10.1.1有限样本空间与随机事件-2024-2025学年第二学期高一数学同步课件（人教A版2019必修二）

10.1.1 有限样本空间 与随机事件 1.正确理解样本点、样本空间、有限样本空间的含义，会写试验的样本空间.(重点) 2.正确理解有限样本空间和随机事件.(难点) 学习目标 概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。它量化了随机事件发生的可能性，已成为日常用语的一部分。在本章中，我们将在初中知识的基础上，通过具体实例进一步研究如何描述随机事件；通过计算古典概型中随机事件的概率，加深对随机现象的理解；并通过构建概率模型来解决实际问题，从而提高运用概率方法处理问题的能力。 导 语 目 录 1 2 3 4 有限样本空间 随机事件 随机事件的表示 CONTENTS 书读百遍 其义自现 有限样本空间 1 提示　可能出现的试验结果：2次正面向上；2次反面向上；第1次反面向上，第2次正面向上；第1次正面向上，第2次反面向上. 观察下列试验，分别说出有哪些可能的结果？ (1)将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况； 问题1 提示　可以用抽签法等方式随机找出10名学生，近视的学生可能有0到10名. (2)从班级中随机选择10名学生，统计近视的人数. 思考1 提示　试验可以在相同条件下重复进行； 试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 观察下列试验： (1)在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命； (2)从一批发芽的水稻种子中随机选取一些，观察分蘖数； (3)记录某地区7月份的降雨量. 你能从中总结随机试验的特点吗？ 思考2 提示　样本点可看作元素，样本空间可看作集合. 列举样本点可用列举法，有限样本空间就是有限个样本点组成的集合. 怎样从集合的角度来刻画样本点和样本空间？ 思考3 1.我们把对　　　　　的实现和对它的观察称为随机试验. 2.   定义 字母表示 样本点 我们把随机试验E的___________________ 称为样本点 用 表示 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用 表示 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为_____________ Ω={ω1，ω2，…，ωn} 随机现象 每个可能的基本结果 ω Ω 有限样本空间 知识梳理 题型一　有限样本空间的求法 探究1 随机事件 2 提示　我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，称Ω为必然事件，称空集∅为不可能事件. 如何从集合的角度定义随机事件、必然事件和不可能事件？ 思考4 随机 事件 我们将样本空间Ω的　　　称为　　　　　，简称事件，并把只包含　　　样本点的事件称为　　　　　，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为__________ 必然 事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为_________ 不可能 事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为____________ 子集 随机事件 一个 基本事件 事件A发生 必然事件 不可能事件 知识梳理 21 题型二　随机事件 探究2 随机事件的表示 3 题型三　随机事件的表示 探究3 书读百遍 其义自现 4 试验 重复 明确可知 不止一个 每个可能的基本结果 ω Ω 有限样本空间 子集 随机事件 一个 基本事件 事件A发生 必然事件 不可能事件 反 思 总 结 入 木 三 分 课 后 巩 固 √ √ 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，向上点数之和为8 2 0 2 5 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 例1　写出下列试验的样本空间． (1)同时抛掷三枚质地均匀的骰子，记录三枚骰子出现的点数之和； 【解析】　(1)该试验的样本空间Ω1＝{3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18}． (2)从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果； 【解析】　(2)该试验所有可能的结果如图所示， 因此，该试验的样本空间Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}． (3)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情况； 【解析】　(3)涂色情况如图， 用1，2，3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此试验的样本空间Ω3＝{(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)}． (4)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，观察它落地时朝上的面的点数． 第一次 第二次 1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6) 6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6) 【解析】　(4)两次掷出的点数列表如下： 所以其样本空间Ω4＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，也可写成Ω4＝{(m，n)|1≤m≤6，1≤n≤6，m，n∈N*}． 写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法： (1)列举法：适用于样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏． (2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏． (3)树状图法：适用于较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举． 思考题1　写出下列试验的样本空间． (1)连续抛掷3枚质地均匀的硬币，观察落地时这3枚硬币朝上的面的情况； 【解析】　(1)画树状图如图所示． 因此，这个试验的样本空间Ω1＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}． (2)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节假日中值班，每人值班1天，记录值班的情况； 【解析】　(2)值班情况如图， 设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4，所以样本空间Ω2＝{(1，2，3，4)，(1，2，4，3)，(1，3，2，4)，(1，3，4，2)，(1，4，2，3)，(1，4，3，2)，(2，1，3，4)，(2，1，4，3)，(2，3，1，4)，(2，3，4，1)，(2，4，1，3)，(2，4，3，1)，(3，1，2，4)，(3，1，4，2)，(3，2，1，4)，(3，2，4，1)，(3，4，1，2)，(3，4，2，1)，(4，1，2，3)，(4，1，3，2)，(4，2，1，3)，(4，2，3，1)，(4，3，1，2)，(4，3，2，1)}． (3)从一批产品中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况(正品与次品数量均大于三件)． 【解析】　(3)设正品为H，次品为T， 样本空间Ω3＝{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}． 例2　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件． (1)中国足球队将在下届奥运会上获得冠军； (2)小李驾车通过的几个十字路口都将遇到绿灯； (3)若x∈R，则x2＋1≥1； (4)抛一枚均匀的骰子两次，朝上的面的数字之和大于12. 【解析】　由题意知(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上的面的数字最大是6，两次朝上的面的数字之和最大是12，不可能大于12，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件． 事件发生与否是相对条件而言的，随着条件的改变，结果可能也发生改变，如“常温常压下，水沸腾”是不可能事件，而“100 ℃常压下，水沸腾”是必然事件． 思考题2　指出下列事件是必然事件，不可能事件还是随机事件． (1)在一条公路上，交警记录某一小时内通过的汽车超过500辆； (2)若a为实数，则|a＋1|＋|a＋2|＝0； (3)电阻不为零的导线通电后发热； (4)发射一枚炮弹，命中目标； (5)李明后年高考总分高于600分； (6)某人买明天的福彩中奖． 【解析】　必然事件：(3)，不可能事件：(2)，随机事件：(1)(4)(5)(6)． 例3　试验E：甲、乙两人玩出拳游戏(石头、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况． 设事件A表示随机事件“甲、乙平局”； 事件B表示随机事件“甲赢得游戏”； 事件C表示随机事件“乙不输”． 试用集合表示事件A，B，C. 【解析】　设石头为w1，剪刀为w2，布为w3，用(i，j)表示游戏的结果，其中i表示甲出的拳，j表示乙出的拳，则样本空间Ω＝{(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}． 因为事件A表示随机事件“甲、乙平局”， 则满足要求的样本点共有3个：(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)， 所以事件A＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}． 事件B表示“甲赢得游戏”， 则满足要求的样本点共有3个：(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)， 所以事件B＝{(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}． 因为事件C表示“乙不输”， 则满足要求的样本点共有6个：(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w2，w1)，(w1，w3)，(w3，w2)， 所以事件C＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}． (1)对于随机事件的表示，应先列出所有的样本点，然后确定随机事件中含有哪些样本点，这些样本点作为元素表示的集合即为所求． (2)研究随机事件表示的含义首先应理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定随机事件的含义． 思考题3　在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义． (1)事件A＝{(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)}； 【解析】　(1)事件A中所含的样本点中的第二个数都为3，根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3. (2)事件B＝{(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)}； 【解析】　(2)事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6. (3)事件C＝{(1，3)，(3，1)，(4，2)，(2，4)，(3，5)，(5，3)，(4，6)，(6，4)}． 【解析】　(3)事件C中所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在事件C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2. 要点1　随机试验的概念及特点 (1)概念 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称______，常用字母E表示． (2)特点 ①试验可以在相同条件下_____进行； ②试验的所有可能结果是_________的，并且_________； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 要点2　样本点及样本空间 (1)样本点 我们把随机试验E的___________________称为样本点，用____表示样本点. (2)样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，用____表示样本空间． (3)有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为_______________． 要点3　随机事件、必然事件与不可能事件 (1)随机事件 我们将样本空间Ω的______称为_________，简称事件，并把只包含_____样本点的事件称为_________．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为_____________． (2)必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为_________． (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称∅为__________. 1．每天早晨，太阳都会从东方升起，每天傍晚，太阳都会从西方落下，这是什么事件呢？ 答：必然事件． 2．连续两周，每周五都下雨，于是有人断言，本周五也下雨，你觉得他说的对吗？这个事件是随机事件还是必然事件？ 答：这种说法不对，本周五下雨是随机事件． 3．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈吗？ 答：如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%，指随着试验次数的增加，即随着治疗的病人人数的增加，大约有10%的人能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前9个病人都没有治愈是可能的，对第10个人来说，其结果仍然是随机的，即有可能治愈，也可能没有治愈． 4．如何确定试验的样本空间？ 答：确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式． 1．一个家庭有两个小孩，对于这两个小孩的性别，所有的样本点为(　　) A．(男，女)，(男，男)，(女，女) B．(男，女)，(女，男) C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女) D．(男，男)，(女，女) 解析　可用坐标法,将第一个小孩的性别放在横坐标位置，第二个小孩的性别放在纵坐标位置,可得4个不同的样本点(男,男),(男,女),(女,男),(女,女). 2．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上”包含的样本点共有(　　) A．17个　　　 B．8个 C．9个 D．10个 解析　点落在x轴上所包含的基本事件为(－9，0)，(－7，0)，(－5，0)，(－3，0)，(－1，0)，(2，0)，(4，0)，(6，0)，(8，0)，共9个． 3．抛掷3枚硬币，试验的样本点用(x，y，z)表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝上”，则M＝___________________________________ _____________________________________________________________. {(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)} 解析　试验的样本空间为Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，则M＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)}． 4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)}，则事件M的含义是________________________________________. 5．柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚，指出下列随机事件的含义． (1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}； 解析　(1)事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”． (2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}； 解析　(2)事件N的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”． (3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}． 解析　(3)事件P的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成双”． $$