7.3.1 正弦函数的性质与图象-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评word（人教B版2019）

7．3．1　正弦函数的性质与图象 知识点一　正弦函数的奇偶性和周期性 1．下列函数具有奇偶性的是(　　) A．f(x)＝sinx(x>0) 　 B．f(x)＝2sinx(x<0) C．f(x)＝sin(x≠0) 　 D．f(x)＝ 答案：C 解析：对于A，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数；对于B，函数f(x)的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数；对于C，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝sin＝－sin＝－f(x)，故f(x)为奇函数；对于D，函数f(x)的定义域为{x|2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z}，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．故选C． 2．已知sin＝sin，能否说明是函数y＝sinx的一个周期？ 解：在函数周期性的定义中，要求对定义域中的每一个x值都有f(x＋T)＝f(x)成立，对于个别的x0，虽说满足f(x0＋T)＝f(x0)，但不能说T是函数f(x)的周期．如sin＝sin＝1，而sin0＝0，故sin≠sin0，所以不是函数y＝sinx的一个周期． 知识点二　正弦函数的单调性及应用 3．sin14°________sin156°(填“>”“<”或“＝”)． 答案：< 解析：∵sin156°＝sin(180°－24°)＝sin24°，－90°<14°<24°<90°，y＝sinx在上单调递增，∴sin14°<sin24°，即sin14°<sin156°． 4．函数y＝logsinx的单调递增区间是________． 答案：(k∈Z) 解析：由sinx>0得2kπ<x<2kπ＋π(k∈Z)，∵0<<1，∴函数y＝logsinx的单调递增区间即为u＝sinx>0的单调递减区间，∴2kπ＋≤x<2kπ＋π(k∈Z)．故函数y＝logsinx的单调递增区间为(k∈Z)． 知识点三　与正弦函数有关的最值或值域问题 5．若sinx＝2m－1且x∈R，则m的取值范围是(　　) A．[0，1] B．(2，3] C．(1，2) D．(－1，0) 答案：A 解析：∵sinx＝2m－1，x∈R，∴－1≤2m－1≤1，∴0≤2m≤2，∴0≤m≤1．故选A． 6．设a>0，对于函数f(x)＝(0<x<π)，下列结论正确的是(　　) A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值 答案：B 解析：∵0<x<π，∴0<sinx≤1，≥1，∴函数f(x)＝＝1＋(a>0)有最小值而无最大值．故选B． 7．求下列函数的值域． (1)y＝1－2cos2x＋2sinx； (2)y＝． 解：(1)y＝1－2cos2x＋2sinx＝2sin2x＋2sinx－1＝2－．当sinx＝－时，ymin＝－；当sinx＝1时，ymax＝3． ∴函数y＝1－2cos2x＋2sinx的值域为． (2)y＝＝＝2－， ∵－1≤sinx≤1，∴1≤2＋sinx≤3， ∴≤≤4，－2≤2－≤， ∴函数y＝的值域为． 知识点四　正弦函数的图象及应用 8．函数y＝1－sinx，x∈[0，2π]的大致图象是图中的(　　) 答案：B 解析：∵y＝1－sinx的图象是由y＝sinx的图象先关于x轴对称，再向上平移1个单位得到的，∴由y＝sinx，x∈[0，2π]的图象可知B正确． 9．[多选]对于正弦函数y＝sinx的图象，下列说法正确的是(　　) A．向左右无限伸展 B．在上单调递减 C．与x轴有无数个交点 D．关于y轴对称 答案：ABC 解析：正弦函数的定义域为R，则A正确；由正弦函数的图象，知B正确；由sin0＝sin2kπ＝0，k∈Z可知，正弦函数的图象与x轴有无数个交点，则C正确；由正弦函数的图象可知，其图象不关于y轴对称，则D错误．故选ABC． 10．方程sinx＝在x∈上有两个实数根，则a的取值范围为________． 答案：(－1，1－] 解析：作出y＝sinx，x∈与y＝的图象，由图象可知，当≤<1，即－1<a≤1－时，y＝sinx，x∈的图象与y＝的图象有两个交点，即方程sinx＝在x∈上有两个实数根，所以a的取值范围为(－1，1－]． 一、单选题 1．函数y＝的定义域为(　　) A．[0，π] B．{第一或第二象限的角} C．{x|2kπ≤x≤(2k＋1)π，k∈Z} D．(0，π) 答案：C 解析：要使函数y＝有意义，则需sinx≥0，由y＝sinx的图象可得函数的定义域为{x|2kπ≤x≤(2k＋1)π，k∈Z}． 2．记a＝sin1，b＝sin2，c＝sin3，则(　　) A．c<b<a B．c<a<b C．a<c<b D．a<b<c 答案：B 解析：画出f(x)＝sinx的图象，如图，其中A(1，sin1)，B(2，sin2)，C(3，sin3)，由图可知sin3<sin1<sin2，即c<a<b．故选B． 3．已知函数f(x)＝(x＋a)2sinx是R上的奇函数，则实数a的值为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．R 答案：B 解析：因为f(x)＝(x＋a)2sinx是R上的奇函数，且y＝sinx是R上的奇函数，所以y＝(x＋a)2是R上的偶函数，故a＝0．经检验，当a＝0时，f(x)＝x2sinx是R上的奇函数，符合题意．故选B． 4．方程sinx＝的根的个数是(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案：A 解析：在同一平面直角坐标系内画出y＝和y＝sinx的图象如图所示．根据图象可知方程有7个根． 5．函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和为(　　) A． B． C．2π D．4π 答案：C 解析：作出y＝sinx的一个简图，如图所示．∵函数的值域为，且sin＝sin＝，sin＝－1，∴定义域[a，b]中b－a的最小值为－＝，定义域[a，b]中b－a的最大值为2π＋－＝，故可得b－a的最大值与最小值之和为2π． 二、多选题 6．已知函数f(x)＝|tanx|cosx，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的图象关于点中心对称 C．f(x)在区间上单调递增 D．f(x)的值域为[－1，1] 答案：BC 解析：f(x＋π)＝|tan(x＋π)|cos(x＋π)＝－|tanx|cosx，π不是函数的周期，A错误；f＝cos＝－cos＝－·cos＝－f，∴函数f(x)的图象关于点中心对称，B正确；当x∈时，f(x)＝－sinx，单调递增，C正确；当tanx≥0时，f(x)＝sinx，当tanx<0时，f(x)＝－sinx．∵cosx≠0，∴sinx≠±1，∴f(x)的值域为(－1，1)，D错误．故选BC． 7．设函数f(x)＝2sin2x－3sin|x|＋1，则(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)的最小值为－ D．f(x)在[－π，π]上有4个零点 答案：ABC 解析：对于A，f(x)的定义域为R，又f(－x)＝2sin2x－3sin|x|＋1＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；对于B，令t＝sinx，x∈，显然t是关于x的增函数，此时y＝2t2＋3t＋1，t∈，其图象的对称轴方程为x＝－，故y是关于t的增函数，由复合函数的单调性可知，f(x)在上单调递增，故B正确；对于C，由A项分析可知，f(x)为偶函数，所以f(x)在[0，＋∞)上的最小值即f(x)在R上的最小值，令t＝sinx，x∈[0，＋∞)，则t∈[－1，1]，所以f(x)的最小值也即g(t)＝2t2－3t＋1，t∈[－1，1]的最小值，又g(t)＝2t2－3t＋1＝2－，当t＝时，g(t)取得最小值－，所以f(x)的最小值为－，故C正确；对于D，由A项分析可知，f(x)为偶函数，故只需先判断f(x)在[0，π]上的零点个数，当x∈[0，π]时，令f(x)＝0，即2sin2x－3sinx＋1＝2－＝0，解得sinx＝1或sinx＝，故可得x＝或或，即f(x)在[0，π]上有3个零点，故f(x)在[－π，π]上有6个零点，故D错误．故选ABC． 三、填空题 8．函数y＝＋ 的定义域为________． 答案：[－4，－π]∪[0，π] 解析：要使函数有意义，需满足⇒故函数的定义域为[－4，－π]∪[0，π]． 9．已知函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是________． 答案：∪(k∈N) 解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝的图象，如图所示．由图可知，当f(x)>时，有－<x<0或＋2kπ<x<＋2kπ(k∈N)． 10．已知函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________． 答案：(1，3) 解析：f(x)＝sinx＋2|sinx|＝的图象如图．若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据图象可得k的取值范围是(1，3)． 四、解答题 11．求函数y＝的定义域、值域和零点． 解：令－2sinx≥0，即sinx≤，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以函数的定义域为，k∈Z． 因为－1≤sinx≤，所以0≤－2sinx≤＋2， 所以0≤≤， 又＋2＝，所以函数的值域为． 令y＝＝0，解得x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，所以函数的零点为x＝＋2kπ或x＝＋2kπ． 12．已知函数f(x)＝sinx－1． (1)写出f(x)的单调区间； (2)求f(x)的最大值和最小值及取得最值时x的集合； (3)比较f与f的大小． 解：(1)因为函数f(x)＝sinx－1与g(x)＝sinx的单调区间相同， 所以f(x)＝sinx－1的单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)． (2)因为函数g(x)＝sinx， 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，g(x)取最大值1， 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，g(x)取最小值－1． 所以函数f(x)＝sinx－1， 当x∈时，f(x)取最大值0， 当x∈时，f(x)取最小值－2． (3)f＝sin－1，f＝sin－1， 因为－<－<－<， 且y＝sinx在上是增函数， 所以sin＜sin． 所以f＞f． 13．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[－2．1]＝－3，[2．1]＝2．已知函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|，函数g(x)＝[f(x)]，则以下四个命题中正确的是________(填序号)． ①函数g(x)是周期函数； ②函数g(x)的值域是{0，1，2}； ③函数g(x)的图象关于直线x＝对称； ④方程·g(x)＝x只有一个实数根． 答案：②④ 解析：函数f(x)的定义域为R，因为f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，所以f(x)为偶函数．当x≥0时，f(x)＝sinx＋|sinx|，则f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＋|sin(x＋2π)|＝sinx＋|sinx|＝f(x)；当0<x≤π时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx；当π<x≤2π时，f(x)＝sinx－sinx＝0，则函数f(x)的图象如图所示． 由g(x)＝[f(x)]可知，当x≥0时，g(x＋2π)＝[f(x＋2π)]＝[f(x)]＝g(x)，当x＝2kπ＋，k∈Z时，g(x)＝2；当2kπ＋≤x≤2kπ＋，且x≠2kπ＋，k∈Z时，g(x)＝1；当2kπ≤x<2kπ＋或2kπ＋<x≤2kπ＋2π，k∈Z时，g(x)＝0．因为g(－x)＝[f(－x)]＝[f(x)]＝g(x)，所以g(x)为偶函数，则函数g(x)的图象如图所示． 由函数g(x)的图象可得g(x)不是周期函数，故①不正确；函数g(x)的值域是{0，1，2}，故②正确；因为g＝＝[]＝1，g＝＝[0]＝0，所以函数g(x)的图象不关于直线x＝对称，故③不正确；对于方程·g(x)＝x，当g(x)＝0时，x＝0，方程有一个实数根；当g(x)＝1时，x＝，此时g＝2≠1，方程没有实数根；当g(x)＝2时，x＝π，此时g(π)＝0≠2，方程没有实数根，所以方程·g(x)＝x只有一个实数根，故④正确． 14．已知函数f(x)＝cos2x＋2asinx－a2，x∈． (1)若f＝1，求实数a的值； (2)若函数f(x)有2个零点，求实数a的取值范围． 解：(1)∵f(x)＝cos2x＋2asinx－a2， ∴f＝＋a－a2＝1， ∴a2－a＋＝0，∴a＝． (2)令sinx＝t，∵x∈， ∴t∈， 则y＝f(x)＝1－sin2x＋2asinx－a2＝1－t2＋2at－a2， 由1－a2－t2＋2at＝0，得t＝a±1． ∵y＝sinx在上单调递增，在上单调递减， 且sin＝－sin＝－，sin＝sin＝，sin＝1， ∴当≤t<1时，x有两个值；当t＝1或－≤t<时，x有一个值， ∴当a＝0时，t＝±1(－1不符合题意)，函数f(x)只有1个零点； 当a>0时，a＋1>1，f(x)有2个零点，需有≤a－1<1，解得1＋≤a<2； 当a<0时，a－1<－1，f(x)有2个零点，需有≤1＋a<1，解得－1≤a<0． 综上所述，若f(x)有2个零点，则实数a的取值范围是∪． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$