重庆市2025年中考数学押题卷（三）

重庆市2025年中考数学押题卷（三） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．在，1，0，2这四个数中，最大的数是（    ） A． B．1 C．0 D．2 2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 4．如图，将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（    ）度． A．45 B．60 C．75 D．105 5．如图，与位似，点为位似中心．已知，则与面积比为（    ） A． B． C． D． 6．用大小一样的灰色小正方形纸片按如图所示的规律摆放，其中第1个图用了4个灰色小正方形，第2个图用了7个灰色小正方形，第3个图用了10个灰色小正方形，…，按此规律排列下去，第8个图用的灰色小正方形的个数是（    ） A．22 B．25 C．28 D．31 7．估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 8．如图，在正方形中，，以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，点E，F分别在，上，满足，连接，，点P，Q分别是，的中点，连接．若．则可以用α表示为（　　） A．α B． C． D． 10．观察下列单项式：，…，按此规律，第8个单项式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共8题，每题4分，共32分.） 11．计算： ． 12．正n边形的每一个外角都是它相邻的内角的2倍，则n的值为 ． 13．一个不透明的盒子里装有个红球、个白球、个黑球，从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回．将剩下的球先摇匀再随机摸出一个球，则两次都摸出白球的概率是 ． 14．某菜鸟驿站第一天揽件件，第三天揽件件，设该菜鸟驿站揽件日平均增长率为，根据题意所列方程为 ． 15．如图，在四边形中，，的平分线交于点，，若，，则四边形的周长为 ． 16．如果关于的分式方程有非负整数解，且关于的不等式组至少有2个整数解，那么符合条件的整数的和为 ． 17．如图，以为直径的与相切于点，以为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则 ． ． 18．我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为，则称为“方减数”，并把分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，与的十位数字相同，个位数字与的和为，所以是“方减数”，分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ．把一个“方减数”进行“方减分解”，即，将放在的左边组成一个新的四位数，若除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数为 ． 三、解答题：（本大题共8题，第19-20每题8分，第21-26每题10分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．化简：（1）； （2）． 20．在大学校园里，共享单车以其便捷、环保的特点，成为了广大师生出行的新选择．某品牌共享单车为了解其在大学生群体中的受欢迎程度，在甲、乙两个大学中进行了满意度调查（单位：分，满分100分，分数越高越受欢迎）．现在从甲、乙两个大学中各随机抽取10名学生的满意度得分数据进行整理、描述和分析（满意度得分用x表示，共分为A、B、C、D四个等级：．A：，B：，C．，D．）．下面给出了部分信息： 甲大学10名学生满意度得分数据：99，96，92，93，88，88，88，78，74，69； 乙大学10名学生B等级所有满意度得分数据：89，89，88，86，82． 甲、乙大学抽取的学生满意度得分统计表 学校 平均数 中位数 众数 方差 甲 88 a 乙 b 89 请根据以上信息解答： (1) ， ， ； (2)你认为该品牌共享单车在哪个大学更受学生欢迎？请说明理由：（写出一条即可） (3)若甲、乙两校共有7200人参加此次满意度调查，请你估计喜爱该品牌共享单车的学生有多少人？ 21．如图，AC为矩形ABCD的对角线，． (1)尺规作图：作AC的垂直平分线，垂足为点O，交AD于点E，交BC于点F；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，连结AF，CE，求证：四边形AFCE是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴，． ∵EF平分AC， ∴________． ∴________． ∴________． 又∵， ∴四边形AFCE是________． 又∵， ∴四边形AFCE是菱形． 22．某书店准备购进甲和乙两种书，已知每本甲比每本乙的进价少10元，用900元购进甲的数量是用600元购进乙数量的2倍． (1)求甲和乙这两种书每本的进价分别是多少元？ (2)若书店购进乙的数量比甲的数量的2倍还要多5本，且甲的数量不少于648本，购进甲和乙两种书的总费用不超过71700元，则书店有哪几种购买方案？ 23．如图，在 中， ， ，， 点 D为的中点， 过点D作交于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线(含端点) 运动，到达E点停止运动，过点P作交于点Q． 设点P的运动时间为x秒，的长度为，请解答下列问题： (1)直接写出关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)的函数图象如图所示，当时，请直接写出x的取值范围．(结果保留一位小数，误差不超过) 24．如图，四边形是一湿地公园的休闲步道.经测量，于点B，米，点D在C的北偏东方向，且点D在A的东北方向． (1)求步道的长度；（精确到个位数） (2)小庆以80米/分的速度沿B→C→D→A的方向步行，小渝骑自行车以200米/分的速度沿B→A→D→C的方向行驶．两人同时出发能否在9分钟内相遇？请说明理由．（参考数据：，，） 25．如图1，已知抛物线与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点，其中． (1)求线段的长度． (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，作轴交于点，为中点，连接，请求出的最大值以及此时点的坐标． (3)将抛物线水平向右平移个单位后得到抛物线，点、点的对应点分别为点、点，抛物线与轴交于点（点不与原点重合），连接、．在平移过程中，当时，请直接写出的值． 26．如图，在中，平分交边于点，在边上取点，使得，连接． (1)如图1，当时，求的大小． (2)如图2，过点作于点，当时，请证明：． (3)如图3，在（2）问的条件下，连接，当时，在四边形内部是否存在点，使得点到四边形四条边的距离相等？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第14页，共14页 试卷第13页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市2025年中考数学押题卷（三） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．在，1，0，2这四个数中，最大的数是（    ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正数大于0，0大于负数进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴最大的数是2， 故选：D． 2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，则此项不符合题意； C、是轴对称图形，则此项符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：C． 3．函数的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数图象上的点的坐标一定满足其对应的函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数图象上的点的坐标一定满足其对应的函数解析式， ∴在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积一定为3， ∴四个选项中只有D选项符合题意， 故选：D． 4．如图，将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（    ）度． A．45 B．60 C．75 D．105 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等． 首先计算的度数，再根据平行线的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：如图所示，∵，， ， ， ， 故选：C． 5．如图，与位似，点为位似中心．已知，则与面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似变换得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：与位似， ，， ， ， ∴。 ， 与面积比为， 故选：D． 6．用大小一样的灰色小正方形纸片按如图所示的规律摆放，其中第1个图用了4个灰色小正方形，第2个图用了7个灰色小正方形，第3个图用了10个灰色小正方形，…，按此规律排列下去，第8个图用的灰色小正方形的个数是（    ） A．22 B．25 C．28 D．31 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形得出第n个图用的灰色小正方形的个数是据此可得． 【详解】∵第1个图用的灰色小正方形的个数是， 第2个图用的灰色小正方形的个数是， 第3个图用的灰色小正方形的个数是， …… ∴第n个图用的灰色小正方形的个数是， 则第8个图用的灰色小正方形的个数是， 故选：B． 7．估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算、无理数的估算，根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：， ∵，即， ∴， 故选：C． 8．如图，在正方形中，，以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算方法，根据，进行计算即可得出答案，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差． 【详解】解：在正方形中，，， ，，， ， ， 故选：A． 9．如图，在正方形中，点E，F分别在，上，满足，连接，，点P，Q分别是，的中点，连接．若．则可以用α表示为（　　） A．α B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，则，，如图，连接，则，，，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形中， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 如图，连接，    ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 10．观察下列单项式：，…，按此规律，第8个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化规律，根据所给单项式，探索出式子的一般规律是解题的关键． 通过观察可知系数为的n次方，x的次数为自然数，由此可得第n个式子为，即可得出结果． 【详解】解：∵，，，，，…， ∴第n个式子为， ∴第8个单项式是， 故选：C． 二、填空题：（本大题共8题，每题4分，共32分.） 11．计算： ． 【答案】8． 【分析】由立方根、乘方、零指数幂的运算法则进行计算，即可得到答案． 【详解】解：原式． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了立方根、乘方、零指数幂的运算法则，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 12．正n边形的每一个外角都是它相邻的内角的2倍，则n的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查多边形的外角和内角，设正n边形的每一个外角为，则它相邻的内角为x，列出关于x的方程式，求得x，,再根据多边形的外角和为即可求出答案． 【详解】解：设正n边形的每一个外角为，则它相邻的内角为x， ， 解得：， ， 则． 故答案为：3． 13．一个不透明的盒子里装有个红球、个白球、个黑球，从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回．将剩下的球先摇匀再随机摸出一个球，则两次都摸出白球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸出白球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 白 白 黑 红 （红，白） （红，白） （红，黑） 白 （白，红） （白，白） （白，黑） 白 （白，红） （白，白） （白，黑） 黑 （黑，红） （黑，白） （黑，白） 共有种等可能的结果，其中两次都摸出白球的结果有种， 两次都摸出白球的概率为． 故答案为：． 14．某菜鸟驿站第一天揽件件，第三天揽件件，设该菜鸟驿站揽件日平均增长率为，根据题意所列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．根据题意，第三天的揽件数量第一天的揽件数量，列方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 15．如图，在四边形中，，的平分线交于点，，若，，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 延长、相交于点，根据得到，，再证明得到，从而推算出四边形的周长等于； 【详解】解：延长、相交于点， 的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的周长为； 故答案为： 16．如果关于的分式方程有非负整数解，且关于的不等式组至少有2个整数解，那么符合条件的整数的和为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键． 先解一元一次不等式组，根据不等式组至少有2个整数解，求出的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定的值即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组至少有2个整数解， ∴， 解分式方程：， 去分母得， 解得：， ∵分式方程有非负整数解， ∴为整数且， ∴且， ∴且， 综上，，且， ∴符合条件的所有整数的值为：， ∴符合条件的所有整数的和是：9， 故答案为：9． 17．如图，以为直径的与相切于点，以为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则 ． ． 【答案】 8 / 【分析】连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，根据四边形为平行四边形，得出，，证明，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，求出；证明，得出，求出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出． 【详解】解：连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，如图所示： ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：． 故答案为：8；． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 18．我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为，则称为“方减数”，并把分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，与的十位数字相同，个位数字与的和为，所以是“方减数”，分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ．把一个“方减数”进行“方减分解”，即，将放在的左边组成一个新的四位数，若除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，设，则（，）根据最小的“方减数”可得，代入，即可求解；根据除以余数为，且（为整数），得出为整数，是完全平方数，在，，逐个检验计算，即可求解． 【详解】设，则（，） 由题意得：， ∵，“方减数”最小， ∴， 则，， ∴， 则当时，最小，为， 故答案为：； 设，则（，） ∴ ∵除以余数为， ∴能被整除 ∴为整数， 又（为整数） ∴是完全平方数， ∵， ∴最小为，最大为 即 设，为正整数， 则 当时，，则，则是完全平方数，又，，无整数解， 当时，，则,则是完全平方数，又，，无整数解， 当时，，则，则是完全平方数， 经检验，当时，，，， ∴， ∴ 故答案为：，． 三、解答题：（本大题共8题，第19-20每题8分，第21-26每题10分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．化简：（1）； （2）． 【答案】（1）﹣ab+3b2；（2） 【分析】（1）直接利用整式的乘法运算法则计算得出答案； （2）首先将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案． 【详解】解：（1）（a﹣b）2﹣（a+b）（a﹣2b）； ＝a2﹣2ab+b2﹣（a2﹣ab﹣2b2） ＝﹣ab+3b2； （2） ＝ ＝   ＝． 【点睛】此题主要考查了分式的混合运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 20．在大学校园里，共享单车以其便捷、环保的特点，成为了广大师生出行的新选择．某品牌共享单车为了解其在大学生群体中的受欢迎程度，在甲、乙两个大学中进行了满意度调查（单位：分，满分100分，分数越高越受欢迎）．现在从甲、乙两个大学中各随机抽取10名学生的满意度得分数据进行整理、描述和分析（满意度得分用x表示，共分为A、B、C、D四个等级：．A：，B：，C．，D．）．下面给出了部分信息： 甲大学10名学生满意度得分数据：99，96，92，93，88，88，88，78，74，69； 乙大学10名学生B等级所有满意度得分数据：89，89，88，86，82． 甲、乙大学抽取的学生满意度得分统计表 学校 平均数 中位数 众数 方差 甲 88 a 乙 b 89 请根据以上信息解答： (1) ， ， ； (2)你认为该品牌共享单车在哪个大学更受学生欢迎？请说明理由：（写出一条即可） (3)若甲、乙两校共有7200人参加此次满意度调查，请你估计喜爱该品牌共享单车的学生有多少人？ 【答案】(1)88；；10 (2)品牌共享单车在乙大学更受欢迎，理由见解析 (3)2520人 【分析】本题主要考查了扇形统计图，求中位数，平均数，用样本估计总体等等： （1）根据中位数和众数的定义即可求出a、b，先求出乙大学A等级的人数，进而求出C等级的人数即可求出m； （2）根据乙大学的众数和中位数都比甲大学的高即可得到答案； （3）用7200乘以样本中的人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：∵甲大学10名学生满意度得分为88分的人数最多， ∴甲大学10名学生满意度得分的众数， 乙大学10名学生满意度得分在A等级的人数为人，则C等级有人， ∴， ∴； 把乙大学10名学生满意度得分从低到高排列，处在第5名和第6名的得分分别为88分，89分， ∴乙大学10名学生满意度得分的中位数， 故答案为：88；；10； （2）解：品牌共享单车在乙大学更受欢迎，理由如下： ∵乙大学的中位数和众数都比甲大学的高， ∴品牌共享单车在乙大学更受欢迎． （3）解：人， ∴估计喜爱该品牌共享单车的学生有2520人． 21．如图，AC为矩形ABCD的对角线，． (1)尺规作图：作AC的垂直平分线，垂足为点O，交AD于点E，交BC于点F；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，连结AF，CE，求证：四边形AFCE是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴，． ∵EF平分AC， ∴________． ∴________． ∴________． 又∵， ∴四边形AFCE是________． 又∵， ∴四边形AFCE是菱形． 【答案】(1)详见解析； (2)；；CF；平行四边形． 【详解】（1）（1）利用尺规作出线段AC的垂直平分线EF即可； （2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可完成证明． 如图，直线EF即为所求； （2）证明：证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AE∥CF， ∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO． ∵EF平分AC， ∴AO=CO， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE=CF， 又∵AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， 又∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE是菱形． 故答案为：AO=CO，△COF（ASA），CF，平行四边形， 【点睛】本题考查作垂直平分线，矩形的性质，菱形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 22．某书店准备购进甲和乙两种书，已知每本甲比每本乙的进价少10元，用900元购进甲的数量是用600元购进乙数量的2倍． (1)求甲和乙这两种书每本的进价分别是多少元？ (2)若书店购进乙的数量比甲的数量的2倍还要多5本，且甲的数量不少于648本，购进甲和乙两种书的总费用不超过71700元，则书店有哪几种购买方案？ 【答案】(1)甲种书每本的进价是30元，乙种书每本的进价是40元； (2)书店有3种购买方案：①购进甲种书648本，乙种书1301本；②购进甲种书649本，乙种书1303本；③购进甲种书650本，乙种书1305本． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设甲种书每本的进价是元，则乙种书每本的进价是元，根据用900元购进甲的数量是用600元购进乙数量的2倍．列出分式方程，解方程即可； （2）设购进甲种书本，则购进乙种书本，根据甲的数量不少于648本，购进甲和乙两种书的总费用不超过71700元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲种书每本的进价是元，则乙种书每本的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲种书每本的进价是30元，乙种书每本的进价是40元； （2）解：设购进甲种书本，则购进乙种书本， 由题意得：， 解得：， 为正整数， ，649，650， 当时，； 当时，； 当时，； 书店有3种购买方案：①购进甲种书648本，乙种书1301本；②购进甲种书649本，乙种书1303本；③购进甲种书650本，乙种书1305本． 23．如图，在 中， ， ，， 点 D为的中点， 过点D作交于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线(含端点) 运动，到达E点停止运动，过点P作交于点Q． 设点P的运动时间为x秒，的长度为，请解答下列问题： (1)直接写出关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)的函数图象如图所示，当时，请直接写出x的取值范围．(结果保留一位小数，误差不超过) 【答案】(1) (2)图见解析，性质：当时，有最大值，最大值为4(答案不唯一) (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，描点法画函数图象，通过图象观察函数的性质，根据图象求不等式的解集等知识，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． （1）先运用勾股定理和相似三角形的判定与性质求出、和，再分①当点P在线段上时，②当点P在线段上，不含点D时，两种情况讨论分别求出对应函数关系式，即可得解． （2）运用描点法画函数图象，并观察图象得出性质即可； （3）根据图象得出交点横坐标的近似值，再根据图象写出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵在 中， ， ，， ∴， 又∵点 D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ①当点P在线段上时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ②当点P在线段上，不含点D时，， ∴， 此时点E即为点Q， ∴， 即， ∴关于x的函数关系式是： （2）列表格得： x 0 5 9 0 4 0 画出函数图象如下图所示：图中折线即为所求作函数图象． 其性质可以为：当时，有最大值，最大值为4(答案不唯一)； （3）由图象可知两函数图象交点的横坐标约为：，， ∴当时， x的取值范围是． 24．如图，四边形是一湿地公园的休闲步道.经测量，于点B，米，点D在C的北偏东方向，且点D在A的东北方向． (1)求步道的长度；（精确到个位数） (2)小庆以80米/分的速度沿B→C→D→A的方向步行，小渝骑自行车以200米/分的速度沿B→A→D→C的方向行驶．两人同时出发能否在9分钟内相遇？请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】(1)848米 (2)能相遇，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数是求解关键． （1）先证明是等腰直角三角形，求得米，，进而得到，，利用锐角三角函数求解即可； （2）先求得，进而求得四边形的周长，求出两人跑一圈相遇的时间，进而可得结论． 【详解】（1）解：∵米，， ∴是等腰直角三角形， ∴米，， 由题意，，， ∴（米）， 答：步道的长度约为848米； （2）解：两人同时出发能在9分钟内相遇，理由： 在中，（米）， 四边形的周长为 （米）， ∴（分）， ∵， ∴两人同时出发能在9分钟内相遇． 25．如图1，已知抛物线与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点，其中． (1)求线段的长度． (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，作轴交于点，为中点，连接，请求出的最大值以及此时点的坐标． (3)将抛物线水平向右平移个单位后得到抛物线，点、点的对应点分别为点、点，抛物线与轴交于点（点不与原点重合），连接、．在平移过程中，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)；； (3)，． 【分析】（）根据抛物线过点即可求出，然后令求出点即可或根据对称轴求解即可； （）由题意和三角函数先证为等边三角形，得，即有最大时，也取最大值，设，，得出即可； （）设抛物线（，），则， 令，求出，，，又得，从而，即，再分情况讨论即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）将代入抛物线，得到解析式为， 法一：令解出， ∴， ∴； 法二：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 又∵， ∴， ∴； （2）由（）得解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得是直角三角形， ∵为中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 设， 由题意可得，解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴当，即时，， ∴时，的最大值为； （3）①设抛物线（，），则， 令，求出，， 、点； 令，求出， ， ②时，，从而，即； ③情况，当时，如备用图1，，，， 代入得：， ， 又， ， ， ， ， ， ； 情况2，当时，如备用图，，，， 代入得：， ， 又， ， ， ， ， ， ． 综上：或． 26．如图，在中，平分交边于点，在边上取点，使得，连接． (1)如图1，当时，求的大小． (2)如图2，过点作于点，当时，请证明：． (3)如图3，在（2）问的条件下，连接，当时，在四边形内部是否存在点，使得点到四边形四条边的距离相等？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，证明见解析； (3)存在点，使得点到四边形四条边的距离相等，且． 【分析】本题考查了三角形内角和定理、中位线定理、等腰三角形三线合一、黄金三角形等知识， （1）设，则，，根据即可求解； （2）取中点，连接；由三线合一得为中位线，根据，即可证明； （3）根据，平分可得，设，则，，，根据可得，进而得是三个内角分别为，，的“黄金三角形”，作的平分线交于点，证明得出，证明得出平分，再证明即可求解； 【详解】（1）解：，理由如下： 设，则，， 又，． （2）证明：取中点，连接； 由三线合一得出为中点， 为中位线， 且 ， ， ， ． （3）解：存在点，使得点到四边形四条边的距离相等，且，理由如下： ，平分， ， 设，则，， ， ， ， ， 是三个内角分别为，，的“黄金三角形”， 如图，作的平分线交于点， 设，则， ， ， ， ， ，平分 ， 平分 当点为角平分线与交点时，点到四边形四条边的距离相等， ，， ，， 平分 平分 在中， 在中，， , 由对称性可知， ， ． 试卷第20页，共28页 试卷第1页，共28页 学科网（北京）股份有限公司 $$