第08讲 二项式定理（3大知识点+8大必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第二册）

第08讲 二项式定理 课程标准 学习目标 ①理解二项式定理的概念，会用二项式定理求解二项展开式。 ②掌握二项式系数的规律和指数的变化规律。 ③掌握多项式展开式的通项及特殊项或系数。 ④理解二项式系数的性质。 ⑤会用赋值法求展开式系数的和。 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识点01二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 【即学即练1】（22-23高二下·上海浦东新·期中） . 【答案】 【知识点】二项展开式的应用 【分析】利用二项式定理即可得解. 【详解】原式. 故答案为：. 知识点02 二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 【即学即练2】（22-23高二下·上海青浦·期中）二项式的展开式中，有理项有（    ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】二项展开式的应用、求有理项或其系数 【分析】先写出展开式的通项，进而即可得出满足的条件，即可得出答案. 【详解】二项式展开式的通项为 ，. 所以，当为偶数时，该项为有理项，即，共7项. 故选：C. 知识点03二项式系数的性质 对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 与最 大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 【即学即练3】（24-25高二上·上海徐汇·期末）在二项式的展开式中： (1)若，求 (2)若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) 【知识点】二项展开式各项的系数和、求系数最大（小）的项、二项式的系数和 【分析】（1）把代入，利用赋值法求得答案. （2）由二项式系数性质求出，求出展开式的通项公式，列出不等式求出系数最大项. 【详解】（1）当时，， 取，得，取，得， 所以. （2）由所有项的二项式系数和等于4096，得，解得， 二项式展开式的通项公式， 令展开式中系数最大的项是第项，则， 整理得，解得，而，因此， 所以展开式中系数最大的项 题型一：求二项展开式的第k项 1.（23-24高二下·上海·期中）的二项展开式中的常数项为 ．（结果用数字表示） 【答案】 【分析】由通项公式，令即可求得，代入即可得解. 【详解】， 由得， 所以常数项为. 故答案为： 2.（23-24高三上·上海浦东新·期中）的展开式的第8项的系数为 （结果用数值表示）. 【答案】960 【分析】根据二项式定理求出展开式中的第8项，由此即可求解． 【详解】因为，展开式的第8项为， 所以，的展开式的第8项的系数为960. 故答案为：960 3.（24-25高二上·上海·期末）的二项展开式中的常数项为 ． 【答案】 【分析】利用二项式定理直接求出展开式的常数项. 【详解】二项式的展开式的常数项为. 故答案为： 4.（21-22高二上·上海静安·期末）求二项展开式中的常数项. 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项即可得出其常数项. 【详解】展开式的通项为：， 令，得， 所以常数项为：. 题型二：二项式的系数和 1.（23-24高二下·上海·期中） ． 【答案】0 【分析】利用二项式定理展开式合并即可. 【详解】 . 故答案为：0 2.（20-21高二下·上海宝山·期中）若，，则 . 【答案】 【分析】将代入，结合的值，求解代数式的值. 【详解】令，则，，则. 故答案为：. 3.（25-26高三上·上海·单元测试）若，则 . 【答案】-2 【分析】分别令，利用赋值法求解即可. 【详解】由 令，则，即； 令，则，即； . 故答案为：-2. 4.（24-25高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2048； (2)166650； (3)存在，这三个数为. 【分析】（1）利用二项式系数的性质求和即可； （2）利用的性质进行化简求和，得到答案； （3）设在第行存在三个相邻的数之比为3:8:14，从而得到方程组，求出答案. 【详解】（1）第11行的各数之和为； （2）杨辉三角中第2行到第100行，各行第3个数之和为 ； （3）存在，理由如下： 设在第行存在三个相邻的数，其中，且，， 之比为3:8:14， 故，化简得， 即，解得， 所以这三个数为 题型三：求指定项的系数 1.（24-25高三上·上海·期中）二项式的展开式中含项的系数为 ． 【答案】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令得，，所以展开式中的系数为. 故答案为：. 2.（23-24高二下·上海·期中）用1､2､3､4､5组成没有重复数字的五位数，若满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是 .（用数字作答） 【答案】56 【分析】首先根据排列组合的方式，确定符合条件的五位数有6个，再根据二项式定理，确定含项的系数． 【详解】由五位数需满足可知，， 再从2，3，4，5中任取两个数，大数是，小数是，剩下两个数按照大小分别是，． 故能组成个这样的五位数，则． 则在的展开式中，含项系数为． 故答案为：． 3.（24-25高三上·上海·期中）在的展开式中，的系数为 （用数字作答）． 【答案】18 【分析】由二项式展开式的公式即可得到答案. 【详解】的展开式中第项为：， ∴令，即， ∴的系数为：18 故答案为：18 4.（24-25高三上·上海·期中）已知 ，若则实数的最大值为 . 【答案】23 【分析】为的系数，由二项式定理求得的系数，由，可得的不等关系，从而求得实数的最大值. 【详解】因为展开式中的系数为， 展开式中的系数为， 所以展开式中的系数为 . 要使，则为奇数，且， 所以，则， 所以的最大值为. 故答案为：. 题型四：二项展开式各项的系数和 1.（22-23高二下·上海·期中）若，则 ． 【答案】64 【分析】赋值令，即可求解． 【详解】令，则. 故答案为：64． 2.（22-23高二下·上海浦东新·期中）设，则 . 【答案】4096 【分析】采用赋值法，令即可求出结果. 【详解】令，则, 即， 故答案为：4096. 3.（22-23高二下·上海青浦·期中）二项式的展开式中，所有的系数之和为 【答案】 【分析】令，即可得出答案. 【详解】令， 即可得出二项式展开式中，所有项的系数之和为. 故答案为：. 4.（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 【答案】(1)9 (2)19682 【分析】（1）利用二项式展开式的通项公式即可求解； （2）利用赋值法，令求得所有项的系数和，再令得到，即可得出答案. 【详解】（1）二项式的展开式的通项公式为， 又，则令得：，解得：， 所以的值为. （2）由（1）得：， 令得：， 令得：， 则. 题型五：求系数最大（小）的项 1.（22-23高二上·上海杨浦·期末）在的二项展开式中，系数最大的项为 . 【答案】70 【分析】写出二项展开式的通项公式，得到当时，二项展开式的系数为正，求出各项，得到系数最大的项. 【详解】的二项展开式为， 显然当时，二项展开式的系数为正，当时，二项展开式的系数为负， 其中，，， 故系数最大的项为. 故答案为：70 2.（24-25高三上·上海·期中）在的二项展开式中，系数最小的项为 . 【答案】 【分析】根据二项展开公式直接计算可得出系数最小的项. 【详解】根据二项展开公式可得， ， 所以系数最小的项为 故答案为：. 3.（23-24高二上·上海·期末）（1）求的二项展开式的中间项； （2）若，且，求中的最大值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据二项展开式的项数确定中间项，再利用通项写出该项化简即可. （2）为的第三项的系数，列方程求出n，设第项的系数为，解不等式即可求得，则 中的最大值为. 【详解】（1）的二项展开式共有11项，所以中间项为第6项：. （2）因为， 所以，解得， 设第项的系数为，则，， ，令，解得， 可得：. 所以中的最大值为. 4.（23-24高二下·上海·期中）已知，，求： (1)的值； (2)的值； (3)的展开式中系数绝对值最大的项． 【答案】(1)19683 (2)118098 (3) 【分析】（1）由题意得，在所给条件等式中，令即可求解； （2）求导得，令即可求解； （3）的展开式中系数绝对值通项为，令，由此解出即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 在中，令，可得， . （2）令， 从而， 同样在上式中令，可得. （3）的展开式通项为， 从而的展开式中系数绝对值通项为， 设第项的系数绝对值最大， 则有，即， 也就是，解得，经检验符合题意， 所以此时，对应的项为. 题型六：奇次项与偶次项的系数和 1.（23-24高三上·上海普陀·期末）已知，则 （用数字作答）． 【答案】 【分析】根据题意，利用赋值法分别将和代入已知式子中，得到两个方程，由这两个方程化简整理，即可求出答案． 【详解】由， 令得，，① 令得，，② ①②得，， . 故答案为：. 2.（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知对任意给定的实数，都有.求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用赋值法求解，令可得结果； （2）利用赋值法求解，令可得结果； 【详解】（1）因为， 令，则； （2）令，则， 由（1）知， 两式相减可得. 3．（22-23高二上·上海松江·期中）（1）求的二项展开式中的常数项； （2）记的二项展开式中奇数项系数之和为，偶数项系数之和为，求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为0，求出，从而可求出常数项， （2）根据题意在中，令，可求出结果. 【详解】解：（1）的二项展开式的通项为， 令，得， 所以的二项展开式中的常数项为； （2） 因为的二项展开式中奇数项系数之和为，偶数项系数之和为， 所以在中，令，得 4．（21-22高二下·上海黄浦·期末）的展开式中，把叫做三项式的次系数列． (1)求的值； (2)根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如．理解上述思想方法，利用方程，请化简：． 【答案】(1)14； (2). 【分析】（1）利用赋值法，分别令和，再将得的式子相加可求得结果； （2）由题意得，再求出和的展开式，由于，比较的系数可得答案． 【详解】（1）当时，， 令，则， 令，则， 两式相加得， 所以. （2）因为， ， 因此展开式中，的系数为： ， 因为展开式的通项公式为， 令，得，从而展开式中的系数为， 而， 所以. 题型七：三项展开式的系数问题 1.（21-22高二下·上海杨浦·期末）在的展开式中，项的系数为 . 【答案】 【分析】分析包含于中的哪一项，再应用对应项展开式通项求项的系数. 【详解】由题设，展开式通项可写为， 而项中的指数为0，故项包含于， 所以， 则有. 故答案为： 2.（23-24高二下·上海宝山·期末）设，其中n是正整数，a为正实数． (1)设，若展开式中含项的系数与含的系数相等，求展开式中的常数项； (2)设，，求展开式中系数最大项的系数（保留组合数以及2的幂）． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当时,,由展开式中含项的系数与含的系数,可求得,进而可求得展开式中的常数项; （2）当时,,其通项,设第项的系数最大,列不等式求解即可. 【详解】（1）当时,, 其二项展开式的通项为, 展开式中含项的系数与含的系数相等, 又 , 展开式中的常数项为. （2）当时，, 其通项. 设第项的系数最大， 则， 整理得, 解得, 或. 经检验,. 展开式中系数最大项的系数为：或. 题型八：两个二项式乘积展开式的系数问题 1.（23-24高二下·上海·期末）在的展开式中，项的系数为 . 【答案】 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为，， 所以的展开式中含的项为， 所以项的系数为. 故答案为： 2.（24-25高二上·上海·期末）的展开式中，项的系数为 . 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】由于的展开式通项为， 故的展开式中，含的项为 ， 故的系数为， 故答案为： 3.（21-22高二下·上海长宁·期末）已知的二项展开式中，二项式系数之和为64. (1)求n的值； (2)求的展开式中的常数项. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由二项式系数和有，即可求n； （2）由（1）写出的展开式通项，进而确定原多项式的常数项即可. 【详解】（1）由题设，故. （2）由（1）知：，而的展开式通项为， 所以常数项为. 4.（23-24高二下·上海·期末）已知的二项展开式中各项的二项式系数和为64. (1)求二项展开式的中间项； (2)求展开式中的常数项. 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）根据二项展开式中各项的二项式系数求出n的值，再结合展开式的通项，即可求得答案； （2）求出展开式中的常数项以及项，即可求得答案. 【详解】（1）由的二项展开式中各项的二项式系数和为64， 得， 的通项为， 二项展开式的中间项为第4项，即； （2）结合（1）可得的常数项为， 展开式中的项为， 展开式中的常数项为. 一、单选题 1．（22-23高二下·上海杨浦·期中）在的二项展开式中，第3项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出二项展开式的通项，即可得出答案. 【详解】因为，的二项展开式的通项为，， 所以，第3项为. 故选：A. 2．（23-24高二下·上海·期中）“的二项展开式中的系数为80”是“或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用二项式定理求出展开式中的系数，再根据充分条件和必要条件的定义判断可得答案. 【详解】因为的展开式中的系数为， 所以或， 所以“的二项展开式中的系数为”是“或”的充要条件. 故选：C. 3．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知的二项展开式中，第项与第项的系数相等，则所有项的系数之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二项式定理求得的展开通项，从而利用与的系数相等得到关于的方程，进而求得的值，由此得解. 【详解】因为的展开通项为 又因为第项与第项的系数相等，所以， 由二项式系数的性质知，则，故， 所以的二项展开式中所有项的系数之和为. 故选：C. 4．（22-23高二下·上海长宁·期末）二项式的展开式中，系数最大项的是（    ） A．第项 B．第项和第项 C．第项 D．第项 【答案】A 【分析】根据该展开式中项的系数与二项式系数的关系，结合二项式中最大系数的项，分析中间的两项即可． 【详解】由二项展开式的通项公式， 可知系数为，与二项式系数相比只是符号的区别， 二项式系数最大的项为第项和第项， 又由第项系数为， 第项系数为， 故系数最大项为第项. 故选：A. 二、填空题 5．（23-24高二下·上海·期中）在的展开式中，含项的系数是 . 【答案】160 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】由， 由，可得． 在的展开式中，含项的系数是. 故答案为：160 6．（24-25高三上·上海嘉定·期中）在的展开式中系数最大的项为 . 【答案】 【分析】根据二项展开式，求出项的系数，即可求出系数最大的项. 【详解】的二项展开式的通项为, 其项的系数为，故当为偶数时，项的系数才有可能最大， 当时，项的系数分别为, 故系数最大的项为, 故答案为： 7．（23-24高二下·上海·期中）今天星期三，再过1天是星期四，那么再过天是星期 . 【答案】天(或日) 【分析】首先由，再利用二项展开式即可得解. 【详解】由 ， 所以除余，所以再过天是星期天. 故答案为：天（或日）. 8．（23-24高二下·上海·期中）已知的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，则 ． 【答案】14 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质求出. 【详解】由的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，得的展开式共有15项， 所以. 故答案为：14 9．（23-24高二下·上海闵行·期末）设，若，且，则 ． 【答案】56 【分析】分析可知是二项式系数最大的唯一一项，由二项式系数的性质可得，即可得结果. 【详解】因为， 可知， 若，且，则是二项式系数最大的唯一一项，则， 所以. 故答案为：56. 10．（23-24高三上·上海虹口·期中）已知常数，在的二项展开式中的常数项为15，设，则 ． 【答案】-31 【分析】 先求出，再由二项式的展开式进行求解即可. 【详解】解：的展开式为：， 令，得， 则，因为，所以， 则的展开式为：， 得，， 则， 故答案为：-31. 11．（23-24高二下·上海·期中）已知（n是正整数），，则 . 【答案】32 【分析】根据列式即可求出，观察原式特点，取，右侧关于的系数全为1，从而两边取进而得解. 【详解】因为， 所以， 解得，. 令得， ， 故， 故答案为：32. 12．（23-24高二下·上海宝山·期末）设（m、n为正整数）对任意实数x都成立，若，则的最小值为 . 【答案】25 【分析】利用组合数公式，表示和，再结合条件转化为二次函数求最值. 【详解】， 则， ，， 当或6时，的最小值是25. 故答案为：25 13．（21-22高二下·上海松江·期末）已知，则 ． 【答案】. 【分析】利用换元法将条件变为，再结合二项定理即可求得答案. 【详解】解：令， 则， 所以条件可整理为：， 所以. 故答案为：. 14．（23-24高三上·上海虹口·期中）已知，若存在使得，则k的最大值为 ． 【答案】1011 【分析】根据二项展开式的通项可得，讨论的奇偶性，结合分析求解即可. 【详解】二项式的通项为， 二项式的通项为， 所以，， 若，则有： 当为奇数时，此时，即， 则，可得， 又因为为奇数，所以的最大值为1011； 当为偶数时，此时，不合题意； 综上所述：的最大值为1011. 故答案为：1011. 15．（23-24高三上·上海·期中）已知，其中，若，，则实数的最大值为 ． 【答案】23 【分析】为的系数，由二项式定理求得的系数，由，可得的不等关系，从而求得实数的最大值. 【详解】因为展开式中的系数为， 展开式中的系数为， 所以展开式中的系数为 . 要使，则为奇数，且， 所以，则，则的最大值为. 故答案为：. 16．（23-24高二下·上海·期中）对一个量用两种方法各算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”方法，已知，考察展开式中的系数，并据此化简： . 【答案】 【分析】利用二项式定理的通项公式列方程求解即可. 【详解】等式两边含的系数是相同的， 则, 即. 故答案为： 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·期末）已知，其中，为正整数. (1)若，求的值； (2)若，且，，依次成等差数列，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用赋值法即可求解， （2）根据展开式的通项特征，结合等差中项可列方程求解，即可求解. 【详解】（1）时，， 令，则 （2）的展开式的通项为， 故 根据，，依次成等差数列，得 故， 解得或（舍去）， 因此 18．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知实数，在的二项展开式中. (1)求项的系数； (2)若第三项不大于第五项，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据题意可得通项为，令，运算求解即可； （2）由（1）可得：，，根据题意列式求解即可. 【详解】（1）的二项展开式的通项为， 令，解得， 所以项的系数为. （2）由（1）可得：，， 由题意可知：，且，解得， 所以的取值范围为. 19．（22-23高二下·上海杨浦·期中）设实数.对任意给定的实数，都有. (1)当时，求的值； (2)若是整数，且满足成立，求的值； (3)当时，根据的取值，讨论的二项展开式中系数最大的项是第几项. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）直接利用二项式定理计算得到答案. （2）计算，代入计算得到，取计算得到答案. （3）确定，分三种情况讨论，计算得到答案. 【详解】（1）展开式的通项为， 故，故. （2）展开式的通项为， ， 由得，又知， 取，可知. （3）展开式的第项的系数， 由，知， 下分三种情况讨论： ①当时，， 当时，成立，即； 当时，成立，即； ②当时，， 当时，成立，即； 当时，成立，即； 当时，成立，即； ③当时，， 当时，成立，即； 当时，成立，即； 综上所述： 当时，第81项的系数最大； 当时，第81项､第82项的系数相等且最大； 当时，第82项的系数最大. 20．（22-23高二下·上海嘉定·期中）设实数.对任意给定的实数，都有． (1)当时，求的值； (2)若是整数，且满足成立，求的值； (3)当m=1时， 求 的二项展开式中系数最大的项是第几项． 【答案】(1) (2) (3)第25项或第26项. 【分析】（1）直接利用二项式定理通项公式计算得到答案. （2）计算，代入计算得到，取计算得到答案. （３）假设展开式系数最大的项为第项.则，解出即可． 【详解】（1）展开式的通项为，故. （2）展开式的通项为， ， 由得，又知， 取，可知. （3）展开式的通项为：， 假设展开式系数最大的项为第项.则 化简得到 即解得即，则． 则的二项展开式中系数最大的项是第25项或第26项． 21．（23-24高二下·上海浦东新·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数（）称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数. 已知：，（，） (1)若，，，求的值； (2)若，，，求证：； (3)设，求S除以2023的余数. 【答案】(1) (2)见解析 (3)1011 【分析】（1）将展开，由题意可得，即可求出的值； （2）计算，结合即可证明. （3）先求得每项除以2023的余数，求每项除以2023的余数时，分奇偶项进行讨论，余数求和后再求除以2023的余数即可. 【详解】（1）因为，， 所以当时，， 而， 因为，，， 所以,. （2）因为，，，， 则 . 故. （3）， 又， 则， 又， 所以 ， 所以当， ， 其除以2023的余数为， 当时， ， 其除以2023的余数2022和3， 当且时， ， 其除以2023的余数为， 当时， ， 其除以2023的余数为， 除以2023的余数为除以2023的余数， 即除以2023的余数， 又 其除以2023的余数为1011. 【点睛】关键点睛：本题第三问的关键一是分奇偶项进行讨论，特别是偶数项时，最后两项求得结果与前面项，求得结果不同，要分开讨论；二是余数求和后要再除以2023二次求余. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 二项式定理 课程标准 学习目标 ①理解二项式定理的概念，会用二项式定理求解二项展开式。 ②掌握二项式系数的规律和指数的变化规律。 ③掌握多项式展开式的通项及特殊项或系数。 ④理解二项式系数的性质。 ⑤会用赋值法求展开式系数的和。 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识点01二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 【即学即练1】（22-23高二下·上海浦东新·期中） . 知识点02 二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 【即学即练2】（22-23高二下·上海青浦·期中）二项式的展开式中，有理项有（    ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 知识点03二项式系数的性质 对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 与最 大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 【即学即练3】（24-25高二上·上海徐汇·期末）在二项式的展开式中： (1)若，求 (2)若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项． 题型一：求二项展开式的第k项 1.（23-24高二下·上海·期中）的二项展开式中的常数项为 ．（结果用数字表示） 2.（23-24高三上·上海浦东新·期中）的展开式的第8项的系数为 （结果用数值表示）. 3.（24-25高二上·上海·期末）的二项展开式中的常数项为 ． 4.（21-22高二上·上海静安·期末）求二项展开式中的常数项. 题型二：二项式的系数和 1.（23-24高二下·上海·期中） ． 2.（20-21高二下·上海宝山·期中）若，，则 . 3.（25-26高三上·上海·单元测试）若，则 . 4.（24-25高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 题型三：求指定项的系数 1.（24-25高三上·上海·期中）二项式的展开式中含项的系数为 ． 2.（23-24高二下·上海·期中）用1､2､3､4､5组成没有重复数字的五位数，若满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是 .（用数字作答） 3.（24-25高三上·上海·期中）在的展开式中，的系数为 （用数字作答）． 4.（24-25高三上·上海·期中）已知 ，若则实数的最大值为 . 题型四：二项展开式各项的系数和 1.（22-23高二下·上海·期中）若，则 ． 2.（22-23高二下·上海浦东新·期中）设，则 . 3.（22-23高二下·上海青浦·期中）二项式的展开式中，所有的系数之和为 4.（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 题型五：求系数最大（小）的项 1.（22-23高二上·上海杨浦·期末）在的二项展开式中，系数最大的项为 . 2.（24-25高三上·上海·期中）在的二项展开式中，系数最小的项为 . 3.（23-24高二上·上海·期末）（1）求的二项展开式的中间项； （2）若，且，求中的最大值． 4.（23-24高二下·上海·期中）已知，，求： (1)的值； (2)的值； (3)的展开式中系数绝对值最大的项． 题型六：奇次项与偶次项的系数和 1.（23-24高三上·上海普陀·期末）已知，则 （用数字作答）． 2.（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知对任意给定的实数，都有.求值： (1)； (2). 3．（22-23高二上·上海松江·期中）（1）求的二项展开式中的常数项； （2）记的二项展开式中奇数项系数之和为，偶数项系数之和为，求. 4．（21-22高二下·上海黄浦·期末）的展开式中，把叫做三项式的次系数列． (1)求的值； (2)根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如．理解上述思想方法，利用方程，请化简：． 题型七：三项展开式的系数问题 1.（21-22高二下·上海杨浦·期末）在的展开式中，项的系数为 . 2.（23-24高二下·上海宝山·期末）设，其中n是正整数，a为正实数． (1)设，若展开式中含项的系数与含的系数相等，求展开式中的常数项； (2)设，，求展开式中系数最大项的系数（保留组合数以及2的幂）． 题型八：两个二项式乘积展开式的系数问题 1.（23-24高二下·上海·期末）在的展开式中，项的系数为 . 2.（24-25高二上·上海·期末）的展开式中，项的系数为 . 3.（21-22高二下·上海长宁·期末）已知的二项展开式中，二项式系数之和为64. (1)求n的值； (2)求的展开式中的常数项. 4.（23-24高二下·上海·期末）已知的二项展开式中各项的二项式系数和为64. (1)求二项展开式的中间项； (2)求展开式中的常数项. 一、单选题 1．（22-23高二下·上海杨浦·期中）在的二项展开式中，第3项为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海·期中）“的二项展开式中的系数为80”是“或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知的二项展开式中，第项与第项的系数相等，则所有项的系数之和为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·上海长宁·期末）二项式的展开式中，系数最大项的是（    ） A．第项 B．第项和第项 C．第项 D．第项 二、填空题 5．（23-24高二下·上海·期中）在的展开式中，含项的系数是 . 6．（24-25高三上·上海嘉定·期中）在的展开式中系数最大的项为 . 7．（23-24高二下·上海·期中）今天星期三，再过1天是星期四，那么再过天是星期 . 8．（23-24高二下·上海·期中）已知的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，则 ． 9．（23-24高二下·上海闵行·期末）设，若，且，则 ． 10．（23-24高三上·上海虹口·期中）已知常数，在的二项展开式中的常数项为15，设，则 ． 11．（23-24高二下·上海·期中）已知（n是正整数），，则 . 12．（23-24高二下·上海宝山·期末）设（m、n为正整数）对任意实数x都成立，若，则的最小值为 . 13．（21-22高二下·上海松江·期末）已知，则 ． 14．（23-24高三上·上海虹口·期中）已知，若存在使得，则k的最大值为 ． 15．（23-24高三上·上海·期中）已知，其中，若，，则实数的最大值为 ． 16．（23-24高二下·上海·期中）对一个量用两种方法各算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”方法，已知，考察展开式中的系数，并据此化简： . 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·期末）已知，其中，为正整数. (1)若，求的值； (2)若，且，，依次成等差数列，求的值. 18．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知实数，在的二项展开式中. (1)求项的系数； (2)若第三项不大于第五项，求的取值范围. 19．（22-23高二下·上海杨浦·期中）设实数.对任意给定的实数，都有. (1)当时，求的值； (2)若是整数，且满足成立，求的值； (3)当时，根据的取值，讨论的二项展开式中系数最大的项是第几项. 20．（22-23高二下·上海嘉定·期中）设实数.对任意给定的实数，都有． (1)当时，求的值； (2)若是整数，且满足成立，求的值； (3)当m=1时， 求 的二项展开式中系数最大的项是第几项． 21．（23-24高二下·上海浦东新·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数（）称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数. 已知：，（，） (1)若，，，求的值； (2)若，，，求证：； (3)设，求S除以2023的余数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$