第八章立体几何初步章末检测卷-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019） 必修第二册

第八章 立体几何初步章末检测 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点在平面上（不含三棱柱的顶点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知为圆锥的底面直径，为底面圆心，正三角形内接于，若，圆锥的侧面积为，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．某纪念塔的一部分建筑结构可抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，，顶点到底面的距离为3，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平行六面体中，是线段上的一点，且，则三棱锥的体积与平行六面体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在棱长为1的正方体内部，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体与均相切，则该9部分的体积和的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．在正四棱锥中，记侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，相邻两侧面所成的二面角的平面角为，侧面等腰三角形的底角为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．设为圆锥底面的一条直径，为底面圆周上异于的一点，为靠近的一个三等分点，且二面角与二面角的大小相等，则该圆锥的体积与三棱锥的体积之比是（   ） A． B． C． D． 8．在边长为的菱形ABCD中，，E为BD中点，将绕直线BD翻折到，使得四面体外接球的表面积为，则此时直线与平面BCD所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（    ） A．该几何体的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为 10．圆柱内有一个棱长为2的正方体，正方体的各个顶点在圆柱的上、下底面圆周上，则（    ） A．圆柱的轴截面为正方形 B．过正方体中心的平面将圆柱分成体积相等的两部分 C．圆柱的表面积为 D．若圆柱的上下底面是一个球的两个平行截面，则该球的体积是 11．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，则（ ） A．平面平面PBC B．平面PCD C．当平面AEF时，三棱锥的体积为 D．当F是BC的中点时，三棱锥外接球的表面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个底面半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为R的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分（阴影所示称之为“球冠”）的几何体的体积是 ． 13．如图，在的二面角的棱上有两点，点分别在内，且，，则的长度为 ．    14．如图所示，将绘有函数部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为，则 ． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 16.（本小题15分） 如图，在四棱柱中，，，，，，分别是棱，的中点.    (1)证明：平面. (2)若，直线与平面所成角的正弦值为. ①求四棱柱的体积； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 17.（本小题15分） 如图，在等腰直角三角形中，，，为的中点，分别为边上一点，满足．将分别沿着翻折成，满足在平面的同一侧，面面． (1)证明：共面； (2)在线段上是否存在一点（异于端点），满足平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的情况下，求直线与平面所成角的正弦值． 18.（本小题17分） 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面底面，为上的点，且平面.    (1)求证：平面平面； (2)求二面角大小的正切值； (3)试探求点到平面的距离与四面体外接球半径的大小关系，并说明理由. 19.（本小题17分） 如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体）放置在水平面α的上方，点A恰在平面α内，点B到平面α的距离为2．若容器中装有水，静止时水面与平面的交线与的夹角为0，记水面到平面α的距离为d．    (1)证明：平面平面； (2)求点到平面α的距离； (3)当时，求所装的水的体积. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 立体几何初步章末检测解析版 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点在平面上（不含三棱柱的顶点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，点是在以线段为直径的球与平面形成的交线上，    如图，取的中点，的中点，设BP的中点为， 连接，则，， 过点作，垂足为N， 由于， 又根据正三棱柱可知，平面， 所以平面，则平面， 则， 而， ，，， 故点在以为圆心，为半径的圆上， 故的最小值为， 故选：D. 2．已知为圆锥的底面直径，为底面圆心，正三角形内接于，若，圆锥的侧面积为，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为，所以， 所以，所以， 所以，又正三角形内接于， 所以，解得：，所以， 所以， 过点作交的延长线于点，， 所以与所成角即为与所成角或其补角， 所以为与所成角， 由余弦定理可得：， 故选：A. 3．某纪念塔的一部分建筑结构可抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，，顶点到底面的距离为3，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为，且底面是等腰直角三角形，， 所以点在平面上的射影为边的中点，在直角三角形中，由勾股定理得,所以, 又因为底面是等腰直角三角形，， ; 设点到平面的距离为，则 , 所以. 故选：C 4．如图，在平行六面体中，是线段上的一点，且，则三棱锥的体积与平行六面体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设及平行六面体的结构特征易知，面，面， 所以面，则上任意一点到面的距离为定值， 又，则， 由的底面面积是平行六面体底面面积的一半，且高相等， 所以. 故选：D 5．如图，在棱长为1的正方体内部，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体与均相切，则该9部分的体积和的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设球体的半径为半径为，所以，即得， 又，所以开口向下，对称轴为， 所以， 该9部分的体积和为 . 故选：C. 6．在正四棱锥中，记侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，相邻两侧面所成的二面角的平面角为，侧面等腰三角形的底角为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    如图，不妨设正四棱锥的底面边长为2，高，取中点，连接. 易知 所以，则. 过点作于点，连接，因为，所以， 所以即为相邻侧面和侧面所成的二面角的平面角， 即， 在中，根据余弦定理， , 其中，所以. 所以，. 故选：A. 7．设为圆锥底面的一条直径，为底面圆周上异于的一点，为靠近的一个三等分点，且二面角与二面角的大小相等，则该圆锥的体积与三棱锥的体积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 在圆所在平面内，过作，垂足为，过作，垂足为， ∵，∴，， ∴为二面角的平面角，为二面角的平面角， ∴. ∵在和中，， ∴. ∵为上靠近的一个三等分点，∴. 设，则，底面圆半径为，圆锥高. ∵点在圆锥底面圆上，∴， ∵点为中点，，， ∴，， ∴，即， ∴，， ∴. 故选：B. 8．在边长为的菱形ABCD中，，E为BD中点，将绕直线BD翻折到，使得四面体外接球的表面积为，则此时直线与平面BCD所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，由已知和都是等边三角形，是中点，，，又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，同理平面平面， 所以在平面内的射影是，所以是与平面所成的角， 设分别是和的外心，则，， 且，在平面内过作， 过作，与交于点，则平面，同理平面，平面，则，所以是四面体外接球的球心， 由已知，，，又， 所以，，，，，由对称性知，，所以直线与平面BCD所成角的正弦值为， 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（    ） A．该几何体的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为 【答案】ACD 【详解】对于A，正四棱锥底面半径，高， 因此该几何体的高为，A正确； 对于B，几何体的表面积为，B错误； 对于C，该几何体的体积为，C正确； 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形及正，将它们置于同一平面内，连接，如图， 取中点，连接，则，而， 所以最短路程为，D正确. 故选：ACD 10．圆柱内有一个棱长为2的正方体，正方体的各个顶点在圆柱的上、下底面圆周上，则（    ） A．圆柱的轴截面为正方形 B．过正方体中心的平面将圆柱分成体积相等的两部分 C．圆柱的表面积为 D．若圆柱的上下底面是一个球的两个平行截面，则该球的体积是 【答案】BCD 【详解】如图所示，对于正方体和圆柱，正方体的中心为， 对于选项A：由题意可知：， 所以圆柱的轴截面不为正方形，故A错误； 对于选项B：因为正方体的中心也为圆柱的中心， 根据对称性可知过正方体中心的平面将圆柱分成体积相等的两部分，故B正确； 对于选项C：可知圆柱的底面半径为，母线长为2， 所以圆柱的表面积为，故C正确； 对于选项D：可知该球的球心为， 则，即球的半径为， 所以该球的体积是，故D正确； 故选：BCD. 11．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，则（ ） A．平面平面PBC B．平面PCD C．当平面AEF时，三棱锥的体积为 D．当F是BC的中点时，三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【详解】因为，E为线段PB的中点，所以， 因为底面ABCD，又底面ABCD，所以， 因为底面ABCD是正方形，所以， 又，平面PAB，所以平面. 因为平面PAB，所以. 又，PB，平面PBC，所以平面， 因为平面AEF，所以平面平面PBC，故选项A正确； 当F为线段BC的中点时，由E为线段PB的中点，可得， 又平面，平面，所以平面， 若平面，又，平面， 所以平面平面，又平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以， 又显然与不平行，故B错误； 当平面AEF时，， 因为E为线段PB的中点， 所以F为线段BC的中点，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又，E为PB的中点，所以， 因为平面PAB，平面PAB，所以， 所以三棱锥的体积 ，故选项C正确； 因为平面PBC，，所以三棱锥可补全为长方体. 设三棱锥外接球的半径为R，则， 所以三棱锥外接球的表面积为，所以选项D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个底面半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为R的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分（阴影所示称之为“球冠”）的几何体的体积是 ． 【答案】 【详解】∵，，， ∴， ∴． 故答案为：. 13．如图，在的二面角的棱上有两点，点分别在内，且，，则的长度为 ．    【答案】 【详解】过点作直线的垂线段，垂足为点，以为邻边作平行四边形，连接，如图，    由， 又，则就是二面角的平面角, 平面, 所以平面， 所以，在中，解：， 在中利用余弦定理得：， 解得：， 由于平面，平面，故， ，故， 在中，即：， 整理得：． 故答案为： 14．如图所示，将绘有函数部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为，则 ． 【答案】 【详解】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴、轴的垂线相交于点， 连接，则， 由余弦定理得， 由上可知，轴垂直于，又平面， 所以轴垂直于平面，又轴，所以平面， 因为平面，所以， 因为的周期，所以， 由勾股定理得，解得， 由图知，的图象过点，且在递减区间内， 所以，即， 因为，点在递减区间内，所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）因为三棱柱是正三棱柱， 所以平面，所以， 又因为M是的中点，所以， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以， 点M为的中点，所以，， 所以， ， 设点A到平面的距离为h，则， 所以，解得， 所以点A到平面的距离为. （2）由（1）可知平面， 因为平面，则平面平面， 在中作边上的高，的延长线交于点Q，即有， 平面平面，平面， 因此平面， 于是点Q即为所要找的点， 在和中，，即， 所以，因此， 即有，于是，所以. 16.（本小题15分） 如图，在四棱柱中，，，，，，分别是棱，的中点.    (1)证明：平面. (2)若，直线与平面所成角的正弦值为. ①求四棱柱的体积； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)①24；② 【详解】（1）在梯形中，，，则， 在中，，， 则，，而，平面， 所以平面. （2）①由，平面，得平面， 取中点，连接，由是的中点，得， 由（1）知，平面，则是直线与平面所成的角， 即，，， 所以四棱柱的体积.    ②连接，由①知平面，，则平面， 平面，则，而，于是， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 由是的中点，得，共面， 因此是平面与平面的夹角， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值是. 17.（本小题15分） 如图，在等腰直角三角形中，，，为的中点，分别为边上一点，满足．将分别沿着翻折成，满足在平面的同一侧，面面． (1)证明：共面； (2)在线段上是否存在一点（异于端点），满足平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的情况下，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)直线与平面所成角的正弦值为. 【详解】（1）延长，相交于点， 因为，为的中点， 故，又，所以， 又， 所以， 因为平面，平面， 所以， 而，， 所以，故， 故共线，且， 又，所以， 所以共面， （2）由（1），又平面，平面， 所以平面， 因为，又平面，平面， 所以平面，又，平面， 所以平面平面， 由（1），取上靠近的三等分点， 则，又， 所以四边形为平行四边形， 所以，平面，， 所以平面， （3）由（2）可得直线与平面所成角即为直线与所成角， 作与相交于点. 由平面，平面，可得， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以，又，，平面， 所以平面， 所以直线在平面上的投影为， 所以就是直线与平面所成角， 在中，，，， 所以， 所以， 在中，，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18.（本小题17分） 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面底面，为上的点，且平面.    (1)求证：平面平面； (2)求二面角大小的正切值； (3)试探求点到平面的距离与四面体外接球半径的大小关系，并说明理由. 【答案】(1)证明过程见解析； (2) (3)，理由见解析 【详解】（1）因为底面是边长为2的正方形， 所以⊥， 因为平面底面，交线为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以平面⊥平面； （2）连接，交于点，连接，    因为底面是边长为2的正方形， 所以⊥，由勾股定理得，故， 因为平面，平面， 所以，， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 所以或其补角为二面角的平面角， 由（1）知，⊥平面， 平面，所以⊥， 又，，由勾股定理得， 由（1）知，⊥平面，平面，故⊥， 由勾股定理得， 所以， 因为，故， 所以， 所以二面角大小的正切值为； （3），理由如下：    取的中点，连接，，， 因为，所以⊥，故为三棱锥的高， 又⊥，所以， ， 由得， 由勾股定理逆定理得⊥， 所以， 所以点到平面的距离， 因为为中点，所以，， 故⊥平面，因为平面，所以⊥， 由勾股定理得， 又，故点为四面体外接球球心， 故外接球半径， 显然，故. 19.（本小题17分） 如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体）放置在水平面α的上方，点A恰在平面α内，点B到平面α的距离为2．若容器中装有水，静止时水面与平面的交线与的夹角为0，记水面到平面α的距离为d．    (1)证明：平面平面； (2)求点到平面α的距离； (3)当时，求所装的水的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)8 (3) 【详解】（1）    如图连接， 根据正方体的性质可知平面， 因平面，故， 在正方形中，，又，平面， 故平面，根据题意，故平面平面. （2）如图为正方体中截面与平面，      根据（1）作平面，为垂足，连接，则过点， 交于点， 由题意，，， 易知，故，得， 故可知点到平面α的距离为8 （3）    如图，当时，作，且，则， ，易知，则，得， ，    还原到正方体中，如图所示，，， 则三棱台的体积为正方体中除去所装水剩下的体积， ， ， , ， 故所装水的体积为 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$