7.2.1 三角函数的定义-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评word（人教B版2019）

7．2．1　三角函数的定义 知识点一　三角函数的定义 1．若角α的终边经过点P(－3，4)，则sinα＋tanα的值是(　　) A．－ B．－ C．－ D． 答案：C 解析：∵角α的终边经过点P(－3，4)，∴sinα＝＝，tanα＝－，则sinα＋tanα＝－＝－． 2．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝(　　) A．－8 B．8 C．－4 D．4 答案：A 解析：由三角函数的定义，得sinθ＝＝－，所以y＝－8． 3．[多选]下列命题中为真命题的是(　　) A．终边相同的角的同名三角函数的值相等 B．终边不同的角的同名三角函数的值不相等 C．若sinα>0，则α是第一、二象限角 D．若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝ 答案：AD 解析：由三角函数的定义知A正确；对于B，可举反例sin＝sin，B错误；对于C，角α的终边可能在y轴的正半轴上，C错误；对于D，由三角函数的定义，知cosα＝，D正确．故选AD． 4．已知角α的终边过点P(m，－3m)(m≠0)，求α的正弦值、余弦值、正切值． 解：由题意，得r＝OP＝＝|m|(O为坐标原点)． ①当m>0时，r＝|m|＝m， 则sinα＝＝－，cosα＝＝，tanα＝＝－3． ②当m<0时，r＝|m|＝－m， 则sinα＝，cosα＝－，tanα＝－3． 知识点二　三角函数值的符号 5．若sin2α>0，且cosα<0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：C 解析：∵sin2α>0，∴2kπ<2α<π＋2kπ(k∈Z)，∴kπ<α<＋kπ(k∈Z)．当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，有2mπ<α<＋2mπ(m∈Z)；当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，有2mπ＋π<α<＋2mπ(m∈Z)，∴角α的终边在第一或第三象限．又cosα<0，∴角α是第三象限角． 6．已知x为终边不在坐标轴上的角，则函数f(x)＝＋＋的值域是(　　) A．{－3，－1，1，3} B．{－3，－1} C．{1，3} D．{－1，3} 答案：D 解析：若x为第一象限角，则f(x)＝3；若x为第二、三、四象限角，则f(x)＝－1．所以函数f(x)的值域为{－1，3}． 7．[多选]下列各三角函数值符号为负的是(　　) A．sin(－100°) B．cos(－220°) C．tan10 D．cosπ 答案：ABD 解析：因为－100°角是第三象限角，所以sin(－100°)<0；因为－220°角是第二象限角，所以cos(－220°)<0；因为10∈，所以角10是第三象限角，所以tan10>0；cosπ＝－1<0．故选ABD． 8．函数y＝＋的定义域为________． 答案： 解析：由题意得由cosx≥0，得角x的终边在y轴上或第一象限或第四象限或x轴的正半轴上．由－tanx≥0，得tanx≤0，则角x的终边在第二象限或第四象限或x轴上，所以角x的终边在第四象限或x轴的正半轴上．所以函数的定义域为． 9．确定下列各式的符号： (1)tan100°cos260°； (2)sin5cos5． 解：(1)因为100°是第二象限角， 所以tan100°<0， 因为260°是第三象限角，所以cos260°<0， 所以tan100°cos260°>0． (2)因为<5<2π，所以5是第四象限角， 所以sin5<0，cos5>0， 所以sin5cos5<0． 一、单选题 1．如果角α的终边过点(2sin60°，－2cos60°)，则sinα的值为(　　) A． B．－ C．－ D．－ 答案：B 解析：由于2sin60°＝2×＝，－2cos60°＝－2×＝－1，从而角α的终边过点(，－1)．由任意角的三角函数的定义可知，sinα＝＝－． 2．已知角α终边上异于原点的一点P，且OP＝r，则点P的坐标为(　　) A．(sinα，cosα) B．(cosα，sinα) C．(rsinα，rcosα) D．(rcosα，rsinα) 答案：D 解析：设P(x，y)，则sinα＝，∴y＝rsinα，又cosα＝，∴x＝rcosα，∴P(rcosα，rsinα)．故选D． 3．若角α的终边在直线y＝3x上且sinα<0，又P(m，n)是α终边上一点，且OP＝，则m－n＝(　　) A．2 B．－2 C．4 D．－4 答案：A 解析：∵P(m，n)在直线y＝3x上，且sinα<0，∴点P位于第三象限，∴m<0，n<0．OP＝＝＝，∴m2＝1，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2． 4．已知A，B，C是△ABC的三个内角，若sinA·cosBtanC<0，则△ABC是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 答案：A 解析：∵A是△ABC的一个内角，∴sinA>0．又sinAcosBtanC<0，∴cosBtanC<0，∴B，C中有一角为钝角，故△ABC为钝角三角形．故选A． 5．下列函数值的符号为负的是(　　) A．sin105° B．cos325° C．tan D．tan 答案：C 解析：对于A，因为90°<105°<180°，所以105°是第二象限角，所以sin105°>0，故A不符合题意；对于B，因为270°<325°<360°，所以325°是第四象限角，所以cos325°>0，故B不符合题意；对于C，因为<<π，所以是第二象限角，所以tan<0，故C符合题意；对于D，因为π<<，所以是第三象限角，所以tan>0，故D不符合题意．故选C． 二、多选题 6．已知函数f(x)＝loga|x－2|＋2(a>0且a≠1)的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则sinθ的值可能是(　　) A． B． C． D． 答案：AD 解析：因为函数f(x)＝loga|x－2|＋2的图象经过定点A，令|x－2|＝1，得x＝1或3，此时y＝2，所以A(1，2)或A(3，2)．当点A(1，2)在角θ的终边上时，sinθ＝＝；当点A(3，2)在角θ的终边上时，sinθ＝＝．综上，sinθ＝或sinθ＝．故选AD． 7．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式一定为正的是(　　) A．sinα＋cosα B．cosα－sinα C．sinαcosα D． 答案：BD 解析：∵角α以Ox为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，∴α是第四象限角，∴sinα<0，cosα>0，tanα<0，∴cosα＋sinα不一定是正数，故A不符合题意；cosα－sinα>0，故B符合题意；cosαsinα<0，故C不符合题意；>0，故D符合题意．故选BD． 三、填空题 8．5sin90°＋2cos0°－3sin270°＋10cos180°＝________． 答案：0 解析：因为sin90°＝1，cos0°＝1，sin270°＝－1，cos180°＝－1，所以原式＝5×1＋2×1－3×(－1)＋10×(－1)＝0． 9．已知P(2，－3)是角θ的终边上一点，则tan(2π＋θ)________0．(填“>”“<”或“＝”) 答案：< 解析：因为x>0，y<0，所以θ为第四象限角，则2π＋θ也为第四象限角，所以tan(2π＋θ)<0． 10．若0°<θ<360°，且终边与660°角的终边关于x轴对称，点P(x，y)在θ的终边上(不是原点)，则tanθ＝________，＝________． 答案：　 解析：∵660°＝720°－60°，∴660°角与－60°角的终边相同，∵0°<θ<360°，θ的终边与－60°角的终边关于x轴对称，∴θ＝60°，∵点P(x，y)在θ的终边上，∴tanθ＝＝，∴＝＝＝． 四、解答题 11．已知角α的终边落在直线y＝－3x上，求2sinα＋3cosα的值． 解：当角α的终边在第二象限时，取终边上任一点P(－1，3)， ∴r＝OP＝＝， ∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－， ∴2sinα＋3cosα＝－＝； 当角α的终边在第四象限时，取终边上任一点P(1，－3)， ∴r＝OP＝＝， ∴sinα＝＝＝－， cosα＝＝＝， ∴2sinα＋3cosα＝－＋＝－． 12．角α终边上存在一点P，且<0，求sinα＋cosα的值． 解：∵<0，∴或 ∴α是第三或第四象限角． 当α是第三象限角时，－<0且<0，m的值不存在， ∴α是第四象限角，－>0且<0， ∴m<0，r＝|OP|＝－， ∴sinα＝－，cosα＝， ∴sinα＋cosα＝－＋＝． 13．[多选]设α是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是(　　) A．sin B．tan C．cos2α D．－sin2α 答案：BD 解析：对于A，B，由已知可得，π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z．当k为偶数时，设k＝2n，n∈Z，则＋2nπ<<＋2nπ，n∈Z，此时为第二象限角；当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则＋2nπ<<＋2nπ，n∈Z，此时为第四象限角．综上所述，为第二或第四象限角，所以不能确定sin的正负，tan<0，故A不符合题意，B符合题意．对于C，D，由已知可得，π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，所以2(2k＋1)π<2α<π＋2(2k＋1)π，k∈Z，所以2α为第一或第二象限角或其终边在y轴的正半轴上，所以不能确定cos2α的正负，sin2α>0，－sin2α<0，故C不符合题意，D符合题意．故选BD． 14．已知角α的终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x．求sinα＋的值． 解：∵P(x，－)(x≠0)， ∴点P到原点的距离r＝． 又cosα＝x，∴cosα＝＝x． ∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2． 当x＝时，点P的坐标为(，－)， 由三角函数的定义，有sinα＝－，＝－， ∴sinα＋＝－－＝－； 当x＝－时，同理可求得sinα＋＝． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$