7.3.5 已知三角函数值求角-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评word（人教B版2019）

7．3．5　已知三角函数值求角 知识点一　已知特殊角的三角函数值求角 1．若cos(π－x)＝，x∈(－π，π)，则x的值为(　　) A．， B．± C．± D．± 答案：C 解析：∵cos(π－x)＝－cosx＝，∴cosx＝－，x∈(－π，π)，作出角x的余弦线，可得x＝±． 2．已知集合A＝，B＝，则A∩B＝________． 答案： 解析：∵sinx＝，∴x＝2kπ＋或2kπ＋，k∈Z，又tanx＝－，∴x＝kπ＋，k∈Z，∴A∩B＝． 3．已知函数f(x)＝2sin＋1，试求函数值为2时自变量x的取值集合． 解：∵f(x)＝2，即2sin＋1＝2， ∴sin＝，2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝＋2kπ，k∈Z， 则x＝－＋kπ(k∈Z)或x＝＋kπ(k∈Z)， ∴x的取值集合为． 知识点二　已知一般角的三角函数值求角 4．若sinx＝－，则角x的值为(　　) A．arcsin B．π－arcsin C．π＋arcsin D．2π－arcsin 答案：B 解析：∵arcsin∈，∴π＋arcsin∈，2π－arcsin∈，故排除A，C，D．故选B． 5．已知x∈(－π，0)，且cosx＝－，则角x等于(　　) A．arccos B．－arccos C．π－arccos D．－π＋arccos 答案：D 解析：arccos∈，排除A；π－arccos∈，排除C；cos＝cos＝，排除B．故选D． 6．若tanα＝0．2，则角α＝(　　) A．arctan0．2 B．2kπ＋arctan0．2(k∈Z) C．kπ＋arctan0．2(k∈Z) D．kπ－arctan0．2(k∈Z) 答案：C 解析：满足tanα1＝0．2的锐角α1＝arctan0．2，∵tanα>0，∴角α的终边在第一、三象限，∴α＝kπ＋arctan0．2(k∈Z)． 知识点三　解不等式 7．在(0，2π)内，使tanx>1成立的x的取值范围为________． 答案：∪ 解析：结合正切函数y＝tanx的图象，可得使tanx>1成立的x的取值范围为，k∈Z．结合x∈(0，2π)，可得使tanx>1成立的x的取值范围为∪． 8．已知cos＋≤0，则角x的取值范围是________． 答案：(k∈Z) 解析：因为cos＋≤0，所以cos≤－，所以2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，所以kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，即角x的取值范围是(k∈Z)． 9．利用三角函数线，确定满足不等式－≤cosθ<的θ的取值范围． 解：如图，作出以坐标原点为圆心的单位圆，作直线x＝－和直线x＝， 设直线x＝－与单位圆交于点P1，P2，与x轴交于点M1， 直线x＝与单位圆交于点P3，P4，与x轴交于点M2，连接OP1，OP2，OP3，OP4． 在[－π，π)内，cos＝cos＝－，cos＝cos＝， 则点P1，P2，P3，P4分别在，－，，－的终边上， 又－≤cosθ<，结合图形可知， 当θ∈[－π，π)时，－≤θ<－或<θ≤，故θ的取值范围为． 10．求函数y＝的定义域． 解：为使函数有意义，需满足 即0<sinx≤，即2kπ<x≤2kπ＋或＋2kπ≤x<2kπ＋π，k∈Z， 即函数的定义域为． 一、单选题 1．已知cosx＝－1，则角x＝(　　) A．π B．kπ(k∈Z) C．－＋kπ(k∈Z) D．(2k＋1)π(k∈Z) 答案：D 解析：在[0，2π]内，若cosx＝－1，则x＝π．当x∈R时，x＝π＋2kπ(k∈Z)．故选D． 2．已知sin＝，且α∈[0，π]，则α为(　　) A．arccos B．2kπ＋arccos(k∈Z) C．π－arccos D．2π－arccos 答案：A 解析：sin＝sin＝cosα＝，又cosα>0，α∈[0，π]，则α∈，所以α＝arccos． 3．函数y＝的定义域是(　　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 答案：D 解析：为使函数有意义，需满足2sin2x＋cosx－1≥0，即2cos2x－cosx－1≤0，解得－≤cosx≤1．如图，所以所求函数的定义域为．故选D． 4．若tan＝，则在区间[0，2π]上解的个数为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 答案：B 解析：∵tan＝，∴2x＋＝＋kπ(k∈Z)，∴x＝－＋(k∈Z)．∵x∈[0，2π]，∴x＝或或或．故选B． 5．在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律．有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为20 ℃，但当气温上升到31 ℃时，时钟花基本都会凋谢．在花期内，时钟花每天开闭一次．已知某景区有时钟花观花区，且该景区6～14时的气温T(单位：℃)与时间t(单位：时)近似满足函数关系式T＝25＋10sin，则在6～14时中，观花的最佳时段约为(　　) A．6．7～11．6时 B．6．7～12．2时 C．8．7～11．6时 D．8．7～12．2时 答案：C 解析：当t∈[6，14]时，t＋∈，则T＝25＋10sin在[6，14]上单调递增．设花开、花谢的时间分别为t1，t2．由T1＝20，得sin＝－，t1＋＝，解得t1＝≈8．7时；由T2＝31，得sin＝0．6≈sin，t2＋≈，解得t2≈11．6时．故在6～14时中，观花的最佳时段约为8．7～11．6时．故选C． 二、多选题 6．若x∈，则使等式cos(πcosx)＝0成立的x的值是(　　) A． B．π C． D． 答案：ACD 解析：由已知得πcosx＝kπ＋(k∈Z)，∴cosx＝k＋(k∈Z)，而|cosx|≤1，故cosx＝±，又x∈，∴x＝或或．故选ACD． 7．已知函数f(x)＝sin的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的取值可能为(　　) A． B． C．π D． 答案：BC 解析：由函数f(x)＝sin的值域为，得－≤sin≤，即－≤sin≤1，得2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．因为f(x)的定义域为[a，b]，所以(b－a)max＝2kπ＋－＝(k∈Z)，(b－a)min＝＝(k∈Z)，所以b－a的取值范围是．故选BC． 三、填空题 8．对于反三角函数式arccos，arcsin(log34)，arcsin(－1)2，arcsin，有意义的式子的个数为________． 答案：1 解析：∵arcsinx，arccosx中x∈[－1，1]，又＞1，log34＞1，(－1)2∈(0，1)，tan＞1，故只有arcsin(－1)2有意义． 9．函数y＝的定义域为________． 答案： 解析：由1－tan≥0，得tan≤1，且x＋≠＋kπ(k∈Z)．画出y＝tanx，x∈的图象，如图所示，由图可得－＋kπ<x＋≤＋kπ(k∈Z)，即－＋kπ<x≤kπ(k∈Z)．所以函数y＝的定义域为． 10．已知f(x)＝2sin，当x∈且f(x)＝－时，x的值为________，不等式f(x)<－的解集是________． 答案：－或0　 解析：∵2sin＝－，即sin＝－，∴角2x－的正弦线向下，且长度为，如图．∴角2x－的终边为OP或OP′，又sin＝sin＝－，∴2x－＝－＋2kπ或2x－＝－＋2kπ，k∈Z，即x＝kπ或－＋kπ，k∈Z，又x∈，∴x＝－或x＝0．原不等式可化为sin<－，∴－＋2kπ<2x－<－＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ<x<kπ，k∈Z，∴原不等式的解集为． 四、解答题 11．已知函数f(x)＝2cos． (1)求f(x)的单调递增区间； (2)求不等式f(x)>1的解集． 解：(1)f(x)＝2cos， 由－π＋2kπ≤x＋≤2kπ，k∈Z， 得－＋4kπ≤x≤－＋4kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z． (2)因为f(x)>1，所以2cos>1， 所以cos>，所以－＋2kπ<x＋<＋2kπ，k∈Z，所以－＋4kπ<x<＋4kπ，k∈Z， 所以不等式f(x)>1的解集为，k∈Z． 12．已知sinx＝． (1)当x∈时，求x的值； (2)当x∈[0，2π]时，求x的值； (3)当x∈R时，求x的值． 解：(1)∵y＝sinx在上是增函数， 且sin＝，∴x＝， ∴x的值为． (2)∵sinx＝>0， ∴x为第一或第二象限角， 且sin＝sin＝， ∴在[0，2π]上符合条件的角有和， ∴x的值为或． (3)结合(2)可知，当x∈R时， x的值为与或终边相同的角， ∴x的值为2kπ＋或2kπ＋，k∈Z． 13．下列叙述错误的是________(填序号)． ①arctan<； ②若x＝arcsiny，0≤y≤1，则sinx＝y； ③若tan＝y，则x＝－2arctany； ④π－arcsin∈． 答案：③ 解析：令arctan＝α，α∈，则tanα＝，∵tanα<tan＝1，而y＝tanx，x∈为增函数，∴α<，即arctan<，故①正确；根据定义：任意给定的一个y∈[－1，1]，当sinx＝y且x∈时，记作x＝arcsiny，可知②正确；当x＝时，y＝tan＝tan＝1，而x＝－2arctany＝－2arctan1＝－2×＝－，故③错误；令arcsin＝β，β∈，则sinβ＝，∵0<sinβ<1，∴β∈，π－β∈，即π－arcsin∈，故④正确． 14．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式； (2)先将函数f(x)图象上所有的点向左平移个单位，再将横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，求方程g(x)＝在区间上的所有实数根之和． 解：(1)由函数图象知A＝1， ＝－＝，即T＝π，所以ω＝2， 因为sin＝0， 所以－＋φ＝kπ，k∈Z， 又|φ|<，所以φ＝， 所以f(x)＝sin． (2)由题意可得g(x)＝sin， 方程g(x)＝，即sin＝， 所以4x＋＝2kπ＋(k∈Z)或4x＋＝2kπ＋(k∈Z)， 解得x＝－(k∈Z)或x＝＋(k∈Z)， 又因为x∈， 所以x＝或x＝， 故方程g(x)＝在区间上的所有实数根之和为＋＝． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$