7.2.2 单位圆与三角函数线-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评word（人教B版2019）

7．2．2　单位圆与三角函数线 知识点一　三角函数线 1．角α的三角函数线完全正确的是(　　) A．正弦线，正切线 B．余弦线，正切线 C．正弦线，正切线 D．余弦线，正切线 答案：C 解析：根据三角函数线的定义，可知是正弦线，是余弦线，是正切线．故选C． 2．下列说法不正确的是(　　) A．当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点 B．当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在 C．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化 D．余弦线和正切线的始点都是原点 答案：D 解析：根据三角函数线的概念，可知A，B，C都正确；因为余弦线的始点在原点，而正切线的始点在单位圆与x轴正半轴的交点上，所以D不正确．故选D． 3．作出－的正弦线、余弦线、正切线． 解：因为－＝－2π＋，所以角－与角的终边相同， 作出单位圆，交角－的终边于点P，过P作PM⊥x轴于点M，过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角－的终边的反向延长线于点T，如图所示， 则角－的正弦线为，余弦线为，正切线为． 知识点二　利用三角函数线比较大小 4．已知－<α<－，则sinα，cosα，tanα的大小关系为(　　) A．sinα>cosα>tanα B．cosα>sinα>tanα C．tanα>cosα>sinα D．sinα>tanα>cosα 答案：C 解析：如图，在单位圆中，作出内的一个角α及其正弦线，余弦线，正切线．由图可知，||<||<||，又，分别与x轴、y轴的正方向相反，而与y轴的正方向相同，所以tanα>cosα>sinα．故选C． 5．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c 答案：D 解析：如图，在单位圆O中分别作出角，，的正弦线、余弦线、正切线，，．由＝π－知||＝||，又<<，易知||>||>||，所以cos<sin<tan，故b<a<c． 知识点三　利用三角函数线证明等式或不等式 6．利用单位圆和三角函数线证明：若α为锐角，则sin2α＋cos2α＝1． 证明：如图，记角α的始边、终边与单位圆的交点分别为点A，P，点A在x轴的正半轴上，过点P作PM⊥x轴于点M，角α的正弦线、余弦线分别为，，则sinα＝||，cosα＝||． 在Rt△OMP中，MP2＋OM2＝OP2， 所以sin2α＋cos2α＝1． 7．利用三角函数线证明：|sinα|＋|cosα|≥1． 证明：当角α的终边在坐标轴上时，正弦线(余弦线)变成一个点，而余弦线(正弦线)的长等于r(r＝1)，此时|sinα|＋|cosα|＝1． 当角α的终边落在第二象限时，如图所示，利用三角形两边之和大于第三边有|sinα|＋|cosα|＝||＋||>1； 同理，当α的终边在其他象限时也有|sinα|＋|cosα|>1． 综上，|sinα|＋|cosα|≥1． 一、单选题 1．如图，角θ的顶点为原点，始边在x轴的正半轴上，终边OB与单位圆交于点C．过点C作x轴的垂线，垂足为A，则||表示的实数是(　　) A．sinθ B．cosθ C．tanθ D． 答案：A 解析：由题意，易得||表示的实数是sinθ．故选A． 2．角和角有相同的(　　) A．正弦值 B．余弦值 C．正切线 D．不能确定 答案：C 解析：因为＝π＋，可知角和角的终边互为反向延长线，即两个角的终边在同一条直线上，设为直线l，过点A(1，0)作单位圆的切线，与直线l有且只有一个交点T，可得tan＝tan＝||，即两角有相同的正切线．故选C． 3．下面四个选项中大小关系正确的是(　　) A．sin<sin B．sin>cos C．cos<cos D．tan<tan 答案：B 解析：如图，在单位圆中作出角的正弦线，余弦线，正切线，角的正弦线，余弦线，正切线，由于＝π－，因此和的终边关于y轴对称，由图可得sin＝sin>0，cos>0>cos，tan>0>tan，∴sin>0>cos，∴A，C，D均错误，B正确．故选B． 4．cos1，sin1，tan1的大小关系是(　　) A．cos1<sin1<tan1 B．tan1<sin1<cos1 C．cos1<tan1<sin1 D．sin1<cos1<tan1 答案：A 解析：作出单位圆，用三角函数线进行求解．如图所示，有||<||<||，即cos1<sin1<tan1．故选A． 5．如图所示，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，其终边与单位圆的交点为P，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，分别交角α的终边于T，S，根据三角函数的定义，tanα＝AT．现在定义余切函数y＝cotα，满足cotα＝，则下列表示正确的是(　　) A．cotα＝OT B．cotα＝PS C．cotα＝OS D．cotα＝BS 答案：D 解析：由题图可知，△OBS∽△TAO，则＝，即BS·TA＝OB·AO＝1，所以BS＝＝＝cotα．故选D． 二、多选题 6．下列说法正确的是(　　) A．α一定时，单位圆中的正弦线也一定 B．在单位圆中，有相同正弦线的角相等 C．α和α＋π有相同的余弦线 D．具有相同正切线的两角的终边在同一条直线上 答案：AD 解析：对于A，α一定时，单位圆中的正弦线一定，故A正确；对于B，与有相同的正弦线，但≠，故B错误；对于C，α和α＋π的余弦线相反，故C错误；对于D，一三象限角的正切线相同，二四象限角的正切线相同，即具有相同正切线的两个角的终边一定在同一条直线上，故D正确．故选AD． 7．下列命题中正确的是(　　) A．α，β都是第一象限角，若cosα>cosβ，则sinα>sinβ B．α，β都是第二象限角，若sinα>sinβ，则tanα<tanβ C．α，β都是第三象限角，若cosα>cosβ，则sinα>sinβ D．α，β都是第四象限角，若sinα>sinβ，则tanα>tanβ 答案：BD 解析：如图1，α，β都是第一象限角，cosα>cosβ，则sinα<sinβ，故A错误；如图2，α，β都是第二象限角，sinα>sinβ，则tanα<tanβ，故B正确；如图3，α，β都是第三象限角，cosα>cosβ，则sinα<sinβ，故C错误；如图4，α，β都是第四象限角，sinα>sinβ，则tanα>tanβ，故D正确．故选BD． 　 　 三、填空题 8．角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且符号相异，那么α的值为________． 答案：或 解析：因为角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且符号相异，所以sinα＝－cosα，即角α的终边为二、四象限的角平分线，所以α＝或α＝． 9．已知α∈，在单位圆中角α的正弦线、余弦线、正切线分别是，，，则它们的模从大到小的顺序为________． 答案：||>||>|| 解析：由图可知，当α∈时，cosα<sinα<1，tanα>1，即||<||<1，||>1，所以||>||>||，故当α∈时，||>||>||． 10．若θ∈，则下列各式中正确的是________． ①sinθ＋cosθ<0；②sinθ－cosθ>0；③|sinθ|<|cosθ|． 答案：② 解析：如图，因为θ∈，所以sinθ＝||>0，cosθ＝－||<0，且||>||，所以sinθ＋cosθ>0，sinθ－cosθ>0，|sinθ|>|cosθ|，所以①错误，②正确，③错误． 四、解答题 11．作出角，－的正弦线、余弦线、正切线，并比较相应三角函数值的大小． 解：如图1所示，图中，，分别为角的正弦线、余弦线、正切线． 如图2所示，图中，，分别为角－的正弦线、余弦线、正切线． 由图可知－||>－||，所以sin>sin； －||<0<||，所以cos<cos； ||>0>－||，所以tan>tan． 12．设0＜β＜α＜，求证：α－β＞sinα－sinβ． 证明：如图，设单位圆与角α，β的终边分别交于P1，P2，作P1M1⊥x轴于M1，作P2M2⊥x轴于M2，作P2C⊥P1M1于C，连接P1P2， 则sinα＝M1P1，sinβ＝M2P2，α－β＝－＝， 所以α－β＝＞P1P2＞CP1＝M1P1－M1C＝M1P1－M2P2＝sinα－sinβ， 即α－β＞sinα－sinβ． 13．[多选]如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点A(1，0)．已知点B(x1，y1)在圆O上，点T的坐标是(x0，sinx0)，则下列说法中正确的是(　　) A．若∠AOB＝α，则＝α B．若y1＝sinx0，则x1＝x0 C．若y1＝sinx0，则＝x0 D．若＝x0，则y1＝sinx0 答案：AD 解析：由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有＝1·α＝α，所以A正确；由于点B是∠AOB的一边与单位圆的交点，y1是对应∠AOB的正弦值，即y1＝sinx0，所以x1是对应∠AOB的余弦值，即x1＝cosx0，所以B错误；当y1＝sinx0时，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，所以C错误；反过来，当∠AOB＝x0，即＝x0时，y1＝sinx0一定成立，所以D正确．故选AD． 14．应用单位圆证明：若α∈，则sinα<α<tanα． 证明：如图，由三角函数线，得sinα＝||，tanα＝||，α＝， ∵S△POA<S扇形POA<S△AOT， ∴OA·||<·OA<||·OA， ∴||<<||，即sinα<α<tanα． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$