排列组合模型应用讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

选择性必修第三册第六章计数原理 专题三-----排列组合模型应用 1、 类型归纳 类型一 分组分配问题先分组后分配 类型二 特殊元素特殊位置问题优先处理 类型三 相邻问题捆绑法 类型四 不相邻问题插空法 类型五 定序问题 2、 类型应用 【例1】（24-25高二下·全国·单元测试）六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？ (1)分为三份，一份四本，一份一本，一份一本； (2)分给甲、乙、丙三人，甲得四本，乙得一本，丙得一本； (3)分给甲、乙、丙三人，一人得四本，另外两个人每个人得一本； (4)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本． 【跟踪训练1】（24-25高二下·河北保定·阶段练习）下列说法不正确的为（    ） A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法 B．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法 C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法 D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有450种不同的分法 【例2】（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）将5名大学生分配到3个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，则不同分配方案有（    ） A．240种 B．150种 C．60种 D．180种 【跟踪训练2-1】（24-25高二上·江西吉安·期末）春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从四部影片中选一部去观看．已知每部影片都有人选，且小明没有选影片，则所有不同的选法种数为（   ） A．72 B．96 C．180 D．288 【跟踪训练2-2】（23-24高二下·广东茂名·期中）将5名大学生分配到4所学校支教，每名大学生必须去一所学校，每所学校至少有一名大学生，则不同的分配方法有（    ）种． A．60 B．120 C．240 D．480 【跟踪训练2-3】（2025·山东泰安·一模）从名同学中选择人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有 种安排方法（用数字作答） 【跟踪训练2-4】（24-25高二下·江西·阶段练习）将6本不同的书（包括1本物理书和1本历史书）平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，则不同的分配种数是（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【跟踪训练2-5】（24-25高二上·辽宁丹东·期末）将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（   ） A．90种 B．180种 C．60种 D．120种 【跟踪训练2-6】（24-25高二下·山西大同·阶段练习）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为 ．（用数字作答） 【跟踪训练2-7】（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要按照以下要求到3所学校去任教，有多少种不同的分派方法. (1)6人分配到三所学校甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人； (2)6人分配到三所学校一校1人、一校1人、一校4人； (3)6人分配到三所学校每所学校至少一人； 【例3】（24-25高二·全国·课堂例题）已知7人站成一排．求： (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？ (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？ 【跟踪训练3-1】（23-24高二下·安徽·期末）甲、乙等6名同学站成一排，若甲、乙两名同学相邻，则不同的站法共有 种.（用数字作答） 【跟踪训练3-2】（24-25高二下·安徽·阶段练习）有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（   ） A．24种 B．48种 C．96种 D．144种 【跟踪训练3-3】（24-25高二下·天津宝坻·阶段练习）名男生与名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. (1)从中选出名男生和名女生排成一列； (2)全体站成一排，男生互不相邻； (3)全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾； (4)全体站成一排，甲、乙必须站在一起； 【跟踪训练3-4】（24-25高二下·河北衡水·阶段练习）某种产品的加工需要经过5道工序. (1)如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ (2)如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？ (3)如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 【跟踪训练3-5】（24-25高二下·安徽滁州·阶段练习）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)4名男学生互不相邻； (2)老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人； (3)2名老师之间有男女学生各1人. 【跟踪训练3-6】（23-24高二下·天津·阶段练习）甲乙丙丁戊五个同学 (1)排成一排，共有多少种不同的排列方法？ (2)排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同排列方法？ (3)排成一排，甲乙相邻，共有多少种不同排列方法？ (4)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ (5)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？ 【例4】（24-25高二下·全国·单元测试）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法种数． (1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两端位置； (2)全体排成一行，其中甲不在最左端，乙不在最右端； (3)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (4)全体排成前后两排，前排3人，后排4人． 【跟踪训练4-1】（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）5名学生和1位老师站成一排照相，则老师不排在两端的排法有 种. 【跟踪训练4-2】（24-25高二下·海南三亚·阶段练习）用“实”､“验”､“中”､“学”､“顶”､“呱”､“呱”这七个字可以组成 种不同的七字短语.（不考虑短语的含义） 【例5】（24-25高二下·山东·阶段练习）现有3名同学站成一排，再将甲、乙2名同学加入排列，保持原来3名同学顺序不变，不同的方法共有（    ） A．12种 B．20种 C．6种 D．8种 【跟踪训练5】（24-25高二下·上海·阶段练习）在一张节目单中原有7个节目已排好顺序，现要插入3个节目，并要求不改变原有7个节目前后相对顺序，则一共有 种不同的插法． 【例6】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）在0，1，2，3，4，5这6个数字中选择若干个数. (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ (3)能组成多少个无重复数字且不大于3450的四位数？ 【跟踪训练6-1】（24-25高二·全国·课堂例题）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个． (1)六位数； (2)六位奇数． 【跟踪训练6-2】（24-25高二下·天津·阶段练习）从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有（    ） A．9个 B．12个 C．15个 D．18个 【跟踪训练6-3】（24-25高二下·重庆合川·阶段练习）用这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的奇数共有（    ） A．120个 B．72个 C．60个 D．48个 【跟踪训练6-4】（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 .（结果用数字作答） 【跟踪训练6-5】（24-25高二下·浙江台州·阶段练习）由1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位偶数有（    ） A．个 B．24个 C．12个 D．6个 【跟踪训练6-6】（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）用0，1，2，……，5这6个数字组成无重复数字的三位数的个数是（    ） A．120 B．60 C．100 D．80 【跟踪训练6-7】（24-25高二下·广东梅州·阶段练习）用这5个数组数，可以组成（   ）个无重复数字的三位偶数． A．24 B．30 C．36 D．48 【跟踪训练6-8】（2025·安徽六安·模拟预测）用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（   ） A．48个 B．60个 C．72个 D．120个 【跟踪训练6-9】（24-25高二下·山东枣庄·阶段练习）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（   ） A．120个 B．480个 C．288个 D．240个 学科网（北京）股份有限公司 $$ 选择性必修第三册第六章计数原理 专题三-----排列组合模型应用 1、 类型归纳 类型一 分组分配问题先分组后分配 类型二 特殊元素特殊位置问题优先处理 类型三 相邻问题捆绑法 类型四 不相邻问题插空法 类型五 定序问题 2、 类型应用 【例1】（24-25高二下·全国·单元测试）六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？ (1)分为三份，一份四本，一份一本，一份一本； (2)分给甲、乙、丙三人，甲得四本，乙得一本，丙得一本； (3)分给甲、乙、丙三人，一人得四本，另外两个人每个人得一本； (4)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本． 【答案】(1)15种 (2)30种 (3)90种 (4)540种 【知识点】分组分配问题 【分析】（1）部分平均分组，结合分步乘法原理求解即可； （2）由（1）对乙丙全排列即可求解； （3）法一：由（1）分成3组，再全排列即可；法二：同法一； （4）先将6本书从平均分，不平均分，分成3组，再全排列即可求解； 【详解】（1）根据分步乘法计数原理可得，分成三份有种方法，但这里出现重复计数的现象，不妨记六本书分别为，若第一步取，第二步取， 第三步取，该分法记为，则中还包括（）这1种分法， 而这种分法与是同一种分法，故共有种分法． （2）这是“部分平均定向分配”问题．先分组，再分配，与顺序有关． 首先分成三份，为部分平均分组问题，共有种分法， 然后分给三个人（甲定向）共有种分法． （3）方法一：先分组，再分配，与顺序有关．先分成三份，为部分平均分组问题， 共有种分法，然后分给三个人（不定向），共有种分法． 方法二：有种分法． （4）可以分为三类：①将6分为“2，2，2”，有种分法； ②将6分为“1，2，3”，有种分法； ③将6分为“1，1，4”，有种分法． 所以共有种分法． 【跟踪训练1】（24-25高二下·河北保定·阶段练习）下列说法不正确的为（    ） A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法 B．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法 C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法 D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有450种不同的分法 【答案】D 【知识点】分组分配问题、排列数的计算、组合数的计算 【分析】根据给定条件，利用分组分配的方法，列式判断AB；利用隔板法计算判断C；利用分类加法计数原理列式计算判断D. 【详解】对于A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，先取2本给甲，再从余下4本中取2本给乙，最后2本给丙， 不同分法有种，A正确； 对于B，把6本不同的书按分成3组有种方法，再分给甲、乙、丙三人有种方法， 不同分法种数是，B正确； 对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，相当于把6本相同的书排成一排，中间形成5个间隙， 取两块隔板插入两个间隙，把6本书分成3部分，分给甲、乙、丙三人的不同分法数为，C正确； 对于D，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，可以有3类办法，每人2本有种， 一人1本，一人2本，一人3本有种，一人4本，另两人各一本有种， 所以6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本的不同分法数是： ，D错误. 故选：D 【例2】（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）将5名大学生分配到3个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，则不同分配方案有（    ） A．240种 B．150种 C．60种 D．180种 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理、排列组合综合、分组分配问题 【分析】根据题意要求，有“”或“”两种分配方案，因分配时出现部分平均分组，应在方法数上除以相同数目组数的阶乘. 【详解】依题意，要使每个乡镇至少一名，可以有“”或“”两种分配方案. 按照“”分配时，有种方法； 按照“”分配时，有种方法. 由分类加法计数原理，可得不同分配方案有种. 故选：B. 【跟踪训练2-1】（24-25高二上·江西吉安·期末）春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从四部影片中选一部去观看．已知每部影片都有人选，且小明没有选影片，则所有不同的选法种数为（   ） A．72 B．96 C．180 D．288 【答案】C 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】先将五人进行分组，再根据题意进行影片选择，由分步乘法计数原理可得结果. 【详解】根据题意先将五人分成四组，共有种， 再将四组人员分别分配去观看四部电影，且有小明的一组人员没有选影片， 共有种， 因此所有不同的选法种数为种. 故选：C 【跟踪训练2-2】（23-24高二下·广东茂名·期中）将5名大学生分配到4所学校支教，每名大学生必须去一所学校，每所学校至少有一名大学生，则不同的分配方法有（    ）种． A．60 B．120 C．240 D．480 【答案】C 【知识点】全排列问题、分组分配问题 【分析】5名大学生分成满足题意的4组，只有一所学校有2人，其余学校都是1人，先选2人做为一组，然后全排即可. 【详解】5名大学生分成满足题意的4组，只有分组形式，即只有一所学校有2人，其余都是1人， 则选2人组成一组剩余3人各自成组，然后将四组分到四所学校， 因此，共有（种）. 故选：C. 【跟踪训练2-3】（2025·山东泰安·一模）从名同学中选择人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有 种安排方法（用数字作答） 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列的意义理解、排列数的计算、分组分配问题 【分析】先从人中选人，将人分成三组，再进行全排，即可求解. 【详解】第一步，从人中选人，共有种取法，第二步，将人分成三组，共有种分法， 再进行全排有种排法， 由分步计算原理知，共有种安排方法， 故答案为：. 【跟踪训练2-4】（24-25高二下·江西·阶段练习）将6本不同的书（包括1本物理书和1本历史书）平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，则不同的分配种数是（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】利用分步乘法原理和分组分配方法求解. 【详解】第一步：把1本物理书和1本历史书分给两个人，1人一本，有种分配方法, 第二步：把剩下4本书平均的分给两个人，有种分配方法, 所以共有种分配方法， 故选:B. 【跟踪训练2-5】（24-25高二上·辽宁丹东·期末）将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（   ） A．90种 B．180种 C．60种 D．120种 【答案】A 【知识点】分组分配问题 【分析】先将5名志愿者按要求分成三组，再将分得的三组分配到A，B，C三个地区，按分组分配方法计算即可得解. 【详解】由题先将5名志愿者分成三组有种分法， 再将分得的三组分配到A，B，C三个地区参加公益活动有种分法， 所以所求的不同的分配方案有种. 故选：A. 【跟踪训练2-6】（24-25高二下·山西大同·阶段练习）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为 ．（用数字作答） 【答案】 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理即可求解. 【详解】根据题意将5名志愿者分为三组，有两种情况： 第一种：将5名志愿者按人数分为1，2，2三组，且甲，乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种． 第二种：将5名志愿者按人数分为1，1，3三组，且甲，乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种． 故不同的安排方法共有种． 故答案为：. 【跟踪训练2-7】（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要按照以下要求到3所学校去任教，有多少种不同的分派方法. (1)6人分配到三所学校甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人； (2)6人分配到三所学校一校1人、一校1人、一校4人； (3)6人分配到三所学校每所学校至少一人； 【答案】(1)60 (2)90 (3)540 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】（1）利用分步计数原理可求得方法数； （2）先将名学生按分为三个组有种方法，则可求人分配到分配到三所学校方法数； （3）分为三个组可分为三类，即①分组；②分组；③分组；再将再分好的三个组安排到三所学校可求总的方法数. 【详解】（1）名学生选名到甲学校任教有种方法；从剩余的名学生中选名到乙学校有种方法；剩余名学生都分配到丙学校去任教有种方法， 则人分配到三所学校甲学校人、乙学校人、丙学校人共有种分配方法； （2）名学生按分为三个组有种方法，则人分配到三所学校一学校人、一学校人、一学校人共有种分配方法； （3）由题可得学生的分配方案可以有：①；②；③； ①名学生按分为三个组有种方法， 则人分配到三所学校共有种分配方法； ②名学生按分为三个组有种分法，则人分配到三所学校一学校人、一学校人、一学校人共有种分配方法； ③名学生平均分配到所学校有种方法； 则人分配到三所学校每所学校至少一人一共有：种方法. 【例3】（24-25高二·全国·课堂例题）已知7人站成一排．求： (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？ (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 (4)种 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】针对相邻问题，采用捆绑法；不相邻问题，采用插空法；情况比较多时，可以间接法. 【详解】（1）（捆绑法）将甲，乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有种排法．甲，乙两人可交换位置，有种排法．故共有种排法． （2）方法一（间接法）：7人任意排列，有种排法．甲、乙两人相邻有种排法，故共有种排法． 方法二（插空法）：将其余5人排列，有种排法．5人之间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有种排法．故共有种排法． （3）（捆绑法）将甲，乙，丙三人捆绑在一起与其余4人全排列，有种排法，甲，乙，丙三人有种排法，共有种排法． （4）（插空法）将其余4人排好，有种排法．将甲、乙、丙插入5个空中，有种排法．故共有种排法． 【跟踪训练3-1】（23-24高二下·安徽·期末）甲、乙等6名同学站成一排，若甲、乙两名同学相邻，则不同的站法共有 种.（用数字作答） 【答案】240 【知识点】排列数的计算、相邻问题的排列问题 【分析】利用捆绑法，先将甲乙看成一个整体，再与剩余同学排列，结合排列数运算求解. 【详解】先将甲乙看成一个整体，再与剩余同学排列， 所以不同的站法共有种. 故答案为：240 【跟踪训练3-2】（24-25高二下·安徽·阶段练习）有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（   ） A．24种 B．48种 C．96种 D．144种 【答案】D 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】先利用捆绑法将3名女生看成一个整体，再将女生整体和3名男生一起排列. 【详解】先把3名女生看成一个整体，有种排法， 再把这个整体与另外3名男生排列，有种排法， 则不同的坐法有种坐法. 故选：D. 【跟踪训练3-3】（24-25高二下·天津宝坻·阶段练习）名男生与名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. (1)从中选出名男生和名女生排成一列； (2)全体站成一排，男生互不相邻； (3)全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾； (4)全体站成一排，甲、乙必须站在一起； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】排列组合综合、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）根据条件，利用组合与排列先选后排，即可求解； （2）根据条件，利用不相邻问题插入法，即可求解； （3）利用特殊元素优先考虑，结合条件，即可求解； （4）利用相邻问题捆绑法，即可求解. 【详解】（1）从名男生中任选名有种选法，从名女生中任选名有种选法， 再将选取的人排列有种排法，由乘法原理共有种排法， （2）先将女生全排有种，再从个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有种， 由乘法原理共有种排法. （3）先排甲，有种方法，其余人有种排列方法，共有种， （4）甲乙必须相邻，先将甲乙捆绑有种，再与剩下的个人排列有种，共有种. 【跟踪训练3-4】（24-25高二下·河北衡水·阶段练习）某种产品的加工需要经过5道工序. (1)如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ (2)如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？ (3)如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 【答案】(1)36 (2)48 (3)72 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，再将剩余的3道工序全排列； （2）先排这2道工序，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列； （3）先排其余的3道工序，出现4个空位，再将这2道工序插空即可. 【详解】（1）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，有种不同的排法， 再将剩余的3道工序全排列，有种不同的排法， 故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序； （2）先排这2道工序，有种不同的排法，再将它们看作一个整体， 与剩余的工序全排列，有种不同的排法， 故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序； （3）先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位，再将这2道工序插空， 有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序. 【跟踪训练3-5】（24-25高二下·安徽滁州·阶段练习）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)4名男学生互不相邻； (2)老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人； (3)2名老师之间有男女学生各1人. 【答案】(1)2880 (2)96 (3)3840 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）利用插空法，先排老师和女学生，最后排剩余的4名男学生即可. （2）特殊元素优先安排求解即可. （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可. 【详解】（1）先排老师和女学生共有种站法， 再将男生插入到五个空中，有种， 所以共有种不同的站法． （2）由题意可得共种不同的站法． （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法， 两老师的站法有种， 再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种， 所以共有种不同的站法． 【跟踪训练3-6】（23-24高二下·天津·阶段练习）甲乙丙丁戊五个同学 (1)排成一排，共有多少种不同的排列方法？ (2)排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同排列方法？ (3)排成一排，甲乙相邻，共有多少种不同排列方法？ (4)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ (5)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？ 【答案】(1)120 (2)72 (3)48 (4)243 (5)150 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、分组分配问题 【分析】（1）根据全排列公式求解即可； （2）根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式计算即得； （3）利用捆绑法求解即可； （4）根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得. （5）把5人按或分组，再把每一种分组方法安排到三个城市即可得解. 【详解】（1）甲乙丙丁戊五个同学排成一排，共有种不同的排列方法； （2）甲乙丙丁戊排成一排，甲乙不相邻，先将丙丁戊排成一列有种方法， 再将甲乙插空隙中，有种方法， 所以共有不同排法数为（种） （3）甲乙丙丁戊排成一排，甲乙相邻，先将甲乙排在一起，有种排法， 再与其他同学全排列有种排法，共有种排法； （4）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去， 因此每个人都有3种选择，所以不同游览方法有（种）. （5）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人， 则先把5人按分组，有种分组方法， 按分组，有种分组方法，因此不同分组方法数为， 再把每一种分组安排到三个城市，有种方法， 所以不同分配方法种数是. 【例4】（24-25高二下·全国·单元测试）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法种数． (1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两端位置； (2)全体排成一行，其中甲不在最左端，乙不在最右端； (3)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (4)全体排成前后两排，前排3人，后排4人． 【答案】(1)2160种 (2)3720种 (3)840种 (4)5040种 【知识点】全排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）先安排甲，剩下元素全排列即可求解； （2）直接法：甲是否在最右端分两类求解；间接法：先排最左端位置（除去甲外），减去甲不在最左端且乙在最右端的情况即可； （3）由定序法即可求解； （4）分排问题转换成直排即可求解； 【详解】（1）甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共3个位置可供甲选择，有种排法，其余6人全排列，有种排法．由分步乘法计数原理得共有种排法． （2）直接法（位置分析）：按甲是否在最右端分两类： 第一类：甲在最右端有种排法； 第二类：甲不在最右端时，甲有5个位置可选，而乙也有5个位置可选，而其余全排列，有种排法，由分步乘法计数原理得有种排法． 故共有种排法． 间接法：先排最左端位置，除去甲外，有种排法，余下的6个位置全排列有种，但应剔除甲不在最左端且乙在最右端的排法种．则符合条件的排法共有（种）． （3）第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为7个人的全排列，因此有，故（种）． （4）由已知，7个人排在7个位置，与无任何限制的排列相同，有种排法． 【跟踪训练4-1】（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）5名学生和1位老师站成一排照相，则老师不排在两端的排法有 种. 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】利用优先法和分步计数乘法原理来求即可. 【详解】第一步：优先老师，排中间四个位置中的一个，有； 第二步：再排5名学生到剩下的五个位置上，有； 根据分步计算乘法原理可得：共有种排法， 故答案为：. 【跟踪训练4-2】（24-25高二下·海南三亚·阶段练习）用“实”､“验”､“中”､“学”､“顶”､“呱”､“呱”这七个字可以组成 种不同的七字短语.（不考虑短语的含义） 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】在这七个文字的排列中，由于有相同元素，需要优先用组合来计数，然后用分步计数原理求解即可. 【详解】由于这七个字中有两个重复文字，故第一步优先摆放，共有种； 第二步摆放剩下五个文字，共有种； 根据分步计数乘法原理得它们可以组成种不同的七字短语. 故答案为：. 【例5】（24-25高二下·山东·阶段练习）现有3名同学站成一排，再将甲、乙2名同学加入排列，保持原来3名同学顺序不变，不同的方法共有（    ） A．12种 B．20种 C．6种 D．8种 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】依题意，先安排甲同学的位置，再安排乙同学的位置，最后根据分步乘法计数原理计算出总的方法数. 【详解】原来名同学站成一排，有个空位可以插入甲同学，所以甲同学有种不同的排法. 当甲同学插入后，此时包括原来名同学和甲同学一共有个人， 这个人形成了个空位，所以乙同学有种不同的排法. 故完成将甲、乙名同学加入排列这件事，分两步： 第一步甲同学有种排法，第二步乙同学有种排法， 那么根据分步乘法计数原理，不同的方法共有（种）. 故选：B. 【跟踪训练5】（24-25高二下·上海·阶段练习）在一张节目单中原有7个节目已排好顺序，现要插入3个节目，并要求不改变原有7个节目前后相对顺序，则一共有 种不同的插法． 【答案】 【知识点】其他排列模型 【分析】利用倍缩法求解即可. 【详解】由题意，不同的插法共有种. 故答案为：. 故答案为：5 【例6】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）在0，1，2，3，4，5这6个数字中选择若干个数. (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ (3)能组成多少个无重复数字且不大于3450的四位数？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题 【分析】（1）分个位数是否为零两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理即可得解； （2）分个位数为和两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可得解； （3）分千位数为或和两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可得解. 【详解】（1）当个位数为时，则千位数有种选法， 则百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字的四位偶数； 当个位数不为时，则个位数有种选法，则千位数有种选法， 则百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字的四位偶数， 综上所述，能组成个无重复数字的四位偶数； （2）当个位数为时，则万位数有种选法， 则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数； 当个位数为时，则万位数有种选法， 则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数， 综上所述，能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数； （3）当千位数为或时， 则能组成个无重复数字且不大于3450的四位数； 当千位数为，百位数为，十位数为时，则符合题意的数只有一个； 当千位数为，百位数为，十位数不为时， 则十位数有种选法，个位数有种选法， 所以符合题意的数有种； 当千位数为，百位数不为， 则百位数有种选法，十位数有种选法，个位数有种选法， 所以符合题意的数有种， 综上所述，能组成个无重复数字且不大于3450的四位数. 【跟踪训练6-1】（24-25高二·全国·课堂例题）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个． (1)六位数； (2)六位奇数． 【答案】(1)个 (2)个 【知识点】数字排列问题、排列数的计算 【分析】（1）由全排列减去0在首位即可求解； （2）法一：从个数入手分析或从对首位排奇数还是非0偶数分两类进行．法二：由0不在两端，再从1，3，5中选1个排在个位，剩下全排列即可求解； 【详解】（1）0，1，2，3，4，5六个数字共能形成种不同的排法，当0在首位时不满足题意，故可以组成个没有重复数字的六位数． （2）方法一（位置分析法）：①从个位入手：个位数排奇数，即从1，3，5中选1个有种方法，首位数在排除0及个位数余下的4位数字中选1个有种方法，余下的数字可在其他位置全排列有种方法，由分步乘法计数原理知，共有个不同的六位奇数． ②从首位入手：对首位排奇数还是非0偶数分两类进行． 第1类，首位排奇数，有种选择，再个位排奇数有种方法，其余位置全排列有．则共有144种方法． 第2类，首位排非0偶数，共有种方法． 根据分类加法计数原理，共有个不同的六位奇数． 方法二（元素分析法）：0不在两端有种排法．从1，3，5中选1个排在个位，剩下的4个数字全排列．故共有个不同的六位奇数． 【跟踪训练6-2】（24-25高二下·天津·阶段练习）从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有（    ） A．9个 B．12个 C．15个 D．18个 【答案】B 【知识点】排列数的计算 【分析】由排列数即可求解； 【详解】由题意可知：从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有； 故选：B 【跟踪训练6-3】（24-25高二下·重庆合川·阶段练习）用这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的奇数共有（    ） A．120个 B．72个 C．60个 D．48个 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题 【分析】根据分步乘法原理，先安排个位数字，再安排余下的4个位置. 【详解】根据题意，先安排个位数字，在3和5中选一个共有种， 再安排余下的4个位置，有种， 所以组成无重复数字的五位数，不同的奇数共有种. 故选：D. 【跟踪训练6-4】（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 .（结果用数字作答） 【答案】 【知识点】数字排列问题、全排列问题 【分析】分析可知，个位数有种选择，将其余四个数字分别排在万、千、百、十位上，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，个位数有种选择， 将其余四个数字分别排在万、千、百、十位上， 由分步乘法计数原理可知，奇数的个数为个. 故答案为：. 【跟踪训练6-5】（24-25高二下·浙江台州·阶段练习）由1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位偶数有（    ） A．个 B．24个 C．12个 D．6个 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】利用分步乘法计数原理及排列计数问题列式计算得解. 【详解】先排个位有，再排其它三位有，则一共有个. 故选：C 【跟踪训练6-6】（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）用0，1，2，……，5这6个数字组成无重复数字的三位数的个数是（    ） A．120 B．60 C．100 D．80 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】因为要组成无重复数字的三位数，所以只需百位不为0，故先排百位，再排十位和个位，根据分步计数原理，即可求解. 【详解】要组成无重复数字的三位数，所以只需百位不为0，故先排百位，再排十位和个位. ①先排百位，有：种； ②再排十位和个位，有：种； 根据分步计数原理，所以共有种，即用0，1，2，……，5这6个数字组成无重复数字的三位数的个数是100. 故选：C. 【跟踪训练6-7】（24-25高二下·广东梅州·阶段练习）用这5个数组数，可以组成（   ）个无重复数字的三位偶数． A．24 B．30 C．36 D．48 【答案】B 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、数字排列问题、分类加法计数原理 【分析】由个位数是否为0分类讨论：①个位是0，则百位、十位从剩余的4个数字中选择2个排列；②个位不是0，则从2、4中选择一个放在个位，再从剩余的3个数字（不包含0）中选择1个放在百位，再从剩余的3个数字中选择1个放在十位即可. 【详解】由个位数是否为0分类讨论： ①个位是0，则无重复数字的三位偶数有：个； ②个位不是0，则无重复数字的三位偶数有：个； 所以共有个. 故选：B. 【跟踪训练6-8】（2025·安徽六安·模拟预测）用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（   ） A．48个 B．60个 C．72个 D．120个 【答案】B 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】利用特殊元素优先法，结合计数原理以及排列数，可得答案. 【详解】若五位数的个位为零，其余数位随意安排，其情况数为， 若五位数的个位不为零，而个位仅有两种选择，万位有种选择，其情况数为， 所以五位数为偶数的情况数为. 故选：B 【跟踪训练6-9】（24-25高二下·山东枣庄·阶段练习）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（   ） A．120个 B．480个 C．288个 D．240个 【答案】D 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据题意可分为两类：个位数字为0和个位数字为2或4，结合排列、组合数的公式，即可求解. 【详解】根据题意可分为两类：个位数字为0和个位数字为2或4， 当个位数字为0时，小于的偶数有个； 当个位数字为2或4时，小于的偶数有个， 所以小于的偶数共有个. 故选：D. 学科网（北京）股份有限公司 $$