精品解析：贵州省贵阳市第二十八中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

贵阳市第二十八中学2024-2025学年度第二学期3月质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分，每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可； 【详解】； 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，准确判断是解题的关键． 2. 若反比例函数的图象经过点，则a的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把点代入反比例函数解析式即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， 故选：C． 3. 下列几何体的三种视图都是圆形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．找到几何体的三视图即可作出判断： 【详解】A、主视图和左视图为长方形，俯视图为圆形，故选项错误，不符合题意； B、主视图、俯视图和左视图都为圆形，故选项正确，符合题意； C、主视图和左视图为等腰三角形，俯视图为带圆心的圆，故选项错误，不符合题意； D、主视图和左视图为等腰梯形，俯视图为圆环，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了几何体的三视图，解题的关键是掌握一些常见几何体的三视图． 4. 如图，直线，直线，被直线，，所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：∵直线， ， ， ， ， 故选：B． 5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ） A. 8 B. 24 C. 32 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，解题关键是掌握位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．由题意可知，和的相似比为，即可求出的周长． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形， 和的相似比为， 的周长为8， 的周长为为， 故选：C． 6. 已知点和在反比例函数的图象上，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．根据反比例函数中，y随x的增大而减小，点和中，，得到． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象 经过第一、三象限，在第一象限中，函数值y随x的增大而减小， ∵点和中，， ∴， 故选：A． 7. 如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，已知，使用时，以点A为支撑点，笔芯端点B可绕点A旋转作出圆，若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先作于H，然后根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可表示出． 【详解】如图，， 作于H， ∴，， ∵， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 、 【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 8. 如图，在中，，是边上的中线，，，则的正切值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据正切函数的定义列式求出的正切值，即为的值． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴的值． 故选：D． 9. 如图，已知一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为（　　） A. x＜﹣2或0＜x＜1 B. x＜﹣2 C. 0＜x＜1 D. ﹣2＜x＜0或x＞1 【答案】D 【解析】 【分析】分析：根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】观察函数图象，发现：当-2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方， ∴不等式ax+b＜的解集是-2＜x＜0或x＞1． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键． 10. 如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（　　） A. 2：5 B. 3：5 C. 9：25 D. 4：25 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出CD∥AB，进而得出△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性质可得出结果. 【详解】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB， ∴△DEF∽△BAF． ∵DE：EC=3：2， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方. 11. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除A，C选项； 当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键． 12. 如图，正方形中，，为中点，交于点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，首先根据正方形的性质得到，是等腰直角三角形，然后证明出，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，连接 ∵四边形是正方形， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵点O是的中点，点E是的中点， ∴且， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判断等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，sinA＝，则BC的长为_______cm. 【答案】8 【解析】 【详解】试题解析：在Rt△ABC中, 故答案为8 14. 如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件：_____，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可） 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题． 【详解】解：根据题意，添加条件， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 15. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是___________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据左视图和俯视图可以猜测几何体的可能性，进而得到答案． 【详解】解：从俯视图可看出，该几何体有三行两列，从左视图可看出最后面一行有两层，中间一行最多都是两层，最前面一行最高是一层， ∴所需的小正方体的个数最多是， 故答案为：8． 【点睛】本题考查三视图，由两个视图想象几何体是解答的关键． 16. 如图，的顶点B在反比例函数的图象上，顶点C在x轴负半轴上，轴，AB，BC分别交y轴于点D，E．若，，则_____． 【答案】18 【解析】 【分析】过点B作轴于点F，通过设参数表示出△ABC的面积，从而求出参数的值，再利用△ABC与矩形ODBF的关系求出矩形面积，即可求得 k的值． 【详解】解：如图，过点B作轴于点F． 轴， ， ， ， ， 设，，则，， ，， ， ， ， ， ， 又反比例函数图象在第一象限， ， 故答案为18． 【点睛】此题考查反比例函数知识，涉及三角形相似及利用相似求长度，矩形面积公式等，难度一般． 三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【详解】分析： 代入45°角的余弦函数值，结合“零指数幂的意义”、“负整数指数幂的意义”和“二次根式的相关运算法则”计算即可. 详解： 原式， ， ． 故答案为1．   点睛：熟记“45°角的余弦函数值”、“零指数幂的意义：”及“负整数指数幂的意义：（为正整数）”是正确解答本题的关键. 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为 ． （1）画出及其关于x轴对称的，并写出点的坐标为________； （2）以点O为位似中心，在第一象限内把扩大到原来的两倍，得到，请画出，并写出点的坐标为______． 【答案】（1）图见解析，， （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换和位似变换，解题关键是掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）． （1）根据关于x轴对称点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可； （2）把A、B、C点的横纵坐标都乘以2得到、、的坐标，然后描点即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，点的坐标为． 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求，点的坐标为． 19. 如图是一个几何体的三视图． （1）写出这个几何体的名称； （2）若俯视图中三角形的边长都为，求这个几何体的侧面积． 【答案】（1）三棱柱 （2） 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的形状以及求几何体的侧面积，解题的关键是根据三视图确定几何体的形状，并明确其侧面展开图的特征。 （1）根据主视图、左视图和俯视图的形状来判断几何体的名称； （2）先明确三棱柱侧面展开图的形状，再根据已知条件求出侧面积。 【小问1详解】 解：主视图和左视图都是长方形，俯视图是三角形，符合三棱柱的三视图特征，所以这个几何体是三棱柱； 【小问2详解】 解：三棱柱的侧面展开图是三个长方形，长方形的长为三棱柱的高 3 cm ，长方形的宽为俯视图中三角形的边长 2 cm ， 一个侧面长方形的面积为， 三棱柱有三个侧面， 侧面积为。 这个几何体的侧面积为 20. 如图是一款可调节亮度的台灯，可通过调节台灯的电阻，控制电流的变化实现亮度的调节．该台灯工作时电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，求该台灯的电阻的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，已知函数值求自变量值． （1）设，代入即可求出； （2）将和分别代入（1）中反比例解析式求出的值，即可求出本题答案． 【小问1详解】 解：设由函数图象可知，其经过点． 把代入，得，解得． ∴这个反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，，解得． 当时，，解得． 所以该台灯的电阻的取值范围是． 21. 如图，在矩形中，，，点是的中点． （1）在上求作一点，使（尺规作图，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求的长． 【答案】（1） 过作于，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）过作于，即为所求； （2）先根据矩形的性质，得到，则，又由，根据有两角对应相等的两三角形相似，即可证明出，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， ， 又， ， ， 边的中点，， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似的变换和勾股定理等知识，根据利用勾股定理求线段长，相似三角形判定和性质求出线段比是解题的关键． 22. 美丽的湘江河宛如一条玉带纵贯遵义市城中心，两岸风景优美，是市民散步的好地方．如图所示，周末吴老师由西往东在步道上散步，在处观察到河对岸处的广告牌在自己的南偏东60°方向上，又直线行走100米到达处，观察到处的广告牌在自己的东南方向上，请根据以上信息，求广告牌到河岸的距离．（精准到0.1米，） 【答案】约为米． 【解析】 【分析】过点作，垂足为点，设米，先根据方位角的定义可得，，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得米，从而可得米，然后在中，解直角三角形即可得． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点． 设米， 由题意可知，，，米， 是等腰直角三角形， 米， 米， 在中，，即， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则（米）， 答：广告牌到河岸的距离约为米． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 23. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数（）的图象交于点，． （1）分别求出两个函数的解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1），；（2）3 【解析】 【分析】（1）将点C、D的横、纵坐标代入反比例函数的解析式，求得m、n的值，从而点D纵坐标已知，将点C、D的横、纵坐标代入一次函数的解析式，求得k、b的值，从而两个函数解析式可求； （2）求出点B的坐标，可知OB的长，利用三角形的面积公式可求三角形BOD的面积． 【详解】解：（1）∵双曲线（m>0）过点C（1，2）和D（2，n）， ∴，解得，． ∴反比例函数的解析式为． ∵直线过点C（1，2）和D（2，1）， ∴，解得，． ∴一次函数的解析式为． （2）当x=0时，y1=3，即B（0，3）． ∴． 如图所示，过点D作DE⊥y轴于点E． ∵D（2，1）， ∴DE=2． ∴ 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二元一次方程组、三角形的面积等知识点，熟知解析式、点坐标、线段长三者的相互转化是解题的关键． 24. 如图，是的直径，点C在上，连接，于点E，交BC于点F，且． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查相似判定及性质，切线的判定及性质，三角函数解直角三角形，圆周角定理，平行线性质，勾股定理． （1）由两个角相等即可得到本题答案； （2）连接，利用圆周角定理得到，再得到，再利用相似性质可得，再利用平行线性质得，继而得到本题答案； （3）先得到，再利用勾股定理得，再证明出，继而得到，再设，则，继而列式即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：证明：∵， ∴； 【小问2详解】 解：证明：连接． ， ∵AB是的直径，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，即， ∴． 又OC是的半径， ∴CD是的切线． 【小问3详解】 解：∵， ∴． ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， 设，则． ∴． ∴，解得， ∴． 25. 问题背景：如图（1），已知，求证：； 尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值； 拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长． 【答案】问题背景： 证明：∵， ∴∠BAC=∠DAE， ， ∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴； 尝试应用：3； 拓展创新：． 【解析】 【分析】问题背景：通过得到，，再找到相等的角，从而可证； 尝试应用：连接CE，通过可以证得，得到，然后去证，，通过对应边成比例即可得到答案； 拓展创新：在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过，，然后利用对应边成比例即可得到答案． 【详解】问题背景：略 尝试应用：连接CE， ∵，， ∴， ∴， ∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴， ∴， 由于，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵ ∴， ∴； 拓展创新： 如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE， ∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，， ∴∠ADE=∠ABC， 又∵∠DAE=∠BAC， ∴， ∴， 又∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴， ∴， 设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市第二十八中学2024-2025学年度第二学期3月质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分，每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 等于（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象经过点，则a的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 3. 下列几何体的三种视图都是圆形的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线，被直线，，所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（ ） A. B. 3 C. D. 4 5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ） A. 8 B. 24 C. 32 D. 40 6. 已知点和在反比例函数的图象上，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，已知，使用时，以点A为支撑点，笔芯端点B可绕点A旋转作出圆，若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为( ) A. B. C. D. 8. 如图，在中，，是边上的中线，，，则的正切值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为（　　） A. x＜﹣2或0＜x＜1 B. x＜﹣2 C. 0＜x＜1 D. ﹣2＜x＜0或x＞1 10. 如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（　　） A. 2：5 B. 3：5 C. 9：25 D. 4：25 11. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，正方形中，，为中点，交于点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，sinA＝，则BC的长为_______cm. 14. 如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件：_____，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可） 15. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是___________． 16. 如图，的顶点B在反比例函数的图象上，顶点C在x轴负半轴上，轴，AB，BC分别交y轴于点D，E．若，，则_____． 三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为 ． （1）画出及其关于x轴对称的，并写出点的坐标为________； （2）以点O为位似中心，在第一象限内把扩大到原来的两倍，得到，请画出，并写出点的坐标为______． 19. 如图是一个几何体的三视图． （1）写出这个几何体的名称； （2）若俯视图中三角形的边长都为，求这个几何体的侧面积． 20. 如图是一款可调节亮度的台灯，可通过调节台灯的电阻，控制电流的变化实现亮度的调节．该台灯工作时电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，求该台灯的电阻的取值范围． 21. 如图，在矩形中，，，点是的中点． （1）在上求作一点，使（尺规作图，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求的长． 22. 美丽的湘江河宛如一条玉带纵贯遵义市城中心，两岸风景优美，是市民散步的好地方．如图所示，周末吴老师由西往东在步道上散步，在处观察到河对岸处的广告牌在自己的南偏东60°方向上，又直线行走100米到达处，观察到处的广告牌在自己的东南方向上，请根据以上信息，求广告牌到河岸的距离．（精准到0.1米，） 23. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数（）的图象交于点，． （1）分别求出两个函数的解析式； （2）连接，求的面积． 24. 如图，是的直径，点C在上，连接，于点E，交BC于点F，且． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，求的长． 25. 问题背景：如图（1），已知，求证：； 尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值； 拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $