2025年九年级中考数学复习训练——初中数学隐圆、辅助圆小专题

中考复习——初中数学隐圆、辅助圆小专题 一、填空题 1． 同一平面内,内一点P到圆上的最大距离为,最小距离为,则的半径为______. 2． 点P到上点的最短距离为2，最长距离为6，则半径为_______. 3．如图,在边长为2的正方形中,E,F分别是边,上的动点,且始终满足,,交于点P. (1)的度数为______； (2)连接,线段的最小值为______. 4．如图，在中，，，，P是内部的一个动点，满足.则线段长的最小值为_____________. 5．如图，是半的直径，点C在半上，，.D是上的一个动点，连接，过点C作于E，连接.在点D移动的过程中，的最小值为______________. 6．如图,在矩形中,,,点E、F分别是边、上的动点,且,点G是的中点,连接、,则四边形面积的最小值为______. 7．如图,为等边三角形,,若P为内一动点,且满足,则线段长度的最小值为______. 8．如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是边，CD上的动点，且，连接，AF，线段和相交于点G，连接，取的中点H，连接，则线段的最小值为_______. 9．如图，在正方形中，，点E，F分别为边，上动点，且，连接，交于点G，连接，则线段长度的最小值为___________. 10．如图，在，，E为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接.若，，则的最小值为_____________. 11．如图，在矩形中，，，动点P在矩形的边上沿运动.当点P不与点A、B重合时，将沿对折，得到，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为_______. 12．如图，矩形中，，点E在上，且，点F在边上运动，以线段为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形，连接，当最小时，的值为____________________. 二、单选题 13．如图，在矩形中，，，P是矩形内一动点，且满足，则线段的最小值是( ) A. B. C.8 D.5 14．如图，正方形的边长为4，点E是边上的一动点，点F是边上的一动点，且，与相交于点P，连接，在F运动的过程中，的最小值为( ) A. B. C. D. 15．如图，在中，，，，D是内部的一个动点，满足，则线段长的最小值为( ) A.2 B.1 C. D. 参考答案 1．答案：4或2 解析：①当点P在圆内时,的直径长为,半径为； ②当点P在圆外时,的直径长为,半径为； 综上所述：的半径长为或. 故答案为：4或2. 2．答案：2或4 解析：当点P在圆外时， 外一点P到上各点的最长距离为6，最小距离为2， 的直径为， 的半径为2， 当点P在圆内时， 内一点P到上各点的最长距离为6，最小距离为2， 的直径为， 的半径为4， 故答案为：2或4. 3．答案：/ 解析：四边形是正方形, ,, 在和中, , ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, 由于点P在运动中保持, ∴点P的路径是一段以为直径的弧, 取的中点Q,连接,此时的长度最小, 则, 在中,根据勾股定理得,, 所以,. 故答案为：；. 4．答案： 解析：， ， ， ， ， ， 如图，取的中点为O，连接， ， P是内部的一个动点， P的运动轨迹为以O为圆心，4为半径的劣； 当O、P、C三点共线时，最小， 此时最小， 如图， ， ； 故答案：. 5．答案： cm 解析：如图，取的中点为，连接、， ， ， ， 在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动， 是直径， ， 在中，，， ， 在中，， ， 当、E、B三点共线时，的值最小，最小值为：（cm）， 故答案为： cm. 6．答案： 解析：如图,连接,过B作于H,以B为圆心,为半径作圆,交于,如图, ∵四边形是矩形, ∴, ∵,点G是的中点, ∴, ∴G在以B为圆心,5为半径的弧上,当G运动到时,最小,此时四边形面积的最小值,最小值即为四边形的面积, ∵,, ∴,, ∴, ∴, ∴, ∴,,即四边形面积的最小值是, 故答案为：. 7．答案： 解析：如图,作的外接圆, ∴当B,P,O三点在同一直线上时最小.连接,,,交于点M,在优弧上找一点D, 连接,, ∵, ∴, ∴, ∴为等边三角形, ∵为等边三角形, ∴四边形为菱形, ∴, ∵, ∴, ∴,, ∴, ∴的最小值为. 故答案为：； 8．答案： 解析：如图：以所在的直线为对称轴，作正方形的对称正方形， ，，， H为的中点， 为的中位线， ， 当最短时，最短， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 点G在以为直径的圆上， 当点G在上时，最短， ， ， . 故答案为：. 9．答案： 解析：在正方形中，，，则， ， 四边形是正方形， ，， ， . ， ， ， G在为直径的圆上运动， 如图所示，当点E与点C重合，点F与点D重合时最小， 根据勾股定理，得， . 故答案为：. 10．答案：4 解析：沿折叠，得到， ， 点F在以B为圆心6为半径的圆上， 设以B为圆心6为半径的圆与交于点， 则，的最小值为的长； 在中， ，， ， ， 的最小值为4， 故答案为：4. 11．答案： 解析：在矩形中，，， ，， 如图所示，当点P在上时， ， 在A为圆心，2为半径的弧上运动， 当A，，三点共线时，最短， 此时， 当点P在上时，如图所示， 此时， 当P在上时，如图所示，此时， 综上所述，的最小值为， 故答案为：. 12．答案： 解析：如图1，取的中点O，连接，，作射线， 四边形是矩形， ， O是的中点， ， ，O是的中点， ， ， B，E，G，F在以O为圆心的圆上， ， ， ， ， 平分， 点G在的平分线上， 当时，最小， 此时，如图2， 平分， ， ， 是以为斜边的等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， ， 设， ， ， 在中，， ， ， ， ， . 故答案为：. 13．答案：A 解析：矩形中，， ，，， ， 故， A，B，P在以为直径的圆E在矩形内部的弧上，此时点E为的中点， 连接，设与圆弧的交点为F， 当点E，P，D三点共线时，线段有最小值， 此时点P与点F重合， ， ， ， 故选：A. 14．答案：A 解析：如图，正方形的边长为4， ，， ， ， ， ， ， ， 点P在以的中点O为圆心，以为半径的正方形内部的圆弧上， 连接，交弧于点G， 当点P与点G重合时，取得最小值， ， 故选：A. 15．答案：A 解析：， ， ， ， ， ， 点D在以为直径的圆上， 取的中点O，连接，，则： ，， ， ， ， 的最小值为2. 故选：A. 学科网（北京）股份有限公司 $$