精品解析：广西壮族自治区崇左市凭祥市高级中学2024-2025学年高二下学期3月素质检测数学试题

广西崇左市普通高中2025年春季学期3月素质检测 高二 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 5 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. 19 B. 51 C. 69 D. 87 5. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲，乙、丙、丁四区的居民收入情况进行抽样调查，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 56种 D. 72种 7. 已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，第一象限的点在抛物线上，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据2，3，，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是3 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第分位数是23 C. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则总体中某个体被抽到的概率是0.2 D. 若样本数据的标准差为6，则数据，，，的标准差为11 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 点是函数的图象的对称中心 C. 函数在区间上是增函数 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后所得的函数为偶函数 11. 设函数，则（ ） A. 函数有两个极值点 B. 函数有两个零点 C. 直线是曲线的切线 D. 点是曲线的对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，若，则______． 13. 已知函数在处取得极值，则函数的极大值为______． 14. 已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，且， （1）求的通项公式和； （2）若，求数列的前n项和 16. 在中，角的对边分别为，. （1）求； （2）若的面积为，，为的中点，求. 17. 在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点， ，，. （1）求证: 平面; （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点 A 到平面的距离. 18. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，恒成立，求实数的最小值． 19. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若A，B为椭圆C上的两点，且满足，求证：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西崇左市普通高中2025年春季学期3月素质检测 高二 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数单调性可化简集合B，然后由集合交集可得答案； 【详解】因为函数在R上单调递增，则. 故，则. 故选：A. 2. 若复数，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘法整理其为标准式，再利用模长公式，可得答案. 【详解】由，则. 故选：B. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解． 【详解】解：若， 则，即， 向量，， 则，解得 故选：C 4. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. 19 B. 51 C. 69 D. 87 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式结合等差数列的性质进行求解即可. 【详解】. 故选：C. 5. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【详解】A：，正确； B：，正确； C：，错误； D：，正确； 故选：C. 6. 某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲，乙、丙、丁四区的居民收入情况进行抽样调查，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 56种 D. 72种 【答案】A 【解析】 【分析】按照分组分配问题先将四个区分为三组，再分配到三组工作人员中去即可. 【详解】先将甲、乙、丙、丁四个区分成三组，即任意选两个成为一组，剩余两个各自一组，共种， 再将分好的三组不同的区分配给三组工作人员，共有种分配方法； 因此共种. 故选：A 7. 已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，进而根据离心率公式可求解 【详解】由题可知，则，所以离心率. 故选：A. 8. 已知抛物线的焦点为，第一象限的点在抛物线上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线，再利用定义求出，进而求出即可得解. 【详解】抛物线，即的准线方程为，由，得， 解得，又抛物线过点，则，而，解得， 所以. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据2，3，，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是3 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第分位数是23 C. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则总体中某个体被抽到的概率是0.2 D. 若样本数据的标准差为6，则数据，，，的标准差为11 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数据平均数列方程求即可判断A；根据百分数的定义求数据中第分位数判断B；根据简单随机抽样各个体被抽到的概率等于样本容量与总体容量的比值判断C；根据方差的性质求新数据的方差，进而确定其标准差判断D. 【详解】A：由，可得，显然这组数据的众数是3，对； B：将数据从小到大排序为， 又，所以第分位数是，错； C：由题设，简单随机抽样过程中抽取到任一个体的概率为，对； D：由样本数据的标准差为6，即方差为， 则数据，，，的方差为，故标准差为，错. 故选：AC 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 点是函数的图象的对称中心 C. 函数在区间上是增函数 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后所得的函数为偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】对于：由函数的图象，可得，且， 所以，又，所以，所以， 又由， 则，，可得，， 因为，可得，所以，故正确； 对于：因为， 所以点是函数的图象的对称中心，故正确； 对于：当，则，因为在上不单调， 所以在区间上不单调，故错误； 对于：将函数的图象向右平移个单位长度， 得到为偶函数，故正确. 故选：ABD. 11. 设函数，则（ ） A. 函数有两个极值点 B. 函数有两个零点 C. 直线是曲线的切线 D. 点是曲线的对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，确定函数单调性极值，即可判断AB，由导数的几何意义可判断C，由对称中心的概念可判断D; 【详解】 令解得，令解得或， 所以在单调递增，单调递减，单调递增， 因为，极大值，且极小值， 所以函数有两个极值点，有两个零点，故AB正确， 令即，，无解； 故C错误； ， 所以，即点是曲线的对称中心，正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，若，则______． 【答案】72 【解析】 【分析】法一：求出等比数列的公比，再利用通项公式求出；法二：利用等比数列性质直接求得. 【详解】方法一 设的公比为q，则，解得， 所以. 方法二 由是等比数列，得， 所以． 故答案为：72 13. 已知函数在处取得极值，则函数的极大值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用函数取得极值得，并代入原函数求单调性检验；所得的单调性，利用函数的极值的定义即可求解 【详解】，则， 因为函数在处取得极值， 所以，故， 则， 令，解得或；令，解得； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 故是极值点，符合要求，故 且为极大值点，的极大值为. 故答案为：2. 14. 已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值为_____. 【答案】9 【解析】 【分析】先设切点坐标，再根据切点在直线和曲线上列式求参，最后应用基本不等式计算求解. 【详解】设切点为， 又因为曲线  ，则，直线  斜率为1， 所以，又因为， 所以，所以，因为  为正实数， 所以， 当且仅当，即时，则  取最小值为9. 故答案为：9. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，且， （1）求的通项公式和； （2）若，求数列的前n项和 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与前项和为求得首项与公差，即可得数列的通项公式和； （2）由（1）得，通过裂项相消法可求得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，， 则，解得，， 所以，. 【小问2详解】 由（1）可知：， 所以. 16. 在中，角的对边分别为，. （1）求； （2）若的面积为，，为的中点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由结合三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式得到求解； （2）法一：由的面积为得到，再利用余弦定理得到，然后由两边平方即可求解；法二，根据得，再结合余弦定理即可求解；法三：利用中线定理得到求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 因为，所以， 故， 即， 又，所以， 所以，得， 又，所以. 【小问2详解】 法一：由，得. 由余弦定理得， 即，得. 由题知， 两边同时平方得， 故. 法二，同法一得. 易知， 则， 即， 得，得； 法三，同法一得.所以由中线定理得到， 所以，所以. 17. 在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点， ，，. （1）求证: 平面; （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点 A 到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定及性质，等腰三角形性质及线面垂直的性质判定推理即得. （2）以C为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面夹角余弦值. （3）根据点到平面的向量距离公式计算即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，由是的中点，得，而，则． 又，于是四边形是平行四边形，， 在中，，，有，由平面， 平面，得，而平面，因此平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知平面，而，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    于是，，，，，，， 设是平面的一个法向量，则，令，得， 显然平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值是. 【小问3详解】 由（2）知道平面的一个法向量为，且， 则点 A 到平面EBD的距离. 18. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1）； （2） 当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为上单调递增，递减区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为. （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出导数，再按分类求出函数的单调区间. （3）由（2）的信息，求出函数的最大值，再由已知建立恒成立的不等式并分离参数，构造函数并利用导数求出最大值即可. 【小问1详解】 当时，函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为上单调递增，递减区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为. 【小问3详解】 由（2）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 依题意，，即恒成立， 令函数，求导得， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减， 即，因此， 所以最小值为. 19. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若A，B为椭圆C上的两点，且满足，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2） ①当斜率不存在时，设的方程为， 则，，，， 因为，所以， 因为，所以， 所以，解得或（舍）； ②当斜率存在时，设的方程为， 联立消去y得， 即， 设，则，， ，， 因为，所以， 即， 代入化简得， 即， 当时，，此时方程为，过定点，舍去； 当时，，此时方程为，过定点． 综上，直线过定点． 【解析】 【分析】（1）首先根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标求出椭圆的标准方程； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况进行讨论，利用向量垂直的性质得到关于参数的方程，进而求出直线所过的定点. 【小问1详解】 因为椭圆C离心率为，所以， 又因为点在椭圆C上，所以，解得，， 椭圆C的标准方程为： 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $