精品解析：云南省玉溪市第三中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题

2024-2025学年高三上学期期末考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断A,B,C，利用基本不等式，当且仅当时等号成立，即可判断D. 【详解】对于A，由，可得，故A错误； 对于B，由，，，可得，故B错误； 对于C，若，且当时，可得为任意值，故C错误； 对于D，因为，当且仅当时，等号成立， 即，故D正确. 故选：D. 2. 已知函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将零点问题转化为交点问题，结合导数求解即可. 【详解】因为有三个零点， 所以有三个根，所以和有三个交点， 而，令，， 令，， 所以在上分别单调递增，在上单调递减， 所以极小值为，极大值为， 当时，，时，， 所以，故B正确. 故选：B 3. 当时，曲线与交点的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可. 【详解】与在上的函数图象如图所示， 由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个. 故选：D. 4. 已知向量，，对任意实数，恒有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两边平方得：，设，转化为则对任意实数恒成立，求解出，然后判断即可. 【详解】由两边平方得：， 设，则对任意实数恒成立， 所以，即，所以，即， ，所以. 故选：B 5. 已知数列满足，，，则数列的第2024项为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题中条件可得到偶数项得关系，再进行累加即得. 【详解】 所以 累加得 故选：C. 6. 已知为直角三角形，为直角顶点，分别以边上的高、中线的内角平分线为折线，将三角形折成直二面角，记折叠后的四面体的体积分别为，，，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与中较小角为，斜边为，结合锥体体积公式可用与表示各四面体体积，即可采用作商法结合三角函数的性质得到各体积大小关系. 【详解】不妨设中斜边为，，则， 则，， 对折叠后的四面体，有， ，， 则 ， 对折叠后四面体，作于点， 由为中点，则， 则， 故， ， 对折叠后的四面体，作于点， 有，由， 则， 整理得，又， 则 ， 则有， ， 由，则，， 故，，即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于借助直角三角形的边与角，结合锥体体积公式表示出各四面体的体积，再借助作商法比较大小. 7. 已知点P在抛物线上，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点P的坐标为，则，求其最小值即可. 【详解】设点P坐标为，则， 且， 又因为，所以当时，有最小值. 所以的最小值为. 故选：D 8. 把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为（ ） A. 70 B. 99 C. 110 D. 165 【答案】D 【解析】 【分析】相同元素的分配问题用“隔板法”即可. 【详解】当8个相同的蓝球只分给其中1人时，有4种分法； 当8个相同的蓝球分给其中的2人时，先从4人里面选出2人，再将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出1个空插入1个“隔板”即可，此时有种分法； 当8个相同的蓝球分给其中的3人时，先从4人里面选出3人，再将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出2个空插入2个“隔板”即可，此时有种分法； 当8个相同的蓝球分给其中的4人时，每人至少一个，此时将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出3个空插入3个“隔板”即可，此时有种分法； 因此把8个相同的蓝球分发给甲、乙、丙、丁4人时，不同的分发种数有： 故选：D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】在同一直角坐标系内作出和的图象，结合图象，可判定A正确；再由图象得到且，，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】如图所示，在同一坐标系内作出函数和的图象， 由图象知，要使得方程有四个不同的零点，只需，所以A正确； 对于B中，因为， 且函数关于对称， 由图象得，且， 所以，可得，则， 所以，其中， 令，当且仅当时，取得最小值， 所以，所以B正确； 对于C中，是的两个根， 所以，即，所以， 由是的两个根，所以， 所以，所以C不正确； 对于D中，由，可得， 令，可得函数在上单调递增， 所以，即，，所以D正确. 故选：ABD. 【点睛】知识方法点拨：求解复合函数零点个数或方程解的个数与范围问题的策略： 1、先换元解“套”，令，则，再作出和的图象； 2、由函数的图象观察有几个的值满足条件，结合的值观察的图象，求出每一个被对应，将的个数汇总后，即为的根的个数，即“从外到内”. 3、由零点的个数结合与的图象特点，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围，即“从内到外”，此法成为双图象法（换元+数形结合）. 10. 设一组样本数据满足，则（ ） A. 拿走，这组数据的方差变大 B. 拿走，这组数据的方差变大 C. 拿走，这组数据的方差减小 D. 拿走，这组数据的方差减小 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，直接证明即可；对于B，C，构造反例即可；对于D可直接用拿走后的方差为零说明结论. 【详解】熟知对一组数据，其方差等于各个数据的平方的算术平均值与算术平均值的平方之差，即. 将拿走前后的方差分别记为. 对于A，给五个元素同时加上或减去同一个数，不影响方差，所以可以适当平移，使得剩下的4个元素：的平均值为0， 不妨设，则，，所以. 故 ， 所以A正确； 对于B，考虑，则，，所以B错误； 对于C，考虑，则，，所以C错误； 对于D，由于这组数据不全相等，所以，而，所以D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于方差的计算. 11. 已知函数=sin[cosx]+cos[sinx]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，下列结论中不正确的是（ ） A. 的一个周期是2π B. 是偶函数 C. 在单调递减 D. 的最大值不大于 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.利用周期函数的定义判断；B.利用的关系判断；C.由时判断；D.由判断. 【详解】A.， ，故正确； B.， ，故错误； C.当时，，则，在无单调性，故错误； D.，故错误； 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，若含x项的系数为80，则实数a的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】， ∴当时，. 故答案为：. 13. 已知函数，当时，都有，则正数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求得的最大值、的最小值，由得，求得进而求得的取值范围. 【详解】的定义域为，， 令，， 所以在上递减，， 所以在区间递增；在区间递减， 所以. ，所以在区间递减； 在区间递增， 所以. 当时，， ，， 即， 要求的最大值，由于，故， 所以. 所以，为正数，则， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】求解含参数不等式恒成立问题，可考虑利用分离常数法，然后结合导数来求得参数的取值范围. 14. 将函数的图象上的每个点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移得到函数的图象，若函数与函数图象交于点，其中，则的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用伸缩变换和平移变换得到，再根据题意，由求解. 【详解】解：由题意得：， 因为函数与函数图象交于点， 所以，即 ， 整理得， 因为，所以， 又因为，所以， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16､17题15分，第18､19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国2015年至2023年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中年份代码1~9分别对应年份2015~2023． 已知，，，． （1）可否用线性回归模型拟合与的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明． （2）若根据所给数据建立回归模型，可否用此模型来预测2024年和2034年我国的氮氧化物排放量？请说明理由． 附：相关系数． 【答案】（1）可以用线性回归模型拟合与的关系，说明见解析 （2）可以预测2024年的氮氧化物排放量，但不可以预测2034年的氮氧化物排放量，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，由相关系数的计算公式代入计算，即可判断； （2）根据题意，由线性回归方程的意义，即可判断. 【小问1详解】 从折线图看，各点落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合与的关系， 由题意知， 相关系数． 故可以用线性回归模型拟合与的关系． 【小问2详解】 可以预测2024年的氮氧化物排放量，但不可以预测2034年的氮氧化物排放量． 理由如下： ①2024年与所给数据的年份较接近，因而可以认为短期内氮氧化物排放量将延续该趋势，故可以用此模型进行预测； ②2034年与所给数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持不变，但从长期看很有可能会变化，因而用此模型预测可能是不准确的． 16. 已知函数（且）. （1）若对于任意的，都有，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，是否存在，使在区间上的值域是？若存在，求实数的取值范围：若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据对数函数性质求得在上的最大值，由计算即可得； （2）由对数函数单调性问题转化为一元二次方程在上有两个不等实根，由一元二次方程根的分布知识求解即可得． 【小问1详解】 对于任意的，都有，等价于， ∵， 设， 则t在上是增函数，下面按照的单调性分类讨论： 当时，在上递减，则，解得， 当时，在上递增，则，解得与矛盾，故舍去； 综上，. 【小问2详解】 ∵，∴在上递减， ∴，即， 即关于x方程在上有两个不等的实根， 设， 则，即． 综上，不存在这样的，满足条件. 17. 已知数列的首项，且满足，记. （1）证明：是等比数列； （2）记，证明；数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义，要证是等比数列，即证为常数； （2）由（1）可知数列的通项公式，利用裂项相消法求和，整理变形即可证得. 【小问1详解】 因为， 所以，，所以， 因为，，所以， 因为， 因为， 又因为当时，所以，所以， 所以是以5为首项，2为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可得， 因为， 所以 . 18. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． （1）求椭圆C的标准方程； （2）记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定的值，得出椭圆的标准方程. （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，再把用，表示出来，化简即可得解. 【小问1详解】 由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即， 又离心率为所以 ． 所以椭圆C的方程为：． 【小问2详解】 依题意，直线l与x轴不重合， 设l的方程为：． 联立得：， 因为在椭圆内，所以， 即，易知该不等式恒成立， 设， 由韦达定理得． 又，则 注意到，即： . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 如图，有一个半圆形场馆，政府计划改建为一个方舱医院，改建后的场馆由病床区（矩形）及左右两侧两个大小相同的休闲区（矩形和）组成，其中半圆的圆心为，半径为50米，矩形的一边在上，矩形的一边在上，点，，，在圆周上，，在直径上，且，设．若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为万元和万元，记病床区及休闲区的总造价为（单位：万元）. （1）求的表达式； （2）为进行改建预算，当为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值． 【答案】（1）（万元），；（2）当时，总造价的最大值为万元. 【解析】 【分析】 （1）根据直角三角形的边角关系以及倍角公式用表示三个矩形的长和宽，用矩形面积乘以相应造价得出的表达式； （2）利用导数得出函数的单调性，进而得出最值. 【详解】解：（1）设，由图可知在矩形中， ， 所以 在矩形中， 所以 因为病床区每平方米的造价为万元，休闲区每平方米造价为万元， （万元），. （2）由（1）得， 因为，所以 令，解得，因为，所以 当变化时，，的变化情况如下表： 极大值 所以当时，总造价取得极大值 即当时，总造价的最大值为万元. 【点睛】方法点睛：在解决含有正弦函数的最值问题时，一般可以有以下方法： 1、利用导数得出单调性，再求最值； 2、对于型的函数，利用正弦函数的单调性求最值即可； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高三上学期期末考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 已知函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 当时，曲线与交点的个数为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知向量，，对任意实数，恒有，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，，，则数列的第2024项为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为直角三角形，为直角顶点，分别以边上的高、中线的内角平分线为折线，将三角形折成直二面角，记折叠后的四面体的体积分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点P在抛物线上，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为（ ） A. 70 B. 99 C. 110 D. 165 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，若方程有四个不同零点，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设一组样本数据满足，则（ ） A. 拿走，这组数据的方差变大 B. 拿走，这组数据的方差变大 C. 拿走，这组数据的方差减小 D. 拿走，这组数据的方差减小 11. 已知函数=sin[cosx]+cos[sinx]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，下列结论中不正确的是（ ） A. 一个周期是2π B. 是偶函数 C. 在单调递减 D. 的最大值不大于 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，若含x项的系数为80，则实数a的值为__________. 13. 已知函数，当时，都有，则正数的取值范围是__________. 14. 将函数的图象上的每个点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移得到函数的图象，若函数与函数图象交于点，其中，则的值为__________. 四､解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16､17题15分，第18､19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国2015年至2023年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中年份代码1~9分别对应年份2015~2023． 已知，，，． （1）可否用线性回归模型拟合与的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明． （2）若根据所给数据建立回归模型，可否用此模型来预测2024年和2034年我国氮氧化物排放量？请说明理由． 附：相关系数． 16. 已知函数（且）. （1）若对于任意的，都有，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，是否存在，使在区间上的值域是？若存在，求实数的取值范围：若不存在，说明理由. 17. 已知数列的首项，且满足，记. （1）证明：是等比数列； （2）记，证明；数列前项和. 18. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． （1）求椭圆C的标准方程； （2）记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 19. 如图，有一个半圆形场馆，政府计划改建为一个方舱医院，改建后的场馆由病床区（矩形）及左右两侧两个大小相同的休闲区（矩形和）组成，其中半圆的圆心为，半径为50米，矩形的一边在上，矩形的一边在上，点，，，在圆周上，，在直径上，且，设．若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为万元和万元，记病床区及休闲区的总造价为（单位：万元）. （1）求的表达式； （2）为进行改建预算，当为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$