第七章 万有引力定律及应用 培优讲义一 -2024-2025学年高一下学期物理人教版（2019）必修第二册

第 1 页，共 6 页 高一物理：万有引力定律 1 一、开普勒第三定律：周期定律：___=k=____ 1．如图所示，月球的半径为 R，甲、乙两种探测器分别绕月球做匀速圆周运动与椭圆轨道运动，两种轨道相 切于椭圆轨道的近月点 A，圆轨道距月球表面的高度为 R，椭圆轨道的远月点 B 与近月点 A 之间的距离为 6R， 若甲的运动周期为 T，则乙的运动周期为（ ） A． 3 2 4 T B．3T C．2 2T D． 3 6 4 T 二、等效法解球缺引力问题 2．已知密度均匀球体对其他物体的万有引力等效于将其全部质量集中于球心时对其他物体的万有引力，如图 所示，有一质量为 8M，半径为 R，密度均匀的球体，球心为 O1，现将其内挖去一个半径为 1 2 R的小球，形成 球形空腔的球心为 O2，将小球移出到图中位置与大球相切处，小球球心为 O3，图中 O1、O2、切点和 O3 四点 共线，则下列说法中正确的是（ ） A．小球质量为 1 2 M B．挖走小球后剩余球壳的质量为 3 4 M C．小球与大球剩余部分之间的万有引力大小为 2 2 GM R D．小球与大球剩余部分之间的万有引力大小为 2 2 23 9 GM R 三、圆环引力 3．如图所示，两个质量均为 M 的球分别位于半圆环和 3 4 圆环的圆心，半圆环 和 3 4 圆环分别是由相同的圆环截去一半和 1 4 所得，环的粗细忽略不计，若甲图 中环对球的万有引力为 F，则乙图中环对球的万有引力大小为（ ） A． 3 2 F B． 2 2 F C． 1 2 F D． 3 2 F 四、等效法解重力加速度反常 第 2 页，共 6 页 4．勘探人员常利用重力加速度反常现象探寻金矿区域的位置和金矿储量.如图所示，P 点为某地区水平地面上 的一点，假定在 P 点正下方有一球形空腔或密度较大的金矿，该地区重力加速度的大小就会与正常情况有微小 偏离，这种现象称为“重力加速度反常”.如果球形区域内储藏有金矿，已知金矿的平均密度为，球形区域周 围均匀分布的岩石密度为 0 ，且 0  内.已知引力常量为G ，球形空腔体积为V ，球心O深度为d （远小于 地球半径），则下列说法正确的是 A．有金矿会导致 P 点重力加速度偏小 B．有金矿不会导致 P 点重力加速度变化 C． P 点重力加速度反常值约为  0 2 V g G d     D．在图中 P1 点重力加速度反常值大于 P 点重力加速度反常值 五、重力加速度 地面 高 h 处 地下 h 处 两极 赤道 5．（多选）设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看作质量分布均匀的球体，半径为 R ．宇航员用弹簧 测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测力计的读数为 1 0F F ；第二次在赤 道处，弹簧测力计的读数为 0 2 2 F F  ．假设第三次在赤道平面内深度为 2 R 的隧道底部，示数为 3F ；第四次在距 星表高度为 R 处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中，示数为 4F ．已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则 以下判断正确的是 ( ) A． 0 3 4 F F  B． 03 15 4 F F  C． 4 0F  D． 0 4 4 F F  6．2016 年 8 月 16 日，我国将世界首颗量子卫星发射升空，轨道距离地面高度为 h.我国“蛟龙号”载人潜水器 执行科考任务时下潜深度为 d.把地球看做质量分布均匀的球体，且质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为 零．若地球半径为 R，“蛟龙号”所在处与“量子卫星”所处的加速度之比为（ ） A. （R－d）2 （R＋h）2 B. R－d R＋h C. （R－d）（R＋h）2 R3 D. （R－d）（R＋h） R2 7．一火箭以 a= 2 g 的加速度竖直升空。为了监测火箭到达的高度，可以观察火箭上搭载物视重的变化。如果火 箭上搭载的一物体的质量为 m=1.6kg，当检测仪器显示物体的视重为 F=9N 时，火箭距离地面的高度 h 与地球 半径 R 的关系为（取 g=10m/s2）（ ） A．h=R B．h=2R C．h=3R D．h=4R 六、两极与赤道g的差值Δg应用 8．(多选)由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的 重力加速度大小为 0g ，在赤道处的重力加速度大小为 g，地球自转的周期为 T，引力常量为 G。假设地球可视 为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是（ ） A．质量为 m 的物体在地球赤道受到的重力大小为mg B．质量为 m 的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg C．地球的半径为   20 24 g g T   D．地球的密度为   0 2 0 3g GT g g   第 3 页，共 6 页 七、g与抛体综合 9．月球探测是中国迈出航天深空探测的重大举措。2024 年 6 月，我国发射的嫦娥六号探测器完成世界首次月 球背面的采样和起飞，预计 2030 年前我国将实现载人登月。若将来我国宇航员在月球（视为质量分布均匀的 球体）表面以大小为 0v 的初速度竖直上抛一物体（视为质点），已知万有引力常量为 G，月球的质量为 M， 月球的半径为 R。则物体从刚被抛出到落回抛出点的时间为（ ） A． 2 0v R GM B． 2 02v R GM C． 0 v R GM D． 0 2v R GM 八、计算中心天体的质量和密度 “一个中心、两个基本量”——需要已知量 r、T(或 ω、v、an)；g、R 原理 借助外援 法 自力更生 法 万有引力提供向心力： 2 2 m GMm v r r  = 2m r = 2 2 4 m r T  万有引力等于重力： 2 GMm mg R  质量 M= M= 密度 ________ M V    特例，当 r=R 时： _____  _____  10．[2017·北京卷] 利用引力常量 G 和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是（ ） A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转) B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 11．嫦娥五号（Chang’e5）是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，为中国探月工程的收官之战，2020 年 11 月 29 日，嫦娥五号从椭圆环月轨道变轨为圆形环月轨道，对应的周期为 T，离月面高度为 h，已知月球 半径为 R，万有引力常量为 G，则月球的密度为（ ） A． 2 3 GT  B． 2 4 GT  C．   3 2 3 3 R h GT R   D．   3 2 3 4 R h GT R   九、求椭圆轨道中心天体质量 M 12．中国“天问一号”探测器着陆火星，为下一步实现火星采样返回打下了重要基础。已知“天问一号”探测器在 火星停泊轨道运行时，探测器到火星中心的最近和最远距离分别为 280km 和 5.9×104km，探测器的运行周期为 2 个火星日（一个火星日的时间可近似为一个地球日时间），万有引力常量为 6.67×10-11N·m2/kg2，通过以上数 据可以计算出火星的（ ） A．半径 B．质量 C．密度 D．表面的重力加速度 第 4 页，共 6 页 十、卫星运动快慢 2 GMm r  2 2 2 2 _____ _____ _____ 4 _____ n n v m v r m r ma a m r T T                  , , , r m F F m v T a r          万 n ①都是轨道半径 的函数 ②与 无关，但 、 ③仅适用于圆轨道 ④高轨低速大周期 ⑤ 关系由 联系 13．如图所示，有三颗绕地球作匀速圆周运动的人造卫星 a、b、c，它们的轨道半径之间的关系是 ra=rb<rc， 它们的质量关系是 mc=mb<ma．则下列说法中正确的是（ ） A．它们的线速度大小关系是 va=vb<vc B．它们所受到的向心力大小关系是 Fc<Fb<Fa C．它们的周期大小关系是 Ta<Tb<Tc D．它们的角速度大小关系是 ωc>ωa=ωb 14．(多选)行星外围有一圈宽度为 d 的发光带（发光的物质），简化为如图甲所示的模型，R 为该行星除发光 带以外的半径。现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确的观测，发现 发光带中的物质绕行星中心运行速度的平方，与到行星中心距离的倒数之间的关系如图乙所示，已知图线斜率 为 k，下列说法正确的是（ ） A．该行星的质量为 G k B．该行星的质量为 k G C．该发光带是该行星的组成部分 D．该发光带是环绕该行星的卫星群 十一、卫星在单位时间内扫过的面积 15．已知地球和火星绕太阳公转的轨道半径分别为 R1 和 R2（公转轨迹近似为圆），如果把行星与太阳连线扫 过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率．则地球和火星绕太阳公转过程中扫过的面积速率之比是 （ ） A． B． C． D． 十二、视角与张角 16．（多选）【2014·广东卷】如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动。星球相对飞行 器的张角为θ。下列说法正确的是（ ） A.轨道半径越大，周期越长 C.若测得周期和张角，可得到星球的平均密度 B.轨道半径越大，速度越大 D.若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度 第 5 页，共 6 页 17．为了估测太阳的密度，某物理兴趣小组的同学在山顶通过一圆环水平观察早上初升的太阳，如图甲，调整 圆环的位置，当太阳刚好和圆环的内圈重叠时，测出观测点到圆环的距离为 L，如图乙，已知圆环内圈的半径 为 r L ），地球绕太阳公转的周期为 T，引力常量为 G，球的体积公式 34 3 V R ，则太阳的密度可近似的 表示为（ ） A． 2 3 GT  B． 2 3 GT  C． 3 2 3 3 L GT r  D． 3 2 3 3 r GT L  18．水星轨道在地球轨道内侧，地球和水星的公转周期的比值为 k，通过位于贵州的中国天眼 FAST（目前世 界上口径最大、最精密的单天线射电望远镜）观测水星与太阳的视角（观察者分别与水星、太阳的连线所夹的 角）为 θ，则 sinθ 的最大值为（ ） A． 3 2k B． 3k C． 3 2 1 k D． 3 1 k 十三、追星、卫星共线、行星冲日问题 卫星转动方向相同 卫星转动方向相反 从最近到首次最近 从最近到首次最远 从最近到首次最近 从最近到首次最远 θ1- θ2=2π ω1t- ω2t=2π 1 2 1 2 2 1 2 = - - TT t T T     即 θ1- θ2=π ω1t- ω2t=π 1 2 1 2 2 1- 2 - TT t T T      （ ） θ1+ θ2=2π 1 2 1 2 2 1 2 = + + TT t T T     θ1+θ2=π 1 2 1 2 2 1+ 2 + TT t T T      （ ） 19．发现未知星体是万有引力定律的重要成就之一，如“笔尖下发现的行星”——海王星，1843 年，英国剑桥 大学的学生亚当斯和法国巴黎年轻天文爱好者勒维耶根据天王星的观测资料，发现天王星实际运行的轨道与椭 圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔 t 时间发生一次最大的偏离，形成这种现象的原因是由海王星靠近天 王星时两星间的万有引力引起的。已知天王星绕太阳运行的轨道半径为 R，周期为 T，假定两颗行星的运动可 以认为是匀速圆周运动，请你利用所学知识确定海王星的轨道半径为（ ） A． 3 2 t R t T （ ） B． t R t T C． 3 2 t T R t  （ ） D． 2 3 tR t T 第 6 页，共 6 页 20．我国火星探测器“祝融号”在 2021 年 9 月中旬到 10 月下旬约一个月的时间内发生短暂“失联”，原因是发生 “火星合日”现象，太阳干扰无线电，影响通讯。“火星合日”是指当火星和地球分别位于太阳两侧与太阳共线的 天文现象。已知火星公转的周期为 1T ，地球的公转周期为 2T ，地球与火星绕太阳做圆周运动的方向相同。结 合以上信息，下列说法正确的是（ ） A．火星公转的周期 1T 小于地球公转的周期 2T B．“祝融号”火星探测器失联过程中火星与太阳连线扫过的面积等于地球与 太阳连线扫过的面积 C．相邻两次火星合日的时间间隔为 1 2 1 2 T T T T D．相邻两次火星合日的时间间隔为 1 2 1 2 2 T T T T 21．A、B 两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动互相追逐，时而近时而远，它们之间的距 离 r 随时间变化的关系如图所示，不考虑 A、B 之间的万有引力，万有引力常量为 G，已知卫星 A 的线速度 大于卫星 B 的线速度，则（ ） A．两颗卫星的半径之比 A B: 3:5R R  B．两颗卫星的周期之比 A B: 1: 2T T  C．两颗卫星的线速度之比 A B: 2 :1v v  D．两颗卫星的角速度之比 A B: 4 :1   十四、计算题 22．宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上，沿水平方向以初速度 v0从斜坡上 P 点抛出一个小球，测得小 球经时间 t 落到斜坡上另一点 Q。已知斜坡的倾角为 α，该星球的半径为 R，引力常量为 G，球的体积公式为 34 3 V r （r 为球的半径），不考虑星球自转的影响。 （1）求该星球表面的重力加速度 g； （2）求该星球的密度； （3）飞行器绕该星球以周期 T 做匀速圆周运动时，求飞行器距离星球表面的高度。 23．如图所示是月亮女神、嫦娥1号绕月亮做圆周运动时某时刻的图片，用 1R 、 2R 、 1T 、 2T 分别表示月亮女神 和嫦娥1号的轨道半径及周期，用 R 表示月亮的半径． （1）请用万有引力知识证明：它们遵循 3 3 1 2 2 3 1 2 R R K T T   ，其中K 是只与月球质量有关 而与卫星无关的常量； （ 2）再经多少时间两卫星第一次相距最远； （3）请用嫦娥1号所给的已知量，估测月球的平均密度．