8.1.3 向量数量积的坐标运算-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评word（人教B版2019）

8．1．3　向量数量积的坐标运算 知识点一　向量数量积的坐标表示 1．已知a＝(－2，4)，b＝(1，2)，则a·b＝(　　) A．0 B．10 C．6 D．－10 答案：C 解析：由题意知，a·b＝(－2)×1＋4×2＝6． 2．已知2a＋b＝(－4，3)，a－2b＝(3，4)，则a·b的值为________． 答案：0 解析：解法一：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，∵2a＋b＝2(x1，y1)＋(x2，y2)＝(2x1＋x2，2y1＋y2)，a－2b＝(x1，y1)－2(x2，y2)＝(x1－2x2，y1－2y2)，∴ 由①③得x1＝－1，x2＝－2；由②④得y1＝2，y2＝－1，∴a＝(－1，2)，b＝(－2，－1)，∴a·b＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0． 解法二：由得两式相加，得5a＝(－8，6)＋(3，4)＝(－5，10)，∴a＝(－1，2)．将a＝(－1，2)代入2a＋b＝(－4，3)，得b＝(－2，－1)，∴a·b＝(－1，2)·(－2，－1)＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0． 知识点二　向量的模与夹角的问题 3．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝(　　) A． B．2 C．4 D．12 答案：B 解析：∵|a|＝2，∴|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12，∴|a＋2b|＝2．故选B． 4．已知向量a＝(3，1)，b＝(1，2)，则向量a与b的夹角为________． 答案： 解析：由题意知，cos〈a，b〉＝＝＝＝．因为向量夹角的取值范围是[0，π]，所以向量a与b的夹角为． 5．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，且a与b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 答案：∪(2，＋∞) 解析：∵a与b的夹角为钝角，∴a·b<0，即(－2，－1)·(λ，1)＝－2λ－1<0，∴λ>－．又当a与b反向时，夹角为180°，即a·b＝－|a||b|，则2λ＋1＝·，解得λ＝2．由于a与b的夹角为钝角，故应排除a与b反向共线的情况，即排除λ＝2，则实数λ的取值范围为∪(2，＋∞)． 知识点三　向量垂直问题 6．已知a＝(－2，1)，b＝(3，m)，若(2a＋b)⊥b，则实数m的值为(　　) A．1或－3 B．－3 C．－1 D．1或3 答案：A 解析：∵2a＋b＝(－1，2＋m)，(2a＋b)⊥b，∴(2a＋b)·b＝－3＋(2＋m)m＝0，解得m＝1或m＝－3． 7．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)．若向量c满足(a＋c)∥b，c⊥(a＋b)，则c的坐标为________． 答案： 解析：设c的坐标为(x，y)，则a＋c＝(1＋x，2＋y)．∵(a＋c)∥b，∴(1＋x)×3－2×(2＋y)＝0，即3x－2y＝1．① 又a＋b＝(3，5)，且c⊥(a＋b)，∴3x＋5y＝0．② 联立①②，得方程组解得故c的坐标为． 知识点四　向量坐标运算的应用 8．P(x，y)是函数f(x)＝sinπx图象上的点，已知点Q(2，0)，O为坐标原点，则·的取值范围是(　　) A．[－1，0] B．[－1，2] C．[0，3] D．[－1，－1] 答案：B 解析：∵P(x，y)是函数f(x)＝sinπx图象上的点，∴y＝sinπx，∴·＝(x，y)·(x－2，y)＝x(x－2)＋y2＝x2－2x＋＝sin2πx＋x2－2x＝sin2πx＋(x－1)2－1．∵x∈，∴当x＝1时，·有最小值－1，当x＝－或x＝时，·有最大值2．∴·的取值范围是[－1，2]． 9．已知a＝，＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则向量b的坐标为________． 答案：或 解析：设向量b＝(x，y)，依题意得·＝0，||＝||，则(a－b)·(a＋b)＝0，|a－b|＝|a＋b|，所以|a|＝|b|，a·b＝0， 即解得或所以b＝或b＝． 10．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1，0)． (1)求向量b＋c的模的最大值； (2)设α＝，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值． 解：(1)b＋c＝(cosβ－1，sinβ)， 则|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)． 因为－1≤cosβ≤1， 所以0≤|b＋c|2≤4， 即0≤|b＋c|≤2． 当cosβ＝－1时，有|b＋c|＝2， 所以向量b＋c的模的最大值为2． (2)若α＝，则a＝． 又由b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1，0)， 得a·(b＋c)＝·(cosβ－1，sinβ)＝cosβ＋sinβ－． 因为a⊥(b＋c)， 所以a·(b＋c)＝0， 即cosβ＋sinβ＝1， 所以sinβ＝1－cosβ，平方后化简得cosβ(cosβ－1)＝0， 解得cosβ＝0或cosβ＝1． 经检验cosβ＝0或cosβ＝1即为所求． 一、单选题 1．已知平面向量a＝(3，1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x＝(　　) A．3 B．1 C．－1 D．－3 答案：B 解析：a⊥b⇔3x－3＝0，所以x＝1．故选B． 2．若向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角为(　　) A．－ B． C． D． 答案：C 解析：因为a＝(1，2)，b＝(1，－1)，所以2a＋b＝(3，3)，a－b＝(0，3)．于是(2a＋b)·(a－b)＝9，|2a＋b|＝3，|a－b|＝3．设2a＋b与a－b的夹角为θ，故cosθ＝＝＝，因为θ∈[0，π]，所以θ＝．故选C． 3．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a·b＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：D 解析：由向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，得a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝． 4．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　　) A． B． C．2 D．10 答案：B 解析：∵a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，a⊥c，∴a·c＝0，即2x－4＝0，∴x＝2．∵b∥c，∴1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2，∴a＝(2，1)，b＝(1，－2)，∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝＝． 5．已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，a·c＝b·c＝1，则向量a在向量c上的投影向量的坐标为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：设c＝(x，y)，因为a＝(1，0)，b＝(0，1)，a·c＝b·c＝1，所以解得所以c＝(1，1)，所以向量a在向量c上的投影向量为·＝·＝．故选A． 二、多选题 6．已知向量a＝(1，)，b＝(cosα，sinα)，则下列结论正确的是(　　) A．若a∥b，则tanα＝ B．若a⊥b，则tanα＝－ C．若a与b的夹角为，则|a－b|＝3 D．若a与b方向相反，则b在a上的投影向量的坐标是 答案：ABD 解析：对于A，由a∥b，得sinα＝cosα，因此tanα＝，A正确；对于B，由a⊥b，得sinα＋cosα＝0，因此tanα＝－，B正确；对于C，因为a与b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，所以a·b＝2×1×＝1，因此|a－b|＝＝，C错误；对于D，由a与b方向相反，则b在a上的投影向量为a＝－a＝，D正确．故选ABD． 7．已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，4)，c＝a＋λb，λ∈R，则下列说法正确的是(　　) A．当λ＝－时，|c|最小 B．当|c|最小时，b⊥c C．当λ＝1时，a与c的夹角最小 D．当a与c的夹角最小时，a＝c 答案：ABD 解析：由a＝(1，2)，b＝(－3，4)，得c＝a＋λb＝(1－3λ，2＋4λ)，|c|2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝5＋10λ＋25λ2＝25＋4，当λ＝－时，|c|最小，故A正确；当|c|最小时，c＝，b·c＝0，所以b⊥c，故B正确；设向量a与c的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，由于θ∈[0，π]，所以向量a与c的夹角最小时，θ＝0，此时cosθ＝1，则＝1，解得λ＝0，故C错误；当a与c的夹角最小时，c＝(1，2)，此时a＝c，故D正确．故选ABD． 三、填空题 8．已知向量a＝(2，4)，b＝(1，1)，若b⊥(a＋λb)，则实数λ的值是________． 答案：－3 解析：a＋λb＝(2，4)＋λ(1，1)＝(λ＋2，λ＋4)，∵b⊥(a＋λb)，∴(λ＋2)×1＋(λ＋4)×1＝0，解得λ＝－3． 9．已知⊥，||＝，||＝t．若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值为________． 答案：13 解析：如图，以A为原点，，所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B，C(0，t)，所以＝(1，0)，＝(0，1)，所以＝＋＝(1，0)＋4(0，1)＝(1，4)，所以点P的坐标为(1，4)，＝，＝(－1，t－4)，所以·＝1－－4t＋16＝－＋17≤－4＋17＝13，所以·的最大值为13． 10．已知矩形ABCD的中心为O，AD＝2．若·＝8，则∠AOB＝________，向量与的夹角为________． 答案：　 解析：由·＝8，得(＋)·(－)＝2－2＝8，因为AD＝2，所以2＝12，||＝2．如图，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(－，－1)，B(，－1)，C(，1)，D(－，1)，得＝(－，－1)，＝(，－1)，＝(0，2)，＝(－，－1)，得·＝－2，||＝2，||＝2，所以cos∠AOB＝＝＝－，且0<∠AOB<π，所以∠AOB＝．cos〈，〉＝＝＝－，且0≤〈，〉≤π，所以向量与的夹角为． 四、解答题 11．在平面直角坐标系xOy中，已知向量a＝(，－1)，b＝． (1)求证：|a|＝2|b|且a⊥b； (2)设向量x＝a＋(t－3)b，y＝－a＋tb，且x⊥y，求实数t的值． 解：(1)证明：∵|a|＝2，|b|＝1，∴|a|＝2|b|． ∵a·b＝－＝0，∴a⊥b． (2)∵x⊥y，∴x·y＝0． 由题意得x·y＝[a＋(t－3)b]·(－a＋tb)＝－a2＋3a·b＋t(t－3)b2＝－4＋0＋t2－3t＝t2－3t－4，∴t2－3t－4＝0，解得t＝－1或t＝4． 12．平面内有向量＝(1，7)，＝(5，1)，＝(2，1)，点Q为直线OP上的一个动点． (1)当·取最小值时，求的坐标； (2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cos∠AQB的值． 解：(1)设＝(x，y)， ∵点Q在直线OP上，∴向量与共线． 又＝(2，1)，∴x＝2y，∴＝(2y，y)． 又＝－＝(1－2y，7－y)， ＝－＝(5－2y，1－y)， ∴·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8， 故当y＝2时，·有最小值－8， 此时＝(4，2)． (2)由(1)知，＝(－3，5)，＝(1，－1)， ·＝－8，||＝，||＝， ∴cos∠AQB＝＝－． 13．如图所示，正方形ABCD的边长为2，E，F，G分别是边BC，CD，AD的中点，P是线段EF上的动点，则·的最小值为(　　) A． B．3 C． D．48 答案：A 解析：如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，G(0，1)，E(2，1)，F(1，2)，设P(x，y)，＝λ(λ∈[0，1])，则(x－1，y－2)＝λ(1，－1)，所以所以x－1＝－(y－2)，即y＝3－x，所以＝(x，y－1)，＝(x，y)，所以·＝x2＋y(y－1)＝x2＋(3－x)(2－x)＝2x2－5x＋6＝2＋，又x＝1＋λ∈[1，2]，所以当x＝时，·取得最小值，为．故选A． 14．已知向量a＝(3，2)，b＝(x，－1)． (1)若(2a－b)⊥b，求x的值； (2)当c＝(－8，－1)，a∥(b＋c)，求向量a与b的夹角α； (3)当(a－b)·b取得最大值时，试判断是否存在实数λ，使|a＋λb|＝|λa－b|，并说明理由． 解：(1)因为向量a＝(3，2)，b＝(x，－1)， 所以2a－b＝(6，4)－(x，－1)＝(6－x，5)， 由(2a－b)⊥b，得(2a－b)·b＝0， 即x(6－x)－5＝0， 整理得x2－6x＋5＝0，解得x＝1或x＝5， 所以x＝1或x＝5． (2)因为c＝(－8，－1)，b＝(x，－1)，a＝(3，2)， 所以b＋c＝(x－8，－2)， 由a∥(b＋c)，可得3×(－2)－2×(x－8)＝0，解得x＝5， 所以|a|＝＝，|b|＝＝，a·b＝3×5＋2×(－1)＝13， 所以cosα＝＝＝， 又α∈[0，π]，所以α＝． (3)由向量a＝(3，2)，b＝(x，－1)，知a－b＝(3－x，3)， 所以(a－b)·b＝－x2＋3x－3＝－－， 当x＝时，(a－b)·b取得最大值，此时b＝， 若存在实数λ，使|a＋λb|＝|λa－b|， 则(1－λ2)a2＋4λa·b＋(λ2－1)b2＝0， 又因为a2＝|a|2＝13，b2＝|b|2＝，a·b＝， 所以13(1－λ2)＋10λ＋(λ2－1)＝0， 整理，得39λ2－40λ－39＝0， 因为Δ＝(－40)2－4×39×(－39)>0， 所以方程有解， 故存在实数λ，使|a＋λb|＝|λa－b|． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$