7.3.2 正弦型函数的性质与图象-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评word（人教B版2019）

7．3．2　正弦型函数的性质与图象 知识点一　图象变换 1．要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin2x的图象(　　) A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 答案：C 解析：因为y＝sin＝sin，所以将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，就可得到函数y＝sin的图象．故选C． 2．将函数y＝sin的图象向右平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数解析式为(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 答案：D 解析：将函数y＝sin的图象向右平移个单位，得到函数y＝sin＝sin的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象．故选D． 知识点二　根据图象求解析式 3．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)，且函数的部分图象如图所示，则点(ω，φ)的坐标是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：由题图可知＝－＝，∴T＝＝，∴ω＝4，由它的图象经过点，得2sin＝2，∴sin＝1，∴－＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z，∵0<φ<π，∴取k＝0，得φ＝，∴点(ω，φ)的坐标为．故选B． 4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的一段图象如图，则函数的解析式为________． 答案：y＝2sin 解析：由题图易知A＝2，＝6－2＝4，∴T＝16，∴＝16，∴ω＝．又函数图象过点(2，2)，∴2sin＝2，∴sin＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ＝，∴y＝2sin． 知识点三　正弦型函数的性质及图象 5．函数y＝3sin(x∈[0，π])的单调递增区间是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：函数y＝3sin＝－3sin，令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，求得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈[0，π]，所以取k＝0，所以函数的单调递增区间为． 6．[多选]设函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的图象过点 B．f(x)在上是减函数 C．f(x)图象的一个对称中心是 D．将f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到函数y＝3sinωx的图象 答案：AC 解析：∵周期为π，∴＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x＋φ)，∴f＝3sin．∵φ∈，∴＋φ∈，又f(x)的图象关于直线x＝对称，∴＋φ＝，∴φ＝，∴f(x)＝3sin．对于A，令x＝0，得f(x)＝，A正确；对于B，令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，∴kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z．令k＝0，得≤x≤，即f(x)在上单调递减，而在上单调递增，B错误；对于C，f＝3sinπ＝0，即f(x)图象的一个对称中心是，C正确；对于D，∵φ＝，∴将f(x)的图象向右平移个单位得到函数y＝3sin的图象，D错误．故选AC． 7．函数y＝sin(4－2x)的最小正周期是________． 答案：π 解析：y＝sin(4－2x)＝－sin(2x－4)，由周期公式得T＝＝π． 8．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________． 答案：－ 解析：当0≤x≤时，－≤2x－≤，因为函数y＝sinx在上的函数值恒为正数，在上的函数值恒为负数，且在上为增函数，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－． 9．已知函数f(x)＝sin(ω>0)在(0，2]上恰有一个最大值1和一个最小值－1，则实数ω的取值范围为________． 答案： 解析：设t＝ωx＋，t∈，由题意知f(t)＝sint在上恰有一个最大值1和一个最小值－1，则解得所以≤ω<． 10．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数且|φ|＜π，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f＞f(π)，求f(x)的单调递增区间． 解：由f(x)≤对x∈R恒成立知， 2×＋φ＝±＋2kπ(k∈Z)， 解得φ＝＋2kπ或φ＝－＋2kπ，k∈Z． 代入f(x)并由f＞f(π)检验， 得φ的取值为－＋2kπ，k∈Z． 又因为|φ|＜π，所以φ＝－， 所以f(x)＝sin， 所以由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)， 得f(x)的单调递增区间是(k∈Z)． 11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)在区间上的最值，并求出相应的x值． 解：(1)由图象可知A＝2． 周期T＝×＝×＝π， 又T＝，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)， 则f＝2sin＝2， 又|φ|<，故φ＝－， ∴f(x)＝2sin． (2)∵x∈，∴2x－∈， ∴sin∈，2sin∈[－1，2]． 当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝f＝2． 当2x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝f(0)＝－1． 故函数f(x)在区间上的最大值为2，此时x＝；最小值为－1，此时x＝0． 一、单选题 1．已知函数f(x)＝sin－1，则下列命题中正确的是(　　) A．f(x)是周期为1的奇函数 B．f(x)是周期为2的偶函数 C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数 D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数 答案：B 解析：f(x)＝sin－1＝－cosπx－1，f(－x)＝－cos(－πx)－1＝－cosπx－1＝f(x)，所以f(x)是偶函数，周期T＝＝2．故选B． 2．当－≤x≤时，函数f(x)＝2sin的(　　) A．最大值为1，最小值为－1 B．最大值为1，最小值为－ C．最大值为2，最小值为－2 D．最大值为2，最小值为－1 答案：D 解析：∵－≤x≤，∴－≤x＋≤，∴sin∈，∴2sin∈[－1，2]．故函数f(x)的最大值为2，最小值为－1．故选D． 3．如图是函数y＝2sin(ωx＋φ)的简图，那么(　　) A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－ 答案：C 解析：曲线与y轴的交点为(0，1)，说明当x＝0时，函数值y＝1，∴原来关系式变成2sinφ＝1，∴φ＝＋2kπ或φ＝＋2kπ(k∈Z)．∵－<φ<，∴φ＝，排除B，D．又曲线与x轴的一个交点是，说明当x＝时，函数值y＝0，即sin＝0，∴ω＋＝kπ(k∈Z)．∵这点是曲线与x轴正方向的第二个交点，∴ω＋＝2π，解得ω＝2．因此ω＝2，φ＝．故选C． 4．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移θ个单位得到函数g(x)的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则φ＝(　　) A． B． C． D．π 答案：A 解析：如图，由正弦型函数的图象的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形ABCD的面积，由题意可得AB＝θ，AD＝2，所以矩形ABCD的面积为2θ，所以2θ＝，即θ＝，所以T＝θ＝，即T＝π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，将点代入，可得f＝sin＝1，则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<，所以φ＝．故选A． 5．已知函数g(x)＝sin(ω>0)在区间上是单调的，则ω的取值范围是(　　) A． B． C．∪ D．∪ 答案：C 解析：因为g(x)＝sin(ω>0)，令2ωx＋＝＋kπ(k∈Z)，可得对称轴方程为x＝(k∈Z)．因为函数g(x)＝sin(ω>0)在区间上是单调的，所以T≥，且x＝∉(k∈Z)，所以·≥，即0<ω≤1，且即≤ω≤(k∈Z)，又0<ω≤1，可得0<ω≤或≤ω≤．故选C． 二、多选题 6．要得到如图所示的图象，可由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到(　　) A．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．向右平移个单位，再将横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 D．向右平移个单位，再将横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 答案：BC 解析：由题意，设图象对应的函数为y＝Asin(ωx＋φ)，由图象可知，A＝1，T＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，当x＝时，由y＝sin＝1，得2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，取k＝0，得φ＝－，故y＝sin，故将y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位得到y＝sin的图象或将y＝sinx的图象先向右平移个单位，再将横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到y＝sin的图象．故选BC． 7．设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0，π]上有且仅有3个零点，则下列四个说法中正确的是(　　) A．在(0，π)上存在x1，x2，满足f(x1)－f(x2)＝2 B．ω的取值范围是 C．f(x)在(0，π)上有且仅有1个最大值点 D．f(x)在上单调递增 答案：AB 解析：因为f(x)在[0，π]上有且仅有3个零点，f(0)<0，则函数f(x)的最小正周期T<π，所以在(0，π)上存在x1，x2，使得f(x1)＝1，f(x2)＝－1，所以f(x1)－f(x2)＝2可以成立，故A正确；函数y＝sin在y轴右侧的前4个零点分别是，，，，则函数f(x)＝sin(ω>0)在y轴右侧的前4个零点分别是，，，，因为f(x)在[0，π]有且仅有3个零点，所以解得ω∈，故B正确；因为前4个零点分别是，，，，则x0＝＝可使函数f(x)取得最大值，因为ω∈，所以<≤，所以f(x)在(0，π)可能存在2个最大值点，故C错误；因为ω∈，所以当x∈时，－<ωx－<，结合正弦函数的单调性可知D错误．故选AB． 三、填空题 8．已知函数y＝sin(m>0)为偶函数，则m的最小值为________． 答案： 解析：∵函数y＝sin(m＞0)为偶函数，∴－2m＝＋kπ(k∈Z)，解得m＝－－(k∈Z)．∵m＞0，∴k＜－(k∈Z)．故当k＝－1时，m取得最小值． 9．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位得到y＝sinx的图象，则f＝________． 答案： 解析：把函数y＝sinx的图象向左平移个单位得到y＝sin的图象，再把函数y＝sin图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin的图象，所以f＝sin＝sin＝． 10．已知函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝．若|α－β|的最小值为，则f＝________，函数f(x)的单调递增区间为________． 答案：　，k∈Z 解析：函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，由f(α)＝－，f(β)＝，且|α－β|的最小值为，得＝，即T＝3π＝，所以ω＝．所以f(x)＝sin＋，所以f＝sin＋＝．由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z． 四、解答题 11．如图是正弦型函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一个周期的图象． (1)写出函数f(x)的解析式； (2)若函数g(x)的图象与函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，写出函数g(x)的解析式； (3)指出函数g(x)的周期、频率、振幅和初相． 解：(1)由题图易知，A＝2，T＝7－(－1)＝8，ω＝＝＝， ∴f(x)＝2sin． 将点(－1，0)代入，得2sin＝0， 又|φ|<， ∴φ＝， ∴f(x)＝2sin． (2)解法一：作出与函数f(x)的图象关于直线x＝2对称的图象(图略)，可以看出函数g(x)的图象相当于将函数f(x)的图象向右平移2个单位得到的． ∴g(x)＝2sin＝2sin． 解法二：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称的图象对应的函数是y＝f(4－x)， 则g(x)＝2sin ＝2sin． (3)由g(x)＝2sin可得该函数的周期T＝8，频率f＝＝，振幅A＝2，初相φ＝－． 12．设函数f(x)＝sin(k∈N＋)，若在区间[a，a＋3](a为实数)上存在不少于4个且不多于8个不同的x0，使f(x0)＝，求k的值． 解：∵f(x)在一个周期内有且只有2个不同的x0，使f(x0)＝， ∴f(x)在区间[a，a＋3]上至少有2个周期，至多有4个周期． 而这个区间的长度为3个单位， ∴即≤T≤，∴≤≤， 解得≤k≤．∵k∈N＋，∴k＝2或3． 13．将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向右平移个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝f(x)和y＝g(x)在(0，π)上都恰好存在两个零点，则ω的取值范围是________． 答案： 解析：当x∈(0，π)时，ωx＋∈，函数y＝f(x)在(0，π)上的两个零点只能满足ωx＋＝π或ωx＋＝2π，所以2π<ωπ＋≤3π，解得<ω≤　①．由题意，得g(x)＝sin，当x∈(0，π)时，ωx－＋∈．由①知－∈，函数y＝g(x)在(0，π)上的两个零点只能满足ωx－＋＝0或ωx－＋＝π，所以π<＋≤2π，解得1<ω≤　②．由①②，得ω的取值范围是． 14．如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的一部分． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)记方程f(x)＝－在x∈上的根从小到大依次为x1，x2，x3，…，xn(n∈N＋)，若m＝x1＋x2＋x3＋…＋xn，试求n与m的值． 解：(1)由图可得A＝， 函数f(x)的最小正周期为T＝4×＝，又ω>0， 则ω＝＝＝4， 所以f(x)＝sin(4x＋φ)， 又函数图象过点， 所以f＝sin＝，则sin＝1， 则＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 解得φ＝＋2kπ，k∈Z， 因为0<|φ|<，所以φ＝， 所以f(x)＝sin． (2)令2kπ－≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得－≤x≤＋，k∈Z， 令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得＋≤x≤＋，k∈Z． 因此函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z． (3)方程f(x)＝－，即sin＝－， 即sin＝－， 因为x∈， 所以4x＋∈[0，6π]， 设θ＝4x＋，其中θ∈[0，6π]， 即sinθ＝－， 结合正弦函数y＝sinθ的图象，可得方程sinθ＝－在[0，6π]有6个解，即n＝6， 又y＝sinx图象的对称轴为直线x＝＋kπ，k∈Z， 不妨设6个解从小到大依次为θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6， 则θ1，θ2关于θ＝对称，θ3，θ4关于θ＝对称，θ5，θ6关于θ＝对称， 所以θ1＋θ2＝3π，θ3＋θ4＝7π，θ5＋θ6＝11π， 即4x1＋＋4x2＋＝3π，4x3＋＋4x4＋＝7π，4x5＋＋4x6＋＝11π， 解得x1＋x2＝，x3＋x4＝，x5＋x6＝． 所以m＝x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝， 所以m＝，n＝6． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$