦·期中）班级4名学生报名参加两项区学科竞赛，每人至少报一项，每项比赛参加的人数不限，则不同的报名结果有 种．（结果用具体数字表示） 【答案】 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】由分类计数原理、分步计数原理即可求解. 【详解】每名学生可报一项或两项，所以有, 所以4名学生共有种. 故答案为： 3．（24-25高二上·上海奉贤·期中）在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成 个平行四边形． 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、几何组合计数问题 【分析】结合题意由组合数计算即可； 【详解】从一组中任选两条直线与另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形， 所以共有个， 故答案为：1260. 4．（24-25高三上·上海·期中）若三个正整数a，b，c的位数之和为8，且组成a，b，c的8个数码能排列为2，0，2，5，0，6，0，7，则称（a，b，c）为“幸运数组”，例如（7，6，202500）是一个幸运数组.则满足的幸运数组（a，b，c）的个数为 . 【答案】591 【知识点】分类加法计数原理、全排列问题、组合数的计算、实际问题中的组合计数问题 【分析】运用分类计数原理，结合排列组合知识可解. 【详解】因为，所以有两类不同情形： （1）a是两位数，b，c都是三位数. 先不考虑b，c的大小，由于a，b，c的首位均不能排0，所以三个0可在五个位置中选择有种排法，两个2有种排法，其余三个数5，6，7有种的排法， 共有种不同的排法，又因为不可能有，可知与的排法各占一半，所以，有300个满足条件的幸运数组； （2）a，b是两位数，c是四位数. 先不考虑b，c的大小，由于a，b，c的首位均不能排0，所以三个0可在五个位置中选择有种排法，两个2有种排法，其余三个数5，6，7有种的排法，共有种不同的排法. 如果，则只有，c的四个位置上的数字为0，5，6，7，共有种排法， 此外，与的排法各占一半，即，所以，有291个满足条件的幸运数组； 综上，所求幸运数组的个数为591. 故答案为：591. 5．（23-24高二下·上海·期中）2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣.  若甲、乙、丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有 种 【答案】64 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】直接使用乘法原理即可得到答案. 【详解】由于一共有四项运动，故甲、乙、丙各自有4种选择，而他们的选择互相之间没有任何限制条件，所以总共的选法数是. 故答案为： 题型十、排列数与组合数的计算（共5小题） 1．（24-25高二上·上海浦东新·期中）若，则 . 【答案】 【知识点】排列数方程和不等式 【分析】利用排列数公式额可得出关于的等式，即可解得正整数的值. 【详解】因为，即， 因为且，故. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海·期中）关于的方程的正整数解是 【答案】8 【知识点】排列数的计算、组合数的计算 【分析】根据组合数的性质及排列数转化为的方程，解得即可． 【详解】因为，且， 所以， 所以， 解得． 故答案为：8． 3．（22-23高二下·上海嘉定·期中）满足方程 的x的值为 ． 【答案】3或6 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】根据组合数性质列方程，解方程即可. 【详解】依题意，得或， 解得或，经检验知和符合题意． 故答案为：3或6. 4．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知（），则 . 【答案】8 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】根据组合数性质有，再由即可得解. 【详解】由组合数性质知，，因为，所以， 所以，得. 故答案为：8. 5．（25-26高三上·上海·期中）求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的运算性质即可求证. 【详解】因为左边 右边. 所以. 题型十一、组合数的性质应用（共5小题） 1．（23-24高二下·上海·期中）已知，则正整数 ． 【答案】1 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】根据给定条件，结合组合数的性质列式计算即得. 【详解】由，得或，解得或（舍）， 经检验符合. 故答案为：1 2．（22-23高二下·上海浦东新·期中） . 【答案】462 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质，运算求解. 【详解】由题意可得： . 故答案为：462. 3．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，则正整数 . 【答案】3 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质计算即可. 【详解】由，得或，解得或， 所以正整数. 故答案为：. 4．（21-22高二下·上海浦东新·期中）已知，则m= . 【答案】4或14/14或4 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质及即可求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以或，又，解得或， 故答案为：4或14. 5．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知（），则 . 【答案】8 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】根据组合数性质有，再由即可得解. 【详解】由组合数性质知，，因为，所以， 所以，得. 故答案为：8. 题型十二、相邻与不相邻问题（共5小题） 1．（23-24高三上·上海浦东新·期中）夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个项目，为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查，则不同的检查方案一共有 种. 【答案】12 【知识点】不相邻排列问题 【分析】先将心电图、血压测量两项全排列，再将腹部彩超和胸部CT两项排在其空位中，最后将抽血放在第一位即可. 【详解】解：由题意得：将心电图、血压测量两项全排列，有种情况， 再将腹部彩超和胸部CT两项排在其空位中，有种情况 最后将抽血放在第一位，有1种情况， 所以共有种情况， 故答案为：12 2．（23-24高二下·上海闵行·期中）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法种数 ．（用数字作答） 【答案】48 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】根据捆绑法求解即可. 【详解】由题意，先将甲乙捆绑排列，再跟剩下的人排列，故不同的排法种数有种. 故答案为：48 3．（23-24高二下·上海·期中）某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有（    ） A．120种 B．240种 C．216种 D．256种 【答案】B 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】先将甲乙看作一个元素，再和其余4人一起排列. 【详解】先将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种方法， 再与其余的个元素(同学)一起进行全排列有种方法， 所以这样的排法一共有种方法. 故选：B 4．（22-23高二下·上海长宁·期中）班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单； (1)3个中唱歌节目要排在一起，有多少种排法？ (2)相声节目不排在第一个节目，魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ 【答案】(1) (2) 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】（1）利用捆绑法可求解即可； （2）根据相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目等价于用6个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数即可求解． 【详解】（1）将3个唱歌节目捆绑在一起，看成1个节目有种，与其余3个节目一起排， 则共有种不同排法． （2）若相声节目排在第一个节目，则有种不同排法， 若魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法， 若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法， 则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目等价于用6个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数， 再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数， 所以共有种不同排法． 5．（24-25高二上·上海·期中）班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单. (1)魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ (2)3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法? 【答案】(1)600； (2). 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】（1）先从3个唱歌节目和2个相声节目中选1个放在最后，再将其余5个节目全排列，根据分步乘法计数原理即可求解； （2）先将3个歌唱节目捆绑在一起，再与其余3个节目全排列，根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】（1）魔术节目不排在最后一个节目， 则先从3个唱歌节目和2个相声节目中选1个放在最后，有5种排法； 其余5个节目任意排，有种排法， 所以魔术节目不排在最后一个节目，有种排法. （2）将3个歌唱节目捆绑在一起，看成1个节目有种， 与其余3个节目一起排共种， 则3个唱歌节目要排在一起，有种排法． 题型十三、特殊元素（位置）优先（共5小题） 1．（22-23高二下·北京延庆·期中）现要从这5人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？（    ） A．300 B．120 C．96 D．72 【答案】C 【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】由分类计数加法原理计算即可． 【详解】若未被选中，则有种安排方法， 若被选中，则有种安排方法， 故共有种安排方法， 故选：C． 2．（23-24高二下·上海·期中）一场晚会共有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，随机排序形成一个节目单，则节目单中前3个节目都是舞蹈节目的概率为： ． 【答案】 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、计算古典概型问题的概率 【分析】根据给定条件，利用排列计数问题，结合古典概率公式计算即得. 【详解】依题意，8个节目随机排列的所有可能结果有个， 前3个节目都是舞蹈节目的结果有， 所以节目单中前3个节目都是舞蹈节目的概率为. 故答案为： 3．（22-23高二下·上海浦东新·期中）A、B、C、D、E五名同学站成一排合影，若A不站在两端，B和C相邻，则不同的站队方式共有 种（用数字作答） 【答案】24 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】利用排列中的相邻问题捆绑法，特殊元素优先法即可求出结果. 【详解】因为B，C相邻，将B，C排在一起并看成一个整体，有种方法， A不站两端，有2种方法， D，E与BC，进行3个元素的全排列，有种方法， 故不同的站队方式共有种． 故答案为：24． 4．（22-23高二下·上海浦东新·期中）四人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过3次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有 种 【答案】6 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】经过3次传球回到甲手中，只需另外安排两人接第一次和第二次传球即可. 【详解】因为四人传球，由甲开始发球，经过3次传球回到甲手中， 只需从其余三人中安排两人分别接第一次和第二次传球， 共有种不同的传递方式． 故答案为：. 5．（23-24高二下·新疆克拉玛依·期中）H城市某段时间内发放的汽车牌照号码由1个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同，这样的牌照号码共有 种.（符号表示即可） 【答案】 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】先排字母再利用排列安排数字，利用分步乘法原理即可求解. 【详解】因为汽车牌照号码中的第一个是英文字母，所以此处共有26（种）排法， 又因为英文字母后接4个数字且4个数字互不相同， 所以共有（种）排法， 根据分步乘法计数原理，这样的牌照号码共有（种）. 故答案为： 题型十四、间接法（共5小题） 1．（2024·浙江金华·一模）从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有 种 【答案】16 【知识点】写出某事件的对立事件、实际问题中的组合计数问题 【分析】由组合数公式计算出所有选法，减去三个数都不相邻的选法即可. 【详解】从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，共有种选法， 其中三个数都不相邻的，有135，136，146，246这4种， 所以至少有两个数为相邻整数的选法有20-4=16种. 故答案为：16 2．（23-24高二下·广西·期中）百色起义纪念馆、红军长征突破湘江烈士纪念碑园、红军长征湘江战役纪念馆、东兰红色旅游区是广西著名的红色旅游景点，某旅游博主准备分4次分别去这4个景点旅游，则百色起义纪念馆不在最后1次去的方法总数为 ．（用数字作答） 【答案】18 【知识点】排列组合综合、全排列问题 【分析】利用间接法即可求解. 【详解】百色起义纪念馆最后1次的方法共有， 故百色起义纪念馆不在最后1次去的方法总数为． 故答案为：18 3．（2024·贵州遵义·二模）某校开展劳动技能比赛，高三（1）班有3名男生，5名女生报名参赛，现从8名同学中选4名同学代表班级参加比赛，要求男女生各至少1人，则不同的选派方案共有 种． 【答案】65 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】利用组合计数问题，结合排除法列式计算即得. 【详解】从8名同学中任选4名，有种方法，其中全是女生的选法有种， 所以不同的选派方案共有（种）. 故答案为：65 4．（24-25高三·上海·随堂练习）某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为 ． 【答案】36 【知识点】排列数的计算、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】采用捆绑法和间接法即可求解. 【详解】先将语文与化学捆绑在一起，作为一个元素，再将四个元素全排， 再减去数学排第一节的排法即可， 即不同排法的种数为． 故答案为：36. 5．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音阶，排成一个没有重复音阶的五音音序，且商、角、徵不全相邻，则可排成的不同音序有 种.（用数字作答） 【答案】84 【知识点】排列数的计算、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】由捆绑法、间接法即可求解. 【详解】这五个音阶的全排列数为， 若商、角、徵全相邻，则由捆绑法可知，共有种排法， 故由间接法可知，满足题意的排法数有种. 故答案为：84. 题型十五、分配问题（共5小题） 1．（23-24高二下·上海·期中）从2男4女中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆1人，且至少有1位男生入选，不同的安排方法有 种. 【答案】96 【知识点】分组分配问题 【分析】先按男生数量分类，再分配计算即可. 【详解】若选一男两女：种； 若选两男一女：种； 所以一共种， 故答案为：96. 2．（23-24高二下·上海·期中）建平中学“9.30”活动需要4个不同节目的志愿者服务队，有7名志愿者被分配到这4个服务队，7人中有5名高二学生和2名高一学生，1名高一学生至少需要1名高二学生进行工作的传授，每个服务队至少需要1名高二学生，且2名高一学生不能分配到同一个服务队，则不同的分配方案种数是 . 【答案】 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分组分配问题 【分析】先把5名高二学生分为人数为的四组，再分到4个不同节目的志愿者服务队，然后把2名高一学生分配到4个不同节目的志愿者服务队中的2个，由乘法原理计算可得． 【详解】根据题意，可先把5名高二学生分为人数为的四组，再分到4个不同节目的志愿者服务队，共有种分法， 然后把2名高一学生分配到4个不同节目的志愿者服务队中的2个，有种分法， 所以共有种不同的分配方案. 故答案为： 3．（23-24高二下·上海·期中）为庆祝70周年校庆，学校开设三门校史课程培训，现有甲､乙､丙､丁､戊､己六位同学报名参加学习，每位同学仅报一门，每门课至少有一位同学报名，则不同报名方法有 种. 【答案】540 【知识点】分组分配问题 【分析】将甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学分为三组，确定每组的人数，然后将这三组同学分配给三门校史课程培训，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】将甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学分为三组， 每组人数分别为4、1、1或3、2、1或2、2、2， 然后将这三组同学分配给三门校史课程培训， 由分步计数原理可知，不同的报名方法种数为 故答案为：540. 4．（23-24高三上·上海闵行·期中）四名志愿者到3个小区开展防诈骗宣传活动，向社区居民普及防诈骗、反诈骗的知识．每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有 （用数字作答） 【答案】 【知识点】分组分配问题 【分析】先分组，再分配，先将四名志愿者分为、、三组，再安排到个小区. 【详解】将四名志愿者分为、、三组，再安排到个小区，则有种安排方法. 故答案为： 5．（22-23高二下·上海青浦·期中）某同学有4本相同的小说书，1本散文书．从中取出4本书送给4个朋友，每人1本，则不同的赠法有 种 【答案】 【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题 【分析】根据题意，分为选出的4本书都是相同的小说书和选出的4本书中3本相同的小说和1本散文书，两种情况，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】若选出的4本书都是相同的小说书时，此时只有1中赠法； 若选出的4本书中3本相同的小说和1本散文书时，有4中不同的赠法， 由分类计数原理得，共有种不同的赠法. 故答案为：. 题型十六、涂色问题（共5小题） 1．（24-25高三下·上海·阶段练习）如图，一个区域分为5块，现给每块着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．若有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．    【答案】72 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题 【分析】利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，按照颜色分类，用3种颜色与用4种颜色分为两类计算即可得结论. 【详解】按照使用颜色的种灶分为两类： 第一类，使用了4种颜色，此时2，4同色或3，5同色，则共有， 第二类，使用了三种颜色，此时2，4同色且3，5同色，则共有， 所以共有种. 故答案为：. 2．（22-23高二下·山东聊城·期中）“奥帆之都”青岛，具有现代时尚都市感的同时，更注重里院文化的传承与保护，为建设“建筑可阅读、街道可漫步、文化可传承、城市可记忆”的“最青岛”，市南区举办了“上街里，逛春天，百米长卷绘老城”活动.一位同学在活动中负责用5种不同颜色给如图所示的图标上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有 种不同的涂法? 【答案】180 【知识点】涂色问题 【分析】按照②、④不同色和②、④同色，分两类计数再相加，可得结果. 【详解】当②、④不同色时，有种涂色方案； 当②、④同色时，有种涂色方案， 根据分类加法计数原理可得共有种涂色方案. 故答案为：. 3．（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有 种不同的方法．    【答案】420 【知识点】分类加法计数原理、涂色问题 【分析】利用分类计数原理求解，按2与4两区域种植果树是否相同进行分类即可. 【详解】分两类情况： 第一类：2与4种同一种果树， 第一步种1区域，有5种方法； 第二步种2与4区域，有4种方法； 第三步种3区域，有3种方法； 最后一步种5区域，有3种方法， 由分步计数原理共有种方法； 第二类：2与4种不同果树， 第一步在1234四个区域，从5种不同的果树中选出4种果树种上， 是排列问题，共有种方法； 第二步种5号区域，有2种方法， 由分步计数原理共有种方法. 再由分类计数原理，共有种不同的方法. 故答案为：420. 4．（23-24高二下·广西河池·阶段练习）现有5种不同的农作物可供下图中的4块地种植，每一块地种一种农作物，且相邻的两块地种的农作物不能相同，若最多使用3种农作物，则不同的种植方法数为 . 【答案】 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题 【分析】分用2种农作物和3种农作物两种情况求解. 【详解】若只用2种农作物，则种植方法数有， 若用3种农作物，先从5种不同的农作物选3种农作物，有种方法， 第一块地有3种种植方法，第二块地有2种种植方法， 若第三块地与前两块地种不同作物，则第四块地有2种种植方法， 若第三块地与第一块地种种相同作物，则第四块地只有1种种植方法， 则种植方法数有， 所以总共有种种植方法. 故答案为：. 5．（23-24高二下·山东泰安·阶段练习）如图所示，用4种不同的颜色分别给，，，四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有 种． 【答案】48 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】通过适当分步，结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】事件给4个区域涂色可分为4步完成， 第一步，给A区域涂色，有4种颜色可选； 第二步，给B区域涂色，有3种颜色可选； 第三步，给C区域涂色，有2种颜色可选； 第四步，给D区域涂色，由于D区域可以重复使用区域B中已有过的颜色，故也有2种颜色可选． 由分步计数原理知，共有（种）涂色方法． 故答案为：. 题型十七、二项展开式的第项（共4小题） 1．（22-23高二下·上海杨浦·期中）在的二项展开式中，第3项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】写出二项展开式的通项，即可得出答案. 【详解】因为，的二项展开式的通项为，， 所以，第3项为. 故选：A. 2．（23-24高二下·上海·期中）的二项展开式中的常数项为 ．（结果用数字表示） 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】由通项公式，令即可求得，代入即可得解. 【详解】， 由得， 所以常数项为. 故答案为： 3．（23-24高二下·上海·期中）在的二项展开式中，第四项是 ． 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】利用二项式定理可求得展开式第四项. 【详解】在的二项展开式中，第四项是 故答案为： 4．（23-24高三上·上海浦东新·期中）的展开式的第8项的系数为 （结果用数值表示）. 【答案】960 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】根据二项式定理求出展开式中的第8项，由此即可求解． 【详解】因为，展开式的第8项为， 所以，的展开式的第8项的系数为960. 故答案为：960 题型十八、二项式系数（和）（共5小题） 1．（23-24高二下·上海·期中）已知的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，则 ． 【答案】14 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质求出. 【详解】由的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，得的展开式共有15项， 所以. 故答案为：14 2．（23-24高二下·北京通州·期中）若展开式中第五项与第六项的二项式系数相等且最大，则 ；该展开式的常数项为 （结果用数字表示）． 【答案】 9 84 【知识点】求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值 【分析】利用二项式系数的性质求出，再求出二项式的展开式的通式，令的指数为0即可求解． 【详解】展开式中第五项与第六项的二项式系数相等且最大， 所以， 所以通项为， 令，解得， 所以常数项为， 故答案为：9；84． 3．（23-24高二下·江苏扬州·期中）若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则的值为 . 【答案】8 【知识点】二项式系数的增减性和最值、二项展开式的应用 【分析】根据二项式定理的二项式系数的单调性和对称性特征即可解决． 【详解】若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式有9项，则． 故答案为：8. 4．（23-24高二下·广东东莞·期中）的展开式的二项式系数的和等于64，则展开式中含有项的系数为 . 【答案】240 【知识点】求指定项的系数、二项式的系数和 【分析】首先求出，再求出二项展开式的通式，合理赋值即可. 【详解】二项式系数之和，解得， 则其二项展开式的通项为， 令，解得，则展开式中含有项的系数为. 故答案为：240. 5．（23-24高二下·重庆·阶段练习）在二项式的展开式中，奇数项的二项式系数的和为，则 . 【答案】15 【知识点】二项式的系数和 【分析】在二项式的展开式中，奇数项的二项式系数的和为，由此可得. 【详解】因为在二项式的展开式中，奇数项的二项式系数的和为， 所以，解得. 故答案为：. 题型十九、系数和，系数最值（共5小题） 1．（24-25高三上·上海杨浦·期中）在二项式的展开式中，前三项的系数依次成 数列．（填写“等差”或“等比”） 【答案】等差 【知识点】判断等差数列、求指定项的系数 【分析】根据二项展开式写出前三项的系数，再由等差数列的定义即可判断. 【详解】由二项展开式知，前三项的系数分别为， 所以前三项的系数依次成等差数列. 故答案为：等差. 2．（24-25高三上·上海奉贤·期中）二项式的展开式中，常数项为 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【分析】先求出二项式的通项公式，令x的指数为0即可求解. 【详解】由题得二项式通项公式为：， 令， 所以二项式的展开式中，常数项为. 故答案为：. 3．（24-25高三上·上海闵行·期中）若，则的值为 ． 【答案】9 【知识点】求指定项的系数 【分析】利用二项式定理直接计算即可. 【详解】， ， 所以. 故答案为：9 4．（23-24高二下·上海·期中）已知（n是正整数），，则 . 【答案】32 【知识点】组合数的计算、二项展开式各项的系数和 【分析】根据列式即可求出，观察原式特点，取，右侧关于的系数全为1，从而两边取进而得解. 【详解】因为， 所以， 解得，. 令得， ， 故， 故答案为：32. 5．（23-24高二下·上海·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据题意，结合展开式的通项公式，即可求解的值，得到答案. 【详解】展开式的通项公式为，， 所以展开式中的值为. 故答案为：. 题型二十、两个二项展开式，三项展开式系数问题（共5小题） 1．（23-24高二下·江苏徐州·期中）展开式中含项的系数是 ． 【答案】800 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】根据题意可知或，结合二项式定理分析求解. 【详解】因为或， 可知展开式中含项为， 所以展开式中含项的系数是800. 故答案为：800. 2．（23-24高二下·江苏南京·期中）的展开式中项的系数为 ． 【答案】30 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】利用多项式乘法法则，结合组合应用问题列式计算即得. 【详解】表示5个多项式相乘，展开式中项是上述5个多项式取2个用， 余下3个再取2个用，最后1个用1相乘的积，因此该项为， 所以的展开式中项的系数为30. 故答案为：30 3．（23-24高二下·河南·阶段练习）在的展开式中，项的系数是 ． 【答案】 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】分析可知在个因式中，需个因式选，个因式选，其余的因式选，由组合数可求得结果. 【详解】表示个因式的乘积， 若要得到，则需个因式选，个因式选，其余的因式选， 所以的项为， 所以项的系数是. 故答案为：. 4．（23-24高二下·山东青岛·期中）的展开式中的系数为 （用数字作答） 【答案】 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】利用二项式定理即可求解. 【详解】由题可知， 所以展开式的通项公式为， 所以的展开式中的项为， 的展开式中的项为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为：. 5．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】的通项公式为， 当时，，当时，， ， 故的展开式中的系数为． 故答案为： $$专题01 高二下学期期中真题精选 (沪教版2020选择性必修第二册第5章 导数及其应用+第6章 计数原理) （常考20大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 导数的定义（易错） · 题型二 借助导数求切线（易错） · 题型三 导数的四则运算 · 题型四 利用导数求函数（不含参）的单调区间 · 题型五 由函数在区间上的单调性求参数（高频） · 题型六 函数与导数图象之间的关系（易错） · 题型七 函数的极值问题（重点） · 题型八 函数的最值问题（重点） · 题型九 两个计数原理综合（难点） · 题型十 排列数与组合数的计算（重点） · 题型十一 组合数的性质应用（易错） · 题型十二 相邻与不相邻问题（高频） · 题型十三 特殊元素（位置）优先 · 题型十四 间接法（难点） · 题型十五 分配问题（重点） · 题型十六 涂色问题 · 题型十七 二项展开式的第项（高频） · 题型十八 二项式系数（和）（重点） · 题型十九 系数和，系数最值（重点） · 题型二十 两个二项展开式，三项展开式系数问题（难点） 题型一、导数的定义（共5小题） 1．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则 ． 2．（24-25高三上·上海·期中）已知是定义在上的可导函数，若，则 . 3．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，若，则 . 4．（23-24高二下·上海·期中）已知函数在处的切线斜率为，且，则 . 5．（24-25高三上·上海·期中）若函数在处的导数等于，则的值为（    ） A．0 B． C．a D． 题型二、借助导数求切线（共5小题） 1．（24-25高三上·上海松江·期中）曲线在点处的切线方程是 ． 2．（24-25高三上·上海·期中）曲线在点处的切线是 .（一般式方程） 3．（24-25高三上·上海松江·期中）已知，则曲线在点处切线的倾斜角是 . 4．（24-25高三上·上海·期中）若直线与曲线相切，则实数的值为 . 5．（23-24高二下·上海·期中）曲线在点处的切线方程为 . 题型三、导数的四则运算（共5小题） 1．（23-24高二下·上海·期中）若函数，则其导函数 . 2．（23-24高二下·上海·期中）函数的导函数为 . 3．（23-24高二下·上海·期中）已知，则 ． 4．（23-24高二下·上海·期中）设函数，则 . 5．（22-23高二下·上海闵行·期中）已知函数，则的导数 . 题型四、利用导数求函数（不含参）的单调区间（共4小题） 1．（23-24高二下·上海·期中）若，则的减区间是 ． 2．（23-24高二下·上海松江·期中）函数的严格增区间是 . 3．（23-24高二下·上海·期中）函数的严格递减区间是 . 4．（23-24高二下·上海·期中）已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 题型五、由函数在区间上的单调性求参数（共5小题） 1．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，且在上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是 . 2．（23-24高二下·上海·期中）若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围为 ． 3．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知函数在定义域上不单调，则正整数的最小值是 . 4．（24-25高三上·上海·期中）已知是定义域为R的函数，，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·上海·期中），均有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型六、函数与导数图象之间的关系（共5小题） 1．（24-25高三上·上海·期中）函数是定义在上的偶函数，其图像如下图所示，满足，设 是的导函数，则关于的不等式的解集是 . 2．（24-25高三上·上海嘉定·期中）函数的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为 . 3．（23-24高二下·上海·期中）已知函数的定义域为，为其导函数，函数的图象如图所示，且，，则不等式的解集为 ． 4．（23-24高二下·上海·期中）设函数可导，的导函数的图像如下图所示，则下面判断正确的是 ．（将所有正确的结论序号填在横线上） ①在区间上是增函数 ②在区间上是减函数 ③在区间上是增函数 ④当时，取极大值 ⑤是的一个驻点 5．（23-24高二下·上海闵行·期中）函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是 ． ①是函数的极值点；               ②是函数的最小值点； ③是函数的极小值点；             ④在区间上单调递增 ⑤在处切线的斜率大于零；       ⑥是函数的驻点也是极值点． 题型七、函数的极值问题（共5小题） 1．（24-25高三上·上海·期中）设.若是函数的极大值点，则 . 2．（23-24高二下·上海·期中）正项等比数列中，与是的两个极值点，则 . 3．（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数. (1)求函数在上的单调减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个极大值点，求实数的取值范围. 4．（24-25高二上·上海·期中）解答下列问题： (1)求函数的极小值； (2)若，函数为上严格增函数，求实数的取值范围； (3)已知，，且只有一个极大值点，求实数的取值范围. 5．（23-24高二下·上海闵行·期中）已知函数， (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)设函数，求证：当实数时，函数在处取得极小值． 题型八、函数的最值问题（共5小题） 1．（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数为奇函数，则函数在上的最小值为 . 2．（23-24高二下·上海闵行·期中）函数的最小值为 ． 3．（24-25高三上·上海·期中）记函数在区间上的最大值为，最小值为，则（    ） A．2 B． C． D． 4．（23-24高二下·上海·期中）已知函数，其图象在点处的切线方程为. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最值. 5．（23-24高二下·上海·期中）已知函数 (1)求函数在点处的切线方程； (2)求的最小值. 题型九、两个计数原理综合（共5小题） 1．（24-25高三上·上海·期中）在1，2，3，4，5的所有排列 中，满足条件 的排列个数为 ． 2．（24-25高三上·上海杨浦·期中）班级4名学生报名参加两项区学科竞赛，每人至少报一项，每项比赛参加的人数不限，则不同的报名结果有 种．（结果用具体数字表示） 3．（24-25高二上·上海奉贤·期中）在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成 个平行四边形． 4．（24-25高三上·上海·期中）若三个正整数a，b，c的位数之和为8，且组成a，b，c的8个数码能排列为2，0，2，5，0，6，0，7，则称（a，b，c）为“幸运数组”，例如（7，6，202500）是一个幸运数组.则满足的幸运数组（a，b，c）的个数为 . 5．（23-24高二下·上海·期中）2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣.  若甲、乙、丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有 种 题型十、排列数与组合数的计算（共5小题） 1．（24-25高二上·上海浦东新·期中）若，则 . 2．（23-24高二下·上海·期中）关于的方程的正整数解是 3．（22-23高二下·上海嘉定·期中）满足方程 的x的值为 ． 4．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知（），则 . 5．（25-26高三上·上海·期中）求证：． 题型十一、组合数的性质应用（共5小题） 1．（23-24高二下·上海·期中）已知，则正整数 ． 2．（22-23高二下·上海浦东新·期中） . 3．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，则正整数 . 4．（21-22高二下·上海浦东新·期中）已知，则m= . 5．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知（），则 . 题型十二、相邻与不相邻问题（共5小题） 1．（23-24高三上·上海浦东新·期中）夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个项目，为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查，则不同的检查方案一共有 种. 2．（23-24高二下·上海闵行·期中）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法种数 ．（用数字作答） 3．（23-24高二下·上海·期中）某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有（    ） A．120种 B．240种 C．216种 D．256种 4．（22-23高二下·上海长宁·期中）班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单； (1)3个中唱歌节目要排在一起，有多少种排法？ (2)相声节目不排在第一个节目，魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ 5．（24-25高二上·上海·期中）班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单. (1)魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ (2)3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法? 题型十三、特殊元素（位置）优先（共5小题） 1．（22-23高二下·北京延庆·期中）现要从这5人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？（    ） A．300 B．120 C．96 D．72 2．（23-24高二下·上海·期中）一场晚会共有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，随机排序形成一个节目单，则节目单中前3个节目都是舞蹈节目的概率为： ． 3．（22-23高二下·上海浦东新·期中）A、B、C、D、E五名同学站成一排合影，若A不站在两端，B和C相邻，则不同的站队方式共有 种（用数字作答） 4．（22-23高二下·上海浦东新·期中）四人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过3次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有 种 5．（23-24高二下·新疆克拉玛依·期中）H城市某段时间内发放的汽车牌照号码由1个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同，这样的牌照号码共有 种.（符号表示即可） 题型十四、间接法（共5小题） 1．（2024·浙江金华·一模）从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有 种 2．（23-24高二下·广西·期中）百色起义纪念馆、红军长征突破湘江烈士纪念碑园、红军长征湘江战役纪念馆、东兰红色旅游区是广西著名的红色旅游景点，某旅游博主准备分4次分别去这4个景点旅游，则百色起义纪念馆不在最后1次去的方法总数为 ．（用数字作答） 3．（2024·贵州遵义·二模）某校开展劳动技能比赛，高三（1）班有3名男生，5名女生报名参赛，现从8名同学中选4名同学代表班级参加比赛，要求男女生各至少1人，则不同的选派方案共有 种． 4．（24-25高三·上海·随堂练习）某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为 ． 5．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音阶，排成一个没有重复音阶的五音音序，且商、角、徵不全相邻，则可排成的不同音序有 种.（用数字作答） 题型十五、分配问题（共5小题） 1．（23-24高二下·上海·期中）从2男4女中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆1人，且至少有1位男生入选，不同的安排方法有 种. 2．（23-24高二下·上海·期中）建平中学“9.30”活动需要4个不同节目的志愿者服务队，有7名志愿者被分配到这4个服务队，7人中有5名高二学生和2名高一学生，1名高一学生至少需要1名高二学生进行工作的传授，每个服务队至少需要1名高二学生，且2名高一学生不能分配到同一个服务队，则不同的分配方案种数是 . 3．（23-24高二下·上海·期中）为庆祝70周年校庆，学校开设三门校史课程培训，现有甲､乙､丙､丁､戊､己六位同学报名参加学习，每位同学仅报一门，每门课至少有一位同学报名，则不同报名方法有 种. 4．（23-24高三上·上海闵行·期中）四名志愿者到3个小区开展防诈骗宣传活动，向社区居民普及防诈骗、反诈骗的知识．每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有 （用数字作答） 5．（22-23高二下·上海青浦·期中）某同学有4本相同的小说书，1本散文书．从中取出4本书送给4个朋友，每人1本，则不同的赠法有 种 题型十六、涂色问题（共5小题） 1．（24-25高三下·上海·阶段练习）如图，一个区域分为5块，现给每块着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．若有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．    2．（22-23高二下·山东聊城·期中）“奥帆之都”青岛，具有现代时尚都市感的同时，更注重里院文化的传承与保护，为建设“建筑可阅读、街道可漫步、文化可传承、城市可记忆”的“最青岛”，市南区举办了“上街里，逛春天，百米长卷绘老城”活动.一位同学在活动中负责用5种不同颜色给如图所示的图标上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有 种不同的涂法? 3．（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有 种不同的方法．    4．（23-24高二下·广西河池·阶段练习）现有5种不同的农作物可供下图中的4块地种植，每一块地种一种农作物，且相邻的两块地种的农作物不能相同，若最多使用3种农作物，则不同的种植方法数为 . 5．（23-24高二下·山东泰安·阶段练习）如图所示，用4种不同的颜色分别给，，，四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有 种． 题型十七、二项展开式的第项（共4小题） 1．（22-23高二下·上海杨浦·期中）在的二项展开式中，第3项为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海·期中）的二项展开式中的常数项为 ．（结果用数字表示） 3．（23-24高二下·上海·期中）在的二项展开式中，第四项是 ． 4．（23-24高三上·上海浦东新·期中）的展开式的第8项的系数为 （结果用数值表示）. 题型十八、二项式系数（和）（共5小题） 1．（23-24高二下·上海·期中）已知的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，则 ． 2．（23-24高二下·北京通州·期中）若展开式中第五项与第六项的二项式系数相等且最大，则 ；该展开式的常数项为 （结果用数字表示）． 3．（23-24高二下·江苏扬州·期中）若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则的值为 . 4．（23-24高二下·广东东莞·期中）的展开式的二项式系数的和等于64，则展开式中含有项的系数为 . 5．（23-24高二下·重庆·阶段练习）在二项式的展开式中，奇数项的二项式系数的和为，则 . 题型十九、系数和，系数最值（共5小题） 1．（24-25高三上·上海杨浦·期中）在二项式的展开式中，前三项的系数依次成 数列．（填写“等差”或“等比”） 2．（24-25高三上·上海奉贤·期中）二项式的展开式中，常数项为 3．（24-25高三上·上海闵行·期中）若，则的值为 ． 4．（23-24高二下·上海·期中）已知（n是正整数），，则 . 5．（23-24高二下·上海·期中）已知，则的值为 ． 题型二十、两个二项展开式，三项展开式系数问题（共5小题） 1．（23-24高二下·江苏徐州·期中）展开式中含项的系数是 ． 2．（23-24高二下·江苏南京·期中）的展开式中项的系数为 ． 3．（23-24高二下·河南·阶段练习）在的展开式中，项的系数是 ． 4．（23-24高二下·山东青岛·期中）的展开式中的系数为 （用数字作答） 5．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若的展开式中的系数为 ．（用数字作答） $$