7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评word（人教B版2019）

7．2．3　同角三角函数的基本关系式 知识点一　利用同角三角函数基本关系式求值 1．已知2sinθ＝1－cosθ，则tanθ＝(　　) A．－或0 B．或0 C．－ D． 答案：A 解析：由2sinθ＝1－cosθ，sin2θ＋cos2θ＝1，解得cosθ＝1或－．当cosθ＝1时，sinθ＝0，tanθ＝0；当cosθ＝－时，sinθ＝，tanθ＝－．故tanθ＝－或0． 2．若＝，则cosα＋2sinα＝________． 答案：1 解析：由＝⇒2(1＋cosα)＝sinα⇒4(1＋cosα)2＝sin2α＝1－cos2α，化简得cosα＝－或cosα＝－1(舍去)，故sinα＝2(1＋cosα)＝，cosα＋2sinα＝－＋＝1． 3．已知tanα＝－2，求下列各式的值： (1)； (2)sin2α＋cos2α． 解：解法一：由tanα＝－2，得sinα＝－2cosα． (1)＝＝10． (2)sin2α＋cos2α＝ ＝＝． 解法二：∵tanα＝－2，∴cosα≠0． (1)＝＝＝10． (2)sin2α＋cos2α＝ ＝＝． 知识点二　sinα＋cosα，sinα－cosα，sinα·cosα三者之间的关系 4．已知sinxcosx＝，且<x<，则cosx－sinx的值为(　　) A． B． C．± D．－ 答案：D 解析：(cosx－sinx)2＝1－2sinxcosx＝，∵<x<，∴cosx<sinx，∴cosx－sinx＝－． 5．[多选]已知sinθ＋cosθ＝，且θ∈(0，π)，则下列结论正确的是(　　) A．sinθcosθ＝－ B．θ∈ C．sinθ－cosθ＝ D．tanθ＝ 答案：ABC 解析：因为sinθ＋cosθ＝，所以(sinθ＋cosθ)2＝，即sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝－，A正确；因为(sinθ－cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθcosθ，所以(sinθ－cosθ)2＝，由sinθcosθ＝－<0，且θ∈(0，π)可知，θ∈，从而sinθ－cosθ＝，B，C正确； 由得sinθ＝，cosθ＝，所以tanθ＝＝－，D错误．故选ABC． 6．若sinx＋cosx＝，则sin4x＋cos4x的值为________． 答案： 解析：∵sinx＋cosx＝，∴sinxcosx＝，sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－2×＝． 知识点三　三角函数式的化简与证明 7．化简sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β的结果是(　　) A．1 B． C． D． 答案：A 解析：sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β＝sin2β＋cos2β(cos2β＋sin2β)＝sin2β＋cos2β＝1．故选A． 8．(1)化简：tanα，其中α是第二象限角； (2)已知<α<π，化简＋． 解：(1)因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0． 故tanα＝tanα ＝tanα＝·＝·＝－1． (2)因为<α<π，所以cosα<0，sinα>0， 所以原式＝－＝－＝0． 9．求证：(1)＝； (2)tan2θ－sin2θ＝sin2θtan2θ． 证明：(1)＝ ＝＝＝． (2)tan2θ－sin2θ＝－sin2θ＝＝＝sin2θtan2θ． 一、单选题 1．若α是第二象限角，则下列各式中成立的是(　　) A．tanα＝－ B．cosα＝－ C．sinα＝－ D．tanα＝ 答案：B 解析：由同角三角函数的基本关系式，知tanα＝，故A，D错误；又因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，故C错误，B正确．故选B． 2．若cosα＋2sinα＝，则tanα＝(　　) A． B．2 C．－ D．－2 答案：B 解析：解法一：由 解得所以tanα＝＝2． 解法二：因为cosα＋2sinα＝，所以(cosα＋2sinα)2＝5，则＝5， 即＝5， 所以＝5，解得tanα＝2． 解法三：设tanα＝＝t，则sinα＝tcosα，代入题设cosα＋2sinα＝，得sinα＝，cosα＝，又sin2α＋cos2α＝1，所以t＝2，即tanα＝2． 解法四：注意到本题中12＋22＝()2，因此可以用代入条件式验证，注意到＋2×＝，因此有所以tanα＝＝2． 3．已知α是锐角，且tanα是方程4x2＋x－3＝0的根，则sinα＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：由4x2＋x－3＝0得x＝－1或x＝．∵α是锐角，∴tanα＞0，sinα＞0，∴tanα＝．又tanα＝＝，且sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋＝1，解得sinα＝． 4．已知－＜α＜，sinα＋cosα＝，则的值为(　　) A． B．± C． D．± 答案：C 解析：由sinα＋cosα＝，得(sinα＋cosα)2＝，∴2sinαcosα＝－＜0，∴－＜α＜0，∴sinα＜0，cosα＞0，(cosα－sinα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1＋＝，∴cosα－sinα＝，∴＝＝． 5．若sinθ＋cosθ＝(0<θ<π)，则tanθ＋2sinθcosθ的值为(　　) A．－ B．－ C．－ D． 答案：B 解析：因为sinθ＋cosθ＝(0<θ<π)，故(sinθ＋cosθ)2＝，即sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ＝，得2sinθcosθ＝－<0，则sinθ>0，cosθ<0，且(sinθ－cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθcosθ＝，所以sinθ－cosθ＝，所以sinθ＝，cosθ＝－，则tanθ＝－3，故tanθ＋2sinθcosθ＝－3－＝－． 二、多选题 6．在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，x轴的正半轴为始边，其终边经过点M(a，b)，|OM|＝m(m>0)，定义f(θ)＝，g(θ)＝，则(　　) A．f＋g＝1 B．f(θ)＋g(θ)＝2cosθ C．若＝2，则tanθ＝ D．[f(θ)]2＋[g(θ)]2＝2 答案：AD 解析：由条件及三角函数的定义知，f(θ)＝＝sinθ＋cosθ，g(θ)＝＝sinθ－cosθ．对于A，f＋g＝sin＋cos＋sin－cos＝2sin＝1，故A正确；对于B，f(θ)＋g(θ)＝2sinθ，故B错误；对于C，由＝＝＝2，解得tanθ＝3，故C错误；对于D，[f(θ)]2＋[g(θ)]2＝(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ－cosθ)2＝2sin2θ＋2cos2θ＝2，故D正确．故选AD． 7．下列计算或化简结果正确的是(　　) A．＝2 B．若sinθcosθ＝，则tanθ＋＝2 C．若tanx＝，则＝1 D．＋＝0 答案：AB 解析：对于A，＝＝2，故A正确；对于B，因为sinθcosθ＝，所以tanθ＋＝＋＝＝2，故B正确；对于C，因为tanx＝，所以＝＝＝2，故C错误；对于D，因为<3<π，所以sin3>0，cos3<0，因为π<4<，所以sin4<0，cos4<0，所以＋＝(－1)＋(－1)＝－2，故D错误．故选AB． 三、填空题 8．已知f(tanx)＝，则f(－)＝________． 答案：4 解析：f(tanx)＝＝＝tan2x＋1，∴f(x)＝x2＋1，∴f(－)＝4． 9．已知f(α)＝cosαsinα．若P(－4，3)为角α终边上的一点，则f(α)＝________；若f(α)＝，则tanα＝________． 答案：－　1 解析：由P(－4，3)为角α终边上的一点，可得cosα＝－，sinα＝，则f(α)＝cosαsinα＝－×＝－．∵f(α)＝，即cosαsinα＝，∴＝，即＝，解得tanα＝1． 10．已知α∈，且＝4，则＝________． 答案： 解析：∵1＋2sinαcosα＝(sinα＋cosα)2，1－2sinαcosα＝(sinα－cosα)2，∴＝|sinα＋cosα|，＝|sinα－cosα|．又α∈，∴sinα＋cosα＞0，sinα－cosα＞0．由题意，得＝4，即sinα＝2cosα．∴＝＝． 四、解答题 11．已知1－sinθsinα＝cosα，1＋cosα＝tanθsinα(α≠kπ，k∈Z)，求cosθ－的值． 解：由已知，得sinθ＝，tanθ＝， ∴cosθ－＝＝－＝－sinθtanθ＝－·＝－＝－＝－1． 12．(1)求证：－＝sinα＋cosα； (2)已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1． 证明：(1)左边＝－ ＝－ ＝－ ＝sinα＋cosα＝右边． 故原等式成立． (2)证法一：由已知得tan2β＝， 则sin2β＝＝ ＝＝ ＝ ＝－1 ＝2sin2α－1． 证法二：由已知tan2α＝2tan2β＋1， 得＝＋1， sin2αcos2β＝2sin2βcos2α＋cos2αcos2β， 即sin2α(1－sin2β)＝2sin2βcos2α＋cos2α(1－sin2β)， 整理，得sin2β(sin2α＋cos2α)＝sin2α－cos2α． 所以sin2β＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1． 13．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图象，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则曼哈顿距离为d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|，余弦相似度为cos(A，B)＝×＋×，余弦距离为1－cos(A，B)．若A(－1，2)，B，则A，B之间的曼哈顿距离d(A，B)与余弦距离之和为________；已知M(sinα，cosα)，N(sinβ，cosβ)，Q(sinβ，－cosβ)，若cos(M，N)＝，cos(M，Q)＝，则tanαtanβ的值为________． 答案：－　－3 解析：d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|＝＋＝，cos(A，B)＝×＋×＝，故余弦距离为1－cos(A，B)＝1－，即A，B之间的曼哈顿距离d(A，B)与余弦距离之和为＋1－＝－．cos(M，N)＝·＋·＝sinαsinβ＋cosαcosβ＝，cos(M，Q)＝·＋·＝sinαsinβ－cosαcosβ＝，故sinαsinβ＝，cosαcosβ＝－，则tanαtanβ＝＝－3． 14．已知sinθ，cosθ是方程2x2－(－1)x＋m＝0的两个实数根． (1)求实数m的值； (2)求＋的值； (3)若θ∈，求cos2θ的值． 解：(1)因为sinθ，cosθ是方程2x2－(－1)x＋m＝0的两个实数根， 所以sinθ＋cosθ＝，sinθcosθ＝， 由(sinθ＋cosθ)2＝，得 1＋2sinθcosθ＝1＋m＝， 解得m＝－，满足Δ≥0． 故实数m的值为－． (2)＋＝＋＝＝sinθ＋cosθ＝． (3)因为m＝－，所以sinθ＋cosθ＝，① sinθcosθ＝－， 所以(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1＋＝＝， 因为θ∈， 所以cosθ>0，sinθ<0，cosθ－sinθ＝，② 由①②可得cosθ＝， 所以cos2θ＝． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$