广东省河源市河源中学2024-2025学年高二下学期第一次教学质量检测数学试题

数学试卷第 1 页 共 4 页 河源中学 2024-2025 学年第二学期高二年级第一次教学质量检测 数学试题 命题人：江滢滢 审核人：黄欣艳 说明：本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。答案须做在答卷上； 选择题填涂须用 2B 铅笔，主观题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。考试结束后只需交 答卷。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1.已知集合� = � ∈ �|�2 − 2� − 3 < 0 ,则集合�的子集个数为( ) A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 2.已知�为虚数单位，复数�满足�(1 + �) = �，则复数�所对应的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.科学家以里氏震级来度量地震的强度.若设�为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级 �可定义为� = 0.6lg�，若 6.5级地震释放的相对能量为�1，7.4级地震释放的相对能量为�2，记� = �2 �1 ，�约等于( ) A. 16 B. 20 C. 32 D. 100 4.在等差数列{��}中，��为其前�项和，若�3 + �4 + �8 = 25，则�9 =( ) A. 60 B. 75 C. 90 D. 105 5.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说 四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100位学生，其中阅读过 《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90位，阅读过《红楼梦》的学生共有 80位，阅读过《西 游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学 生总数比值的估计值为(    )． A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 6.定义在�上的偶函数�(�)满足：对任意的�1、�2 ∈ ( −∞,0](�1 ≠ �2)，有 � �2 −� �1 �2−�1 < 0，且 � 2 = 0，则不等式� � +� −�2� < 0的解集是( ) 数学试卷第 2 页 共 4 页 A. −∞, − 2 ∪ 2, + ∞ B. −2,0 ∪ 2, + ∞ C. −∞, − 2 ∪ 0,2 D. −2,0 ∪ 0,2 7.已知� ，� 是两个单位向量，若向量� 在向量� 上的投影向量为12� ，则向量� 与向量� − � 的夹角 为( ) A. 30∘ B. 60∘ C. 90∘ D. 120∘ 8.在同一平面直角坐标系内，函数� = �(�)及其导函数� = �′(�)的图像如图所示，已知两图像 有且仅有一个公共点，其坐标为(0,1)，则( ) A. 函数� = �(�) ⋅ ��的最大值为 1 B. 函数� = �(�) ⋅ ��的最小值为 1 C. 函数� = �(�)�� 的最大值为 1 D. 函数� = �(�) �� 的最小值为 1 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9.在 2�− � 6 的展开式中，下列说法正确的是( ) A. 常数项为 160 B. 第 4项的二项式系数最大 C. 第 3项的系数最大 D. 所有项的系数和为 64 10.设直线�：� = �� − 1 � ∈ � 与圆�：�2 + �2 = 6，则下列结论正确的为( ) A. 直线�与圆�可能相离 B. 直线�不可能将圆�的周长平分 C. 当� = 2 时，直线�被圆�截得的弦长为2 1305 D. 直线�被圆�截得的最短弦长为 2 5 数学试卷第 3 页 共 4 页 11.如图，在棱长为 2的正方体���� − �1�1�1�1中，�、�、�、�、�均为所在棱的中点，动 点�在正方体表面运动，则下列结论中正确的为( ) A. �在��中点时，平面��� ⊥平面��� B. 异面直线��、��所成角的余弦值为14 C. �、�、�、�、�在同一个球面上 D. �1� = ��1� + �1� − 2��1�1，则�点轨迹长度为 5 2 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.若角�的终边过点�(4, − 3)，则 sin( 3�2 + �)的值为 ． 13.已知�为抛物线�2 = 4�上的动点，�为抛物线的焦点，�(3,1)，则|��| + |��|的最小值 为 ． 14.已知不等式  1e lna x ax x   在区间  20,e 上恒成立，则实数 a的取值范围是 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题 13分）已知等差数列 na 满足： 1 2a  ，且 1 2 4, ,a a a 成等比数列． (1)求数列 na 的通项公式； (2)若等差数列 na 的公差不为零，且数列 nb 满足： 2 1 1  n n b a ，记数列 nb 的前 n项和为 nT ， 求��的取值范围 16．（本小题 15分）如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 2 3 120AB AC BAC    , ，D为 1AA 的中点， E为 1BC 的中点． (1)证明：DE 平面 1 1B BCC ； (2)若 1 6BB  ，求直线 1A B与平面 1DBC所成角的正弦值． 数学试卷第 4 页 共 4 页 17．（本小题 15分）对于给定的椭圆   2 2 1 2 2: 1 0 x yE a b a b     ，与之对应的另一个椭圆 2 2 2 2 2: x yE a b   （ 0  ，且 1  ），则称 1E 与 2E 互为共轭椭圆.已知椭圆 2 2 1 16 12 x y   与椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yC a b a b     互为共轭椭圆，  2,0A 是椭圆C的右顶点. (1)求椭圆C的标准方程. (2)设直线  : 2l x my t t   与椭圆C交于 B，D两点，且直线 AB与直线 AD的斜率之积为 1 4  . 证明： 2 23 4t m  且直线 l过定点. 18．（本小题 17分）已知函数    2 ln ( , 0)f x x ax x x a a    R ． (1)若 1是函数  f x 的极值点，求 a的值； (2)若 0 1a  ，试问  f x 是否存在零点．若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由． 19．（本小题 17分）近年来，社交推理游戏越来越受到大众的喜爱，它们不仅提供了娱乐和休 闲的功能，还可以锻炼玩家的逻辑推理、沟通技巧和团队合作精神，增强社交能力和人际交往 能力.某校“社交推理游戏社团”在一次活动中组织了“搜索魔法师”游戏，由 1名“侦探”、6 名“麻瓜”、4名“魔法师”参与游戏.游戏开始前，“侦探”是公认的，每个“麻瓜”和“魔 法师”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份.游戏过程中，由“侦探”对“麻瓜”和“魔法 师”逐个当众询问并正确应答，直至找出所有的“魔法师”为止. (1)若恰在第 5次搜索才测试到第 1个“魔法师”，第 10次才找到最后一个“魔法师”，则这 样的不同搜索方法数是多少？ (2)若恰在第 5次搜索后就找出了所有“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？ (3)游戏开始，有甲、乙、丙三位同学都想争取“侦探”的角色，主持人决定采用“击鼓传花” 的方式来最终确认人员.三人围成一圈，第 1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地 将花传给另外两个人中任何一人.试问，5次传花后花在甲手上的可能线路有多少种？ 数学答案第 1 页 共 10 页 河源中学 2024-2025 学年第二学期高二年级第一次教学质量检测 数学答案 1.【答案】� 解：解不等式�2 − 2� − 3 < 0，得−1 < � < 3，因此� = {� ∈ �| − 1 < � < 3} = {0,1,2}， 所以集合�的子集个数为23 = 8． 2.【答案】� 解：∵ �(1 + �) = �，∴ �(1 + �)(1 − �) = �(1 − �)，∴ � = 12 + 1 2 �，则复数�所对应的点( 1 2 , 1 2 )在第一象限． 3.【答案】� 解：∵ � = 0.6���，∴ � = 10 5� 3，当� = 6.5 时，�1 = 10 65 6 ，当� = 7.4 时，�2 = 10 37 3， ∴ � = �2�1 = 10 37 3 ÷ 10 65 6 = 10 3 2 = 10 × 10 ≈ 32， 4.【答案】� 解：设等差数列{��}的公差为�，∵等差数列{��}中，��为其前�项和，�3 + �4 + �8 = 25， ∴ 3�1 + 12� = 25，∴ �5 = �1 + 4� = 25 3，∴ �9 = 9 2 (�1 + �9) = 9�5 = 9 × 25 3 = 75． 5.【答案】� 解：根据题意作出����图，得： ∴ 100 名学生中阅读过《西游记》的学生人数为 70 人， 则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为： 70 100 = 0.7． 6.【答案】� 解：不妨设�1 < �2 ≤ 0，∵ �2 − �1 > 0， ∴ � �2 − � �1 < 0，即� �1 > � �2 ，∴ �(�)在 −∞, 0 上单调递减， ∵ � � 是定义在�上的偶函数，∴ �(�)在 0, +∞ 上单调递增， 当� > 0 时，� � +� −�2� < 0 ⇒ � � + � −� < 0 ⇒ � � < �(2)，解得 0 < � < 2， 当� < 0 时，� � +� −�2� < 0 ⇒ � � + � −� > 0 ⇒ � � > �( − 2)，解得� <− 2， 则该不等式的解集为 −∞,− 2 ∪ 0,2 ． 数学答案第 2 页 共 10 页 7.【答案】� 解：由题意，因为向量� 在向量� 上的投影向量为12� ，则� ·� � � � = � ·� � = 12� ，即� ·� = 12， 则|� − � | = � 2 − 2� ·� + � 2 = 1 − 1 + 1 = 1，则 cos < � ，� − � >= � · � −� � � −� = � 2−� ·� � � −� = 1−12 1×1 = 1 2， 又< � ，� − � >∈ 0°, 180° ，则< � ，� − � >= 60∘． 8.【答案】� 解：不妨设函数� = �(�)的定义域为 −∞, +∞ ， 从图像成看出实线所表示的函数图像在 −∞, +∞ 上单调递增且一直在�轴上方， 即对应的函数值大于零；虚线所表示的函数图像在 −∞, +∞ 上有增有减， 但一直在�轴及其上方，即对应的函数值大于或等于零； 所以可以判断实线所表示的函数图像为函数� = �(�)的图像， 虚线所表示的函数图像为其导函数� = �′(�)的图像． 已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为(0,1)， 即�(0) = 1，且� < 0 时，�′(�) > �(�)；� > 0 时，�′(�) < �(�); 对于函数� = �(�)·��，因为�′(�)⩾0, �(�) > 0, �� > 0， 所以�′ = �′(�) + �(�) ·�� > 0，函数� = �(�)·��在 −∞, +∞ 上单调递增， 且� →+∞时, �� →+∞,�(�) →+∞, � = �(�)·�� →+∞；� →−∞时, �� → 0, �(�) → 0, � = �(�)·�� → 0； 所以函数� = �(�)·��既没有最小值也没有最大值，故 A、�均不正确； 对于函数� = �(�)�� ，因为� < 0 时，�′(�) > �(�)，� � > 0， 所以�′ = �′(�)−�(�)�� > 0，函数� = �(�) �� 在 −∞, 0 上单调递增； 因为� > 0 时，�′(�) < �(�)，�� > 0，所以�′ = �′(�)−�(�)�� < 0，函数� = �(�) �� 在 0, +∞ 上单调递减； 又�(0) = 1，所以� = 0 时，函数� = �(�)�� 有最大值 �0) �0 = 1.故 C正确；D错误． 9.【答案】�� 解：因为��+1 = −1 ��6� 2 � 6−� � � = ( − 1)��6�26−��2�−6 对于�，当� = 3 时，是常数项，则常数项为 −1 3�6323 =− 160，故 A错误； 对于�，展开式中有 7 项，二项式最大的项是第 4项，故 B正确； 对于�，根据二项式系数的性质，系数最大的项为第 3 项或第 5项，因为第 3项为 −1 2�6224 = 240， 数学答案第 3 页 共 10 页 第 5项为 −1 4�6422 = 60，所以第 3项的系数最大，故 C正确； 对于�，令� = 1 可得所有项的系数和为 1，故 D错误． 10.【答案】�� 解：因为直线�过定点(0, − 1)，且点(0, − 1)在圆�内，所以直线�与圆�必相交， A错误； 若直线�将圆�的周长平分，则直线�过原点，此时直线�的斜率不存在，但这是不可能的， 所以 B正确； 当� = 2 时，直线�的方程为 2� − � − 1 = 0，圆心�到直线�的距离为 15 = 5 5 ， 所以直线�被�截得的弦长为 2 6 − ( 55 ) 2 = 2 1455 ， C错误； 因为圆心�到直线�的距离为� = 1 �2+1 ≤ 1， 所以直线�被�截得的弦长为 2 6 − �2 ≥ 2 5，等号成立当且仅当� = 0，即� = 1， D正确， 11.【答案】��� 解：对于选项 A：取��的中点�，连接��,��， 在棱长为 2 的正方体���� − �1�1�1�1中，�、�、�、�、�均为所在棱的中点， 易知�� ⊥ ��，∵ ��//��1, ∴ �� ⊥平面����，��在面����内， 所以�� ⊥ ��，�� ⊂面���，�� ⊂面���，�� ∩ �� = �， 所以�� ⊥面���，�� ⊂面���，所以�� ⊥ ��， 连接��1，���1�1是正方形，�� ⊥ �1�， 因为��1 ⊥面���1�1，�� ⊂面���1�1，所以�� ⊥ �1�， 因为��1 ⊂面���1�，�1� ⊂面���1�，��1 ∩ �1� = �1， 所以�� ⊥面���1�，因为�� ⊂面���1�，所以�� ⊥ ��， 综上，�� ⊂面���，�� ⊂面���，又�� ∩ �� = �， 所以�� ⊥面���，�� ⊂面���，故平面��� ⊥平面���，故 A正确； 对于选项 B：取�1�1的中点�，连接��,��，则��//��， 所以∠���是异面直线��、��所成的角， 又�� = �� = �� = 2，则∠��� = �3 , cos∠��� = 1 2，故 B错误； 对于选项 C：记正方体的中心为点�，则 �� = �� = �� = �� = �� = 2， 数学答案第 4 页 共 10 页 所以�、�、�、�、�在以�为球心，以 2为半径的球面上，故 C正确； 对于选项 D：因为�1� = ��1� + �1� − 2��1�1 ，且�为��1的中点， 所以�1� − �1� = 2��1� − 2��1�1 ，故�� = 2��1� ， 所以�点轨迹是过点�与�1�平行的线段��1，且 ��1 = 1 2， 所以 ��1 = 5 2 ，故 D正确； 12.【答案】− 45 解：sin( 3�2 + �) =− sin( � 2 + �) =− ����，∵角�的终边过点�(4, − 3)， ∴ ���� = 4 42+(−3)2 = 45，则 sin( 3� 2 + �) =− ���� =− 4 5， 13.【答案】4 解：利用抛物线的定义将|��|转化为点�到准线的距离， 因为定点�(3,1)在抛物线 �2 = 4�的内部， 过点�作抛物线�2 = 4�准线� =− 1 的垂线，垂足为�，则|��| = |��|， 当�，�，�三点共线时，|��| + |��|取得最小值 3 + 1 = 4． 14.【答案】 1,1 e       【详解】解法一：设   ln 1h x x x   ，当0 1x  ，   1 11 0xh x x x      ， 当 1x  ，   1 11 0xh x x x      ，所以  h x 在(0,1)上递减，在  1,  上递增， 所以    1 1 0 1 0h x h     ，故   0h x  . ①一方面，在条件中，令 ex ，即得  1 ee e 1a a   . 假设 11 e a   ，则 1 1 e a  ，从而   1 e 1 ee 1e e e e 1 1 e 1 e e a a               ，矛盾. 所以一定有 11 e a   . ②另一方面，若 11 e a   ， 首先有 1 1 1 1 11 1 1 1 e e e e e10 e e e e ln e 1 e e e e x x x x x h x x                                 ， 数学答案第 5 页 共 10 页 以及0 ln 1 ln e e e e x x x xh x          . 将两个不等式相加，就得到 1 1 e e 10 e ln e 1 ln e e x xxx x x x                        ， 从而 1 e 1e 1 ln e x x x       . 由于 11 e a   ，故 1 1 e a  ， 所以对任意  0,x   ，有   1 1 e 1e e 1 ln ln e xa x x x ax x           . 而对任意的  20,ex  ，显然也有  0,x   ， 所以  1e lna x ax x   ，从而 11 e a   时条件一定满足. 综合①②两个方面，可知 a的取值范围是 1,1 e       . 解法二：不等式  1e lna x ax x   在区间  20,e 上恒成立，等价于 (1 )(1 ) e lna xa x x x    在区间  20,e 上恒成立， 即 (1 ) ln(1 ) e ln ea x xa x x    在区间  20,e 上恒成立， 令 ( ) exg x x  ，则 ( ) 1 e 0xg x    ， [(1 ) ] (ln )g a x g x  ， 所以 ( ) exg x x  在区间R 上单调递增， 所以 (1 ) lna x x  在区间  20,e 上恒成立， 即 ln1 xa x   在区间  20,e 上恒成立， 令 ln( ) 1 xt x x   ，  20,ex  ，则 2 ln 1( ) xt x x   ， 当0 ex  时， ( ) 0t x  ，当 2e ex  时， ( ) 0t x  ， 所以 ( )t x 在 (0,e)上递减，在 2(e,e ]上递增， 所以 min 1( ) (e) 1 e t x t   ， 所以 11 e a   ，即 a的取值范围是 1,1 e       . 故答案为： 1,1 e       数学答案第 6 页 共 10 页 15．【详解】（1）设数列 na 的公差为 d，依题意： 2,2 ,2 3d d  成等比数列， 所以    22 2 2 3d d   ，解得： 0d  或 2d 当 0d  时， 2na  ，当 2d 时，  2 1 2 2na n n     所以数列 na 的通项公式为 2na  或 2na n （2）因为等差数列 na 的公差不为零，由（1）知  *2na n n N  则       1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1n n n b a a n n n n             所以 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1n T n n n                      ， 故 1 1 11 2 2 1 2n T n       而 1 11 2 2 1n T n      随 n的增大而增大， 则 1 1 3n T T  ，故 1 1 3 2n T  16．【详解】（1） 取 BC中点M ，连接 ,AM ME，因为 AB AC ，所以 AM BC ， E为 1BC 的中点，所以 EM为 1BCC 的中位线，所以 1// //EM CC AD， 又 1 1 1 1 2 2 EM CC AA AD   ，所以四边形 AMED为平行四边形，有 //DE AM， 又因为 1AA 平面 ,ABC AM 平面 ABC，则 1 ,AA AM EM AM  ， 由于 ,EM BC 平面 1 1,B BCC EM BC M  ，所以 AM 平面 1 1B BCC ， 又因为 //DE AM ，所以DE 平面 1 1B BCC ． （2）解法一：由（1）可知： , ,MA MC ME两两垂直，如图，以M 为坐标原点，以MC所在直线为 x 轴，MA所在直线为 y轴，ME所在直线为 z轴，建立空间直角坐标系， 在 1 1 1A BC△ 中，由余弦定理可得： 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 cosBC AB AC AB AC B AC      ，则 1 1 6BC  ， 于是          1 1 10, 3,3 , 3,0,0 , 3,0,6 , 3,0,6 , 0, 3,6D B B C A  ， 则  1 3, 3,6BA   ， 数学答案第 7 页 共 10 页 设  , ,n x y z  平面    1 1, 3, 3,3 , 6,0,6DBC BD BC    ， 于是 1 0 0 n BD n BC         ，即 3 3 3 0 6 6 0 x y z x z        ， 令 1z  ，则  1,0,1n   ， 设直线 1A B与平面 1DBC所成角为， 那么 1 1 1 3 6sin cos , 84 3 2 BA n BA n BA n                ， 即直线 1A B与平面 1DBC所成角的正弦值为 6 8 ． 解法二：在 1 1 1A BC△ 中，由余弦定理可得： 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 cosBC AB AC AB AC B AC      ，则 1 1 6BC  ， 如图，连接 1B E，由（1），DE 平面 1 1 1,B BCC BC 平面 1 1B BCC ，则 1DE BC ， 又因为 1 1 1BB BC ，四边形 1 1B BCC 为正方形， E为 1BC 的中点， 1 1B E BC ， 由于 1 1, ,B E DE E B E DE  平面 1B DE，则 1 BC 平面 1B DE， 如图，记 1 1A B B D N ，过点 N作 NH DE ，连接 BH ， 由于 1 BC 平面 1 ,B DE NH 平面 1B DE，则 1NH BC ， 又因为 1 1, ,DE BC E DE BC  平面 1DBC，则 NH 平面 1DBC， 所以 NBH 即为直线 1A B与平面 1DBC所成角，由于 1 1ADN BB N△ ∽△ ，则 1 1 2B N BN ND AN   ， 由于 1DE B E ，则H为DE的三等分点，则 1 1 8 8 32, 3 33 NH B E NB    ， 于是 6sin 8 NHNAH NB    ，即直线 1A B与平面 1DBC所成角的正弦值为 6 8 ． 解法三：设直线 1A B与平面 1DBC所成角为， 点 1A到平面 1DBC的距离为 h，则 1 sin h AB   ， 在 1 1Rt A B B 中， 1 1 12 3, 6A B BB  ，则 1 4 3AB  ， 数学答案第 8 页 共 10 页 过 B作 BQ CA 交CA的延长线于Q，易得 3BQ  ，且易证 BQ 平面 1 1A ACC ， 由于 1 1 1 3 2 3 3 3 2A DC S    △ ，则 1 1 1 3 3 3 3 3 3B A DC V      ， 在 1DBC 中， 1 21DB DC  ， 且 11 16 2, 6 2 3 3 6 2DBC BC S    △ ， 又 1 1 1, 3 3A BDC B A CV V   ， 则 3 3 3 3 1 6,sin 86 6 4 3 h     ． 17．【详解】（1）由题意可设 2 2 1 16 12 x y   的共轭椭圆方程为 2 2 16 12 x y   ， 即 2 2 1 16 12 x y     （ 0  ，且 1  ）， 由于  2,0A 是该椭圆的右顶点，即得 116 4 4    ， ， 椭圆C的标准方程 2 2 1 4 3 x y   ； （2）证明：联立  : 2l x my t t   和 2 2 1 4 3 x y   ， 可得  2 2 23 4 6 3 12 0m y mty t     ， 需满足   2 2 2 2Δ 36 12 4 3 4 0m t t m     ，即 2 23 4 0m t   ，即 2 23 4t m  ； 设    1 1 2 2, , ,B x y D x y ，则 2 1 2 1 22 2 6 3 12, 3 4 3 4 mt ty y y y m m        ， 则      1 2 1 2 1 2 1 22 82 , 3 4 tx x m y y t x x my t my t m            2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 3 12 6 3 4 3 4 t mtm y y mt y y t m mt t m m              2 2 2 4 12 3 4 t m m    ， 由题意得直线 AB与直线 AD的斜率之积为 1 4  ，即 1 2 1 2 1 2 2 4 y y x x      ， 即   1 2 1 22 2 4 0x x y y    ， 即 2 2 2 2 2 2 4 12 8 3 122 4 4 0 3 4 3 4 3 4 t m t t m m m            ，即得 2 2 0t t   ， 解得 2t  （舍）或 1t   ， 则直线  : 2l x my t t   为直线 : 1l x my  ，过定点  1,0 . 数学答案第 9 页 共 10 页 18．【详解】（1）    2 lnf x x ax x x   ，定义域是 (0, ) ，    1 2 lnf x x a x a x     ．1 是函数  f x 的极值点，  1 2 0f a    ，解得 2a  ， 经检验 2a  符合题意， 2a  . （2）令   0f x  ，即   ln 1 0x a x   ，令      ln 1 0h x x a x x    ， 则 ln( ) ln 1 a x x x ah x x x x       ． 令   lnm x x x x a   ，则   ln 2m x x  ， 令   0m x  解得 2ex  ，而  2 2e e 0m a     ， 当 20 ex   时，    0,m x m x  在 2(0,e ) 上单调递减； 当 2ex  时，    0,m x m x  在 2(e , )  上单调递增， 当 x趋向于 0 时，  m x 趋向于 a ，即   0m x  ， 2 2( )e e 0m a     ，  1 1 0m a   ， 故存在 2 0 (e ,1)x  ，使得 0 0 0 0ln( 0)m x x x x a    ，即   0h x  ， 故当 00 x x  时，    0,h x h x  在 0(0, )x 上单调递减， 当 0x x 时，    0,h x h x  在 0( , )x  上单调递增， 故   2 20 0 0 0 0 0min ( ) ( ) ln 1 1 (ln ) 0( (e ,1))h x h x x a x x x x         ， 故    0,h x h x 即  f x 无零点． 19．【详解】 （1）先排前 4 次搜索，只能取“麻瓜”，有 46A 种不同的搜索方法， 再从 4 个“魔法师”中选 2 个排在第 5 次和第 10 次的位置上搜索，有 24A 种搜索方法， 再排余下 4 个的搜索位置，有 44A 种搜索方法. 所以共有 4 2 4 6 4 4A A A 103680 种不同的搜索方法. 数学答案第 10 页 共 10 页 （2）第 5 次搜索恰为最后一个“魔法师”， 则另 3 个在前 4 次搜索中出现，从而前 4 次有一个“麻瓜”出现， 所以共有 1 1 4 4 6 4C C A 576 种不同的搜索方法. （3）由于甲是第 1 次传花的人，因此第 2 次传花时，甲不能再次拿到花. 这意味着在第 2 次传花时，花必须传给乙或丙. 同样，第 3 次传花时，花不能回到前一次传花的人手中. 因此，传花的路线不能有连续两次传给同一个人的情况. 设 na 为经过 n次传花后花在甲手上的线路数，其中 1 0a  . 则 1na  为经过 1n  次传花后花在甲手上的线路数，即经过 n次传花后花不在甲手上的线路数， 所以 1nna a  为经过 n次传花的总线路，每一次传花均有两种方向（顺时针或逆时针）， 则 1 2 n n na a   ， *nN . 所以 2 2a  ， 3 2a  ， 4 6a  ， 5 10a  ， 综上，5 次传花后花在甲手上的可能线路有 10 种.