精品解析：四川省资阳市雁江区第一中学　2024-2025学年九年级数学下期学月联考试题（第22章一元二次方程）

《一元二次方程》测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 关于x的方程是一元二次方程，则m满足（ ） A. B. C. D. m为任意实数 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是 A. 2018 B. 2008 C. 2014 D. 2012 5. 方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 不能确定 6. 对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为 A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 7. 已知函数的图象如图所示，则一元二次方程根的存在情况是 A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 8. 已知实数a，b分别满足，且a≠b，则的值是（ ） A. 7 B. －7 C. 11 D. －11 9. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）． A. 32 B. 126 C. 135 D. 144 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知2是关于的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是________． 12. 已知x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，则＋＝_______． 13. 若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是____． 14. 设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=______． 15. 一元二次方程与的所有实数根的和等于________． 16. 已知是方程的两根，则_____． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 17. 用公式法解方程：． 18. 用配方法解方程：x2﹣4x+1=0 19. 已知，求的值． 四、解答题（二）（本大题共3小题，20题8分，21、22题各11分，共30分） 20. 关于的方程的两个根为，且，求的最大整数解． 21. 若是实数，且的一个解的相反数是方程的一个解，求方程的根． 22. 已知实数a，b满足，，求：的值． 五、解答题（三）（本大题共3小题，23题12分，24题12分，25题14分，共38分） 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 24. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． （1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？ 25. 测完教学楼的高度，小明和小刚围着校园里的矩形花坛做起了游戏，并探究其中的数学问题．如图，矩形，小明（用点表示）以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时小刚（用点表示）以的速度从顶点出发向点运动，当其中一个同学到达末端停止运动时，另一同学也停止运动． （1）问小明和小刚走动几秒，使四边形的面积是矩形面积的； （2）问小明和小刚经过多长时间使得两人之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《一元二次方程》测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 关于x的方程是一元二次方程，则m满足（ ） A. B. C. D. m为任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义求解，即可得到答案． 【详解】解：是关于x的一元二次方程， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题关键． 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，使用配方法将方程转化为完全平方形式，通过添加一次项系数一半的平方完成配方即可． 【详解】解：， ， ； 故选B． 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 4. 若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是 A. 2018 B. 2008 C. 2014 D. 2012 【答案】A 【解析】 【分析】将x=1代入到ax2+bx+5=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可． 【详解】∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根， ∴a×12+b×1+5=0， ∴a+b=-5， ∴2013-a-b=2013-（a+b）=2013-（-5）=2018． 故选A． 5. 方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次方程，再根据腰长、底长进行分情况讨论，从而得到其周长． 【详解】解：方程变形得：， 解得：，， 当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去； 当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6＋6＋3＝15， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法、等腰三角形的性质，注意分类讨论． 6. 对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为 A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】判断一元二次方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号即可： ∵a=1，b=，c=， ∴． ∴此方程有两个不相等的实数根．故选C． 7. 已知函数的图象如图所示，则一元二次方程根的存在情况是 A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：一次函数的图象有四种情况： ①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限； ②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限. 由图象可知，函数的图象经过第二、三、四象限，所以，. 根据一元二次方程根的判别式，方程根的判别式为， 当时，， ∴方程有两个不相等的实数根．故选C. 8. 已知实数a，b分别满足，且a≠b，则的值是（ ） A. 7 B. －7 C. 11 D. －11 【答案】A 【解析】 【详解】∵a，b分别满足，且a≠b， ∴a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根． ∴根据一元二次方程根与系数的关系，得a+b=6，ab=4． ∴． 故选:A． 9. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的矩形场地还是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 【详解】解：由题意有， 故选：C． 10. 下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）． A. 32 B. 126 C. 135 D. 144 【答案】D 【解析】 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可． 【详解】解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：，则最大数为，根据题意得出： ， 解得：，，（不合题意舍去）， 故最小的三个数为：8，9，10， 下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17， 第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24， 故这9个数的和为：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了数字变化规律以及一元二次方程的解法，解题的关键是根据已知得出最大数与最小数的差为16． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知2是关于的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是________． 【答案】-6． 【解析】 【详解】设方程的另一个根为,由韦达定理可得:,即, 解得. 点睛:本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. 12. 已知x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，则＋＝_______． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到x1＋x2＝2，x1x2＝−1，利用通分得到＋＝，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得x1＋x2＝2，x1x2＝−1， 所以＋＝＝-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝． 13. 若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是____． 【答案】且． 【解析】 【分析】首先根据非负数的定义求得a、b的值；然后利用一元二次方程的根判别式Δ＝b2﹣4ac≥0列出关于k的不等式，通过解该不等式即可求得k的取值范围． 【详解】∵，． ∴一元二次方程为． ∵一元二次方程有实数根， ∴且． 【点睛】本题综合考查了非负数的性质、根的判别式．在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系． 14. 设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=______． 【答案】2016 【解析】 【详解】由题意可得， ， ， ∵，为方程的个根， ∴， ， ∴． 15. 一元二次方程与的所有实数根的和等于________． 【答案】 【解析】 【分析】首先需要通过判别式来判定这两根方程是否有实数根，再根据根与系数的关系即可求得答案． 【详解】∵x2-3x-1=0， a=1，b=-3，c=-1， ∴b2-4ac=13＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 设这两个实数根分别为x1与x2， 则x1+x2=3； 又∵x2-x+3=0， a=1，b=-1，c=3， ∴b2-4ac=-11＜0， ∴此方程没有实数根， ∴一元二次方程x2-3x-1=0与x2-x+3=0的所有实数根的和等于3， 故答案为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，先确定方程根的情况是解题的关键． 16. 已知是方程的两根，则_____． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，． 先化简代数式，根据一元二次方程根的定义以及一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：a、b是方程的两根， ∴，，， ∴ ． 故答案为：36． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 17. 用公式法解方程：． 【答案】，. 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程；先化为一元二次方程的一般式，再求出的值，最后代入公式求出即可． 【详解】解：方程化为：， ∵， ∴， ∴，． 18. 用配方法解方程：x2﹣4x+1=0 【答案】， 【解析】 【分析】先利用配方法得到（x-2）2=3，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解：x2-4x+4=3 （x-2）2=3 x-2=± 所以x1=2+，x2=2-． 19. 已知，求的值． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法． 设，可得一元二次方程，解一元二次方程可得答案． 【详解】解：设，则原方程等价于， ∴， 解得或（不符合题意，舍取）， ∴． 四、解答题（二）（本大题共3小题，20题8分，21、22题各11分，共30分） 20. 关于的方程的两个根为，且，求的最大整数解． 【答案】的最大整数解为3 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，一元一次不等式，先根据根与系数的关系及根的判别式得，，，再由得即，再代入解关于k的一元一次不等式，即可得出结论． 【详解】解：∵关于的方程的两个根为， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， 解得， ∴的最大整数解为3． 21. 若是实数，且的一个解的相反数是方程的一个解，求方程的根． 【答案】0或3． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程， 设的一个解的一个解为a，把代入方程得到，把代入方程得，然后把两式相减求出，，再解关于x的方程即可． 【详解】解：设的一个解的一个解为a 根据题意得，， 得， ∴ 解得或． ∴的根为0或3． 22. 已知实数a，b满足，，求：的值． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，理解方程的解的定义是解答本题的关键． ，可看作方程的两个实数根，根据根与系数的关系得到，，最后代入进行求值即可． 【详解】解：实数a，b满足，， ，可看作方程的两个实数根， ，， ∴． 五、解答题（三）（本大题共3小题，23题12分，24题12分，25题14分，共38分） 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】 （1）证明：∵， ∵无论为何实数，， ∴， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）0，-2 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式即可求证出答案； （2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得与的、的关系式，进一步可以求出答案. 【详解】(1)略 (2)由一元二次方程根与系数的关系得： ，， ∵， ∴， ∴， ∴，化简得：， 解得，． 【点睛】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题. 24. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． （1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？ 【答案】（1）每千克应涨价5元 （2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用． （1）设每千克应涨价x元，则每千克盈利元，每天可售出千克，根据利润每千克盈利日销售量，列方程解出即可，根据要让顾客得到实惠，所以涨价要选择最小的，即每千克应涨价为5元； （2）设涨价z元时总利润为y，根据（1）的等量关系列函数解析式，配方求最值即可． 【小问1详解】 解：设每千克应涨价x元， 则， 解得或， 因为要顾客得到实惠， 所以， 答：要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元； 【小问2详解】 解：设涨价z元时总利润为y， 则， 即 ， ∵， ∴y有最大值， 当时，y取得最大值，最大值为6125． 答：若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多． 25. 测完教学楼的高度，小明和小刚围着校园里的矩形花坛做起了游戏，并探究其中的数学问题．如图，矩形，小明（用点表示）以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时小刚（用点表示）以的速度从顶点出发向点运动，当其中一个同学到达末端停止运动时，另一同学也停止运动． （1）问小明和小刚走动几秒，使四边形的面积是矩形面积的； （2）问小明和小刚经过多长时间使得两人之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）小明和小刚走动秒使四边形的面积是矩形面积的 （2）存在，当或时，两人（点P与点Q）之间的距离为m 【解析】 【分析】本题考查几何动点问题，涉及勾股定理、列方程及解一元二次方程等知识，综合运用了一元二次方程的知识和勾股定理． （1）要使四边形的面积是矩形面积的，此时点应在上，才是四边形，根据路程速度时间，分别用表示、的长，再根据梯形的面积公式列方程求解； （2）根据勾股定理列方程即可，分情况讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设两动点运动秒，使四边形的面积是矩形面积的， 根据题意得，， 由题中矩形的面积是12，则，解得； 【小问2详解】 解：设两动点经过秒使得点与点之间的距离为， 当时，如图所示： ，即，解得或； ②当时，如图所示： ，即， 由，此方程无解； 综上所述，当或时，点与点之间的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $