精品解析：江西省临川第一中学2024—2025学年下学期第一次月考八年级数学试卷

2024-2025学年度第一次月考八年级数学试题卷 一、选择题（本大题共6小题，共18分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，且，则的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 某公司准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离相等，则送奶站C的位置应该在（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，一次函数与的图像相交于点，则关于的不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，在中，平分，交于点D，M，N分别是和上的动点，，，当的值最小时，的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 7. 将点沿轴的负方向平移3个单位长度，再沿轴正方向平移5个单位长度得到点的坐标是_____________． 8. 命题“若中，，则”，若用反证法证明此命题时，应假设：______． 9. 如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，，则_____． 10. 如图是一个高铁站入口双翼闸机的示意图，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度为__________． 11. 如图，是等腰内的一点，，，，，的度数是________． 12. 中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点B的一条直线交于点D，且，则直线是的关于点B的二分割线．如图2，中，，钝角同时满足：①为最小角；②存在关于点B的二分割线，则的度数为_________． 三、解答题（本大题共5小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13. （1）解不等式； （2）已知：如图，，． 求证：． 14. 如图，中，，的垂直平分线分别交于点． （1）若，求的度数； （2）若，的长为，求的周长． 15. 解一元一次不等式组并在数轴上表示出来，同时写出所有的整数解． 16. 图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，所画图形的顶点都在格点上，并保留作图痕迹． （1）在图①中，以为边画一个等腰直角三角形，使； （2）在图②中，以为边画一个等腰直角三角形，使； （3）在图③中，画出将绕着的中点旋转得到的． 17. 已知关于x、y的方程组的解是非负数． （1）求的取值范围； （2）化简：． 四、解答题（本大题共3小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18. 定义新运算为：对于任意实数a、b都有，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如． （1）若，求的取值范围． （2）若不等式组恰有三个整数解，求实数的取值范围． 19. 如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点，的坐标分别为，． （1）请求出点的坐标． （2）将沿轴向左平移，当点落在直线上时，求线段扫过的面积． 20. 秋季由于气候干燥，天气转冷，用火用电情况大量增加，起火原因增多，火灾危险性加大．为了加强秋季防火用电安全，提高同学们的安全防范意识，某学校组织了“用电安全”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干支钢笔和中性笔．购买支钢笔和支中性笔共需元；购买支钢笔和支中性笔共需元． （1）求购买支钢笔和支中性笔各需多少元； （2）若学校购买钢笔和中性笔共支，其中钢笔的数量不得少于中性笔数量的，且总支出不超过元，那学校有哪几种购买方案？ 五、解答题（本大题共2小题，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 在中，． （1）是上的高，，如图1，如果，则 ； （2）思考：通过上面，你发现与之间有什么关系？并说明理由． （3）如图3，如果不是上的高，，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由． 22. 如图，在直角坐标系中，的顶点A，B，C按逆时针方向排列，其中，，且，． （1）如图1，若，求点坐标； （2）如图2，若，，求点坐标； （3）如图3，，，以为边在的右侧作等边，连接，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并证明． 六、解答题（本大题共1小题，共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 23. 在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度； （2）如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：； （3）如图3，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一次月考八年级数学试题卷 一、选择题（本大题共6小题，共18分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，利用勾股定理和三角形内角和对选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A中、∵， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； B中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； C中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； D中、∵， 设 ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴不是直角三角形，故选项符合题意； 故选：D． 2. 若，且，则的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，由题意可得，进而可得m的范围，进一步即得答案． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得：， 纵观各选项，m为3． 故选：D． 3. 某公司准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离相等，则送奶站C的位置应该在（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．根据线段垂直平分线的性质解答即可得． 【详解】解：要使两小区到送奶站的距离相等，则送奶站的位置应该是街道与的线段垂直平分线的交点， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 4. 如图所示，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键，由旋转的性质可得，，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， ， 故选：． 5. 如图，一次函数与的图像相交于点，则关于的不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】令，求出次函数与x轴的交点，结合交点问题与函数图像即可得到答案； 【详解】解：当时，， 解得：， ∵一次函数与的图像相交于点， ∴，解得， 由图像可得， 不等式组的解集为：， 故选：A； 【点睛】本题考查一次函数与不等式的关系，解题的关键是熟练掌握图像与不等式之间的关系，求出交点结合图像求解． 6. 如图，在中，平分，交于点D，M，N分别是和上的动点，，，当的值最小时，的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称－最短路径，直角三角形的特征，垂线段最短；作关于的对称点，过点作交于，连接，，此时的值最小，由直角三角形的特征即可求解；能找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：作关于的对称点，过点作交于，连接， ， 平分， 在上， 、关于对称， ，且平分， ， 是等边三角形 ， 此时的值最小， 在中， ， ； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 7. 将点沿轴的负方向平移3个单位长度，再沿轴正方向平移5个单位长度得到点的坐标是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移中点的变化规律，即可求解． 【详解】解：点沿轴的负方向平移3个单位长度可得到的坐标变为， 再沿轴正方向平移5个单位长度得到的坐标为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，关键是掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 8. 命题“若中，，则”，若用反证法证明此命题时，应假设：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反证法，从命题的结论反面出发进行假设进而得出答案． 【详解】解：命题“若中，，则”， 若用反证法证明此命题时，应假设： 故答案为： ． 【点睛】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的第一步是解题关键． 9. 如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．连接，，易证，得，继而求得答案． 【详解】解：如图，连接，， 是的平分线，，， ，， ∵， ∴， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：5． 10. 如图是一个高铁站入口双翼闸机的示意图，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，过点A作，垂足为E，过点B作，垂足为F，根据垂直定义可得：，然后分别在和中，利用含30度角的直角三角形的性质求出和的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点A作，垂足为E，过点B作，垂足为F， ∴， ∵，， ∴，， ∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度． 故答案为：． 11. 如图，是等腰内的一点，，，，，的度数是________． 【答案】##135度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质， 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接．可求，，由勾股定理的逆定理可求，即可求解．灵活运用旋转的性质是本题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，如图所示： ，， ，，， 是等腰直角三角形，且， ，， 在中，，，，则， 是直角三角形，且， ， ， 故答案为：． 12. 中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点B的一条直线交于点D，且，则直线是的关于点B的二分割线．如图2，中，，钝角同时满足：①为最小角；②存在关于点B的二分割线，则的度数为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形，等腰三角形的性质，正确地理解“的关于点B的二分割线”是解题的关键． 根据关于点B的二分割线的定义即可得到结论． 【详解】解：如图2所示：， ， 如图3所示：， ， ， 如图4所示，， ， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13. （1）解不等式； （2）已知：如图，，． 求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握不等式的解法和三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）根据一元一次不等式的步骤解不等式即可得； （2）先根据定理证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，中，，的垂直平分线分别交于点． （1）若，求的度数； （2）若，的长为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据线段垂直平分线的性质得到，进而根据角的和差关系即可求解； （）由线段垂直平分线的性质可得，即得，进而即可求出的周长； 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴， 又∵，， ∴周长． 15. 解一元一次不等式组并在数轴上表示出来，同时写出所有的整数解． 【答案】，见解析，所有的整数解为 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、将不等式组的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将不等式组的解集表示在数轴上即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． 把不等式组的解集在数轴上表示出来如下： 所以这个不等式组的所有的整数解为． 16. 图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，所画图形的顶点都在格点上，并保留作图痕迹． （1）在图①中，以为边画一个等腰直角三角形，使； （2）在图②中，以为边画一个等腰直角三角形，使； （3）在图③中，画出将绕着的中点旋转得到的． 【答案】（1） 作图如下：（答案不唯一） （2） 作图如下： （3） 作图如下： 【解析】 【分析】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）把绕点逆时针旋转得到，则为等腰直角三角形，其中； （2）把绕点顺时针旋转得到，则为等腰直角三角形，其中； （3）将点绕的中点旋转得到，再连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 已知关于x、y的方程组的解是非负数． （1）求的取值范围； （2）化简：． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题关键． （1）先利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解是非负数建立关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得； （2）根据（1）的答案可得，，再化简绝对值，计算整式的加减即可得． 【小问1详解】 解：， 由①②得：， 解得， 将代入②得：， 解得， ∴方程组的解为， ∵关于、的方程组的解是非负数， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∴，， ∴ ． 四、解答题（本大题共3小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18. 定义新运算为：对于任意实数a、b都有，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如． （1）若，求的取值范围． （2）若不等式组恰有三个整数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式、一元一次不等式组，熟练掌握不等式和不等式组的解法是解题关键． （1）根据新运算的定义可得，从而可得，解不等式即可得； （2）根据新运算的定义可得不等式组，分别解两个不等式，再根据不等式组恰有三个整数解可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∵， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：由题意得：， ， ∴不等式组可转化为， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组恰有三个整数解， ∴， 解得． 19. 如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点，的坐标分别为，． （1）请求出点的坐标． （2）将沿轴向左平移，当点落在直线上时，求线段扫过的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题知，，，利用勾股定理计算的长，从而得出的坐标； （2）设平移后的，将代入直线的表达式，可解出的值，从而可得平移的距离，再计算扫过的面积． 【小问1详解】 解：，， ，， ， ， ． 【小问2详解】 解：设，将代入，得， 解得， ，， 线段扫过的区域是以为底，为高的平行四边形，其面积为． 【点睛】本题考查了一次函数与几何的应用，利用平移的性质作图分析扫过的区域的形状是解决本题的关键． 20. 秋季由于气候干燥，天气转冷，用火用电情况大量增加，起火原因增多，火灾危险性加大．为了加强秋季防火用电安全，提高同学们的安全防范意识，某学校组织了“用电安全”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干支钢笔和中性笔．购买支钢笔和支中性笔共需元；购买支钢笔和支中性笔共需元． （1）求购买支钢笔和支中性笔各需多少元； （2）若学校购买钢笔和中性笔共支，其中钢笔的数量不得少于中性笔数量的，且总支出不超过元，那学校有哪几种购买方案？ 【答案】（1）元；元 （2）种，方案见解析 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出二元一次方程组和一元一次不等式组． （）设购买一支钢笔需元，一支中性笔需元，根据购买支钢笔和支中性笔共需元；购买支钢笔和支中性笔共需元．可得出方程组，解出即可． （）设购买支钢笔，则购买支中性笔，根据钢笔的数量不得少于中性笔数量的，且总支出不超过元，列不等式组求出的取值范围，即可得出购买方案． 【小问1详解】 解：设购买一支钢笔需元，一支中性笔需元． 由题意，得 解得 答：购买一支钢笔需元，一支中性笔需元． 【小问2详解】 解：设购买支钢笔，则购买支中性笔． 由题意，得 解得 ∵为整数， ∴，，． ∴有以下种购买方案： ①当购买钢笔的数量为支时，中性笔数量为支； ②当购买钢笔的数量为支时，中性笔数量为支； ③当购买钢笔的数量为支时，中性笔数量为支． 五、解答题（本大题共2小题，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 在中，． （1）是上的高，，如图1，如果，则 ； （2）思考：通过上面，你发现与之间有什么关系？并说明理由． （3）如图3，如果不是上的高，，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由． 【答案】（1）10 （2），理由见解析 （3）仍有，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据即可得； （2）设，先根据等腰三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质可得，然后求出，由此即可得； （3）先根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵在中，，是上的高，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：10． 【小问2详解】 解：，理由如下： 设， ∵在中，，是上的高， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：仍有，理由如下： ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 22. 如图，在直角坐标系中，的顶点A，B，C按逆时针方向排列，其中，，且，． （1）如图1，若，求点坐标； （2）如图2，若，，求点坐标； （3）如图3，，，以为边在的右侧作等边，连接，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了点坐标与图形、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，较难的是题（3），通过作辅助线，构造等边三角形和全等三角形是解题关键． （1）先根据点的坐标可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可得； （2）过点作轴于点，先求出，，再证出，根据全等三角形的性质可得，，再求出，由此即可得； （3）在上取一点，使得，连接，先根据等边三角形判定与性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵点在轴的负半轴上， ∴点坐标为． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于点， ∵，，，， ∴，， ∵轴轴，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵点在第三象限， ∴点坐标为． 【小问3详解】 解：，证明如下： 如图，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 六、解答题（本大题共1小题，共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 23. 在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度； （2）如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：； （3）如图3，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过点作交于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵将绕着点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，由旋转的性质可得，，即可求解． （2）由可证，可得，，由可得，可得，可得结论． （3）先证明当点，点，点三点共线，且时，有最小值，再证明点，点，点三点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵将绕着点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点，点，点三点共线，且时，有最小值， 如图： ∵，， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点，点，点三点共线， 由折叠的性质得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $