7.3.3 余弦函数的性质与图象-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评word（人教B版2019）

7．3．3　余弦函数的性质与图象 知识点一　余弦函数的性质 1．函数y＝cos的一个对称中心是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：对称中心为曲线与x轴的交点，将四个点代入验证，只有符合要求．故选A． 2．关于函数y＝cos有下列四个说法： ①定义域为R；②在上单调递增；③为偶函数；④最小正周期为π． 其中所有正确说法的序号为________． 答案：①③ 解析：函数y＝cos的定义域为R，①正确；y＝cos在上单调递减，②错误；y＝cos为偶函数，③正确；y＝cos的最小正周期为4π，④错误． 3．比较下列各组数的大小： (1)cos1与cos2； (2)cos与cos； (3)cos与－sin． 解：(1)由于0<1<2<π，函数y＝cosx在(0，π)上单调递减，故cos1>cos2． (2)cos＝cos＝cos＝－cos， 而cos＝－cos， ∵0<<<，y＝cosx在上单调递减， ∴cos>cos，即－cos<－cos， ∴cos<cos． (3)cos＝cos＝cos， －sin＝－cos＝－cos＝cos． ∵函数y＝cosx在[0，π]上单调递减，且0＜＜＜π，∴cos＞cos， 即cos＜－sin． 知识点二　余弦函数的图象 4．下列对y＝cosx的图象描述错误的是(　　) A．在[0，2π]和[4π，6π]的图象形状相同，只是位置不同 B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间 C．关于x轴对称 D．与y轴仅有一个交点 答案：C 解析：y＝cosx为余弦函数，图象不关于x轴对称．故选C． 5．设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将函数f(x)的图象向右平移个单位后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为(　　) A． B．3 C．6 D．9 答案：C 解析：依题意得，将函数f(x)的图象向右平移个单位后得到的是f＝cosω＝cos的图象，故有cosωx＝cos，而cosωx＝cos(ωx＋2kπ)(k∈Z)，故－＝2kπ(k∈Z)，即ω＝－6k(k∈Z)，又ω>0，因此ω的最小值是6．故选C． 6．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案：A 解析：由题设知直线x＝，点分别为函数f(x)图象的对称轴与对称中心，故＋φ＝k1π(k1∈Z)，＋φ＝k2π＋(k2∈Z)，于是＝(k2－k1)π＋，又k1，k2∈Z，所以k2－k1∈Z，又ω>0，所以ω的最小值是2． 知识点三　余弦函数的综合问题 7．方程2－x2＝cosx的实根个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 答案：C 解析：在同一坐标系中画出y＝2－x2与y＝cosx的图象，它们的图象有2个交点，即方程2－x2＝cosx有2个实根．故选C． 8．在(0，2π)内，使sinx>|cosx|成立的x的取值范围是(　　) A． B．∪ C． D． 答案：A 解析：∵sinx>|cosx|，∴sinx>0，∴x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sinx，x∈(0，π)与y＝|cosx|，x∈(0，π)的图象，观察图象易得x∈． 9．求函数y＝＋lg (2sinx－1)的定义域． 解：要使函数有意义，只要即如图所示． cosx≤的解集为， sinx＞的解集为． 它们的交集即为函数的定义域． 10．已知函数f(x)＝cos，若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈时，g(x)＝f，求关于x的方程g(x)＝的解集． 解：当x∈时， g(x)＝f＝cos． 因为x＋∈， 所以由g(x)＝，得x＋＝－或， 即x＝－或－． 又因为g(x)的最小正周期为π， 所以g(x)＝的解集为． 一、单选题 1．函数y＝sinx和y＝cosx都是单调递增的一个区间是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：结合函数y＝sinx和y＝cosx的图象可得，它们在区间上都是单调递增的．故选B． 2．函数y＝cosx＋|cosx|，x∈[0，2π]的大致图象为(　　) 答案：D 解析：y＝cosx＋|cosx|＝故选D． 3．函数y＝cos，x∈的值域是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：由0≤x≤，得≤x＋≤，所以－≤cos≤．故选B． 4．已知a＝，b＝sin，c＝cos，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．b<a<c D．b<c<a 答案：C 解析：∵b＝sin<sin＝<＝a，∴b<a，∵c＝cos>cos＝>＝a，∴c>a，∴b<a<c．故选C． 5．若函数f(x)＝1＋cosx，x∈的图象与直线y＝t(t为常数)只有1个交点，则实数t的取值范围是(　　) A．(－∞，0)∪[2，＋∞) B．{0}∪ C． D．(0，2) 答案：B 解析：画出函数f(x)在上的图象，如图所示．当t＝0或≤t<2时，直线y＝t与f(x)＝1＋cosx的图象只有1个交点．故选B． 二、多选题 6．设函数f(x)＝cos，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的一个周期可为－2π B．f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x)在上单调递减 D．f(x＋π)的一个零点为x＝ 答案：ABD 解析：函数f(x)＝cos，则函数的周期为π的倍数，故A正确；当x＝时，f＝－1，故f(x)的图象关于直线x＝对称，故B正确；令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)的一个单调递减区间是，故C错误；f＝cos＝0，故f(x＋π)的一个零点为x＝，故D正确．故选ABD． 7．已知函数f(x)＝cos，则(　　) A．f(x)的图象关于点对称 B．f(x)的图象向右平移个单位后得到的是奇函数的图象 C．f(x)在区间上单调递增 D．若函数f(x)在区间(0，m)上的图象与直线y＝1有且只有6个交点，则m∈ 答案：BD 解析：对于A，f＝cos＝≠0，故A错误；对于B，f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y＝f＝cos＝cos＝－sin2x，为奇函数，故B正确；对于C，当x∈时，2x＋∈，由余弦函数的单调性知，f(x)在区间上单调递减，故C错误；对于D，由f(x)＝1，得cos＝，解得x＝＋kπ或＋kπ，k∈Z，函数f(x)在区间(0，m)上的图象与直线y＝1有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为，，，，，，而第7个交点的横坐标为，所以<m≤，故D正确．故选BD． 三、填空题 8．某城市一年中12个月的平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(A>0，x＝1，2，3，…，12)来表示．已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃． 答案：20．5 解析：根据题意得28＝a＋A，18＝a－A，解得a＝23，A＝5，所以y＝23＋5cos．令x＝10，得y＝23＋5cos＝23＋5cos＝20．5． 9．函数y＝的最大值为________，最小值为________． 答案：3　 解析：由y＝，得y(2－cosx)＝2＋cosx，即cosx＝(y≠－1)，∵－1≤cosx≤1，∴－1≤≤1，解得≤y≤3，∴函数y＝的最大值为3，最小值为． 10．已知函数f(x)＝cos(2x＋θ)在上单调递增，若f≤m恒成立，则实数m的取值范围为________． 答案：[0，＋∞) 解析：由题意知，f(x)＝cos(2x＋θ)，当x∈时，－＋θ≤2x＋θ≤－＋θ．由函数f(x)在上单调递增，得k∈Z，则2kπ－≤θ≤2kπ＋，k∈Z．又0≤θ≤，故取k＝0，得0≤θ≤，所以≤θ＋≤．因为f＝cos，根据函数y＝cosx的图象可得f＝0，所以m≥0． 四、解答题 11．求函数y＝3－4cos，x∈的最大值、最小值及相应的x值． 解：因为x∈，所以2x＋∈，从而－≤cos≤1． 所以当cos＝1，即2x＋＝0，即x＝－时，ymin＝3－4＝－1． 当cos＝－，即2x＋＝，即x＝时，ymax＝3－4×＝5． 12．已知函数f(x)＝2cosωx(ω>0)，且函数y＝f(x)图象的相邻两条对称轴间的距离为． (1)求f的值； (2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的单调递减区间． 解：(1)由题意可知＝π，故ω＝2，则f(x)＝2cos2x， 故f＝2cos＝． (2)将y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝f的图象，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，得到y＝f的图象， 故g(x)＝f＝2cos＝2cos． 当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，y＝g(x)单调递减，故y＝g(x)的单调递减区间为(k∈Z)． 13．已知函数y＝a－2cosωx，x∈[－π，π](其中a，ω为常数，且ω>0)有且仅有3个零点，则a的值为________，ω的取值范围是________． 答案：2　[2，4) 解析：函数y＝a－2cosωx在[－π，π]上为偶函数，且函数y＝a－2cosωx，x∈[－π，π]有且仅有3个零点，故必有一个零点为x＝0，∴a－2cos0＝0，∴a＝2．结合y＝2－2cosωx为偶函数，函数y＝2－2cosωx，x∈[－π，π]的零点个数，可得方程1＝cosωx在x∈(0，π]有唯一的实数根，所以ωx＝2kπ在x∈(0，π]有唯一的实数根，解得x＝，k∈N＋，当k＝1时，x＝，当k＝2时，x＝，故≤π且>π，解得2≤ω<4，即ω的取值范围是[2，4)． 14．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示． (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈时，关于x的方程f(x)＝m有两个不同的实根x1，x2，且x1<x2，求f(x1＋4x2)的最小值． 解：(1)因为A>0，所以A＝4． 因为＝－＝， 则T＝π，所以ω＝＝2． 由题图可得，2×＋φ＝2kπ，k∈Z， 所以φ＝－＋2kπ，k∈Z， 因为－π<φ<0，所以φ＝－， 所以f(x)＝4cos． (2)当x∈时，2x－∈， 设t＝2x－∈，则f(t)＝4cost，t∈，则方程f(t)＝m有两个不同的实根，即函数y＝f(t)的图象与直线y＝m有两个交点， 直线y＝m与函数y＝f(t)的图象如图所示， 设交点的横坐标分别为t1，t2， 且t1<t2，t1＝2x1－，t2＝2x2－， 由题意可知，t1＋t2＝2x1－＋2x2－＝2π， 即x1＋x2＝， t2＝2x2－∈，即x2∈， 则3x2∈， 所以x1＋4x2∈，2(x1＋4x2)－∈， 故当2(x1＋4x2)－＝7π， 即x1＋4x2＝时，f(x1＋4x2)取得最小值－4． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$