8.1.2 向量数量积的运算律-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评word（人教B版2019）

8．1．2　向量数量积的运算律 知识点一　向量数量积运算律的理解 1．下面给出的关系式中正确的个数是(　　) ①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2； ④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：①②③正确，④⑤错误，|a·b|≥a·b，(a·b)2＝(|a||b|cosθ)2＝a2·b2cos2θ≤a2·b2．故选C． 2．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论： ①a·c－b·c＝(a－b)·c； ②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直； ③|a|－|b|＜|a－b|； ④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2． 其中正确结论的序号是________． 答案：①③④ 解析：①③④正确；②错误，∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直． 知识点二　运算律的应用 3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a在b上的投影的数量与b在a上的投影的数量相等，则|a－b|＝(　　) A．1 B． C． D．3 答案：C 解析：由题意知|a|cos〈a，b〉＝|b|cos〈a，b〉，因为|a|＝1，|b|＝2，所以cos〈a，b〉＝0，即a⊥b，则|a－b|＝＝． 4．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为(　　) A．1 B． C． D． 答案：D 解析：∵|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，c与a＋b同向，∴a与c的夹角为60°．又|a－c|＝＝＝，故|a－c|min＝．故选D． 5．已知e1，e2是单位向量，且e1与e2的夹角为θ，若|e1＋te2|≥(t∈R)，则θ的取值范围为________． 答案： 解析：对|e1＋te2|≥(t∈R)两边同时平方可得|e1＋te2|2＝e＋2te1·e2＋t2e＝t2＋2tcosθ＋1≥，即t2＋2tcosθ＋≥0，所以Δ＝(2cosθ)2－4×1×≤0，解得－≤cosθ≤，又θ∈[0，π]，故θ的取值范围为． 6．已知平面内三个非零向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则|2a－b＋3c|＝________． 答案：或9 解析：因为平面内三个非零向量a，b，c两两夹角相等，所以分两种情况：当a，b，c中任意两向量的夹角都为120°时，|2a－b＋3c|＝ ＝ ＝＝；当a，b，c中任意两向量的夹角都为0°时，|2a－b＋3c|＝|2|a|－|b|＋3|c||＝|2－2＋9|＝9．综上，|2a－b＋3c|的值为或9． 7．已知|a|＝4，|b|＝5，|a＋b|＝，求： (1)a·b； (2)(2a＋b)·(a－2b)； (3)|2a－3b|． 解：(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2， ∴a·b＝(|a＋b|2－|a|2－|b|2)＝×(21－42－52)＝－10． (2)(2a＋b)·(a－2b) ＝2a2－3a·b－2b2 ＝2|a|2－3a·b－2|b|2 ＝2×42－3×(－10)－2×52 ＝12． (3)|2a－3b|＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 知识点三　运算律的综合问题 8．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 答案：B 解析：由|－|＝|＋－2|，可得||＝|－＋－|，即||＝|＋|，所以|－|＝|＋|，两边平方，化简得·＝0，所以⊥，因此△ABC是直角三角形．故选B． 9．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝4，点P在△ABC斜边BC的中线AD上，则·的取值范围为________． 答案：[－5，0] 解析：在△ABC中，由∠A＝90°，AB＝2，AC＝4，得BC＝＝2，由点P在△ABC斜边BC的中线AD上，得||∈[0，]，所以·＝(＋)·(－)＝2－2＝2－5∈[－5，0]． 10．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2AD＝2DC．证明：AC⊥BC． 证明：令＝a，＝b， 则＝a，且|a|＝2|b|， ∴＝＋＝b＋a，＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b， ∵·＝·＝b2－a2＝b2－×4b2＝0， ∴⊥， 即AC⊥BC． 一、单选题 1．已知向量m与n的夹角为，且|m|＝，|n|＝2，则|m－n|＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：依题意得(m－n)2＝|m|2＋|n|2－2|m||n|cos＝3＋4－2××2×＝1，∴|m－n|＝1．故选A． 2．已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　) A．72 B．－72 C．36 D．－36 答案：B 解析：(a＋2b)·(a－3b)＝a2－6b2－a·b＝36－6×16－6×4×cos60°＝－72． 3．点O是△ABC所在平面内一点，且满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　) A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 答案：D 解析：由·＝·，得·＝0，即⊥．同理可得⊥，⊥．故选D． 4．在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝λ＋．若||＝2，||＝3，则||的值为(　　) A．1 B． C． D．2 答案：C 解析：由题意可得·＝||·||cos∠BAC＝3×2×＝3，因为C，P，D三点共线，所以＝x＋y，且x＋y＝1，又因为＝λ＋＝λ＋×＝λ＋，所以x＝λ，y＝，可得λ＋＝1，解得λ＝，可得＝＋，所以2＝2＋·＋2＝×4＋×3＋×9＝3，即||＝．故选C． 5．设向量a与b的夹角为θ，定义a⊕b＝|asinθ－bcosθ|，已知|a|＝，|a＋b|＝，|b|＝1，则a⊕b＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：∵|a|＝，|b|＝1，|a＋b|＝，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝5，即2＋2a·b＋1＝5，则a·b＝1，故a·b＝|a||b|cosθ＝cosθ＝1，得cosθ＝，∵θ∈[0，π]，∴sinθ＝＝，∴a⊕b＝|asinθ－bcosθ|＝＝＝＝．故选D． 二、多选题 6．关于非零向量a，b，c，下列结论正确的是(　　) A．(a·b)c＝a(b·c) B．|a·b|≥a·b C．若a·c＝λb·c，则a＝λb D．若a＝λb，则a·c＝λb·c 答案：BD 解析：向量的数量积不满足结合律，A错误；|a·b|＝||a||b|cosθ|≥a·b＝|a||b|cosθ，B正确；a与b不一定共线，C错误；当a＝λb时，a·c＝λb·c，D正确． 7．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是(　　) A．a为单位向量 B．a⊥b C．b∥ D．(4a＋b)⊥ 答案：ACD 解析：∵＝2a，＝2a＋b，∴a＝，b＝，又△ABC是边长为2的等边三角形，∴|a|＝1，|b|＝2，故A正确；∵||＝|2a＋b|＝＝2，∴a·b＝－1≠0，故B错误；∵＝b，∴b∥，故C正确；∵4a＋b＝2＋＝＋，∴(4a＋b)·＝(＋)·＝－2＋2＝0，∴(4a＋b)⊥，故D正确．故选ACD． 三、填空题 8．已知|a|＝|b|＝，|a＋b|＝，则a与b的夹角为________． 答案：120° 解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝7＋2×××cos〈a，b〉＋7＝7，∴cos〈a，b〉＝－，∴a与b的夹角为120°． 9．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC．若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝________． 答案： 解析：以，为基向量，则·＝(＋λ)·(＋μ)＝μ2＋λ2＋(1＋λμ)·＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1　①．·＝(λ－1)·(μ－1)＝－2(λ－1)(μ－1)＝－　②．由①②可得λ＋μ＝． 10．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________． 答案：4　2 解析：解法一：∵(|a＋b|＋|a－b|)2＝(a＋b)2＋(a－b)2＋2|a＋b|·|a－b|＝2a2＋2b2＋2|a＋b|·|a－b|＝10＋2|a＋b|·|a－b|，|a＋b|·|a－b|≥|(a＋b)·(a－b)|＝|a2－b2|＝3，∴(|a＋b|＋|a－b|)2≥10＋2×3＝16，即|a＋b|＋|a－b|≥4，即|a＋b|＋|a－b|的最小值为4．又≤＝＝(当且仅当|a＋b|＝|a－b|，即a·b＝0时，等号成立)，∴|a＋b|＋|a－b|的最大值为2． 解法二：由向量三角不等式得，|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)－(a－b)|＝|2b|＝4，即|a＋b|＋|a－b|的最小值为4．又≤＝＝(当且仅当|a＋b|＝|a－b|，即a·b＝0时，等号成立)，∴|a＋b|＋|a－b|的最大值为2． 四、解答题 11．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝． (1)求a与b的夹角的大小； (2)求|3a＋b|的值． 解：(1)(3a－2b)2＝7， 即9|a|2－12a·b＋4|b|2＝7， 而|a|＝|b|＝1， ∴a·b＝，∴|a||b|cos〈a，b〉＝， 即cos〈a，b〉＝， ∴a与b的夹角为． (2)∵(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13， ∴|3a＋b|＝． 12．已知平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝6，∠DAB＝60°，E是线段BC的中点． (1)求·的值； (2)若＝＋λ，且BD⊥AF，求λ的值． 解：(1)在平行四边形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝3，∠DAB＝60°， 所以·＝||||cos∠DAB＝3×6×＝9， 因为E是线段BC的中点， 所以＝＋＝＋， 则·＝·＝||2＋·＝9＋×9＝， 故·的值为． (2)由(1)知·＝9，＝＋， 则＝＋λ＝＋，＝－， 因为BD⊥AF， 则·＝(－)·＝0， 即||2－||2＋·－··＝0， 即×62－32＋9－×9＝0，解得λ＝－， 故λ的值为－． 13．如图，圆M为△ABC的外接圆，AB＝4，AC＝6，N是边BC的中点，则·＝(　　) A．10 B．13 C．18 D．26 答案：B 解析：由N是边BC的中点，可得＝(＋)，∵M是△ABC外接圆的圆心，∴·＝||||cos∠BAM＝||2＝×42＝8，同理可得·＝||2＝18，∴·＝(＋)·＝·＋·＝×8＋×18＝13．故选B． 14．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，但不平行，M，N分别是AD，BC的中点，MN与BA，CD的延长线分别交于点P，Q，求证：∠APM＝∠DQM． 证明：设＝a，＝b，因为＝＋＋，＝＋＋， 所以2＝(＋)＋＋＋(＋)． 因为M，N分别是AD，BC的中点， 所以＋＝0，＋＝0， 所以2＝0＋＋＋0＝＋， 即＝(a＋b)． 因为AB＝CD，设|a|＝|b|＝k，∠APM＝θ1，∠DQM＝θ2，a与b的夹角为θ， 则a与的夹角为θ1，b与的夹角为θ2． 因为·＝(a＋b)·a， 即|a＋b||a|cosθ1＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|cosθ， 所以|a＋b|·kcosθ1＝k2＋k2cosθ， 所以cosθ1＝． 同理可得cosθ2＝， 所以cosθ1＝cosθ2． 又θ1，θ2∈(0，π)，所以θ1＝θ2， 即∠APM＝∠DQM． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$