精品解析：河北省邢台市宁晋县质检联盟2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

2024—2025学年高二（下）质检联盟第一次月考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若函数满足，则（ ） A. B. 4 C. 1 D. 2 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线是曲线在点处的切线，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 4. 已知火箭发射秒后，其高度（单位：米）为，则火箭发射后第5秒时，火箭爬高的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“函数有极值”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知定义在上的函数满足，，其导函数满足，则（ ） A. B. 16 C. 12 D. 24 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数及其导函数的定义域均为．若，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. 有2个极大值点，1个极小值点 D. 的单调递减区间为， 10. 若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，存在“二倍阶值点”的是（ ） A. B. C. D. 11. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则______. 13. 如果函数满足在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在开区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”．函数在上的“拉格朗日中值”为________． 14. 已知函数有三个不同的零点，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若曲线与轴相交于点，求该曲线在点处的切线方程； （2）若曲线上点的切线与坐标轴围成的三角形面积为，求点的坐标． 16. 已知函数． （1）若在上不单调，求的取值范围； （2）若，求在上的值域． 17. 将一个边长为2分米的正八边形硬纸片的八个角截去八个全等的四边形，再把它沿虚线折起，如图所示，做成一个无盖的正八棱柱纸盒（忽略纸片厚度）．（参考数据：） （1）试把该正八棱柱纸盒的容积（单位：立方分米）表示为盒底正八边形边长（单位：分米）的函数． （2）试问当盒底正八边形边长为何值时，这个正八棱柱纸盒的容积最大？容积的最大值是多少立方分米？ 18. 已知函数，，，． （1）求的单调区间； （2）若的最大值为1，证明：对任意的，； （3）当时，若恒成立，求实数的取值范围． 19. 若连续函数的极值点是函数的零点，为函数的导函数，且存在实数满足，则称是的强化原生函数，记的最大值为，则为的强化原生系数．已知函数． （1）设函数，证明有唯一极值点，并求出满足的整数的值． （2）设函数，函数．已知是的强化原生函数． （i）证明：． （ii）求的强化原生系数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高二（下）质检联盟第一次月考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若函数满足，则（ ） A. B. 4 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义合理变形即可. 【详解】. 故选：C. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数的求导法则即可得到答案. 【详解】因为，则. 故选：B. 3. 如图，直线是曲线在点处的切线，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形，利用两点表示直线的斜率，结合导数的几何意义计算即可求解. 【详解】由图可知，切线过点，所以切线的斜率为， 又由导数的几何意义知. 故选：A 4. 已知火箭发射秒后，其高度（单位：米）为，则火箭发射后第5秒时，火箭爬高的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导得，计算即可. 【详解】，则火箭发射后第5秒时，火箭爬高的瞬时速度为. 故选：B. 5. “”是“函数有极值”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，根据的解析式得到函数有极值的充要条件，再判断的情况即可. 【详解】， 所以， 若函数有极值点，则方程的判别式大于， 即，整理得：， 解得，所以是函数有极值的充要条件， 所以“”是“函数有极值”的充分不必要条件. 故选：B 6. 已知定义在上的函数满足，，其导函数满足，则（ ） A. B. 16 C. 12 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】根据，构造函数，再根据，求出,进而赋值得到结果. 【详解】根据，构造函数， 由，则, 则， 令，则， 令，则. 故选：D. 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数在上递增，得到在上恒成立，由此得到不等式，再反解得到，，构造函数，，利用导函数求出的单调性，求出函数的最小值即可求解. 【详解】由，得， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即，，整理得：，， 令，，则，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得极小值，且为最小值， 所以. 故选：B 8. 函数及其导函数的定义域均为．若，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，求导确定在R上单调递减，不等式等价于，即，运算得解. 【详解】令，则， ，，即在R上单调递减， 又，所以， 当时，；当时，， 将不等式转化为（其中），等价于， 由于严格递减且，当且仅当时， 同时，需满足（否则左边非正，无法大于正数）， 因此，对应 所以不等式的解集为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. 有2个极大值点，1个极小值点 D. 的单调递减区间为， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导数单调性和极值与导函数图象一一分析即可. 【详解】对A，由图知当时，，此时单调递减，则，故A错误； 对B，当时，，此时单调递增，则，故B正确； 对C，由图知，当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，则为的极大值点； ，当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增，则为的极小值点； ，当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，则为的极大值点； 则有2个极大值点，1个极小值点，故C正确； 对D，当时，，当时，， 则的单调递减区间为，，故D正确. 故选：BCD. 10. 若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，存在“二倍阶值点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先对函数求导，得到关于的方程，根据“二倍阶值点”的定义，探究方程的解是否存在，逐个选项进行判断即可求解. 【详解】对于A，，， 由得，解得， 所以函数存在“二倍阶值点”，A正确； 对于B，，， 由得， 因为，，解得， 所以函数存在“二倍阶值点”，B正确； 对于C，，， 由得， 令，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值也是最小值， 所以无解， 所以函数不存在“二倍阶值点”，C错误； 对于D，，， 由得， 令，， 所以在上单调递增， 又，， 根据零点存在性定理可知在上存在零点， 所以方程有解， 所以函数存在“二倍阶值点”，D正确； 故选：ABD 11. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用作差法，适当放缩比较、和、的大小，得到、、的大小关系即可求解. 【详解】，，， ， 所以， ， 所以，所以， 所以B、C、D正确，A错误. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，再赋值求出. 【详解】，则， 解得. 故答案为： 13. 如果函数满足在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在开区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”．函数在上的“拉格朗日中值”为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“拉格朗日中值”的定义及函数的导数得到方程，解方程即可求解. 【详解】设函数的“拉格朗日中值”为， 根据已知条件有：， 因为，，所以，， 根据题意有：，整理得：， 因为，所以. 故答案为： 14. 已知函数有三个不同的零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，令，利用导数分析函数的单调性可知，设，由图象可知，函数有两个不等的零点、，且，，利用二次函数的零点分布可求得实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 由可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 且当时，，当时，， 作出函数的图象如下图所示： 设，由图象可知，函数有两个不等的零点、， 且，， 若，解得，此时，， 由可得或，不合乎题意； 若，可得，则，由，解得，不合乎题意； 所以，，，所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若曲线与轴相交于点，求该曲线在点处的切线方程； （2）若曲线上点的切线与坐标轴围成的三角形面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出曲线与轴的交点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程； （2）设出点的坐标，利用导数的几何意义求出切线的方程，进而求出切线与坐标轴围成的三角形面积，运算得解. 【小问1详解】 由，令，得， 所以曲线与轴的交点为， 又，则曲线在点处切线的斜率为， 所以曲线在点处切线的方程为，即. 【小问2详解】 设，， ，则切线的斜率， 所以切线的方程为 ，即，， 令，得，令，得， 所以切线与坐标轴围成的三角形面积为， 解得， 所以点的坐标为或. 16. 已知函数． （1）若在上不单调，求的取值范围； （2）若，求在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知方程在R上有解，结合计算即可求解； （2）利用导数研究函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 由题意知，， 因为在R上不单调，所以方程在R上有变号零点， 即方程在R上有两解， 得，解得， 即实数的取值范围为. 【小问2详解】 当时，，则， 令或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以在上的值域为. 17. 将一个边长为2分米的正八边形硬纸片的八个角截去八个全等的四边形，再把它沿虚线折起，如图所示，做成一个无盖的正八棱柱纸盒（忽略纸片厚度）．（参考数据：） （1）试把该正八棱柱纸盒的容积（单位：立方分米）表示为盒底正八边形边长（单位：分米）的函数． （2）试问当盒底正八边形边长为何值时，这个正八棱柱纸盒的容积最大？容积的最大值是多少立方分米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出八边形内角，根据几何关系将正八棱柱的底面积和高用表示，即可求解； （2）对求导，利用导数，判断原函数的单调性，求得最大值即可求解. 【小问1详解】 根据已知条件，得到如上图所示图形， 已知条件有正八边形的内角为，所以， ，，设，， 在中，，解得， 在中，，，所以， 所以， 正八边形面积为：， 所以正八棱柱纸盒的容积： ，. 即，. 【小问2详解】 因为，， 所以，， 所以，， 所以当时，，单调递增， 所以当时，，单调递减， 由此可知当时，取得极大值即最大值. 18. 已知函数，，，． （1）求的单调区间； （2）若的最大值为1，证明：对任意的，； （3）当时，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）在单调递增，在单调递减 （2） 由（1）知，， ，要证，即证， 即证，即证， 构造函数，则， 令得，令得， 在单调递增，在单调递减， ，即恒成之，当且仅当时等号成立. ，，使得， 恒成立，故对于任意的，. （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分别令和，即可得到对应的增区间和减区间； （2）根据题意求出参数，构造函数，利用导数研究函数的最值即可证明； （3）构造函数，利用导数研究函数的最值进而列出不等式求解即可. 【小问1详解】 的定义域为，令得， 令得，令得， 在单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，，若恒式立, 即恒式立，即，即恒成立， 由（2）可知恒成立，当且仅当时等号成立， 令，则恒成立， 在单调递增， ，使得成立， ，， 所以． 19. 若连续函数的极值点是函数的零点，为函数的导函数，且存在实数满足，则称是的强化原生函数，记的最大值为，则为的强化原生系数．已知函数． （1）设函数，证明有唯一极值点，并求出满足的整数的值． （2）设函数，函数．已知是的强化原生函数． （i）证明：． （ii）求的强化原生系数的最小值． 【答案】（1）依题意得， 则， 设函数，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 因为， 所以存在唯一零点，使得. 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以有唯一极值点，且， 故满足的整数的值为. （2）（i）依题意得， 令，得，又， 则，易得有两个极值点. 设的极值点是，则（）， 所以. 因为是函数的零点， 所以是关于的方程的两个解， 即， 两式相加得，， 即，， 代入（）式整理得， 因为函数在单调递减， 所以， 故. （ii） 【解析】 【分析】（1）利用零点存在性定理得有唯一零点，验证单调性可知也为极值点，根据范围求即得； （2）（i）利用强化原生函数定义，由的极值点是的零点，代入韦达定理化简得，再构造函数，由单调性可证明；（ii）由不等式代入韦达定理可得，再结合函数单调性可求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）设，则. 因为，所以， 则 . 所以，则的强化原生系数为. 因为函数在单调递增， 所以当时，有最小值，且， 即的强化原生系数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $