期中考前满分冲刺之中等易错题-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）
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内容正文：
期中考前满分冲刺之中等易错题
【专题过关】
类型一、列方程组
1．有一列货运火车装运一批货物，如果每节车厢装65吨，则还剩20吨装不下；如果每节车厢装66吨，则还可多装40吨．设这列火车共有节车厢，这批货物共有吨，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意是解题关键．每节车厢装65吨，则还剩20吨装不下，则；如果每节车厢装66吨，则还可多装40吨，则，即可建立方程组．
【详解】解：设这列火车共有节车厢，这批货物共有吨，则可列方程组为，
故选：C．
2．《孙子算经》中有这样一道题：今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其大意是：现有若干人和车，若3人坐一辆车，则空余两辆车；若2人坐一辆车，则有9人步行，问：人与车各多少？设车有x辆，人有y人，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解∶根据题意，得，
故选∶B．
3．如图，用12块完全相同的小长方形瓷砖拼成一个宽是的大长方形，若设小长方形的长为，宽为，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题目所画图形可得：一个小长方形的长一个小长方形的宽，三个小长方形的长三个小长方形的宽两个小长方形的长，据此列方程组即可，解答本题的关键是仔细观察图形，找出合适的等量关系，列方程组．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，
由图可得：．
故选：B．
4．某超市开展了“欢度端午，回馈顾客”的打折促销活动，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5200元．设打折前甲、乙两种品牌的粽子每盒的价格分别为x元、y元，则所列的方程组是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设打折前甲品牌粽子每盒为x元，乙品牌粽子每盒为y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5200元”，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设打折前甲品牌粽子每盒为x元，乙品牌粽子每盒为y元，根据题意，得
，
故答案为：．
5．现用190张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做8个盒身或做22个盒底，而1个盒身和2个盒底配成一个完整的盒子．问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套？设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则列出的方程组为 ．
【答案】
【分析】根据方程组的应用，列出方程组解答即可．本题考查了方程组的应用，熟练掌握列方程组是解题的关键．
【详解】解：设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则列出的方程组为：
．
故答案为：．
6．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则可列方程组 ．
【答案】
【分析】本题考查了列二元一次方程组，因为某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，且8个茶杯和1个茶壶为一套，设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，故可列方程组，即可作答．
【详解】解：∵某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，且8个茶杯和1个茶壶为一套，设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，
∴，
故答案为：
类型二、完全平方式
1．如果是一个完全平方式，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握一个多项式能化成某个多项式的平方形式，即称这个多项式是完全平方式是解本题的关键．
利用完全平方式的概念即可求出m的值．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴
∴
∴
故选：D．
2．下列多项式属于完全平方式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题是完全平方公式的应用，根据两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式判断即可．
【详解】解：．，不属于完全平方式，故该选项不符合题意；
．，属于完全平方式，故该选项符合题意；
．，不属于完全平方式，故该选项不符合题意；
．，不属于完全平方式，故该选项不符合题意；
故选：B．
3．若是完全平方式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键．
这里首末两项是和的平方，那么中间项为加上或减去和的乘积的倍，据此求解即可．
【详解】解：是完全平方式，
，
，
故选：C．
4．若是一个关于的完全平方式，则 ．
【答案】13或
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
【详解】解：∵是一个关于的完全平方式，
∴，
解得：或，
故答案为：13或．
5．若是完全平方式，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方式的结构特征即可求出的值．
【详解】解：是完全平方式，
∴，
∴，
．
故答案为：．
6．如果是一个完全平方式，那么m的值为 ．
【答案】141或
【分析】根据完全平方公式得出，代入求出即可．
【详解】解：是完全平方式，
，
，
或，
故答案为：141或．
【点睛】本题主要考查对完全平方公式的理解和掌握，能根据已知得出是解此题的关键．
类型三、不含某项
1．若的展开式中不含x的一次项，则实数m的值为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．15
【答案】D
【分析】本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，不含的一次项，就是该项系数为，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键．
【详解】解：∵，
又∵展开式中不含x的一次项，
∴，
∴，
∴实数m的值为15．
故选：D．
2．已知的展开式中不含x项，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查整式的乘法，先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，根据题意求得x项系数为0时的m值即可．
【详解】解：
，
∵展开式中不含x项，
∴，解得，
故选：C．
3．已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再根据乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：
，
∵关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，
∴，
解得，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，多项式乘以多项式，正确得到关于a、b的方程组是解题的关键．
4．若中不含x的一次项，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再根据含的一次项的系数等于0求解即可得．
【详解】解：
，
∵中不含的一次项，
∴，
解得，
故答案为：6．
5．要使的展开式中不含项，则 ．
【答案】0
【分析】本题考查了单项式乘多项式，以此判断不含某一项的结果，先根据单项式乘多项式进行化简，然后让这一项的系数为0即可，正确计算是解题的关键．
【详解】解：
，
∵展开式中不含项，
∴，
故答案为：0．
6．若的乘积中不含项，则 ．
【答案】
【分析】先去括号，将项的项的系数变为0即可求解．
【详解】解：原式
，
乘积中不含项，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
类型四、折叠问题
1．如图，长方形纸片沿折叠，A，D两点分别与对应，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据平行线的性质，折叠的性质推出，利用平角的定义进行求解即可．
【详解】解：∵长方形纸片
∴，
∴，
由折叠的性质得出，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
故选：D．
2．如图所示，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则等于（ ）
A．25° B．65° C．50° D．70°
【答案】D
【分析】利用平行线的性质和折叠的性质得出，即可求解．
【详解】解：
四边形由四边形折叠所得
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键．
3．如图1，将一条对边互相平行的纸条进行两次折叠，第一次折叠的折痕为，且，第二次折叠的折痕为，如图2，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可得，由可得，即可得到的度数
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
4．将一条两边互相平行的纸带折叠（如图），若，则 度．
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，现根据对顶角得到，然后利用平行线得到，然后根据折叠得到，最后利用平角的定义得到的度数即可解题．
【详解】∵将一条两边互相平行的纸带折叠（如图），
∴，，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
5．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，C、D两点分别与对应，若，则的度数为 ．
【答案】/108度
【分析】本题考查平行线的性质，翻折变换，由题意，设，则，构建方程即可解决问题．
【详解】解：由翻折的性质可知：，
∵，
，
∵，
∴设，则，
，
，
，
，
故答案为：．
6．如图，点是长方形纸片的边上一点，沿折叠纸片交于点，且，则的度数是 ．
【答案】/38度
【分析】由长方形的性质可得，根据两直线平行内错角相等可得，再根据折叠的性质可得平分，即可求解．
【详解】解：由题意得：，
，
由折叠可得：平分，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，长方形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
类型五、二元一次方程组求参
1．若方程组的解中，则k等于（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
【答案】B
【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数问题，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
利用可得：，代入求解即可．
【详解】解：，
可得：，
∴同除可得：，
∵，
∴，
解得：，
故选：B．
2．已知关于，的二元一次方程组，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查加减消元法，将第二个方程减去第一个方程，即可解答．
【详解】解：，
，得．
故选：D
3．已知x，y满足方程组，则的值为（ ）
A．2025 B．﹣1 C．1 D．﹣2025
【答案】B
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、代数式求值等知识点，运用整体法求出的值是解题的关键．
方程组中的两个方程直接相加即可求出的值，再代入计算即可．
【详解】解：，
①+②，得，
∴，
∴．
故选：B．
4．已知关于、的方程组，则的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了解二元一次方程组，方程组两方程相加求出的值即可．
【详解】解：，
得：．
∴
故答案为：3．
5．已知关于，的方程组的解满足，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组的特点①②得，，结合已知可得，即可求解．
【详解】解：
①②得，
∵
∴，
解得：
故答案为： ．
6．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，正确计算是解题的关键．
先解二元一次方程组，然后把方程组的解代入方程中即可求出k的值．
【详解】解：解关于x，y的二元一次方程组，得，
根据题意得把代入方程中，得，
解得，
故答案为：．
类型六、数学依据
1．如图所示的是过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．两点之间线段最短
D．同位角相等，两直线平行
【答案】D
【分析】本题考查了画平行线，平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行，即可求解．熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴（同位角相等，两直线平行）
故选：D．
2．如图所示，小华借助直尺和三角板，根据“一重合、二紧靠、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线外一点画直线”，其中依据的数学原理是（ ）
A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】B
【分析】本题考查了作图复杂作图、平行线的判定，根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，即可写出这样画图的依据，解决本题的关键是掌握平行线的判定．
【详解】解：根据作图过程可知：
画图的依据是：同位角相等，两直线平行．
故选：B．
3．如图，点是直线外一点，、、、都在直线上，于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．垂线段最短
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂线段最短，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，熟练掌握垂线段最短是解题关键．根据垂线段最短求解即可．
【详解】解：在点与、、、四点的连线中，线段最短，依据是“垂线段最短”．
故选：D．
4．过直线外一点作已知直线的平行线的方法如图所示，其依据是 ．
【答案】同位角相等，两直线平行
【分析】本题主要考查了平行线的判定，正确理解题意是解题关键．根据平行线的判定定理进行求解即可．
【详解】解：如图：
由题意得，，
∴（同位角相等，两直线平行），
故答案为：同位角相等，两直线平行．
5．如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 ．
【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【分析】本题考查平行公理，根据平行公理进行作答即可．
【详解】解：由题意，这个基本事实是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
6．如图所示的是一个可折叠的衣架，是地平线，如果，那么就可确定点在同一条直线上．依据是______（填序号）．
①两点确定一条直线；②过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
【答案】②
【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可，熟练掌握平行线的判定，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
∴点在同一条直线上，
故答案为：②
类型七、平行的性质与判定
1．如图， ，点，在直线上，点在直线上，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质．根据“两直线平行，内错角相等”与平角为进行解题即可．
【详解】解：，
，
又
∴，
，
故选：D．
2．将一块直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置．以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质，对题目的结论逐项分析即可得出答案．
【详解】解：纸条的两边平行，
，，，故①②④正确；
三角板是直角三角板，
，
又，
，故③正确；
综上所述，其中正确的个数是4个．
故选：D．
3．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．如图所示，在某次光的折射实验活动中，小明发现，，已知水面与容器底部平行，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查求角度，涉及平行线的性质，根据题中的图，由两直线平行内错角相等得到，代值求解即可得到答案，熟记平行线性质，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
4．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若，则与的度数和是 ．
【答案】
【分析】本题考查平行线的判定和性质．由平行线的性质推出，，而，即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
5．如图，点D、E分别在的边上，点F在线段上，延长交的延长线于G，．
(1)如图1，证明：；
(2)如图2，，，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，运用相应性质得出相等的角是关键．
（1）由已知，三角形内角和定理得，得从而证得结论；
（2）由（1）得和，求得，在直角三角形中，求得从而求出的度数．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
6．如图，，，是上一点且平分．
(1)请判断与的位置关系，并说明理由．
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质可得，根据内错角相等两直线平行即可证明；
（2）根据同位角相等两直线平行得，再根据两直线平行同旁内角互补即可解答．
【详解】（1）解：，理由如下，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
类型八、新定义运算
1．对于任意实数x，y，定义运算，其中a，b为常数，符号右边的运算是通常意义的加、乘运算，现已知，且，则值为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
【答案】D
【分析】根据定义及，可得二元一次方程组，求解得到a和b的值，即可求解得到的值．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和新定义的运算，构造二元一次方程组是解题的关键．
2．对于任意有理数，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式乘法，掌握平方差公式的结构特征是解题关键．根据已知新定义运算法则列式，再结合平方差公式计算即可．
【详解】解：☆
，
故选：D．
3．定义一种新运算：规定．若，则的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了定义新运算，同底数幂的乘法，读懂题意是解题的关键．根据题意可知，，然后解方程即可．
【详解】解：
故答案为：1．
4．定义新运算：对于任意实数、约定关于的一种运算如下：．例如：．若，且，则的值是 ．
【答案】
【分析】已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，两方程相加即可求出所求．
【详解】解：根据题中的新定义化简得：，
得：，
则．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，弄清题中的新定义是解本题的关键．
5．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知：，．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】本题考查了定义新运算、解二元一次方程组，理解新定义运算是解题的关键．
（1）根据新定义运算，结合，列出方程组即可求解；
（2）先根据新运算法则列出关于x，y的方程组，用含的式子表示出，再根据即可求出m的值．
【详解】（1）解：，，
，
解得：．
（2）解：由题意得，，
解得：，
，
，
解得：，
的值为0．
6．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式， 这个常数称为它们的对消值，如与互为对消多项式， 它们的对消值为5
(1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）；
①与；②与 ；③与.
(2)多项式与多项式（a， b为常数）互为对消多项式， 求它们的对消值
【答案】(1)③
(2)2
【分析】此题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则．
()运用题目中的定义进行逐一计算、辨别；
()先运用题目中的定义求得，的值，再代入求解．
【详解】（1）解：①，不是常数，故不是“对消多项式”；
②，不是常数，故不是“对消多项式”；
③，是常数，故是“对消多项式”，
故答案为：③；
（2）解：，，
∵与互为“对消多项式”，
，，
，，
∴它们的“对消值”为；
类型九、二元一次方程组的应用
1．两块试验田去年共产花生．改用良种后，今年共产花生．已知第一块试验田的产量比去年增产，第二块试验田的产量比去年增产．求改用良种后每块试验田的产量
【答案】改良后第一块田产量为，第二块田的产量为
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设去年第一块田的产量是x千克，第二块田的产量是y千克，根据两块试验田去年及今年的产量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入和即可求出改良后每块田的产量．
【详解】解：设去年第一块田的产量是x千克，第二块田的产量是y千克，
依题意，得：，
解得：，
∴，．
答：改用良种后第一块田的产量是116千克，第二块田的产量是407千克．
2．2024年10月30日，搭载“神舟十九号”载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，将航天员蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利送入太空，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功.某电商平台经销商看准商机，迅速推出“天宫”和“神舟”两款模型玩具，已知销售店老板从玩具生产商购进1个“天官”模型的费用比购进1个“神舟”模型的费用多20元；购进3个“天宫”模型的费用与购进4个“神舟”模型的费用相等.分别求“天宫”模型和“神舟”模型的进货单价.
【答案】“天宫”模型的进货单价为80元，“神舟”模型的进货单价为60元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设“天宫”模型的进货单价为x元，“神舟”模型的进货单价为y元，根据销售店老板从玩具生产商购进1个“天官”模型的费用比购进1个“神舟”模型的费用多20元及购进3个“天宫”模型的费用与购进4个“神舟”模型的费用相等，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设“天宫”模型的进货单价为x元，“神舟”模型的进货单价为y元，
根据题意得：，
解得：，
答：“天宫”模型的进货单价为80元，“神舟”模型的进货单价为60元．
3．为了落实“双减”政策，丰富学生的课余生活，某校开设智能机器人编程的校本课程并购买了A、B两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型的单价比B型机器人模型贵100元，购买3台A型机器人模型的费用恰好与购买4台B型机器人模型的费用相等．
(1)A型和B型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)现在需要购买A型机器人模型5台，B型机器人模型8台，则共需花费多少钱？
【答案】(1)A型机器人模型的单价为400元，B型机器人模型的单价为300元
(2)一共需要4400元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用．
（1）设A型机器人模型的单价为x元，B型机器人模型的单价为y元，根据A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，购买3台A型机器人模型的费用恰好与购买4台B型机器人模型的费用相等，列出方程，解方程即可；
（2）根据（1）所求分别求出两种机器人的费用，然后求和即可得到答案．
【详解】（1）解：设A型机器人模型的单价为x元，B型机器人模型的单价为y元．
由题意得：，
解得：，
答：A型机器人模型的单价为400元，B型机器人模型的单价为300元．
（2）解：（元），
答：一共需要4400元．
4．第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”在市场热销．某商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，其中一个“滨滨”进价20元，一个“妮妮”进价15元．
(1)求商场购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？
(2)若一个“滨滨”的售价为28元，商场计划售完这批“滨滨”和“妮妮”的利润率是，求一个“妮妮”的售价
【答案】(1)商场购进“滨滨”600个，“妮妮”400个；
(2)一个“妮妮”的售价为21元
【分析】（1）设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个，根据某商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设一个“妮妮”的售价为m元，根据商场计划售完这批“滨滨”和“妮妮”的利润率是，列出一元一次方程，解方程即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元一次方程．
【详解】（1）解：设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个，
由题意得：，
解得：，
答：商场购进“滨滨”600个，“妮妮”400个．
（2）解：设一个“妮妮”的售价为m元，
由题意得：，
解得：，
答：一个“妮妮”的售价为21元．
5．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元．
(1)求A，B两种头盔的单价各是多少元；
(2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
【答案】(1)A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元
(2)共有2种购买方案，最大利润是220元
【分析】设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元．
（2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个，
由题意得：，
整理得：，
、n均为正整数，
或，
该商店共有2种购买方案：
①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元；
，
最大利润是220元．
6．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元．
(1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案．
【答案】(1)A型号的汽车每辆进价为25万元，B型号的汽车每辆进价为15万元
(2)A型号的汽车7台，B型号的汽车5台；A型号的汽车4台，B型号的汽车10台；购买A型号的汽车1台，B型号的汽车15台
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的解，理解题意并解二元一次方程组是解题的关键．
（1）根据题意列出二元一次方程组并进行求解即可；
（2）根据题意列出二元一次方程，并根据解的情况求出解即可．
【详解】（1）解：设A型号的汽车每辆进价为x万元，B型号的汽车每辆进价为y万元，
，
解得，
答：A型号的汽车每辆进价为25万元，B型号的汽车每辆进价为15万元．
（2）解：设购买A型号的汽车a台，B型号的汽车b台，
，
即，
∵a、b均为正整数，
∴或或，
方案一：购买A型号的汽车7台，B型号的汽车5台，
方案二：购买A型号的汽车4台，B型号的汽车10台，
方案一：购买A型号的汽车1台，B型号的汽车15台．
类型十、化简求值
1．先化简，再求值：，其中．
【答案】，24
【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式，整式化简求值，先根据完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类项，得，然后把代入求值，即可作答．
【详解】解：
，
∵，
∴原式．
2．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题考查了整式混合运算及求值，由平方差公式及完全平方公式进行运算，再进行加减运算，代值计算，即可求解；能熟练利用平方差公式及完全平方公式进行运算是解题的关键．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式
．
3．先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，先利用平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式的法则进行计算，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】解：
，
当，时，原式．
4．先化简，再求值：已知，求代数式的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了整式的乘法，代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；
先根据整式乘法运算法则计算，再整体代入求值即可．
【详解】解：原式
．
因为，
所以，
所以原式．
5．先化简再求值：
(1)其中
(2)，其中．
【答案】(1)，
(2)，31
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，求值过程中需要注意整体代入思想的应用．
（1）利用单项式乘以多项式，平方差公式计算，再代入求值；
（2）先利用单项式乘以多项式，平方差公式，完全平方公式计算，再将变形为，最后整体代入求值．
【详解】（1）解：，
，
当时，原式；
（2）解：
，
∵，
∴，
∴原式．
6．先化简，再求值:
(1)．
(2)，其中；
(3)，其中．
【答案】(1)
(2)；1
(3)；36
【分析】本题考查了整式的混合运算以及化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，然后合并同类项，即可作答．
（2）先运用平方差公式展开再合并同类项，然后运算除法，得，再把代入计算，即可作答．
（3）先分别根据单项式乘多项式以及乘法公式进行展开，再合并同类项，得，结合，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
把代入，得；
（3）解：
，
∵，
∴原式．
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期中考前满分冲刺之中等易错题
【专题过关】
类型一、列方程组
1．有一列货运火车装运一批货物，如果每节车厢装65吨，则还剩20吨装不下；如果每节车厢装66吨，则还可多装40吨．设这列火车共有节车厢，这批货物共有吨，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．《孙子算经》中有这样一道题：今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其大意是：现有若干人和车，若3人坐一辆车，则空余两辆车；若2人坐一辆车，则有9人步行，问：人与车各多少？设车有x辆，人有y人，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，用12块完全相同的小长方形瓷砖拼成一个宽是的大长方形，若设小长方形的长为，宽为，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
4．某超市开展了“欢度端午，回馈顾客”的打折促销活动，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5200元．设打折前甲、乙两种品牌的粽子每盒的价格分别为x元、y元，则所列的方程组是 ．
5．现用190张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做8个盒身或做22个盒底，而1个盒身和2个盒底配成一个完整的盒子．问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套？设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则列出的方程组为 ．
6．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则可列方程组 ．
类型二、完全平方式
1．如果是一个完全平方式，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．
2．下列多项式属于完全平方式的是（ ）
A． B． C． D．
3．若是完全平方式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若是一个关于的完全平方式，则 ．
5．若是完全平方式，则的值是 ．
6．如果是一个完全平方式，那么m的值为 ．
类型三、不含某项
1．若的展开式中不含x的一次项，则实数m的值为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．15
2．已知的展开式中不含x项，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
4．若中不含x的一次项，则 ．
5．要使的展开式中不含项，则 ．
6．若的乘积中不含项，则 ．
类型四、折叠问题
1．如图，长方形纸片沿折叠，A，D两点分别与对应，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则等于（ ）
A．25° B．65° C．50° D．70°
3．如图1，将一条对边互相平行的纸条进行两次折叠，第一次折叠的折痕为，且，第二次折叠的折痕为，如图2，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．将一条两边互相平行的纸带折叠（如图），若，则 度．
5．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，C、D两点分别与对应，若，则的度数为 ．
6．如图，点是长方形纸片的边上一点，沿折叠纸片交于点，且，则的度数是 ．
类型五、二元一次方程组求参
1．若方程组的解中，则k等于（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
2．已知关于，的二元一次方程组，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
3．已知x，y满足方程组，则的值为（ ）
A．2025 B．﹣1 C．1 D．﹣2025
4．已知关于、的方程组，则的值为 ．
5．已知关于，的方程组的解满足，则 ．
6．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为 ．
类型六、数学依据
1．如图所示的是过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．两点之间线段最短
D．同位角相等，两直线平行
2．如图所示，小华借助直尺和三角板，根据“一重合、二紧靠、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线外一点画直线”，其中依据的数学原理是（ ）
A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
3．如图，点是直线外一点，、、、都在直线上，于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．垂线段最短
4．过直线外一点作已知直线的平行线的方法如图所示，其依据是 ．
5．如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 ．
6．如图所示的是一个可折叠的衣架，是地平线，如果，那么就可确定点在同一条直线上．依据是______（填序号）．
①两点确定一条直线；②过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
类型七、平行的性质与判定
1．如图， ，点，在直线上，点在直线上，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．将一块直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置．以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．如图所示，在某次光的折射实验活动中，小明发现，，已知水面与容器底部平行，则的度数为 ．
4．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若，则与的度数和是 ．
5．如图，点D、E分别在的边上，点F在线段上，延长交的延长线于G，．
(1)如图1，证明：；
(2)如图2，，，，求的度数．
6．如图，，，是上一点且平分．
(1)请判断与的位置关系，并说明理由．
(2)若，，求的度数．
类型八、新定义运算
1．对于任意实数x，y，定义运算，其中a，b为常数，符号右边的运算是通常意义的加、乘运算，现已知，且，则值为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
2．对于任意有理数，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（ ）
A． B． C． D．
3．定义一种新运算：规定．若，则的值为 ．
4．定义新运算：对于任意实数、约定关于的一种运算如下：．例如：．若，且，则的值是 ．
5．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知：，．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值．
6．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式， 这个常数称为它们的对消值，如与互为对消多项式， 它们的对消值为5
(1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）；
①与；②与 ；③与.
(2)多项式与多项式（a， b为常数）互为对消多项式， 求它们的对消值
类型九、二元一次方程组的应用
1．两块试验田去年共产花生．改用良种后，今年共产花生．已知第一块试验田的产量比去年增产，第二块试验田的产量比去年增产．求改用良种后每块试验田的产量
2．2024年10月30日，搭载“神舟十九号”载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，将航天员蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利送入太空，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功.某电商平台经销商看准商机，迅速推出“天宫”和“神舟”两款模型玩具，已知销售店老板从玩具生产商购进1个“天官”模型的费用比购进1个“神舟”模型的费用多20元；购进3个“天宫”模型的费用与购进4个“神舟”模型的费用相等.分别求“天宫”模型和“神舟”模型的进货单价.
3．为了落实“双减”政策，丰富学生的课余生活，某校开设智能机器人编程的校本课程并购买了A、B两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型的单价比B型机器人模型贵100元，购买3台A型机器人模型的费用恰好与购买4台B型机器人模型的费用相等．
(1)A型和B型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)现在需要购买A型机器人模型5台，B型机器人模型8台，则共需花费多少钱？
4．第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”在市场热销．某商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，其中一个“滨滨”进价20元，一个“妮妮”进价15元．
(1)求商场购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？
(2)若一个“滨滨”的售价为28元，商场计划售完这批“滨滨”和“妮妮”的利润率是，求一个“妮妮”的售价
5．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元．
(1)求A，B两种头盔的单价各是多少元；
(2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
6．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元．
(1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案．
类型十、化简求值
1．先化简，再求值：，其中．
2．先化简，再求值：，其中，．
3．先化简，再求值：，其中，．
4．先化简，再求值：已知，求代数式的值．
5．先化简再求值：
(1)其中
(2)，其中．
6．先化简，再求值:
(1)．
(2)，其中；
(3)，其中．
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